数形结合解决二次函数综合题
二次函数中的数形结合
二次函数中的数形结合一、选择题1．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0 没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A． 0 B．1C． 2 D．34．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c ＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B． 3个C． 2个D． 1个5．已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知a、h、k为三数，且二次函数y＝a(x﹣h)2＋k在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则h可能为 ( )A．1 B．3 C．5 D．77．已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（﹣3，7）B．（﹣1，7）C．（﹣4，10）D．（0，10）8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．B．或C．2或D．2或﹣或9．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b10．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X﹣1 0 1 3y﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个二.填空题11．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．13．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣1 0 1 2 3 …y…10 5 2 1 2 …则当y＜5时，x的取值范围是．14．如果函数y=（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是．15．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．16．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= _______．三.解答题17．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．18．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？19．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．20．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，14）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1 与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．21．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．22．抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q 在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？。
数形结合的典型例题初中
数形结合的典型例题初中示例文章篇一：哎呀，一提到数形结合，这可真是初中数学里超级有趣又超级重要的一部分呢！就说那次，老师在黑板上出了一道题：已知一个二次函数图像经过点（1，0）、（3，0）和（0，3），求这个二次函数的解析式。
我一开始看着题目直发懵，心里想着：“这可咋整啊？”同桌小明倒是很快有了思路，他悄悄跟我说：“你看，这几个点不就是关键线索嘛！”我还是一脸茫然。
老师看到大家都有点不知所措，就笑着说：“同学们，咱们来画画图呀，这不就是数形结合嘛！”于是，我们在纸上画出了坐标系，把那几个点标了上去。
这一标，我好像突然开窍了！这不就像是在地图上找宝藏的标记一样嘛，这些点就是我们寻找函数解析式这个“宝藏”的线索。
我赶紧和旁边的小红讨论起来：“你说，这几个点连起来像不像一个三角形？”小红白了我一眼说：“别瞎想啦，咱们得正经解题。
”经过一番琢磨，我发现通过这几个点的位置关系，可以设出二次函数的一般式y = ax² + bx + c ，然后把点的坐标代进去，就能算出a、b、c 的值啦！这就好像是搭积木，每个点就是一块积木，我们得把它们巧妙地组合起来，才能搭出完整的“函数大厦”。
还有一次，有道题是比较两个数的大小，一个是根号5，一个是2。
这可把我难住了，这两个数看起来没啥直接的联系呀！这时候，老师又提醒我们：“画画图呀！”我恍然大悟，在数轴上把根号5 的大概位置标了出来，一下子就看出来它比2 大啦！数形结合就像是给我们开了一扇神奇的窗户，让原本抽象的数学变得清晰可见。
它能让我们在数学的世界里畅行无阻，就像有了导航一样，再也不怕迷路啦！总之，数形结合在初中数学里可太重要啦，它能帮我们轻松解决好多难题，让数学变得有趣又简单，难道不是吗？示例文章篇二：哎呀，说到数形结合，这在咱们初中数学里可太重要啦！就比如说，有这么一道题，让咱们求一个函数图象与坐标轴围成的面积。
光看数字和公式，是不是觉得脑袋都大啦？可要是把数和形结合起来，那就完全不一样喽！老师在黑板上画出那个函数图象的时候，就好像给我们打开了一扇神奇的大门。
