17-09-1级复变函数与积分变换(A卷)

复变函数与积分变换期末考试题

哈尔滨工程大学本科生考试试卷（ 2010-2011 年第一学期）2011-01-04得分评卷人选择题（每小题2分，共10分）一、1、00Im Im limz z z z z z →-=- （）.Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．0 Ｄ．不存在2、若0(1)n n n a z ∞=-∑在3z =发散，则它在（）.A . 1z =-收敛Ｂ．2z =收敛 C . 2z i =发散 D . 均不正确3、已知函数212()1cos f z z z=--，则0z =，z =∞分别是()f z 的（）.Ａ．二阶极点、孤立奇点Ｂ．二阶极点、非孤立奇点Ｃ．可去奇点、孤立奇点Ｄ．可去奇点、非孤立奇点4、映射3z iw z i-=+在02z i =处的旋转角为（）. Ａ．/2π- Ｂ．0 C ./2π D . π5、下列命题或论断中，正确的个数是（）.I ：Ln z Ln z =Ⅱ：设()(,)(,)f z u x y iv x y =+解析，则u -是v 的共轭调和函数III ：()(,)(,)f z u x y iv x y =+的导数()f z '存在的充要条件是,u v 的偏导数分别存在Ⅳ：()tan(1/)f z z =在任意圆环域0z R <<不能展开为洛朗级数Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3得分评卷人填空题（每小题2分，共10分）二、6、设z i e i =，则Re z = .7、若函数32(,)v x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则常数=a .8、设函数cos ze z 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，则它的收敛半径为 .9、设信号()(1)f t t δ=-，则通过Fourier 变换得到的频谱函数()F ω= .10、设1()(1)F s s s =-，则通过Laplace 逆变换得到()f t = . 得分评卷人计算题Ⅰ（每小题5分，共25分）三、11、函数33()23f z x i y =+在何处可导？何处解析？12、设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数，且22()(4)u v x y x xy y -=-++，求()f z .13、计算积分()n Cz z dz +⎰，其中:1C z =为负向，n 为整数.14、计算积分(21)(2)C zdzz z +-⎰，其中:3C z =为正向.15、利用留数定理计算定积分201cos d πθθ+⎰.得分评卷人计算题Ⅱ（每小题6分，共18分）四、16、求函数23()32z f z z z -=-+在下列要求下的级数(泰勒或者洛朗级数)展开：(1) 圆1z <内；(2) 环12z <<内；(3) 环11z <-<∞内.17、设2321sin (),:32C e f z d C z iz ξξξξπξξ=-=-⎰正向，试求：(1) ()f z 在复平面上除去3z =的点处的函数表达式； (2) ()f i '及()f i π.18、按照要求逐步完成下列有关保形映射的问题.(1) Z 平面阴影部分是角形区域/6arg /6z ππ-<<，如下图所示。

复变函数与积分变换A(2017冬)A卷

北京信息科技大学
2017-2018学年第一学期
《复变函数与积分变换A 》课程期末考试试卷（A ）
一、解答题（本题满分60分，共含10道小题，每小题6分）
1、对于映射z
w 1=，求出y =2x 的像. 2、将()6
3i -化为三角表示式和指数表示式. 3、计算 sin 3i
4、求i e 43-及其幅角主值.
5、dz z z sin e z ⎰=-1
253 6、函数22)(iy x z f +=在何处可导,何处解析.
7、计算积分()()⎰=++3
||d 21-1z z z z z 8、计算积分()
dz z z cos z ⎰
=432-． 9、求()t u e t f t j 0)(ω=的傅里叶变换.
10、求t sin t )t (f 2=的拉普拉斯变换.
三、解答题（本题满分40分，共含4道小题，每小题10分）
1、判别函数)2(cos 1)(--=z z z z f 的有限孤立奇点，指明类型，并求其在有限孤立奇
点处的留数.
2、将3
1)(-=
z z f 在圆环域 (1）30<<z (2）+∞<-<12z 内展开成洛朗级数.
3、求函数⎩⎨⎧τ<=其它,0,E )(t t f 傅氏积分表达式.
4、利用拉氏变换求解下列微分方程t e t y t y -=-)('2)('',1)0(',0)0(-==y y .。

