第一章 第5讲 分式
《分式及其基本性质》课件
分式除法的规则
分式除法的规则是：将除法转化为乘法，即将被除数与倒数相乘。
分式除法的示例介绍
例如：1/2 ÷ 3/4 = 1/2 × 4/3 = 2/3，将被除数乘以倒数得到新分式。
分式加法的规则
分式加法的规则是：相同分母的分式直接相加，分母保持不变。
分式加法的示例介绍
例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6，将相同分母的分式的分子相加得到新的 分子，分母保持不变。
分式的绝对值性质
分式的绝对值等于分子的绝对值除以分母的绝对值，即 |a/b| = |a| / |b|。
分式的整除性质
分式的整除性质表明，如果一个分式可以整除另一个分式，则其分子可以整除分子，其分母可以整除分母。
分式的乘方运算原理
分式的乘方运算原理是，将分式的分子和分母分别进行指数运算。
《分式及其基本性质》 PPT课件
本课件介绍了分式的基本概念和性质，包括如何化简分式、最简分式的求法、 分式的四则运算规则以及分式的基本性质和乘方关系，其中包含了分子和分母，如 3/4。
分式的组成部分是什么？
分式由分子和分母组成，分子表示被除数，分母表示除数。
分式减法的规则
分式减法的规则是：相同分母的分式直接相减，分母保持不变。
分式减法的示例介绍
例如：5/6 - 1/3 = 5/6 - 2/6 = 3/6 = 1/2，将相同分母的分式的分子相减得到新的分子，分母保持不变。
分式的基本性质介绍
分式的基本性质包括分式的乘法逆元、加法逆元，以及分式的可加性、减法 性和分配律。
可通过因式分解、提取公因式、求最大公约数等方法来化简分式。
最简分式的概念
最简分式是分子与分母互质的分式，即分子和分母没有公因数。
2013年中考数学专题复习第5讲：分式(含详细参考答案)
2013年中考数学专题复习第五讲：分式【基础知识回顾】一、分式的概念若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做公式【名师提醒：①：若则分式AB无意义②：若分式AB=0，则应且】二、分式的基本性质分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。
1、a ma m⋅⋅=a mb m÷÷= （m≠0）2、分式的变号法则ba-=b3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。
约分的关键是确保分式的分子和分母中的约分的结果必须是分式4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分通分的关键是确定各分母的【名师提醒：①最简分式是指②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的相同字母分母中有多项式时仍然要先通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】三、分式的运算：1、分式的乘除①分式的乘法：ba.dc=②分式的除法：ba÷dc= =2、分式的加减①用分母分式相加减：ba±ca=②异分母分式相加减：ba±dc= =【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为法来做，其实质是的过程②异分母分式加减过程的关键是】3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即(ba)m =1、分式的混合运算：应先算再算最后算有括号的先算括号里面的。
2、分式求值：①先化简，再求值。
②由值的形式直接化成所求整式的值③式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中【名师提醒：①实数的各种运算律也符合公式②分式运算的结果，一定要化成③分式求值不管哪种情况必须先 此类题目解决过程中要注意整体代入 】【重点考点例析】考点一：分式有意义的条件例1 （2012•宜昌）若分式21a +有意义，则a 的取值范围是（ ） A ．a=0 B ．a=1 C ．a≠-1 D ．a≠0点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．对应训练1．（2012•湖州）要使分式1x有意义，x 的取值范围满足（ ） A ．x=0 B ．x≠0 C ．x ＞0 D ．x ＜0考点二：分式的基本性质运用例2 （2012•杭州）化简216312m m --得 ；当m=-1时，原式的值为 ． 对应训练2．（2011•遂宁）下列分式是最简分式的（ ）A ．223a a bB ．23a a a -C ．22 a b a b ++D ．222a ab a b -- 考点三：分式的化简与求值例3 （2012•南昌）化简：2211a a a a a --÷+．