二次函数综合题专项讲解（经典）
第16题QP N Oyx初中二次函数综合题专项讲解引言：二次函数综合题题目难度较大，也称压轴题。
解压轴题有三个步骤：认真审题；理解题意、探究解题思路；正确解答。
审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。
二次函数一般会出现在选择题（或填空题）、解答题的倒数几个题目中。
选择题和填空题时易时难。
解答题较难，一般有2—3小题。
第1小题通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度而确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。
第2—3小题通常是以动点为切入口，结合三角形、四边形、圆、平移、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关的关系，系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
一、重庆一中13—14学年度上期半期考试二次函数习题1212．．如图，直线y kx c =+与抛物线2y ax bx c =++的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线1x =，且OA OD =直线y kx c =+与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）则下列命题中正确命题的个数是（下列命题中正确命题的个数是（ ））. ①0abc >; ; ②②30a b +>; ; ③③10k -<<; ④k a b >+; ; ⑤⑤0ac k +>A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 16．如右图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知20ax bx c ++>时x 的取值范围是的取值范围是_______________________________________________________________________________________．．1818．已知抛物线．已知抛物线2122y x x =-+的图象如左图所示，点N 为抛物线的顶点，直线ON 上有两个动点P 和Q ,且满足22PQ =,在直线x=1DCBAoyx第12题xy OEB A第25题 xyOEBA备用图备用图轴的对称图象的解析式为轴的对称图象的解析式为 ________关于关于对称图象的解析式为对称图象的解析式为 __________________，关于顶点旋转______ 对称轴为 _ ____ _ ____ x 时，时，Yy x O 22x21(轴的交点：抛物线与的图像与轴的两个交点的横坐标、轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的①有两个交点抛物线与24b acx a-③没有交点抛物线与）直线与抛物线的交点：一次函数：一次函数与二次函数的交点， 与与212212)()(y y x x -+- 元的苹果，物价部门规定每箱元的价格调查，平均每天销售90箱，价箱）之间的函数关系式．（3分）分）开口方向0112Oxy 对称轴对称轴在对称轴在与;与轴交于正半轴；与25.已知二次函数()22a +b=0+b=0；；的横坐标分别为的横坐标分别为-1,3-1,3-1,3，，0；②20a b +=； ③⑤只有 D.5x）三点． ，）三点．x，）过点xA 72x = B(0,4) A(6,0) E F xyO 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，5-4-3-2-1-1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 AEBC¢1-O2l1lx y【陈老师*专用】二次函数综合题21 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙作⊙A A 的切线L.（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点（及点（00，9），求此抛物线的解析式；，求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙作⊙A A 的切线DE DE，，E 为切点，求此切线长；为切点，求此切线长；（3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△上的一个动点，当△BFD BFD 与EAD EAD△相似时，求出△相似时，求出BF 的长的长 ．。
中考数学专题复习二次函数综合(四)
中考数学专题复习二次函数综合（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分 一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:C y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点B 的坐标为()3,0，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B 、C 两点．（1）求k 的值和点C 的坐标；（2）求抛物线1C 的表达式及顶点D 的坐标；（3）已知点E 是点D 关于原点的对称点，若抛物线22:2(0)C y ax a =-≠与线段AE 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax a =-≠与x 轴交于点,A B （A 在B 的左侧）．