复变函数与积分变换A考试大纲

6、熟练掌握解析函数的求导公式 f ( z ) ux iv x , 会把一个解析函数表示为 z 的函数; 7等式或不等式； 8、理解并掌握支点、支割线定义；熟练掌握把（幂）函数 w
n
p( z ), p( z ) [ z ], 分解为单值解
析分支的方法（见课堂讲义或钟玉泉版复函教材相关部分，较高要求）； 9、理解并掌握指数函数、幂函数的几何意义（与第六章保形映射关系）第三章复变函数的积分考试范围与内容：第 1 节柯西定理复变函数积分的定义、计算方法、基本性质（P41-42）；单连通区域上柯西积分定理（条件、结论）（了解定理产生的背景、古萨证明用到的技术和思想方法：闭集套定理、有限覆盖定理、逼近和化归的思想方法等；）；柯西积分定理推广情形（定理 3.1’）；积分的路径无关性、原函数存在定理与不定积分；广义的牛顿-莱布尼兹公式；复多连通区域的柯西积分定理-复合闭路定理（条件、结论与等价形式）、n=1 情形，闭路变形原理第 2 节柯西公式柯西积分公式（积分形式、使用条件）；高阶导数公式（积分形式、使用条件，结论 -解析函数有任意阶导数）；柯西不等式；刘维尔定理；解析函数的平均值定理与最大模原理； Morera 定理（柯西定理的逆定理）（条件、结论）重点难点及要求 1、复积分的计算方法：

C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy f ( z(t ))z (t )dt , C : z z(t )
c c

t , 熟练掌握复积分与实积分的关系、一般计算方法（转换为实的曲线积分，或曲线参数方
程计算）； 2、理解并掌握单连通区域的柯西积分定理（条件、结论）、推广情形及应用； 3、理解解析函数的不定积分概念，会利用广义牛顿-莱布尼兹公式计算与路径无关的积分； 4、理解并掌握复合闭路定理（条件、结论）、闭路变形原理；能熟练使用复合闭路定理计算带有两个或以上有限个奇点的闭路积分（注意和第五章留数定理的关系）； 5、熟练掌握和应用柯西积分公式与柯西高阶导数公式，理解柯西积分公式的几何意义（边界函数值与内部函数值的关系-特例：解析函数平均值定理）； 6、掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理，并能用它们做一些简单证明题.(较高要求)； 7、理解和掌握函数解析的充分条件：Morera 定理； 8、综合第 1-5 章，总结计算各种积分的计算方法并举例（请同学们自己完成）第四章级数考试范围与内容：第 1 节级数和序列的基本性质复数数列概念及敛散性定义、与实部，虚部实数数列敛散性的关系；复数项级数概念及敛散性（部分和数列、与实部和虚部相应实级数敛散性关系）；复级数的柯西收敛准则；级数收敛的必要条件；绝对收敛定义及性质；收敛、条件收敛和绝对收敛的关系；数项级数的柯西乘积；复变函数列（级数）的敛散性、一致收敛的复函数列（级数）及其和函数的性质（连续性、（逐项）可积性）；内闭一致收敛于逐项可微性；复函数项级数一致收敛的维尔斯特拉斯判别法（优级数判别法）；幂级数定义及收敛域；Abel 定理；幂级数收敛域结构（收敛圆）；收敛半径的计算（达朗贝尔-柯西-阿达玛公式）；幂级数和函数的解析性（定理 3.4）；收敛、绝对收敛、内闭一致收敛，一致收敛的关系（见

成人高考数学复变函数与积分变换考核试卷

C. L{cos(at)} = s/(s²+a²)
D. L{sin(at)} = a/(s²+a²)
（）
6.对于傅里叶变换，以下表述正确的是（）
A.傅里叶变换是一种积分变换
B.傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号
C.傅里叶变换具有线性性质
D. A、B、C都正确
（）
7.以下关于复变函数积分变换的表述，正确的是（）
B. f(z)在z=0处的解析延拓与f(z)在z=0处的解析性质有关
C. f(z)在z=0处的解析延拓的收敛域与f(z)在z=0处的解析性质有关
D. A、B、C都正确
（）
16.以下关于积分变换的表述，正确的是（）
A.积分变换是一种线性变换
B.积分变换可以解决微分方程初值问题
C.积分变换可以简化计算过程
8.拉普拉斯变换可以解决微分方程的初值问题。（）
9.在复变函数中，任何连续函数的积分都是路径无关的。（）
10. Z变换是复变函数积分变换的一种，常用于控制理论。（）
五、主观题（本题共2小题，每题10分，共20分）
1. (10分)请说明复变函数解析的概念，并给出两个解析函数的例子。
2. (10分)请解释傅里叶级数的概念，并说明其在信号处理中的应用。
A.函数在整个复平面上解析
B.函数在一个单连通区域内解析
C.函数在一个多连通区域内解析，但积分路径不包围任何奇点
D.函数在一个多连通区域内解析，积分路径包围了奇点
（）
13.以下哪些是复变函数的应用领域？（）
A.量子力学
B.电路分析
C.流体力学
D.数论
（）
14.关于积分变换的性质，以下哪些是正确的？（）

