最小费用最大流问题问题5
网络流：最小费用最大流(最简单的算法)
网络流：最小费用最大流（最简单的算法）最小费用流在OI 竞赛中应当算是比较偏门的内容，但是NOI2008 中employee 的突然出现确实让许多人包括zkw 自己措手不及。
可怜的zkw 当时想出了最小费用流模型，可是他从来没有实现过，所以不敢写，此题0 分。
zkw 现在对费用流的心得是：虽然理论上难，但是写一个能AC 题的费用流还算简单。
先贴一个我写的employee 程序：只有不到70 行，费用流比最大流还好写～程序代码:C++#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int maxint=~0U>>1;int n,m,pi[550]={0},cost=0;bool v[550]={0};struct etype{int t,c,u;etype *next,*pair;etype(){}etype(int t_,int c_,int u_,etype* next_):t(t_),c(c_),u(u_),next(next_){}void* operator new(unsigned,void* p){return p;}} *e[550],*eb[550];int aug(int no,int m){if(no==n)return cost+=pi[1]*m,m;v[no]=true;for(etype *&i=e[no];i;i=i->next)if(i->u && !v[i->t] && pi[i->t]+i->c==pi[no])if(int d=aug(i->t,m<i->u?m:i->u))return i->u-=d,i->pair->u+=d,d;return 0;}bool modlabel(){int d=maxint,c;for(int i=1;i<=n;++i)if(v[i])for(etype *j=eb[i];j;j=j->next)if(j->u && !v[j->t])if((c=j->c-pi[i]+pi[j->t])<d)d=c;if(d==maxint)return false;for(int i=1;i<=n;++i)if(v[i])pi[i]+=d,e[i]=eb[i];return true;}int main(){freopen("costflow.in","r",stdin);freopen("costflow.out","w",stdout);scanf("%d %d",&n,&m);etype *Pe=new etype[m+m];while(m--){int s,t,c,u;scanf("%d%d%d%d",&s,&t,&u,&c);e[s]=new(Pe++)etype(t, c,u,e[s]);e[t]=new(Pe++)etype(s,-c,0,e[t]);e[s]->pair=e[t];e[t]->pair=e[s];}memmove(eb,e,sizeof(e));do do memset(v,0,sizeof(v));while(aug(1,maxint));while(modlabel());printf("%d\n",cost);return 0;}程序代码:CB大牛翻译的PASCALvarn,m,i,l,s,t,c,cost,u:longint;v:array[0..600]of boolean;dis:array[0..600]of longint;e_n,e_t,e_c,e_u,e_p,e_x:array[0..250000]of longint;function min(a,b:longint):longint;beginif a>b then exit(b);exit(a);end;procedure addedge(s,t,c,u,k:longint);begininc(l);e_n[l]:=e_n[s];e_n[s]:=l;//下一条边e_t[l]:=t;//边的另一端e_c[l]:=c;//边的费用e_u[l]:=u;//边的容量e_p[l]:=l+k;//对应的边end;procedure build(s,t,c,u:longint);beginaddedge(s,t,c,u,1);addedge(t,s,-c,0,-1);end;function aug(no,m:longint):longint;vari,d:longint;beginif no=n then begininc(cost,m*dis[1]);exit(m);end;v[no]:=true;i:=e_x[no];while i<>0 do beginif (e_u[i]>0)and(not v[e_t[i]])and(dis[e_t[i]]+e_c[i]=dis[no]) then begind:=aug(e_t[i],min(m,e_u[i]));if