（1）求点,A B 的坐标及抛物线的对称轴；（2）已知点(2,2),(22,5)P Q a a +，若抛物线与线段PQ 有公共点，请结合函数图象，求a 的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,4)，抛物线252y x x a =-+-的顶点为C ．（1）若抛物线经过点B 时，求顶点C 的坐标；（2）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若满足不等式2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，直接写出实数a 的值．4．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于点,A B ，且4AB =．抛物线与y 轴交于点C ，将点C 向上移动1个单位得到点D ．（1）求抛物线对称轴；（2）求点D 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A．(1)求点A的坐标（用含a的式子表示）；(2)求抛物线与x轴的交点坐标；(3)已知点P(a，0)，Q(0，a﹣2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．y x与抛6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线22y x ax a的顶点为A，直线32=-+物线交于点,B C(点B在点C的左侧)．（1）求点A坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段BC及抛物线在,B C两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为W．①当0a=时，结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；①如果区域W内有2个整点，请求出a的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221(0)y mx mx m =-->与x 轴的交点为A ，B ，与y 轴交于C ．（1）求抛物线的对称轴和点C 坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．拋物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域为图形W （不含边界）．①当1m =时，求图形W 内的整点个数；①若图形W 内有2个整数点，求m 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数223y mx mx =++的图象与x 轴交于点()30A -,，与y 轴交于点B ，将其图象在点A ，B 之间的部分（含A ，B 两点）记为F ．（1）求点B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数22y x x a =++的图象与F 只有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()()231210y mx m x m m =--+-≠．(1)当m =3时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知点A (1，2)．试说明抛物线总经过点A ；(3)已知点B (0，2)，将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，若抛物线与线段BC 只有一个公共点，求m 的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点(0,2)．（1）求c 的值；（2）当2a =时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点(2,0),(1,0)A B -，若抛物线22y ax a x c =++与线段AB 有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+=+y x bx c 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，且OB=2OD ．（1）当2b =时，①写出抛物线的对称轴；①求抛物线的表达式；（2）存在垂直于x 轴的直线分别与直线l ：22b y x +=+和抛物线交于点P ，Q ，且点P ，Q 均在x 轴下方，结合函数图象，求b 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23(0)y ax bx a a =++≠与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）．直线3y x =-+与抛物线的对称轴交于点(,1)D m ．（1）求抛物线的对称轴；（2）直接写出点C 的坐标；（3）点M 与点A 关于抛物线的对称轴对称，过点M 作x 轴的垂线l 与直线AC 交于点N ，若4MN ≥，结合函数图象，求a 的取值范围．13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x mx =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 左侧），（1）若抛物线的对称轴是直线x =1，求出点A 和点B 的坐标，并画出此时函数的图象； （2）当已知点P （m ，2），Q (－m ，2m －1)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x bx b =-+++的对称轴与x 轴交于点A ，将点A 向左平移b 个单位，再向上平移23b -个单位，得到点B ．