2019-2020-1复变函数与积分变换A卷答案

河南科技大学
2019 至 2020 学年复变函数与积分变换第一学期试卷（A 卷）
标准答案及评分标准
一、判断题（2 分×4=8 分）
1.×
2.×
3.×
二、选择题（2 分×5=10 分）
1.B
2.D
3.C
三、填空题（2 分×5=10 分）
1. 1 + 1 i 22
2.∞ 3.一阶极点（或简单极点）
4.√ 4.B
对(1)两边求 y 的积分，可得 v= 6x dy x = 6xy x (3)
再对(3)两边同时求 x 的偏导，对比(2)可得， x =0, x C
从而 v= 6xy C ， f z = 3y2 3x2 i 6xy C
由于 f (0) 2i ，故 C=-2，
f z = 3y2 3x2 i 6xy 2 3z2 2i
4. 3t 2
5.C
5. f (t)e jtdt
四、计算题（8 分×4=32 分）
1.（8 分）解：方程即为 z3 1 i=
2
cos
3 4
isin
3 4
根据 3 次方根公式可得：
1
z (1 i)3
2
3
1 3
cos
4
2k 3
3 isin 4
2k 3
, k 0,1,2
1
1 s
4
因此我们有
y(t) =L1 Y (s) 1 1 et 1 e4t
4 3 12
所以方程有 3 个根，对应于 k=0,1,2 分别为
z
6
2
cos
4
i
sin
4
,
6
2
cos
11 12

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划） 1、2121z z z z +=+ （）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （）3、()()i i i 125432+=++ （）三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（）（A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

复变函数与积分变换五套试题及答案

Re s[ f (z),2] lim z 1 1 z2 2z 2 2
（2 分）（2 分）（2 分）
7
Re s[ f (z), ] 1
（1 分）
6．解：原式（3
分）
2iRe

s
z
ze z 2
1
,1

Re s
z
ze z 2
1
,1
zi i（ cos z）zi i cos i = ich1
五、1．解：
f
(z)
（1分）
1 (z i)

z
1 i
i

（1分） 1 (z i)
1 i 31
1 z
i i

（1分） 1 z
i
1 i
n0

z
i
i n
n1

（3分）2i
e 2

e 1 2

2i ch1
（1 分）
7．解：
原式=（2 分）
1 dz =（1 分）
2i dz
| z | 1
2
z2
1
iz
|z|1 z 2 4z 1
2z
=（1 分）
2i
dz
|z|1 (z 2 3)(z 2 3)
数，且 f(0)=0。
三、（10 分）应用留数的相关定理计算
dz
|z|2 z 6 (z 1)(z 3)
四、计算积分（5 分×2）
dz
1． |z|2 z(z 1)
2． cos z c (z i)3
C：绕点 i 一周正向任意简单闭曲线。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划） 1、2121z z z z +=+ （）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （）3、()()i i i 125432+=++ （）三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（）（A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

云南师范大学《复变函数与积分变换》期末试卷-A卷及答案

云南师范大学2007 --2008 学年下学期统一考试__复变函数与积分变换__试卷学院物电班级__06 __专业电子类学号__ __姓名__ ___考试方式：闭卷考试时间：120 分钟试卷编号：A 卷题号一二三四总分评卷人得分评卷人一．单项选择题（本大题共5题，每题2分，共10分）请在每小题的括号中填上正确的答案。

选项中只有一个答案是正确的，多选或不选均不得分1.设y e y x V ax sin ),(=是调和函数，则常数=a （）A.0B.1C.2D.32.设i iz z z f 48)(3++=，则=-'),1(i f （）A.-2iB.2iC.-2D.23.设C 为正向圆周0)(a >=-a a z ，则积分⎰-C a z dz 22=（） A.ai2π- B. a i π- C. a i 2π D. ai π 4.设C 为正向圆周|z-1|=1，则⎰=-C dz z z 53)1(（） A.0B.πiC.2πiD.6πi 5.f(z)=211z +在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（） A.23 B.1C.2D.3 得分评卷人二、填空题（本大题共10个题，每题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确的答案。