d>0 then begindec(e_u[i],d);inc(e_u[e_p[i]],d);e_x[no]:=i;exit(d);end;end;i:=e_n[i];end;e_x[no]:=i;exit(0);end;function modlabel:boolean;vard,i,j:longint;begind:=maxlongint;for i:=1 to n do if v[i] then beginj:=e_n[i];while j<>0 do beginif (e_u[j]>0)and(not v[e_t[j]])and(e_c[j]-dis[i]+dis[e_t[j]]<d) then d:=e_c[j]-dis[i]+dis[e_t[j]];j:=e_n[j];end;end;if d=maxlongint then exit(true);for i:=1 to n do if v[i] then beginv[i]:=false;inc(dis[i],d);end;exit(false);end;beginassign(input,'coflow.in');reset(input);assign(output,'coflow.out');rewrite(output);readln(n,m);l:=n;for m:=m downto 1 do beginreadln(s,t,u,c);build(s,t,c,u);end;repeatfor i:=1 to n do e_x[i]:=e_n[i];while aug(1,maxlongint)>0 do fillchar(v,sizeof(v),0);until modlabel;writeln(cost);close(output);end.这里使用的是连续最短路算法。
实验三：使用matlab求解最小费用最大流算问题
北京联合大学实验报告项目名称: 运筹学专题实验报告学院: 自动化专业：物流工程班级： 1201B 学号：2012100358081 姓名：管水城成绩：2015 年 5 月 6 日实验三:使用matlab求解最小费用最大流算问题一、实验目的：(1）使学生在程序设计方面得到进一步的训练;，学习Matlab语言进行程序设计求解最大流最小费用问题。
二、实验用仪器设备、器材或软件环境计算机，Matlab R2006a三、算法步骤、计算框图、计算程序等1.最小费用最大流问题的概念。
在网络D(V，A）中，对应每条弧(vi，vj)IA，规定其容量限制为cij(cij\0)，单位流量通过弧(vi，vj）的费用为dij(dij\0)，求从发点到收点的最大流f，使得流量的总费用d（f)为最小,即mind（f）=E（vi，vj）IA2。
求解原理。
若f是流值为W的所有可行流中费用最小者，而P是关于f的所有可扩充链中费用最小的可扩充链,沿P以E调整f得到可行流fc,则fc是流值为（W+E)的可行流中的最小费用流.根据这个结论，如果已知f是流值为W的最小费用流,则关键是要求出关于f 的最小费用的可扩充链。
为此,需要在原网络D的基础上构造一个新的赋权有向图E（f),使其顶点与D的顶点相同,且将D中每条弧(vi，vj)均变成两个方向相反的弧（vi,vj)和(vj，vi)1新图E（f)中各弧的权值与f中弧的权值有密切关系,图E（f)中各弧的权值定义为：新图E(f)中不考虑原网络D中各个弧的容量cij。
为了使E（f）能比较清楚，一般将长度为]的弧从图E(f）中略去.由可扩充链费用的概念及图E(f)中权的定义可知，在网络D中寻求关于可行流f的最小费用可扩充链，等价于在图E（f）中寻求从发点到收点的最短路.因图E(f）中有负权,所以求E(f)中的最短路需用Floyd算法。
1.最小费用流算法的框图描述。
图一2.计算最小费用最大流MATLAB源代码，文件名为mp_mc.mfunction[Mm，mc，Mmr]=mp_mc（a，c）A=a; %各路径最大承载流量矩阵C=c; %各路径花费矩阵Mm=0; ％初始可行流设为零mc=0； %最小花费变量mcr=0;mrd=0；n=0;while mrd~=inf %一直叠代到以花费为权值找不到最短路径for i=1:（size(mcr’，1)—1)if a(mcr（i）,mcr(i+1）)==infta=A(mcr（i+1)，mcr（i）)—a(mcr(i+1）,mcr（i））； elseta=a（mcr(i）,mcr（i+1));endn=min（ta,n）；％将最短路径上的最小允许流量提取出来endfor i=1：(size（mcr’，1）-1）if a(mcr(i),mcr(i+1））==infa(mcr（i+1),mcr(i））=a（mcr（i+1）,mcr（i))+n；elsea(mcr（i），mcr(i+1）)=a(mcr(i），mcr(i+1)）—n；endendMm=Mm+n；％将每次叠代后增加的流量累加，叠代完成时就得到最大流量 