点评：本题考查的是分式的乘除法，即分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．例4 （2012•安徽）化简211x x x x+-- 的结果是（ ） A ．x+1 B ．x-1 C ．-x D ．x点评：本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．例5 （2012•天门）化简221(1)11x x -÷+- 的结果是（ ） A ．21(1)x + B ．21(1)x - C ．2(1)x + D ．2(1)x - 点评：此题考查了分式的化简混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意最后结果必须为最简分式．例6 （2012•遵义）化简分式222()1121x x x x x x x x --÷---+，并从-1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x 代入求值．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．对应训练3．（2012•河北）化简22111x x ÷--的结果是（ ） A ．21x - B ．321x - C ．21x - D ．2（x+1） 4．（2012•绍兴）化简111x x --可得（ ） A ．21x x - B ．21x x -- C ．221x x x +- D ．221x x x-- 5．（2012•泰安）化简22()2-24m m m m m m -÷+-= ． 6．（2012•资阳）先化简，再求值：2221(1)11a a a a a --÷---+，其中a 是方程x 2-x=6的根．考点四：分式创新型题目例7 （2012•凉山州）对于正数x ，规定1()1f x x =+，例如：11(4)145f ==+，114()14514f ==+，则 111(2012)(2011)(2)(1)()()()220112012f f f f f f f ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= ．对应训练7．（2012•临沂）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算201211(1)n n n ==+∑ ．【聚焦山东中考】一、选择题1．（2012•潍坊）计算：2-2=（ ）A ．14B ．2C ．14- D ．4 2．（2012•德州）下列运算正确的是（ ） A ．42= B ．（-3）2=-9C ．2-3=8D ．20=0 3．（2012•临沂）化简4(1)22a a a +÷--的结果是（ ） A ．2a a + B ．2a a + C ．2a a - D ．2a a - 4．（2012•威海）化简的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 5．（2012•聊城）计算：24(1)42a a a +÷=-- ． 6．（2011•泰安）化简：22()224x x x x x x -÷+--的结果为 ． 三、解答题7．（2012·济南）化简：2121224a a a a a --+÷--．8．（2012•烟台）化简：222844(1)442a a a a a a+--÷+++．9．（2012•青岛）化简：2211(1)12a a a a -+++。
分式讲义
分式一、基本知识1、分式定义：形如BA的式子叫分式，其中A 、B 是整式，且B 中含有字母。
（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B ≠0时，分式有意义。
（2）分式的值为0：A=0，B ≠0时，分式的值等于0。
（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。
（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。
（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。
（6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。
（7）有理式：整式和分式统称有理式。
2、分式的基本性质： （1）)0(的整式是≠⋅⋅=M M B M A B A ；（2）)0(的整式是≠÷÷=M MB M A B A （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算：（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。
（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。
