第9章 常微分方程初值问题数值解法

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Euler法的求解过程是:从初 始点P0(即点(x0,y0))出发, 作积分曲线 y=y(x) 在P0点上
P0 P1 P1
Pi+1 Pn y=y(x) Pi Pn Pi Pi+1
切线 P0 P1 (其斜率为 y( x0 ) f ( x0 , y0 ) ),与x=x1直线
直线方程为
y y1 f ( x1 , y1 )( x x1 )
当 x x2 时,得 y2 y1 f ( x1 , y1 )( x2 x1 )
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y2 y1 hf ( x1 , y1 )
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P1 P0 P1
Pi+1 Pn Pi Pi+1 Pi
yk 1 0.2 yk (4 xk yk ) 2016/11/19 y0 1
( k 0,1,2)
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y y xy2 例9.1 用欧拉法解初值问题 , (0 x 0.6) y ( 0) 1
取步长 h=0.2 ,计算过程保留4位小数。 解:
常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程
的解法等。但能求解析解的方程是有限的，大多数的
常微分方程不能给出解析解。
2 2 y x y
譬如：
这个一阶微分方程就不能用初等函数来表达 它的解。
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再如，方程
y y y(0) 1
虽然有解 y e x ,仍需插值方法来计算各点的值
yk 1 yk hf ( xk , yk )
Euler 法的计算格式为：
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Euler 格式用泰勒展开方法得到。
微分方程 y f ( x, y )，
将 y( xk 1 ) 在节点 xk 处 Taylor展开
h2 y( xk 1 ) y( xk h) y( xk ) hy( xk ) y( ) 2 h2 略去 h 的高次项 y( ) 2 y( xk 1 ) y( xk ) hy( xk )
y( xi 1 ) y( xi )
xi
f ( x, y)dx
xi
f [ x, y( x )]dx (9.3)
选择不同的计算方法计算上式的积分项 就会得到不同的计算公式。
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xi 1
xi
f [ x, y( x )]dx
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用左矩形方法计算积分项
y( xi 1 ) y( xi )
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从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主 要依靠数值解法来解决。本章主要讨论一阶常微分 方程初值问题
y f ( x , y ) y ( x 0 ) y0 在区间 a ≤ x ≤ b 上的数值解法。
( 9.1 )
可以证明,如果函数在带形区域 R:{ a≤x≤b,
yi 1 yi hf ( xi , yi ) y0 y ( x 0 )
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i 0,1, , n 1
(9.2)
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y y xy2 例9.1 用欧拉法解初值问题 , (0 x 0.6) y ( 0) 1
取步长 h=0.2 ,计算过程保留4位小数 解:
2016/11/19 这样就获得了 P1点的坐标: y1 y0 f ( x0 , y0 )h 15
P1 P0 P1
Pi+1 Pn y=y(x) Pi Pn Pi+1 Pi
x0
x1
xi
xi+1
xn
同样, 过点P1(x1,y1),作积分曲线 y=y(x)的切线 交直线 x=x2于P2点,切线 P1 P2 的斜率 y( x1 ) f ( x1 , y1 )
xi 1
xi
f [ x, y( x)]dx (9.3)