（1）求点B 的坐标（用含b 的式子表示）；（2）当抛物线经过点()0,2，且0b >时，求抛物线的表达式；（3）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，直接写出b 的取值范围．参考答案：1．（1）1k =-，(0,3)C ；（2）243y x x =-+，()2,1-；（3）342a ≤< 【解析】【分析】（1）将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后得到3y kx =+，并且经过点()3,0B ，代入求得k 值，且C 点为抛物线1C 与y 轴交点，则C 点坐标为()0,c ，3y kx =+也经过C 点，代入可求出C 点坐标；（2）已知B 、C 两点的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线1C 的解析式，再根据顶点式则可求出顶点坐标；（3）将A 、E 两点的坐标分别代入抛物线2C 的解析式即可求出相应的a 值，通过观察图象，上下移动图象即可求出抛物线2C 与线段AE 有一个公共点时a 的范围．【详解】（1）解：将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后得到3y kx =+，①直线3y kx =+经过点()3,0B ，①330k +=，则1k =-．C 点为抛物线1C 与y 轴交点，则C 点坐标为()0,c ，且3y x =-+经过点(0,)C c ，代入得：3c =，则C 点坐标为()0,3．（2）解：抛物线2y x bx c =++经过点()3,0B 和点()0,3C ，①23y x bx =++，①9330b ++=， 4b =-，①抛物线1C 的函数表达式为243y x x =-+，①2(2)1y x =--，①顶点D 的坐标为()2,1-．（3）解：①点E 是点D 关于原点的对称点，①点E 的坐标为()2,1-．当22y ax =-经过点()2,1E -时，34a =，则2324y x =-， 当22y ax =-经过点1,0A 时，2a =，则222y x =-，结合下面图象可知a 的取值范围是342a ≤<．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的解析式和图像等知识点，熟练掌握函数的性质、图象及公式是解题的关键．2．（1）(0,0),(4,0)A B ，2x =；（2）32a ≥，或102a -≤<，或32a ≤- 【解析】【分析】（1）与x 轴的交点纵坐标为0，然后计算0y =时的x 值即可求出坐标;根据抛物线的对称轴为2b x a =-求解即可； （2）由抛物线的顶点坐标(2,4)a -和抛物线上两点(1,5),(5,5)M a N a -．分a ＞0，a ＜0两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）24(4)y ax ax ax x =-=-，当y=0时，(4)=0-ax x①120,4x x ==①抛物线与x 轴交于点(0,0),(4,0)A B ．抛物线24y ax ax=-对称轴为直线：422axa-=-=．（2）()22244(2)4y ax ax a x x a x a=-=-=--，抛物线的顶点坐标为：(2,4)a-．令5y a=，得245=0--ax ax a，(5)(1)0a x x-+=，解得1x=-，或5x=，①当5y a=时，抛物线上两点(1,5),(5,5)M a N a-．①当0a>时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方，且(22,5)Q a a+位于点P的右侧，如图1，当点N位于点Q左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时225+≥a，解得32a≥．①当0a<时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点(22,5)Q a a+位于点P的左侧，（i）如图2，当顶点位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时42-≤a，解得12a≥-．（ii）如图3，当顶点位于点P上方，点M位于点Q右侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时221+≤-a，解得32a≤-．综上，a的取值范围是32a≥，或12a-≤<，或32a≤-．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意利用不等式解决问题，属于二次函数综合题，题目较难．3．（1）533,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）a 的取值范围是06a <或a=494；（3）8a =． 【解析】【分析】（1）将B 点坐标代入抛物线即可求出a 的值，从而求出抛物线的解析式，再根据顶点坐标公式即可求出顶点坐标；（2）讲A 点和B 点的坐标分别代入抛物线解析式即可求出相应的a 值，通过观察图象，上下移动图象即可知道抛物线与线段AB 有交点时a 的范围；（3）抛物线252y x x a =-+-的对称轴为5=2x ，抛物线开口向上，当52x >时，y 越来越大，则2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，可知，当=3x 时，252=0x x a -+-，代入即可求出a 的值．