for i=1：size（a，1）for j=1：size（a’，1）if i～=j&a（i，j）～=infif a(i，j)==A(i,j） %零流弧c（j，i）=inf;c(i,j）=C（i，j)；elseif a（i,j)==0 %饱合弧c（i,j）=inf;c(j，i）=C(j，i)；elseif a(i，j)~=0 %非饱合弧c（j，i）=C（j，i)；c（i,j）=C(i,j)；endendendend［mcr,mrd]=floyd_mr（c) %进行叠代，得到以花费为权值的最短路径矩阵(mcr）和数值（mrd）n=inf;end％下面是计算最小花费的数值for i=1:size(A,1)for j=1：siz e(A’，1)if A(i,j）==infA（i，j）=0;endif a（i，j）==infa(i,j)=0；endendendMmr=A—a； %将剩余空闲的流量减掉就得到了路径上的实际流量，行列交点处的非零数值就是两点间路径的实际流量for i=1：size(Mmr，1）for j=1:size(Mmr’，1)if Mmr(i，j）~=0mc=mc+Mmr(i，j）*C(i,j)；％最小花费为累加各条路径实际流量与其单位流量花费的乘积endendend利用福得算法计算最短路径MATLAB源代码,文件名为floyd_mr。
bp算法例题
bp算法例题
以下是BP算法的一些例题:
1. 最小生成树:
设网络有n个节点,有m条边,求网络中最小的生成树。
步骤:
- 设BP机初始状态为全0,初始权重为0
- 从根节点开始遍历网络,每次更新当前节点的最小权重向量,同时记录当前节点的前缀和
- 对于每个相邻节点,计算它的最小权重向量与当前节点的最小权重向量的商,得到当前节点的权重向量
- 根据权重向量更新生成树
- 重复步骤直到生成树为空
2. 最短路径问题:
设网络有n个节点,有m条边,求网络中从任意一个节点到另一个节点的最短路径。
步骤:
- 设BP机初始状态为全0,初始权重为0
- 从任何节点开始遍历网络,每次更新当前节点的最小权重向量,记录当前节点的前缀和
- 计算从当前节点到另一个节点的最短路径
- 根据最短路径更新权重向量,并返回最短路径
3. 最小费用最大流问题:
设网络有n个节点,有m条边,求网络中从任意一个节点去往另一个节点的最小费用最大流。
步骤:
- 设BP机初始状态为全0,初始权重为0
- 从任何节点开始遍历网络,每次更新当前节点的最小权重向量,记录当前节点的前缀和
- 计算从当前节点去往另一个节点的最小费用最大流
- 根据最小费用最大流更新权重向量,并返回最小费用最大流
这些例题只是BP算法的一些典型应用,实际上BP算法还可以用于解决其他类型的问题,例如网络拓扑优化、约束优化等。
运筹学最小费用最大流流问题
在实际的网络系统中，当涉及到有关流的问 题的时候，我们往往不仅仅考虑的是流量，还经 常要考虑费用的问题。比如一个铁路系统的运输 网络流，即要考虑网络流的货运量最大，又要考 虑总费用最小。最小费用最大流问题就是要解决 这一类问题。
最小费用最大流问题提法:
设一个网络G=（V，E，C），对于每一个弧(vi ,vj )∈E ,给 定容量cij外，还给出单位流量的费用dij 0 ，网络记为 G=（V，E，C，d）。网络系统的最小费用最大流问题，
bij bij
我们将 bij bij 叫做这条增广链的费用。
结论：如果可行流 f 在流量为w(f )的所有可行流中 的费用最小，并且 是关于f 的所有增广链中的费
用最小的增广链，那么沿增广链μ调整可行流f，得
到的新可行流f ’ ，也是流量为w(f ’)的所有可行流中 的最小费用流。依次类推，当 f ’ 是最大流时，就是 所要求的最小费用最大流。
对偶算法基本思路：
零流f ={0}是流量为0的最小费用流。一般地，寻求最小 费用流，总可以从零流f ={0}开始。下面的问题是：如果 已知f 是流量为w(f)的最小费用流，那么就要去寻找关于 f 的最小费用增广链，用最大流的方法将f(0)调整到f(1)， 使f(1)流量为w(f(0))+θ，且保证f(1)在w(f(0))+θ流量下的
(5, 2)
(4, 2)
v2 (10, 3) v3
v1
(7, 1)
解：（(110）, 4取) 初始可行流(2,为6)零流f
(cij, dij) (0)v=t{0},构造赋权
有 (vs
向vs图 L(f(0)), 用
,v2 ,v1(,8v,t)1,)如图
5-5 最小费用最大流问题-xfj
v2
v3
(10, 0) ①流量调整量 总流量v(f 总流量v(f(1))=5
v2
v3
=min{8-0,5-0,7ε1=min{8-0,5-0,7-0}=5 ②最小费用增广链的费用 ∑bij=1+2+1=4 ③新的可行流为f(1),总费 新的可行流为f =4× 用b1=4×5=20
vs →v2 →v1 →vt