填错、不填均无分。

1、FT 解决的问题主要是： _____ ______.2、傅立叶级数中系数n a 、n b 和n c 之间的关系为__________________________.3、)(t f 的傅立叶积分公式为：____ ________.4、)(t f 的傅立叶变换为__ _____________.5、幂级数50n n nz +∞=∑的收敛半径为________________.6、函数21()1f z z =+的幂级数展开式为______________________________. 7、积分==⎰∞∞-ωπωd e t f t i 21)( . 8、.=)(at δ ____ ___________。

复变函数与积分变换课程试卷及答案

同济大学课程考核试卷（A 卷） 2006—2007学年第一学期命题教师签名：朱经浩审核教师签名：方小春课号：：课名：复变函数考试考查：考查此卷选为：期中考试( )、期终考试(∨ )、重考( )试卷年级专业学号姓名任课教师（注意：本试卷共 7 大题， 2 大张，满分100分．考试时间为 100 分钟。

要求写出解题过程，否则不予计分）一. 填空题（每小题5分）1 如果 i z =2，则=z arg （）或（）2 Ln )(i - 的主值是（）3 设,)(iv u z f += 在复平面解析，并满足1≡u ，则=x v （） 4=⎰=dz e z z1||sin （）5 设n 为正整数，=⎰=dz ze z n z1||（）6 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,cos Re 2z z e s z （）7 0=z 是4cos )()(z zz e z f z -=的（）级极点。

8 11+-=z z w 把（）映为单位圆周{}1=w 。

9 设2()1f x x x =++，则(())L f x =（）10设1()1F s s =+，则1(())L F s -=（）。

二. （10分）设函数iv u z f +=)(在区域{}ππ<<-z z D arg :解析，并设函数)()(ze f z F =在区域{}Im z ππ-<<内恒等于一个常数。

证明：在{}ππ<<-z z D arg :内，)(z f 恒等于某个常数。

三. （6分）计算()22314z dz z z =-⎰四. （8分）用围道积分方法计算2cos 610xdx x x +∞-∞-+⎰ 。

五．（6分）设ze zz z f 131)(+=，求()∞),(Re z f s 。

六．（10分）求把角域3arg 3ππ<<-z 映射为单位圆{}1<w 的一个共形映照。

七．．（10分）利用Laplace 变换求常微分方程t e y dt dydty d 42234=+-满足1)0(=y ，0)0('=y 的特解。

《复变函数与积分变换》试题A卷答案

《复变函数与积分变换》试题答案及评分标准 A 卷一、填空题.（每题3分，共21分）1、21-，23-，i 2321-+2、0,3、2，2<z4、()4122++iw 5、4322++）（s 6、任何 7、()12913+e 二、选择题（每题3分，共18分）1、B2、A3、B4、C5、D6、B三、计算题。

解：()()[]()()()i i i y i x 35353531-+--++=()()()()2292533351315i i y i y i x x ----++-+………2分 =341()()[)())(()]i x y y x 13353315+--+-++ =341()[()]i x y y x 1835435--+-+ i +=1…………………………………………………4分 ()()⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+∴11134183534435118353411435341y x x y y x x y y x ………………10分 2、解：()()()2323lxy x i y nx my z f +++=()y nx my y x u 23.+=∴ 23).(lxy x y x v +=…………………2分 )(z f 为解析函数，满足R C -条件y v x u ∂∂=∂∂ ， u v y x ∂∂=-∂∂………………………………….4分nxy x u 2=∂∂ 223nx my y u +=∂∂ 323ly x x v +=∂∂ lxy yv 2=∂∂……………………………………………6分⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒⎩⎨⎧--===∴3313333222222l n m n l m n l ly x nx my lxy nxy 时，当3,3,1-=-==∴l n m 解析)(x f …………………………10分3、解 z z f sin )(=在整个复平面上处处解析 ∴曲线积分dz z c⎰sin 与路径无关…………………………4分⎰⎰⎰∠==∴c xdx zdz zdz 20sin sin sin ……………………………7分 20cos cos 2cos 01cos 2x =-=-+=-……………………10分4、解：令ξ1-=z 原幂级数改写为1n n n ξ∞=∑。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周：解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数z z e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z zz e z z z e i z e iz e i z zz z πππ2)1(2)(2021=-+'===无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

（3）．⎰=++3342215d )2()1(z z z z z解：设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3<z 内，由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----（5分） ]1)1([Re 22z z f s i π= ----（8分）234221521))1(2()11()1(1)1(z z zz zz f ++=0,z )12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------（10分）（4）函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 解：∞±±±==-+-=，的奇点为 ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π（1）的三级零点，）为（032103=±±±==z kk z πsin ,,,,,（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±== （3）的一级极点，为)(3z f z =（4）的三级极点；，为)(4,3,2z f z±-=（5）的非孤立奇点。