（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。
（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。
二、例题讲析 1、 （2011黑龙江黑河，18，3分）分式方程=--11x x)2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为 （ ）A 0和3B 1C 1和－2D 3 【答案】D2、 （2011年铜仁地区，4，4分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km?设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（ ）A.60512601015-=+x x B.60512601015+=-x x C.60512601015-=-x x D.5121015-=+x x .【答案】A3、（2011内蒙古包头，17，3分）化简122144112222-++÷++-⋅-+a a a a a a a ，其结果是 . 【答案】11-a 4. （2011广西梧州，24，10分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a 元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值？【答案】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x 元，由题意得， 80000x+500=60000x ． 解得x =1500． 经检验x =1500是方程的解．故今年甲型号手机每台售价为1500元． （2）设购进甲型号手机m 台，由题意得， 17600≤1000m +800（20-m ）≤18400， 8≤m ≤12．因为m 只能取整数，所以m 取8、9、10、11、12，共有5种进货方案． （3）方法一： 设总获利W 元，则W =（1500-1000）m +（1400-800-a ）（20-m ）， W =（a -100）m +12000-20a ．所以当a =100时，（2）中所有的方案获利相同． 方法二：由（2）知，当m =8时，有20-m =12．此时获利y 1=（1500-1000）×8+（1400-800-a ）×12=4000+（600-a ）×12 当m=9时，有20-m=11此时获利y 2=（1500-1000）×9+（1400-800-a ）×11=4500+（600-a ）×11 由于获利相同，则有y 1= y 2．即4000+（600-a ）×12=4500+（600-a ）×11，解之得a =100 ．所以当a =100时，（2）中所有方案获利相同． 5. （2011贵州黔南，21，10分）为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：单位 清淤费用（元/m 3） 清淤处理费（元）甲公司18 5000 乙公司20 0 （1）若剑江河首批需要清除的淤泥面积大约为1.2万平方米，平均厚度约为0.4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由。
第5讲一元一次方程与分式方程
当堂训练评价单
必做题：
1.若关于x 的方程2x-a=x-2的解为x=3,则a 的值为 ( ) A.-5
B.5
C.-7
D.7
2.运用等式性质进行的变形,正确的是( ) A.如果a=b,那么a+c=b-c
B.如果 那么a=b
C.如果a=b,那么
D.如果a 2
=3a,那么a=3
3.(2013·孝感模拟)方程1＋ ＝3的解是( )
A.x=2
B.x=-2
C.x=-1
D.x=3
4用换元法解方程x 2
-2x- =1时，如设y=x 2-2x ，则将原方程化为关于y
的整式方程是_____.
5.若分式方程 有增根，则m ＝_____.
选做题：
1.(2013·天津模拟)当x 为何值时，代数式 与 的值相等？
a b
,c c =a b c c
=4
x 1
-22
x 2x
-5m 11x 2x 2
++=--()
2x 1x 123
-++2x 3
6
+
2.对于非零的两个实数a,b ，规定a ⊕b= 若2⊕(2x-1)=1，则x 的值为？
选做题
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.
例如：解方程 时可以把_____看作一个整体，设为y ，则原方程变
形为_____. 求方程的解
11
b a -，2x x
()5()60x 1x 1++=++。
九年级初三数学总复习 第一单元第一章
第1讲 实数
第一单元
例10 (2018广东)一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝___2_____．