【详解】解：（1）依据题意，将得点B 的坐标(6,4)代入抛物线得：436302a =-+-，解得0a =．此时，252y x x =--．所以顶点C 的坐标为533,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）当抛物线过(0,4)A 时，6a =，此时，254y x x =-+．当抛物线过(6,4)B 时，0a =，此时，252y x x =--．当抛物线顶点在线段AB 上时，a=494 .结合下面图象可知，a 的取值范围是06a <或a=494．（3）抛物线252y x x a =-+-的对称轴为5=2x ，抛物线开口向上，当52x >时，y 越来越大，则2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，可知，当=3x 时，不等式有最大值且最大值为0，则 252=0x x a -+-，代入得23532=0a -⨯+-，解得8a =．则实数a 的值为8．【点睛】 本题考查了二次函数的解析式、图象及二次函数与一元二次不等式的相关知识点，熟练掌握公式以及灵活观察图象是解题的关键．4．（1）对称轴1x =-；（2）31D y a =-+；（3）当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点．【解析】【分析】（1）直接根据二次函数的对称轴2b x a =-计算即可； （2）根据4AB =，对称轴1x =-可得(3,0)A -，(1,0)B ，把(1,0)代入22y ax ax c =++得20a a c ++=，则有3c a =-，可得C 点坐标为(0,3)a -，再根据平移，可得D 纵坐标； （3）分两种情况：当0a >和当0a <对抛物线的图像进行讨论即可．【详解】（1）抛物线22y ax ax c =++的对称轴为：2122b a x a a=-=-=-（2）4AB =，对称轴1x =-可得(3,0)A -，(1,0)B把(1,0)代入22y axax c =++得：20a a c ++=① 3c a =-①C 点坐标为(0,3)a -，(0,31)D a ∴-+，31D y a =-+（3）如图示，①当0a >时 将点(4,4)P -代入抛物线223y ax ax a =+-得：41683a a a =--，45a = ∴结合函数图象，可得当45a ≥时，抛物线与线段PD 只有一个交点； ①如下图示，当0a <时，抛物线的顶点为(1,4)a --，结合函数图象，可得当44a -=时，抛物线与线段PD 只有一个交点，①1a =- ，综上所述，当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点． 【点睛】 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的对称轴，平移和二次函数图像的性质，熟悉相关性质是解题得关键．5．(1)A 的坐标为(0，3a )(2)抛物线与x 轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)(3)﹣1≤a ＜0或1≤a ＜3【解析】【分析】（1）计算x =0时，y =3a ，即可得到点A 的坐标；（2）令y ＝0得ax 2﹣4ax +3a ＝0，解方程即可；（3）分别令抛物线过点Q（0，a﹣2），抛物线过点P（a，0）讨论抛物线与线段PQ恰有一个公共点的情况，得到a的取值范围．(1)解：①抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A，当x=0时，y=3a，①A的坐标为（0，3a）；(2)解：当y＝0时．即ax2﹣4ax+3a＝0，①a（x-1）（x-3）=0，解得：x1＝1，x2＝3，①抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；(3)解：当抛物线过点Q（0，a﹣2）时，a＝﹣1，①P（﹣1，0），此时，抛物线与线段PQ有一个公共点．当抛物线过点P（a，0）时，a＝1或a＝3（不合题意舍去），此时，Q（0，﹣1），抛物线与线段PQ有一个公共点；综上所述，当﹣1≤a＜0或1≤a＜3时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．【点睛】此题考查了抛物线的性质，求抛物线与坐标轴的交点坐标，解一元二次方程，图象交点问题，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键．6．（1）A（a，0）；（2）①4；①21a-<<-【解析】【分析】（1）根据抛物线顶点坐标求法求解即可；（2）①画出图像，根据图像以及整点的概念求解即可；①由①推出a＜0，分别求出有2个整点和3个整点时a的取值，再得出取值范围.【详解】解：（1）①抛物线的解析式为：()2222y x ax a x a=-+=-，①可得顶点坐标为：A（a，0）；（2）①①a=0，①抛物线表达式为：2y x，令23x x=+，解得：x1=1132-，x2=1132+，①113212--<<-，113232+<<，①区域W内的整点有（0，1），（0，2），（1，2），（1，3）共4个整点；①由①可知当a=0时有4个整点，当a＞0时，对称轴在y轴右侧，此时有更多整点，①a＜0，①抛物线的解析式为：()2222y x ax a x a =-+=-，①抛物线的顶点在x 轴，开口向上，当抛物线在直线y=x+3左侧且两者相切时，没有整点，当抛物线向右平移时，第一个整点为（-1，1），代入抛物线，()211a =--， 解得：a=-2或0（舍），第二个整点为（0，2），代入抛物线，()220a =-， 解得：a=2（舍）或2-，第三个整点为（0，1），代入抛物线，()210a =-， 解得：a=1（舍）或-1，综上：a 的取值范围是：21a -<<-.