复变函数与积分变换期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每题2分，共30分) 1．以下复数中，位于第三象限的复数是〔〕A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．以下等式中，不成立的等式是〔〕4.34arctan3A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=-2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3．以下命题中，正确的选项是．．．．．．〔〕 A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+以下命题正确的选项是〔〕 A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D. 1ω=5．以下函数中，在整个复平面上解析的函数是〔〕.z A z e +2sin .1z B z + .tan z C z e + .sin zD z e +6．在复平面上，以下命题中，正确的选项是．．．．．．〔〕A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在以下复数中，使得ze i =成立的是〔〕.ln 223iA z i ππ=++.ln 423iB z i ππ=++.ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8．已知31z i =+，则以下正确的选项是〔〕12.iA z e π=34.i B z eπ=712.i C z eπ=3.iD z e π=9．积分||342z dz z =-⎰的值为〔〕A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于〔〕 A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的选项是〔〕A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n i n n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的〔〕A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为〔〕A. 0.1B C.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于〔〕A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π15．已知()[()]F f t ω=F ，则以下命题正确的选项是〔〕 A. 2[(2)]()j f t e F ωω-=⋅F B. 21()[(2)]j e f t F ωω-⋅=+F C. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jt e f t F ω⋅=-F二、填空题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题〔本大题共4小题，每题7分，共28分〕 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，〔2〕求).(z f '24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f = 23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为洛朗级数.25. 计算2||3(1)()(4)z dzz z i z =++-⎰.四、综合题〔共4小题，每题8分，共32分〕 25. 计算201.54cos d πθθ-⎰26. 求分式线性映射()f z ω=，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0f i =，arg (0)1f =.27. 求函数2,10(),010,t f t t t --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪⎩其它的傅氏变换。

复变函数及积分变换试题及答案

第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。

A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。

2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（）。

A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（）。

A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（）。

A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（）。

A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（）。

A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =（）L （），（()Re 0s >）。

A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks 1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i += [1] ；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z ！收敛于 [2] ；3. 设0Z 为复函数）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<；5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ；三、判断题（每小题2分，共10分）1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。

复变函数与积分变换试题(A卷)(3)

2008～2009学年第一学期《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A 卷)院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期: 2008年11月24日考试时间: 晚上7:00~9:30一、填空题 (每空2分，共20分)1．复数ii2332++-的主辐角为．2．函数)3(3)(2323y x y i y x x z f -+-=在何处可导？，何处解析？．3．)43(Ln i +-的值为． 4．级数∑∞+=1n nni 是否收敛？；是否绝对收敛？． 5．函数1e)(-=z z z f 在0=z 点展开成泰勒(Taylor )级数的收敛半径为．6．区域}0Im :{<<-=z z D π在映射z w e =下的像为． 7．映射2332)(z z z f +=在i z =处的旋转角为． 8．函数t t t t f cos )2()1()(2--=δ的Fourier 变换为．解答内容不得超过装订线二、计算题 (每题5分，共20分)1．⎰=++3||342215d )1()1(z z z z z2．⎰=3||d 1cosz z zz3．)1(20>+⎰a a πcos d θθ4．x x xd cos 0⎰∞++52三、(14分)已知y x y a x y x u ++=22),(，求常数a以及二元函数),(y x v ，使得v i u z f +=)(为解析函数且满足条件i i f +-=1)(．解答内容不得超过装订线四、(14分)将函数211)(z z f +=分别在0=z 点和i z -=点展开为洛朗(Laurent )级数．五、(6分)求区域}0Im ,0Re :{>>=z z z D 在映射iz i z w -+=22下的像．六、(10分)求把区域}23arg 0,1||:{π<<<=z z z D 映射到上半平面的共形映射．解答内容不得超过装订线七、(10分)利用Laplace 变换求解微分方程：0)(4)(2)(=-'-''t x t x t x ，1)0(,0)0(='=x x ．八、( 6 分) 已知幂级数∑+∞=0n nn z a 的系数满足：110==a a ，)2(,21≥+=--n a a a n n n ，该级数在251||+-<z 内收敛到函数)(z f ，证明： )(d )1()()(1216.0||2z f z f i=--+⎰=ξξξξξπξ，)6.0||(<z ．。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]

一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（Λ2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin zzz -的（一级）极点； 5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

17-09-1级复变函数与积分变换(A卷)

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