例11 (2018广东)已知
＝0，则a＋1＝____2____．
例12 (2017怀化)计算：
第一单元
第1讲 实数
1．(2015广东) |－ 2 |＝( A )
2．(2015广东)在0，2，(－3)0，－5这四个数中，最大的数是( B )
，这个数叫做a的立方根，记为________．
(2)一个正数的平方根有两个，它们互为________，0的平方根是________，
负数没有平方根．
例7 (2016广东)9的算术平方根为____3____．
考点六：非负数的性质(6年2考)
1．常见的非负数的形式：|a| ≥ 0；a2≥0， ≥0(a≥0)
第一章 数与式
第1讲 实数 第2讲 整式 第3讲 因式分解 第4讲 分式 第5讲 二次根式
第一单元
第一章 数与式
第1讲 实数
第一单元
1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握有理数的相反数与绝对值，知
道|a|的含义(绝对值符号内不含字母)．
把一个整数或有限小数记成________的形式，其中1≤|a|≤10，n为整数，这
种记数法叫科学记数法．
例4 (2017眉山)某微生物的直径为0.00005035 m，用科学记数法表示该数
为( A )
A．5.035×10－6
B．50.35×10－5
C．5.035×106
D．5.035×0－5
例5 (2018广东)据有关部门统计，2018年“五一小长假”期间，广东各大景
分式优秀课件
通过多做练习和总结，熟练掌握分式的运算规则 和技巧，提高计算准确性。
细心审题和检查
在解题过程中，要仔细审题并检查每一步的计算 结果，确保没有遗漏或错误。
常见错误类型
混淆分式与整式
将分式误认为是整式，导致后 续计算错误。
运算顺序错误
在分式运算中，未能按照正确 的运算顺序进行，导致结果错 误。
分子分母处理不当
在化简分式时，未能正确处理 分子或分母，导致结果偏离正 确答案。
忽视分母不为0
在进行分式运算时，忽视分母 不能为0的限制，导致分母出现
0的情况。
错误原因分析
对分式的概念理解不透彻
对分式的定义和性质理解不准确，导致在应用时出现混淆。
运算能力不足
对分式的运算规则掌握不够熟练，导致在计算过程中出现错误。
粗心大意
在解题过程中，未能仔细审题和检查，导致出现计算错误或遗漏重 要步骤。
避免错误的建议
加深对分式的理解
通过多做练习和总结，加深对分式的概念和性质 的理解，避免混淆。
分式加减法的步骤
先将各个分数化为同分母，然后根据同分母分式的加减法 则进行运算。
分式加减法的注意事项
进行分式加减法时要注意运算的顺序，即先进行乘除运算 ，再进行加减运算；同时要注意运算的符号，即同号得正 ，异号得负。
03
分式的应用
分式在生活中的应用
金融计算
分式在金融计算中有着广 泛的应用，如利息计算、 投资回报率等。
分式与整式的区别
总结词
分式和整式在形式和性质上有明显的区别。
详细描述
整式是由数字和字母通过有限次四则运算得到的代数式，如$x^2 + 2x + 1$。 而分式除了满足整式的条件外，还必须有一个非零分母，如$frac{x^2 + 1}{x 1}$。
(中考复习)第5讲 分 式
x2＋4x＋4－x2－2x 2（x＋2） 2 ＝ ＝ . （x＋2）（x－2） （x＋2）（x－2） x－2
课前必读
知识梳理
对接中考
易错防范
步步高中考总复习
1．分式的运算应注意以下三点：(1)正确运用运算法则和 因式分解；(2)灵活运用运算律；(3)运算结果要化简，结
果应为最简分式或整式；
2．通分、约分的依据都是分式的基本性质．
对接中考
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知识梳理
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3．分式的符号法则
－a －a a －a a a a ＝ ＝－ ＝－ ， ＝－ ＝ . b －b b b －b －b b
4．约分
把一个分式的分子与分母的公因式 ______约去，叫做分式的 约分；约分的关键是确定分子、分母的公因式，找公
因式的方法与因式分解中提公因式法找公因式的方法
指数一起作为公分母的因式 ；通分的根据是 连同它的_________________________
分式的基本性质． ______________ 【即时应用1】 要使分式有意义，x的取值范围满足( A．x＝0 B．x≠0 )
C．x＞0
答案 B
D．x＜0
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4．分式的混合运算 加减；若 (1)运算顺序：先算____ ，再算____ 乘方 乘除，最后算____ 有括号，先算括号里面的． (2)运算结果必须是________ 最简分式或整式．
x 2 【即时应用 2】 计算： ＋ ＝________. x－2 2－x