xi 1
xi
f [ x, y( x)]dx ( xi 1 xi ) f [ xi , y( xi )]
代入(9.3)式,并用 yi近似代替式中 y(xi)即可得 到向前欧拉（Euler）公式
yi 1 yi hf ( xi , yi )
的数值解法，首先要解决的问题就是如何对微分方 程中的导数进行离散化，建立求数值解的递推公式。 递推公式通常有两类，一类是计算yi+1时只用到xi+1, xi
和yi，即前一步的值，因此有了初值以后就可以逐步
往下计算，此类方法称为单步法；其代表是龙格— 库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以 外，还要用到
y=y(x) Pn
x0
x1
xi
xi+1
xn
由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系 列的点: P1 , P2 ,, Pn 。对已求得点 Pk ( xk , yk ) 以 y( xk ) f ( xk , yk ) 为斜率作直线 y yk f ( xk , yk )( x xk ) 当 x x k 1 时 ,得 取
y( x k 1 ) y( x k ) y ( x k ) h y( x k 1 ) y( x k ) f ( x k , yk ) h
yk 1 yk hf ( xk , yk )
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此公式称为欧拉公式
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y f ( x , y ) 微分方程 y0 y ( x 0 ) 欧拉公式
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yk 1 yk f ( xk , yk )( xk 1 xk )
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y( xk 1 ) yk 1 , k 0,1,, n 1.
P1 P0 P1
Pi+1 Pn Pi Pi+1 Pi
y=y(x) Pn
x0
x1
xi
xi+1
xn
这样,从x0 出发逐个算出 x1 , x2 , xn对应的数值解
xi p , yi p ( p 1,2 ,, k ) ，即前。
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§9.2 简单的数值方法与基本概念
一阶微分方程的数值解可用数值微分、数值积
分和泰勒展开等方法得到。
微分方程 y f ( x, y )
节点xk 的导数用差商代替
长可以相等，也可以不等。本章总是假定 h 为定数， 称为定步长，这时节点可表示为
xi x0 ih, i 1,2,, n 数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从
而求出离散节点的数值解。 2016/11/19
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对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散 化。其数值解法有两个基本特点，[1]它们都采用 “步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步
一步地向前推进，描述这类算法，要求给出用已知
y0 , y2 ,, yi 信息
计算 的递推公式。[2]建 yi 1 立这类递推公式的基本方法是在这些节点上用数值 积分、数值微分、泰勒展开等方法，对初值问题中 的
y f ( x , y ) y( x0 ) y0

xk 1 xk
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数值方法的基本思想 对常微分方程初值问题(9.1)式的数值解法，就 是要算出精确解 y(x)在区间a,b上的一系列离散节
处的函数值 a x0 x1 xn1 xn b y( x0 ), y( x1 ), , y( xn ) 的近似值 y0 , y1 , , yn . 相邻两个节点的间距 hi xi 1 xi 称为步长，步 点
y1 , y2 , yn
从图形上看,就获得了一条近似于曲线y=y(x) 的折线 P 1P 2P 3 P n 。
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y f ( x , y ) 微分方程的初值问题 y( x0 ) y0
通常取 xi 1 xi hi h (常数),则 用折线近似于曲线得到的计算公式称为欧拉公式 Euler 法的计算格式为：
h 0.2, xi x0 ih
x0 0, x1 0.2, x2 0.4, x3 0.6, f ( x, y ) y xy 2
计算 y(0.2), y(0.4), y(0.6) 的近似值
欧拉迭代格式
2 yk 1 yk hf ( xk , yk ) yk 0.2( yk xk yk )
ydx
xk 1 xk xk 1 xk
f ( x, y )dx f ( x, y )dx
y
导数 2016/11/19
yk 1 yk
yk 1 yk f ( x k , yk ) 进行不同的离散化处理。 7 x k 1 xk
对于初值问题
y f ( x , y ) y( x0 ) y0
x0
x1
xi
xi+1
xn
相交于P1点(即点(x1,y1),得到y1作为y(x1)的近似值, 如上图所示。过点(x0,y0),以f(x0,y0)为斜率的切线 方程为
y y0 f ( x0 , y0 )( x x0 )
当 x x1 时,得 y1 y0 f ( x0 , y0 )( x1 x0 )
yk 1 yk hf ( xk , yk )
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Euler 格式用数值积分方法得到。 将方程 y f ( x , y )的两端在区间xi , xi 1 上积分得，

xi 1
xi
ydx
xi 1
xi 1
xi
f ( x, y )dx
xi 1
-∞＜y＜∞}内连续，且关于 y 满足李普希兹
(Lipschitz)条件，即存在常数 L(它与x,y无关)使