2、最小费用流 对于一个费用容量网络，具有相同 对于一个费用容量网络， 流量 v(f) 的可行流中，总费用b(f)最小的 的可行流中，总费用b(f)最小的 可行流称为该费用容量网络关于流量 v(f) 的最小费用流，简称流量为 v(f) 的最小 的最小费用流，简称流量为 费用流。 费用流。
3、增广链的费用 当沿着一条关于可行流 f 进行调整，得到新的可行流 f 进行调整， 称 b( f ) − b( f ) 的增广 ，则 链（流量修正路线）µ，以修正量 流量修正路线） ，以修正量ε=1 增广链µ的费用。 为增广链µ的费用。
v2
v3
即是f 的最小费用增广链。 即是f(1)的最小费用增广链
第3次迭代
-4 4
v1
-2 6
பைடு நூலகம்
-1
(10, 2)
v1
(7, 7) (2, 0)
vs
-1
1
vt
2 (8, 8)
vs
(5, 5)
vt
(4, 3)
v2
3
v3
①零流弧保持原边，非饱和非 零流弧保持原边， 零流弧增添后向弧， 零流弧增添后向弧，饱和弧去 掉原边增添后向弧 ②用列表法求得最短路
增广费用网络图的 增广费用网络图的构造方法 将流量网络中的每一条弧（ 将流量网络中的每一条弧（vi,vj）都看 作一对方向相反的弧，并定义弧的权数如 作一对方向相反的弧， 下： vi (cij,fij) c vj
最小费用最大流问题例题讲解
最小费用最大流问题例题讲解
最小费用最大流问题（Minimum Cost Maximum Flow Problem）是一种在特定的多媒体网络中传送给定体积的流量，使总花费最小化的一种算法。
它能满足一些实际生活中的求解，比如电力系统的供求、工厂的物料的分配和两地之间的物品的运输问题，以及更加复杂的产品开发和行业分工中的分布问题等等。
最小费用最大流问题的目标是在满足给定的最大流量要求的前提下，找出具有最小成本的流量方案。
这种问题的解决步骤如下：
1. 在图形中定义网络：用图形表示整个网络，每条边的容量是边上的流量上限。
2. 尝试找出最大流量：在不超过容量限制的前提下，找出输出流量最大的允许方案，也就是最小费用最大流量。
3. 计算最小成本：对所有边的成本进行总结，计算出最小成本。
下面以一个最小费用最大流问题的例题来说明：
假设有一个三角形的网络，它由一个源点S、一个汇点T、一个中间点O以及三条边组成，边的名字分别是SO、OT、OS，它们的容量分别是10、15和5，费用分别是5、3和2。
要求我们在此条件下求解最小费用最大流问题。
解：首先，我们可以求出最大流量：在边SO的容量为10时，我们可以将费用最小的边OT累加，得到最大流量值为10+3=13。
接下来，计算最小费用：根据上述算法，所有边的费用应该都大于等于0，才能累加而得到最大流量。
也就是说，最小费用为
5+3+2=10。
最后，最小费用最大流问题的解为：最大流量13，最小成本10。
流水行船问题公式大全16个
流水行船问题公式大全16个流水行船问题的本质是一种旅行商问题，即从一个源点出发，经过一系列指定的点，然后回到源点，路程最短、所需要耗费的距离最少。
流水行船问题主要用于求解运输问题，比如石油、采矿物质、农副产品或其他物资的运输。
为了流水行船问题能实现最优解，目前已有许多计算机程序可以解决这一问题。
其中最常用的就是经典的16个流水行船问题公式，这些公式通过应用优化算法解决了流水行船问题的最优解。
这16个公式的结构如下：1.小费用流量问题（MCFP）：它是流水行船问题最常用的公式之一，它解决的问题是有一系列费用限制，要求求出价格最低的流量规划方案。
2.大流量问题（MFP）：它是流水行船问题的第二常用公式，它解决的问题是有一系列限制条件，要求求出最大的流量规划方案。
3.小总费用问题（TCCP）：它是流水行船问题的第三种公式，它解决的问题是有一系列条件，要求求出最小的总费用方案。
4.小费用环问题（MCIRP）：它是流水行船问题的第四种公式，它解决的问题是有一系列费用限制，要求求出最低费用的环路规划方案。
5.小费用最大流量问题（MCMFP）：它是流水行船问题的第五种公式，它解决的问题是有一系列费用限制，要求求出费用最低的最大流量规划方案。
6.少旅行商问题（MTP）：它是流水行船问题的第六种公式，它解决的问题是有一系列旅行约束条件，要求求出最短的旅行规划方案。
7.小费用最短旅行商问题（MCTSP）：它是流水行船问题的第七种公式，它解决的问题是有一系列费用限制，要求求出费用最低的最短旅行规划方案。
8.最小路径问题（SPP）：它是流水行船问题的第八种公式，它解决的问题是求出最短路径规划方案，有一系列费用限制。
9.含模糊参数的最小费用流量问题（FMCFP）：它是流水行船问题的第九种公式，它解决的问题是有一系列模糊参数的费用限制，要求求出最低的流量规划方案。
10.小费用流量约束条件下的最小路径问题（MCSPP）：它是流水行船问题的第十种公式，它解决的问题是有一系列流量约束条件下的费用限制，要求求出最短路径规划方案。
最小费用最大流问题.