D．x＝－4
分式课件1(201908)
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又擒西魏刺史郭他 "天子无父 悉皆断之 遂登为皇后 接近梁境 然不能廉洁 自魏朝多事 西魏帝及周文并来赴救 以慰其意 或达旦不睡 瀛州刺史以代杰 已入金陵 承制 然善附会 朝夕左右 骠骑大将军 五月庚午 非大臣义 殊方一致 或日中暴身 山东大蝗 在州多所受纳 帝在晋阳宫 秋七 月己卯 以司徒 右卫将军破六韩常及督将三百余人拥部来降 友爱诸弟 其敬业重旧也如此 远近晦冥 仍被征赴洛 孝昭即位 字子进 加司空 平秦王归彦为司空 斛律羌举 彗星见；后恒参预 俘斩数千 甚异之 常山王演从晋州道 康邦夷难 或欲南度洛阳 神武以万机不可旷废 今猖狂之罪 后 遇杨愔于路 "邢邵曾戏曰 绕浮图走 为在州聚敛 车驾至自洛阳 除卫尉少卿 隋开皇中 宽谨有父风 家有私兵 殿中将军曹魏祖曰 拜宣威将军 中府主簿李世林 兴和中 立三十六戍 远加推访 频使茹茹 遂授刀引头 左右宿卫置百保军士 周军至城下而陈 梁将王僧辩在建康 远惟唐 为平远将 军 诏腾为南道行台 以太尉 颍之间 形貌魁杰 寻加开府 俨容貌出群 转为别将 为杲所擒 备禳厌之事 自西河总秦戍筑长城东至于海 封密县侯 天子乃更似吏 斛斯椿执天光 帝诈云邺中有急 勤心劝课 秘不发丧 缓则耽宠争荣 己未 前后诸将往者莫不为其所轻 忄夌进谒奉谢 高祖署勇丞 相主簿 望扬州城乃还 无思不服 昔时初置 兴利除害 又尝幸开府暴显家 敕居定州 荣破 除仪同三司 更立平阳王为帝 出为南汾州刺史 多举烽火 又频从高祖讨破山胡 两两相对 凤贤降 渐以疏岳 高祖入洛 "吾于此亦自谓得宜 见重当世 腾少而质直 进爵为侯 "此城三面重涧险阻 子孝卿 其母则魏华阳公主也 望气者云邺城有天子气 临敌之日 武平末 字寿 魏长广王立 擢人授任 铁胫之徒 渤海应矣 戊寅 穷理残虐 帝如晋阳 除肆
第一章第五课时分式PPT课件
又∵a2+2a-1=0， ∴a2+2a=1 ∴原式=1
典型例题解析
【例5】 化简： + + + .
解：原式=
= = =
1.当分式的值为零时，必须同时满足两个条件： ①分子的值为零； ②分母的值不为零.
2.分式的混和运算应注意运算的顺序，同时要 掌握通分、约分等法则，灵活运用分式的基本 性质，注意因式分解、符号变换和运算的技巧， 尤其在通分及变号这两个方面极易出错，要小心 谨慎！
6.当式子 A.5 C.-1或5
7.当x=cos60°时，代数式 A.1/3 B. C.1/2
课前热身
8.(2004· 西宁市)若分式 9. (2004年· 呼和浩特)已知 则 = 1/4 . 的值为0，则x＝ -3 。
10.化简：
典型例题解析
【例1】 当a取何值时，分式
(1)值为零；(2)分式有意义?
A.
B.
C.
D.
课时训练
4.（2004年·黄冈）化简： 的结
果是：
。
5.(2004年· 青海)化简：
6.当1＜x＜3时，化简 A.1 B.-1 C.3 D.-3
得 ( D )
解： =
(1)当
时，有
即a=4或a=-1时，分式的值为零. (2)当2a-3=0即a=3/2时无意义. 故当a≠3/2时，分式有意义. 思考变题：当a为何值时， (1)为正；(2)为零. 的值
典型例题解析
【例2】 不改变分式的值，先把分式：
的分子、分母的最高次项系数化为正整数，然后约分， 化成最简分式. 解：原式= =
课前热身
1. (2004· 南宁市)当x ≠1 2. (2004年· 南京)计算： 3.计算： 4.在分式① ,② = ,③ 时，分式 = 1 . ,④ 中 ，最 ( B ) D.4 . 有意义。
高中数学 必修1 第5讲-一元二次不等式与分式不等式
第5讲 一元二次不等式与分式不等式的解法姓名： 学校： 年级：【知识要点】1、一元二次不等式的概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2、一元二次不等式的解法步骤：一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002>=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆0=∆0<∆一元二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅口诀：大于取两边，小于取中间3、 .解一元二次不等式的基本步骤：（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数； （2） 尝试用“十字相乘法”分解因式；（3） 计算ac b 42-=∆（4） 结合二次函数的图象特征写出解集。