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．7．（1）抛物线的对称轴为1x =，(0,1)C -；（2）①1个；①12m <≤．【解析】【分析】（1）先根据二次函数的对称轴2b x a =-可得其对称轴，再令0x =，求出y 的值，从而可得出点C 坐标；（2）①先得出抛物线的解析式，再画出图象，结合图象和整点的定义即可得；①先将二次函数的解析式化为顶点式，求出其顶点坐标，再结合图象，找出两个临界位置，分别求出m 的值，由此即可得出答案．【详解】（1）抛物线221y mx mx =--的对称轴为212m x m-=-= 令0x =得：1y =-则点C 坐标为(0,1)C -；（2）①当1m =时2221(1)2y x x x =--=--，画出其图象如下所示：结合图象和整点的定义可得：图形W内的整点只有1个，即点(1,1)-；①将抛物线221y mx mx =--化为顶点式2(1)1y m x m =---则抛物线的顶点坐标为(1,1)m --，且图象经过定点(0,1)C -结合图象可知，若图形W 内的整点有2个，则这两个整点只能是(1,1),(1,2)--因此有两个临界点：抛物线顶点为()1,2-和抛物线顶点为()1,3-当抛物线顶点为()1,2-时，12m --=-，解得1m = 当抛物线顶点为()1,3-时，13m --=-，解得2m =则m 的取值范围为12m <≤．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2）①，掌握图象法，正确找出两个临界位置是解题关键．8．（1）点B 的坐标为()0,3． 223y x x =--+． （2）33a -≤<或5a =．【解析】【分析】（1）令x=0可求出y 的值，从而得到点B 的坐标；把点A 坐标代入223y mx mx =++求出m 的值即可得到结论；（2）画出函数图象，再利用图象确定a 的取值范围即可.【详解】（1）①223y mx mx =++的图象与y 轴交于点B ，①点B 的坐标为()0,3．①223y mx mx =++的图象与x 轴交于点()30A -,， ①将()30A -,代入223y mx mx =++可得9630m m -+=． ①1m =-．①该函数的表达式为223y x x =--+．（2）①将二次函数223y mx mx =++的图象在点A ，B 之间的部分（含A ，B 两点）记为F ，①F 的端点为A ，B ，并经过抛物线223y mx mx =++的顶点C （其中C 点坐标为()1,4-）． ①可画F 如图1所示．①二次函数22y x x a=++的图象的对称轴为1x=-，且与F只有一个公共点，①可分别把A，B，C的坐标代入解析式22y x x a=++中．①可得三个a值分别为3-，3，5．画示意图如图2所示．①结合函数图象可知：二次函数22y x x a=++的图象与F只有一个公共点时，a的取值范围是33a-≤<或5a=．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，其中（2）是本题的难点，主要通过作图的方式，通过数形结合的方法即可解决问题．9．(1)(1，2)；(2)详见解析；(3)m =3或0<m <32或-3<m <0． 【解析】【分析】(1)把m =3代入解析式，化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；(2)把x =1代入解析式，y 总等于2，与m 无关，即可判断抛物线总经过点A (1，2)；(3)根据题意可以得到点C 的坐标，分顶点在线段BC 上、抛物线过点B (0，2)、抛物线过点C (3，2)时三种情况讨论，画出抛物线的图象，然后根据图象和题意，即可得到a 的取值范围．【详解】(1)把m =3代入()23121y mx m x m =--+-中，得：223653(1)2y x x x =-+=-+，①抛物线的顶点坐标是(1，2)； (2)当x =1时，3(1)2133212y m m m m m m =--+-=-++-=，①点A (1，2)，①抛物线总经过点A ；(3)①点B (0，2)，由平移得C (3，2)．① 当顶点在线段BC 上，抛物线与线段BC 只有一个公共点．由(1)知，抛物线的顶点A (1，2)在线段BC 上，此时，m =3；① 当抛物线过点B (0，2)时，将点B (0，2)代入抛物线表达式，得：212m -=，①m =32>0， 此时抛物线开口向上(如图1)，①当0<m<32时，抛物线与线段BC只有一个公共点；①当抛物线过点C(3，2)时，将点C(3，2)代入抛物线表达式，得：()991212m m m--+-=，①30m=-<，此时抛物线开口向下(如图2)，①当30m-<<时，抛物线与线段BC只有一个公共点，综上，m的取值范围是m=3或0<m<32或-3<m<0．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、坐标与图形变换-平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．10．（1）2；（2）顶点坐标为(1,0)-；（3）212a<+【分析】（1）把(0,2)代入解析式可得答案；（2）把2a=代入解析式，利用顶点坐标公式可得答案；（3）分情况讨论，由（2）知：抛物线与线段只有一个交点，再计算当抛物线过(2,0)-时a的值，从而根据图像可得结论．【详解】解：（1）抛物线22y ax a x c=++与y轴交于点(0,2)，2c∴=．（2）当2a=时，抛物线为2242y x x=++．