高考数学-平面向量专题复习
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平面向量
【考点例题解析】
考点1.共线定理应用
例一：平面向量→
→b a ,共线的充要条件是（ ） A.→
→b a ,方向相同 B. →
→b a ,两向量中至少有一个为零向量
C.存在,R ∈λ→
→
=a b λ D.存在不全为零的实数0,,2121=+→
→
b a λλλλ
变式一：对于非零向量→
→b a ,，“→→
→=+0b
a ”是“→
→b a //”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
变式二：设→
→b a ,是两个非零向量（ ） A.若→
→
→
→
=+b a b a _则→→
⊥b a
B. 若→→⊥b a ，则→→→→=+b a b a _
C. 若→
→→→=+b a b a _，则存在实数λ，使得
→
→
=a b λ D 若存在实数λ，使得→
→
=a b λ，则→
→
→
→
=+b a b a _
例二：设两个非零向量→
→
21e e 与，不共线， （1）如果三点共线；求证：D C A e e CD e e BC e e AB ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，
且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一：设→
→21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数
k 的值。
变式二：已知向量→
→b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D
考点2.线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2BA BC BP +=
则（ ）
A. PB PA +=0
B. PA PC +=0
C. PC PB +=0
D. PB PA PC ++=0
变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且OC OB OA ++=20,那么（ ）A. OD A =0 B. OD A 20= C. OD A 30= D. OD A =02
变式二：在平行四边形ABCD 中a AB =，b AD =，NC AN 3=,M 为BC 的中点，则=MN ( 用b a ,表示)
例二：在三角形ABC 中，c AB =，b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=AD ( )
A. ,3132c b +
B. ,3235b c -
C. ,3132c b -
D. ,3
2
31c b +
变式一:在三角形ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分角ACB,a CB =，b CA =21==,则=CD
( )
A. ,3231b a +
B. ,3132b a +
C. ,54
53b a + D. ,5
354b a +
变式二：设D,E,F 分别是三角形ABC 的边BC,CA,AB 上的点，且
,2BD DC =,2EA CE =,2FB AF =则
CF BE AD ++,与BC ( )
A.反向平行
B. 同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
变式三：在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AF AE AC μλ+=,其,,R ∈μλ则μλ+=
变式四：在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若
,a AC =,b BD =则=AF ( )A.
,2141b a + B. ,3132b a + C. ,4121b a + D. ,3
2
31b a +
考点3：三点共线定理及其应用
例一：点P 在AB 上，求证：OB OA OP μλ+=且μλ+=1（,,R ∈μλ）
变式：在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 和N,若
,AM m AB =,AN n AC =则m+n=
例二：在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，DE 与AF 交于点H,设,a AB =,b BC =则=AH
A. ,5452b a -
B. ,5452b a +
C. ,5452b a +-
D. ,5
452b a --
变式：在三角形ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 是边AC 上一点且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P ,若,PM AP λ=求λ的值。
考点4： 向量与三角形四心 一、 内心
例一：O 是∆ABC 所在平面内一定点，动点P
满足），【∞+∈+
+=0λλAC AB OA OP ，则点P
的轨迹一定通过∆ABC 的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
变式一：已知非零向量AB 与AC
满足0=⋅+
BC AC AB ，
且
2
1
=
⋅
AC AB ，则∆ABC 为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形
变式二：⇔=⋅+⋅+⋅0PB PA PC P 为∆ABC 的内心
二、重心
例一：O 是∆ABC 内一点，0=++OB OA OC ，则为∆ABC 的（ ）A.外心B.内心C .重心 D.垂心
变式一：在∆ABC 中，G 为平面上任意一点，证明：⇔++=
)(3
1
GC GB GA GO O 为∆ABC 的重心