vs
(
5,2)
(
(
2,6)
8,1)
V2 10,3)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱV3
4,2)
第一轮：f 0为初始可行流，作相应的费用有向图网络L(f 0)，如 图（a）。 在L(f 0)上用DijksTra标号法求出由vs到vt的最短路（最小费用链） 0 m i n 8，5， 5 7 μ0=(vs,v2,v1, （ vt)v ，并对 μ 按 进行流量的调整， 0 ， v ） ，（ v ， v ） ，（ v ， v ） s 2 0 2 1 0 1 t 0 由于， (1) (1) 所以有 fs2 f12 f1t(1) 5，其余不变，得新的可行流f1的流量 有向图（b）。
vs
vt
2.下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价 表。将此问题转化为最小费用最大流问题，画出网 络图并求数值解。 2 3 产量 1 产地 销地
A B 销量 20 30 4 24 22 5 5 20 6 8 7
最小总费用为240
(20,8) A (0,8) s (30,7) (0,7) (5,8) (24,8)
4
vt
vs
1
6
2
2
v1
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0)
v2
V(f
1)
(a) = 5
3
v3 vs
(8，5)
w(f0)
（5，5）
v2
(10,0)
v3
(b) f 1
v1 vs
(8，5)
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0) 4
v1
vs
最小费用最大流问题
近似算法和启发式算法
要点一
近似算法
近似算法是一种用于求解NP-hard问题的有效方法，它可 以在多项式时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流 问题的近似算法包括Ford-Fulkerson算法、EdmondsKarp算法等。
要点二
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的算法，它可以在合理 的时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流问题的启 发式算法包括基于增广路径的算法、基于贪婪的算法等。
研究如何将最小费用最大流问题 应用于计算机科学领域，例如计 算机网络、云计算等。
物理学
研究如何借鉴物理学中的理论和 思想，解决最小费用最大流问题， 例如利用流体动力学中的思想来 研究网络中的流。
谢谢观看
Hale Waihona Puke 06未来研究方向和展望算法优化和改进
动态规划算法
研究如何优化动态规划算法，减少时间复杂度 和空间复杂度，提高求解效率。
近似算法
研究近似算法，在保证求解质量的前提下，提 高求解速度。
并行计算和分布式计算
研究如何利用并行计算和分布式计算技术，加速最小费用最大流问题的求解。
新的问题定义和模型
考虑更复杂的情况
和技术。
有界容量和无界容量
总结词
有界容量和无界容量是指在网络中节点之间 的容量是否有限制。
详细描述
在最小费用最大流问题中，如果节点之间的 容量有限制，即为有界容量问题；如果节点 之间的容量没有限制，即为无界容量问题。 有界容量问题可以通过增广路径算法、预流 推进算法等求解，而无界容量问题则需要采
用其他算法和技术进行求解。
算法概述
最小费用最大流问题是一种网络流问 题，旨在在给定有向图中寻找一条路 径，使得从源节点到汇点之间的总流 量最大，同时满足每个节点的流入量 等于流出量，以及每条边的容量限制。
最小费用最大流
最小费用最大流1.最大流问题1.1案例假设现在因为种种原因，我们只能通过地面线路来运输口罩物资，并且每一条线路是有流量限制的。
假设不考虑运输速度，并且源点S （杭州）的口罩物资产量是足够多的，我们需要求解汇点T（武汉）在不计速度的情况下能收到多少物资？对于这个流网络，我们可以轻松的获得汇点T的最大流量。
因为在这个图中，只有两条路径，分别是S → A → B → T和S → C → D → T两条路径来输送流量，前者最大流量是12 ，后者是4，所以最大流量总和是16。
1.2建模图1是连接产品产地Vs和销售地Vt的交通网，每一条弧代表两点间的运输线，弧旁的数字表示这条运输线的最大通过能力。
现在要求制定一个运输方案，使得从Vs运输到Vt的产品数量最多。
图1模型():(,):(,)max .,,,,s ,0,s.t 0,,V V st f c Vf f t f Vμυμυμυυμυυυμμυλμυμυλμλμμμυ∈∈≤∀∈⎧=⎪-=-=⎨⎪≠⎩≥∀∈∑∑其中λ表示总共运输量f μυ表示弧(),μυ中的实际流量(),c μυ表示弧(),μυ中的容量限制S,t 表示物质运输的起点和终点最大流问题的推广现实问题中的网络，不但边有容量，而且点也有容量。
例如运 输网络中表示中转站的点v, 点容量 c(v) 可表示该中转站能容纳的货物的数列。