∴顶点坐标为(1,0)-．（3）当0a>时，①当2a=时，如图1，抛物线与线段AB只有一个公共点．①当12a=+时，如图2，抛物线与线段AB有两个公共点．结合函数图象可得212a<+．当0a<时，抛物线与线段AB只有一个或没有公共点．综上所述，a的取值范围是212a<+．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，根据交点的情况判断系数的取值范围，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．11．（1）①1x=-；①228=+-y x x；（2）2b<-或23b>．【解析】（1）①由二次函数的对称轴方程可得出答案；①根据题意求出B 点坐标为（2，0），代入抛物线解析式2+=+y x bx c 可得出答案；（2）求出E （-b 22+，0），点D 的坐标为（-2b ，0）．①当b ＞0时，得出点A 的坐标为（-2b ，0），点B 的坐标为（b ，0），则-2b ＜-b 22+，解不等式即可；①当b ＜0时，点A 的坐标为（0，0），点B 的坐标为（-b ，0），则0＜-b 22+，解出b ＜-2． 【详解】解：（1）当2b =时，2y x bx c =++化为22y x x c =++．①21221b x a =-=-=-⨯． ①①抛物线的对称轴为直线1x =-，①点D 的坐标为（-1，0），OD=1．①OB=2OD ，① OB=2．①点A ，点B 关于直线1x =-对称，①点B 在点D 的右侧．① 点B 的坐标为（2，0）．①抛物线22y x x c =++与x 轴交于点B （2，0），① 440c ++=．解得8c =-．①抛物线的表达式为228=+-y x x ．（2）设直线22b y x +=+与x 轴交点为点E ， 当y=0时，202+=+b x ① 2=-2+b x ① E （22b +-，0）． 抛物线的对称轴为2b x =-，①点D的坐标为（2b-，0）．①当0b>时，2bOD=．①OB=2OD，① OB=b．① 点A的坐标为（2b-，0），点B的坐标为（b，0）．当2b-<22b+-时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：22by x+=+和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，解得23b>．①当0b<时，0b->．①2bOD=-．①OB=2OD，① OB=-b．①抛物线2+=+y x bx c与x轴交于点A，B，且A在B的左侧，① 点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（-b，0）．当0<22b+-时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：22by x+=+和抛物线交于点P，Q ，且点P ，Q 均在x 轴下方，解得b<-2．综上，b 的取值范围是2b <-或23b >． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．12．（1）抛物线的对称轴为直线2x =；（2）点C 的坐标为()3,0；（3）a 的取值范围是1a ≥或1a ≤-．【解析】【分析】（1）将点(,1)D m 代入3y x =-+，求得m ，即为对称轴；（2）由（1）知对称轴2m =，即22b a-=，得4b a =-，代入23(0)y ax bx a a =++≠，令0y =，可解得C 点坐标； （3）表示出点A ，点M 的坐标，根据//MN y 轴，得EN EG OA OC=，表示出EN ，进而得MN 长度表示，用4MN ≥，解出a 的取值范围即可．【详解】 （1）直线3y x =-+与抛物线的对称轴交于点(),1D m ，2m ∴=．∴抛物线的对称轴为直线2x =．（2）由（1）知对称轴2m =，即22b a-=，得4b a =- ①243(0)y ax ax a a =-+≠，令0y =，则2430ax ax a -+=，即(3)(1)0a x x --=解得123,1x x ==由于点B 在点C 左侧①点C 的坐标为()3,0．（3）抛物线23y ax bx a =++与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为()0,3a ．点M 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点M 的坐标为()4,3a ．①当0a >时，如图1．//MN y 轴，EN EG OA OC ∴=，即133EN a =． EN a ∴=．①34MN a a a =+=若4MN ≥，即44a ≥，得1a ≥．①当0a <时，如图2．同理可得|3|||4MN a a a =+=-若4MN ≥，即44a -≥，得1a ≤-．综上所述，a 的取值范围是1a ≥或1a ≤-．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握对称轴的表示与计算，函数图象与x 轴交点的计算，及平行于y 轴的线段长度的表示，及一元一次不等式的计算是解题的关键． 13．（1）点A 坐标为(－1，0)，点B 坐标为(3，0)，图像见解析；（2）m ≤－2 或m ≥1【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线x =1可得2(1)m --＝1，求出m=2，得2y x 2x 3=-++，求出与x 轴的交点坐标，根据点A 在点B 左侧即可求得点A ，点B 的坐标；（2）根据点Q 在点D 上方或与点D 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点得22123m m -≥-+，结合图象求解即可．