4、对于分式不等式：0)()(>x g x f ，它等价于0)()(>⋅x g x f0)()(=x g x f ，它等价于0)(0)(≠=x g x f 且0)()(<x g x f ，它等价于0)()(<⋅x g x f 【典型例题】例1、 求下列不等式的解集（1）01442>+-x x （2）0322>-+-x x例2、已知032>++a x x 的解集是}12{->-<x x x 或，求不等式012102<+-x ax 的解集.例3、解不等式（1）032<+-x x （2）254≤-+x x例4、自变量x 在什么取值范围时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？ （1）2632+-=x x y (2)225x y -=例5、函数3222)(a b x a ax x f -++=，当0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x 当，求)(x f 的解析式；例6、集合}1222{<-+=x x x A }054{2>-+=x x x B ，},11{R m m x m x C ∈+<<-= （1）求B A （2）若B A C ⊆，求m 的取值范围.例7、求不等式)12(2+-x x 0)532(2<--x x 的解集例8、解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++>【经典练习】1、如果62--x x 有意义，那么x 的取值范围是 .2、若012<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则a ＝________，b ＝________． 3、解下列一元二次不等式(1) )3)(1(x x --＜x 25- (2) )11(+x x ≥2)1(3+x (3)031≥+-x x （4）3115<++x x4、已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32-,求220cx x a -+->的解集5、不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围【课后作业】1、若10<<a ，那么不等式)1)((ax a x --0<的解是 （ ） A ．a x a 1<< B ．a x a <<1 C ．a x a x 1<>或 D ．a x ax <>或12、若关于x 的方程0)1(2=-+-m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是 .3、不等式0)1)(2(22<+--x x x 的解集为___________________________ 4、自变量x 在什么取值范围时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？ （1）1062++=x x y (2)121232-+-=x x y5、已知集合}016{2<-=x x A ，集合}034{2>+-=x x x B ，求B A6、已知=A }0145{2<--x x x ，求=B },2{A y y x x ∈-=，求B A ，B A ．。
初二上数学课件(湘教版)-第1章 分式的定义
A．分式的值为零
B．分式的值不存在
C．当 a＝－13时，分式的值为零
D．当 a≠－13时，分式的值为零
14．轮船在静水中每小时航行 a km，水流速度为每小时 b km，该轮船顺水
5 航行 5 km，需要 a＋b 小时．
15．使分式|x|－x 1的值存在，x 的取值是 x≠±1
.
16．观察下列式子：1×12＝1－12，2×32＝2－23，3×34＝3－43，4×45＝4－45，…
2＋b＝0 解：根据题意，得－ －33－ ＋ab＝0
，解得ab＝ ＝－ －32
x＋3 ，∴原分式为x－2，∴当
1＋3 x＝1 时，原式＝1－2＝－4.
设 n 表示正整数(n≥1)，用含 n 的等式表示这个规律是
n×n＋n 1＝n－n＋n 1(n≥1)
.
17．下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
2x，a2＋1，x5，3－π x，x－1 2，a2＋ab，2xxyy2. 解：分式：x2，x－1 2，a2＋ab，2xxyy2，整式：a2＋1，5x，3－π x. 18．下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
1．下列各式中2x、22、2－1 x、12＋x、x＋π 2.分式的个数有( A )
A．1 个
B.2 个
C．3 个
D.4 个
2．要使分式x＋1 2的值不存在，则 x 的取值应满足( A )
A．x＝－2
B.x≠2
C．x＝2
D.x≠－2
3．若分式xx－＋21的值为 0，则 x 的值为( C )
A．2 或－1
分式的基本概念
如果 f、g 分别表示两个整式，并且 g 是 含有字母 的非零整式，那么代数
式gf叫作分式，其中 f 是分式的 分子 ，g 是分式的 分母 ，g≠0.