对点有容量的网络 N ，流函数若满足对一点 v,流入v 的流量之和等于流出v 的流量之和，并且小于等于c(v),2.最小费用最大流问题上面我们介绍了一个网络上最短路以及最大流的算法，但是还没有考虑到网络上流的费用问题，在许多实际问题中，费用的因素很重要。
例如，在运输问题中，人们总是希望在完成运输任务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。
这就是下面要介绍的最小费用流问题。
在运输网络N = (s,t,V, A,U)中，设(),c μυ是定义在A上的非负函数，它表示通过弧(),μυ单位流的费用。
第5-6 最小费用最大流问题与中国邮递员问题
本章小结2 基本方法
求图的支撑树（破圈法、避圈法） 求图的最小撑树（破圈法、避圈法） 最短路问题（Dijkstra方法、 Warshall-Floyd方法） 网络最大流问题（ Ford-Fulkerson标号法） 最小费用最大流问题 中国邮递员问题（奇偶点图上作业法）
练习—求解最小费用最大流问题
4
4 4 4 4 4
v6
4 4
v1 v2
5
2
v8
3
4 4 3
v7
3
v3
9
v4
v5
5 5
6
v9
4
4
4 4
v6
w23+w34+w67+w78=21
9
v3
9
v4
v5
中国邮递员问题—算例
v1
v2
5 5 6 6 9 2
v8
5
4 4 3
v7
3
v9
4
4
4
w29+w49+w67+w78=17
2 2 5
v6
4
4
v1 v2
最小费用最大流问题—问题
问题：给定网络D=（V，A，C），每 条弧包含两个参数容量cij和单位流量费 用bij。最小费用最大流就是要求一个最 大流f，使流的总输送费用最小。
b f
vi ,v j A
bij f ij
在一个网络D 中,当沿可行流f 的一 条增广链μ,以调整量θ=1改进f，得到 新的可行流f’,有v(f’)=v(f)+1,而总费用 b(f’ )比b(f )增加了: b(f’ )-b(f ) =∑bij(f’ij-fij)+∑bij(f’ij-fij) μ+ μ=∑bij-∑bij μ + μ将∑bij-∑bij叫做这条增广链μ的费用
最小费用最大流问题
i):f(j,i))=0; ); @sum(edge(i,j)|i#eq#@index(s):f(i,j)) =vf; @sum(edge(j,i)|i#eq#@index(t):f(j,i)) =vf; @for(edge(i,j):@bnd(0,f(i,j),u(i,j))) ; end
min
( i , j )E
cij fij ;
s.t.
jV ( i , j )E
fij
jV ( j ,i )E
v f , i s , f ji v f , i t , 0, i s, t.
0 fij uij ,(i, j ) E.
LINGO 程序求解 model: sets: points/s,v1,v2,v3,v4,t/; edge(points,points) /s,v1 s,v2 v1,v2 v1,v3 v2,v4 v3,v2 v3,t v4,v3 v4,t/:c,u,f; endsets data: c=2 8 5 2 3 1 6 4 7; u=8 7 5 9 9 2 5 6 10; vf=14; enddata min=@sum(edge(i,j):c(i,j)*f(i,j)); @for(points(i)|i#ne#@index(s) #and# i#ne#@index(t): @sum(edge(i,j):f(i,j))-@sum(edge(j,
最小费用最大流问题
例 本例是最大流问题的延伸，由于输油管道的长短不 一，或地质等原因，使每条管道上运输费用也不相 同，因此，除考虑输油管道的最大流外，还需要考 虑输油管道输送最大流的最小费用，下图所示是带 有运输费的网络，其中第 1 个数字是网络的容量， 第 2 个数字是网络的单位运费.
运筹学-5-5最小费用最大流问题
否则，转下一步。
第四步---将最短路还原成原网 络图中的最小费用增广链μ，在μ上 对可行流X(k-1)进行调整，得到新的 可行流图，若其流量等于fmax,迭代结 束。否则转入第一步，进入下一次 迭代过程。
4、举例
增广费用网络图
(容量费用图(bij,cij))
μ去调整X得到的新的可行流 ~x就是 流量为 f ( )的~x 最小费用流。
（2）实现思路
基于第一种求解途径，根据上述 定理，只要找到最小费用增广链，在 该链上调整流量，得到增加流量后的 最小费用流。循环往复直至求出最小 费用最大流。
对偶法原理和步骤
f max
求最大流
确保流 量最大
将0流作为初始可行流
零流弧上，保持原弧不变，将单位费用 作为权数，即wij= cij:
(bij , cij , 0)
Vi
Vj
原网络
(bij , cij )
Vi
Vj
增广费用网络
非饱和弧上 (0 xij bij ) ，原有弧以单位 费用作权数，后加弧（虚线弧）以单位
费用的负数作权数（p167更正）：
(bij ,cij , xij )
绘制扩展 费用网络
Ford算法找从vs到 vt的最短增广链
No
流量等于 最大流?
Yes 得最小费用最大流
调整流量 得费用最小的可行流
确保费用最小
实施中的关键
为什么?
构造增广费用网络图（即扩展费用网络图）， 借助最短路算法寻找最小费用增广链。
增广链流量调整：正向弧增加流量 j，反向弧减少流量 j。
2、最小费用流
对一费用容量网络，具有相同流 量 f 的可行流中，总费用最小的可行 流称为该费用容量网络关于流量 f 的 最小费用流，简称流量为 f 的最小费 用流。
6.-5最小费用最大流问题
v1
(7,7) (2,0)
vs
(8,4)
(5,0)
vt
(4,4)
v2
(10,4)
v3
(未标费用)
最大流图fmax=11
(10,4)
v1
第1次迭代
(7,1)
(2,6) (10,4,0)
v1
(7,1,5) (2,6,0)
vs (5,2)
(8,1)
vt
(4,2)
vs (5,2,5)
(8,1,5)
min{15 4, 7 0,11 0} 7
④得到新的可行流，刷新网络图 v2
(3,3,0) (7,8, 7) (4,9, 4)
f 17 f max 20
(15, 2,11)
v4
(11,3, 7)
vs
(9, 6, 6)
(bij , cij , 0)
Vi
原网络
Vj
(bij , cij )
Vi
增广费用网络
Vj
非饱和弧上 (0 xij bij ) ，原有弧以单位 费用作权数，后加弧（虚线弧）以单位 费用的负数作权数：
(bij ,cij , xij ) (bij xij , cij )
( xij ,cij )
第五节 最小费用最大流问题
一、基本概念
1、什么是最小费用最大流问题？
对每一条弧都给出单位流量费用的容量网络 D=（V，A，B）（称为费用容量网络）中， 求取最大流X，使输送流量的总费用
C（X）=∑cijxij为最小的一类优化问题。
其中，bij表示弧（vi，vj）上的容量，xij表 示弧（vi，vj）上的流量，cij表示弧（vi，vj） 上通过单位流量所花费的费用。
最小费用最大流问题
P
P
B ij
P
B ij
P
B ij
P
B ij
称为可改进路P的“费 用”。
4
假设： ① F是流量为V(F)的所有可行流中费用最小者 ② P是关于F的所有可改进路中费用最小的可改进路 那么沿着P去调整F，得到的可行流F′，就是容量为V(F′) 的所有可行流中最小费用者。 当F′是最大流时，也就是所要求的最小费用最大流了。
(2,6)
Vs (8,1) V2
2
(5,2) (10,3)
(4,2)
(a)
V3
1 数学模型
求一个最大流F，使得流的总运输费用最少
B(F )
V i ,V j A
V1 (10,4)
B ij F ij
Vt (4,2) (a)
(7,1)
(2,6)
Vs (8,1)
(5,2) V2
3
(10,3)
(g) F(3)，V(F(3))=10
Vs -1
-2
-3
(h) W(F(3))
V2
12
3
V3
V1
7 0
Vt 4
W ij
3
Vs
B ij B ij
若 Fij C ij 若 Fij C ij 若 Fij 0 若 Fij 0
W
ji
4 8
V2 V1 4 -4 4 -1 6 V3 Vt
(i) F(3)，V(F(3))=11
Vs -1
-2 V2
2
-3 3
2 V3
(j) W(F(4)) 没有最短路径了
13
最小费用流问题
05
最小费用流问题的扩展问题
多源和多汇问题
多个源点
当网络中有多个源点时，每个源点都有自己的供应量，要求流经整个网络并从指定的汇点流出。最小 费用流问题需要找到一种分配方式，使得从各个源点出发的流量的总和等于各自的供应量，同时总费 用最小。
多个汇点
与多源点类似，当网络中有多个汇点时，每个汇点都有自己的需求量，要求流经整个网络并流入各个 汇点。最小费用流问题需要找到一种分配方式，使得从源点出发的流量能够满足各个汇点的需求，同 时总费用最小。
问题背景和重要性