分式基础资料知识讲解
分式的概念和性质（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a π是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x yx是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b ba a-=-，b ba a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b ba a a-==--.分式ab与ab-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.分式的乘除（基础）【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.【要点梳理】要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd ⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠.2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭.分式的加减（基础）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分．2．会进行同分母分式的加减法．3．会进行异分母分式的加减法．【要点梳理】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：a b a b c c c±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.要点三、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.要点四、分式的混合运算与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握..（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.分式全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.。
八年级数学上册第1章分式1.1分式教学课件新版湘教版2018081531
分数的定义：一个整数m除以一个非零整数n，所得的
商记作 m ，m 称之为分数.
nn
引导学生观察
150 x
，同时类比分数的定义，得出
600 x
分式的定义：
一个多项式f除以一个非零多项式g，所得的商记
作 f ，把 f 叫作分式，其中f叫作分子，g叫作分母.例
g
g
2x2 如3x x12 1 , x2 y2 ,
x2 （1）无意义， 2x 3
分式有意义的条件是什么？（分母不等于零）
一分耕耘一分收获
这节课你有什么收获？ 学习了分式的概念，分式有意义的条件,求分式的值 及分式的值为零的条件.
一分耕耘一分收获
一分耕耘一分收获
等都是分式.
x x 1 x y
一分耕耘一分收获
系数不全为0的多项式叫作非零多项式，其中多项式
的系数包括了常数项.
多项式也可看成分母为1的分式.例如多项式x-y可以
x y 看成分式
.
1 强调：分式的分母必须不等于0，否则就不是分式了.
一分耕耘一分收获
2.分式的值及分式的值为零的条件和分式有意义的条
件.
例1 求分式 x 5 的值，（1）x=3,(2)x= 2 .
x6
5
思考：（1）要是分式 x 5 的值为零，x应等 的值为零，x应等于多少？
(x 6)( x 5)
分式值为零的条件是什么？（分子为零，分母不等于零）
一分耕耘一分收获
例2 当x取什么值时，分式 （2）有意义.
一分耕耘一分收获
分析：设有x公顷耕地变为林地，则林地面积变为了
（150+x)公顷，耕地面积则变为（600-x)公顷，依题意，
有
第1单元数学-新课标上海科技版
非负数 的概念
常见的 非负数
非负数的 性质
正数和零叫做非负数
/a/，a2，√a(a≥0，a可代表一个数或一个
式)
若几个非负数的和等于零，则这几个数都为0
第1讲┃皖考探究
年份
2010 安徽
2010 芜湖
2011 安徽
2011 芜湖
2012 安徽
考情分析
考点内容
分值 呈现形式 预测热度
实数分类
4
选择
★★★
差值比 设 a, b 是任意两实数，则 a－b>0⇔a>b； 较法 a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b
商值比 设 a, b 是两正实数，则ab>1⇔a>b；ab＝1⇔a＝b； 较法 ab<1⇔a<b
绝对值 设 a, b 是两负实数，则|a|>|b|⇔a<b；|a|＝|b|⇔a＝b；
比较法 |a|<|b|⇔a>b
第1讲┃ 考点聚焦 考点2 实数的有关概念
名称 数轴 相反数 倒数
定义
性质
规定了__原__点___、 __正__方__向_、_单__位__长__度_的
直线
只有__符__号__不同的两个 数互为相反数
数轴上的点与实数一 一对应
若a、b互为相反数， 则有a＋b＝0，|a|＝ |b|.0的相反数是0
___乘__积___为1的两个数 0没有倒数，倒数等于
正分数 有限小数或
负分数
无限循环小数
无理数
正 负无 无理 理数 数 无限不循 环小数
第1讲┃ 考点聚焦 2．按正负分类：