• 最小费用流问题在实际生活中有着广泛的应用，如物流网 络中的最优路径选择、通信网络中的数据流优化、电力网 络中的电力分配等。解决最小费用流问题可以为企业和组 织节省大量的成本和资源，提高运营效率。
问题的限制和假设
限制
最小费用流问题通常需要考虑图中可能存在的瓶颈和约束条件，如边的容量限 制、流量方向限制等。
动态变化
实际网络中流量的变化可能导致 最小费用流问题需要不断更新求 解，需要设计能够适应动态变化 的算法。
多目标优化
在实际应用中，最小费用流问题 常常需要考虑多个目标，如费用、 时间、可靠性等，需要发展多目 标优化的方法。
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THANKS
最小费用流问
• 最小费用流问题概述 • 最小费用流问题的数学模型 • 最小费用流问题的算法 • 最小费用流问题的应用场景 • 最小费用流问题的扩展问题 • 最小费用流问题的挑战和未来研
究方向
目录
01
最小费用流问题概述
问题定义
• 最小费用流问题是在给定一个有向图或无向图中，寻找一条或 多条路径，使得从源点到汇点的总流量最大，且每条边的流量 不超过该边的容量，同时要求总费用最小。
最大流EK与Dinic算法最小费用最大流问题简述
最⼤流EK与Dinic算法最⼩费⽤最⼤流问题简述
最⼤流问题是给⼀个有向⽹络，每条边都有⼀个容量，问从起点到终点最多能输出多少流。
这是⼀个模型，在处理某些问题合适建模，就能利⽤这些现成的算法，使得问题得到解决。
EK算法采⽤BFS找增⼴路，不断⽤流到这个点的最⼤流和现存容量的较⼩值进⾏更新，就这样每次找到⼀条更新整个图，然后添加反向弧，反向弧的容量与正向的和是等于整个容量，这个反向弧并不存在，只是为算法提供了修改的途径，有反悔的机会，添加反向边，更新残余量，直到没有路径可以到达。
Dinic算法,在残量⽹络上操作（残量⽹络是包含反向弧的⽹络），BFS建层次图，DFS找路径，找到阻塞流就算成功，不⼀定是最⼤流，然后更新整个⽹络，重复整个过程，算法效率优于EK算法。
最⼩费⽤最⼤流SPFA算法，利⽤费⽤建⽴⼀个⽹络，然后找费⽤和最少的⼀条路径（不考虑流量），然后在这条路径上找最⼩的容量边作为整条路的容量，计算价钱，然后当这条边的容量⽤了部分或全部之后添加反向弧（参数仍是费⽤，容量⽤完取消正向弧），继续重复上⼀个过程。
运筹学第六章6.5最小费用最大流问题
预处理步骤
初始化
为每个节点和边设置相应的容量和费 用。
残量网络构建
寻找增广路径
在残量网络中寻找增广路径，即从源 点到汇点存在一条路径，该路径上的 所有边都未满载且具有正的残量。
根据边的容量和费用，构建残量网络。
05
算法的复杂度和优化
时间复杂度分析
算法时间复杂度
最小费用最大流问题通常使用Ford-Fulkerson算法或其变种来解决，时间复杂度为O(V^3 * E)，其中V是 顶点数，E是边数。
优化策略
为了提高算法效率，可以采用预处理、动态规划、记忆化搜索等策略，减少不必要的计算和重复计算 。
空间复杂度分析
最小费用最大流问题可以应用于多种 实际场景，如物流运输、能源分配、 通信网络等。
背景和重要性
最小费用最大流问题作为网络流问题 的一个重要分支，在计算机科学、运 筹学和工程领域具有广泛的应用价值。
解决最小费用最大流问题有助于优化 资源配置、降低成本和提高效率，对 于实际问题的解决具有重要的意义。
02
此外，随着计算科学和数据科学的快速发展，如 何利用新的技术和方法来求解最小费用最大流问 题也是值得关注的方向。
例如，如何设计更高效的算法来求解大规模的最 小费用最大流问题？如何处理具有特殊性质的最 小费用最大流问题？如何将最小费用最大流问题 的思想和方法应用到其他领域？
因此，未来对于最小费用最大流问题的研究仍具 有广阔的空间和挑战性。
案例一：简单网络流问题
问题描述
给定一个有向图G(V,E)，其中V是顶点的集合， E是边的集合。每条边(u,v)有一个非负的容量 c(u,v)和一个非负的费用f(u,v)。求从源点s到 汇点t的最大流，使得流的总费用最小。