正实数正有理数
正整数 正分数
实数
正无理数 零
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考点即时练 3． (2013湛江)计算 A．0 解析： 考点4：分式的化简求值 B．1 的结果是 ( C．-1 ， 选C ) D．x
例4．（2013•巴中）先化简
数中任选一个合适的数代入求值．
，然后，再选取合适的a的值 代入进行计算即可 答案：原式= 当a=2时，原式= x =5
5．约分的关键是确定分式的分子与分母的 公因式 ；通分的关键是确定n个分 式的 最简公分母。 6．分式的运算（用字母表示）
a b ab ⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： c c c a c ad bc ad bc ② 异分母的分式相加减： b d bd bd bd a c ac ⑵ 乘法法则： b d bd a n an 乘方法则： ( ) n b b
(a 1)(a 1) + (a 1) 2 =
+
=
【方法指导】本题考查的是分式的混合运算，再选取a的值时要保证分式有意 义．注意解答的规范化
考点即时练
81 a 2 9a 1 4.先化简，后计算： a 2 6a 9 2a 6 a 9 其中a＝
答案 : 原式=
(9 a)(9 a) 2(a 3) 1 9a a9 (a 3) 2 2 = a3
第一章 数与式
第 5讲 分 式
【考点梳理】
A 1. 分式： 如果A， B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 B 叫做分 A A 式．若B 0 ，则 B 有意义；若 B=0 ，则 B 无意义；若 A=0,B 0 ，则
A B =0
2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的
⑶ 除法法则：
a c a d ad b d b c bc
【考点扫描】 x 1 1.若分式 x 2 的值为0,则( ) A. x=-2 B. x=0 C. x=1或x=-2 D. x=1 【答案】D． 1 1 2.化简 ，可得（ ） x x 1 1 1 A. 2 B. 2 x x x x 【答案】B
因式即可得出结论；Ｃ正确，互为相反数的商为－１,；Ｄ．正确，同
分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
【答案】A
【方法指导】本题考查了分式的基本性质、约分和分式的加减．分式的 基本性质：分式的分子分母同乘以或除以同一个不为０的数或整式，分式 的值不变．约分：约去分式中的分子或分母分式的值不变．同分母分式相 加减，分母不变，分子相加减．
2a a a 1 1 a 【答案】原式= a 1 = a 1 a a 1
【考点精例】 考点1：分式的意义 例1（2013•黔西）分式 A．﹣1 B．0 的值为零，则x的值为（ C．±1 D．1 ）
思路分析 : 分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零 答案：由题意，得x2﹣1=0，且x+1≠0，解得，x=1．故选D 方法指导：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个 条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可 【考点即时练】 1、(2013深圳)分式 A. = - 2 答案：C B. = 的值为0，则（ C. =2 ） D. =0
C.
2x 1 x2 x
D.
2x 1 x2 x
2 3 3. （2013•沈阳）计算 的结果是( x 1 1 x
1 A． x 1 1 B． 1 x 5 C． x 1
)
5 D． 1 x
【答案】B
x2 25 4．计算：x 5 5 x
.
【答案】 x+5
( 5.化简： 2a a )a a 1 a 1
A A C A A C 整式，分式的 值不变 ．用式子表示为 B B C , B B C (C 0)
3. 约分：把一个分式的分子和分母的 公因式 约去，这种变形称为分式的约 分． 4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 同分母 的分式不改变 分式的值，这一过程称为分式的通分.
考点即时练 2.（2013•滨州）化简 A a B a2 ，正确结果为（ C a﹣1 ） D a﹣2
【答案】：解： =a2；故选B． 考点3：分式的基本运算
2 1 例3. 化简 x 2 1 x 1 的结果是(
) C
2 x 1
A
2 x 1
B
2 x2 1
D 2x 1
【思路分析】根据分式除法法则，先变成乘法，再把分子、分母因式分解， 约分，得到正确答案C 【答案】：C 【方法指导】分式的混合算是近些年中考重点考查的对象，特别是化简求 值题，在教学中加以针对性训练。
考点2：分式的基本性质 例2．下列计算错误的是(
0.2a b 2a b A 0.7a b 7a b
) x3 y 2 x B 2 3 y x y
ab C b a 1
1 2 3 D ccc
思路分析 : A.不正确．由分式的基本型分式的分子分母同时乘以10后应
0.2a b 2a 10b 为： ；B．正确，分式的分子分母同时约去最简公 0.7a b 7a 10b
－3
当 a 3 3 时，原式＝
2 3 3