【详解】（1）①抛物线的对称轴为：x ＝2b a-＝2(1)m --＝1 ①m ＝2①抛物线为：2y x 2x 3=-++将y ＝0代入，得2023x x =-++解得：1x ＝－1，2x ＝3，①点A 在点B 左侧①点A 坐标为(－1，0)，点B 坐标为(3，0)，（2）m ≤－2 或m ≥1将x m =代入23y x mx =-++，得3y =①抛物线过定点C （m ，3）①点P （m ，2）①点P 在点C 下方，如图，将x m=-代入23y x mx=-++，得223y m=-+，则2(23)D m m--+，①点Q在点D上方或与点D重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点①22123m m-≥-+整理得220m m+-≥设22y m m=+-，画图象如图：当y=0时，22=0m m+-，解得，1=2m-，2=1m，①抛物线22y m m=+-与x轴的交点坐标为（-2，0），（1，0）①当2m≤-或m1≥时，220m m+-≥所以，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，m的取值范围是2m≤-或m1≥．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．14．（1）(0，3-b 2)；（2）222y x x =-++；（3）-1≤b≤1【解析】【分析】（1）先求出点A 坐标，再根据平移规律即可求出点B 坐标；（2）把（0，2）代入2221y x bx b =-+++，结合b>0即可求出b ，问题得解；（3）把B 坐标代入抛物线解析式，求出b ，分b ＞1，b=1，-1＜b ＜1，b=-1，b ＜-1，画出函数图象，即可求解．【详解】解：(1)由题意得抛物线2221y x bx b =-+++的对称轴为22b x b =-=-， ①点A 坐标为（b ，0），①点B 坐标为（0，3-b 2）(2)把（0，2）代入2221y x bx b =-+++中，解得b=±1.①b>0，①b=1.①抛物线的表达式：222y x x =-++；(3)当抛物线过点B 时，抛物线AB 有一个公共点，①221=3b b +-①=1b ±，如图：当b ＞1时，抛物线与线段AB 无交点；当b=1时，抛物线与线段AB 有一个交点；当-1＜b＜1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b=-1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＜-1时，抛物线与线段AB无交点．①若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则-1≤b≤1．【点睛】本题考查了含参数的函数解析式，难度较大，解第（3）步关键是根据题意确定关键点取值，再结合图象分类讨论．答案第24页，共24页。
中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题及答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．2．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。
（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标；（Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若11,0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值。
部编数学九年级上册专题22.4二次函数的综合(压轴题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案
专题22.4 二次函数的综合【典例1】如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C（4，﹣5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（1）求出A点坐标后，将点A、C代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；（2）连接OC，交对称x＝1于点Q，此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，再求解即可；（3）分三种情况讨论：①以AE为菱形对角线，此时AM＝ME；②以AM为菱形对角线，此时AE＝EM；③以AN为菱形对角线，此时AE＝AM；再利用中点坐标公式和两点间距离公式求解即可．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，C（4，﹣5），∴AD＝AB＝5，B（4，0），∴OA＝1，∴A（﹣1，0），将点A，C代入y＝﹣x2+bx+c，∴−16+4b+c=−5−1−b+c=0，解得b=2 c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）连接OC，交对称轴x＝1于点Q，∵PQ⊥y轴，∴AO∥PQ，∵AO＝PQ＝1，∴四边形AOQP是平行四边形，∴AP＝OQ，∴EQ+PQ+AP＝EQ+1+OQ若使EQ+PQ+AP值为最小，则EQ+OQ的值为最小，∵E，C关于对称轴x＝1对称，∴EQ＝CQ，∴EQ+OQ＝CQ+OQ，此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，∵C（4，﹣5），∴OC∴EQ+PQ+AP，即EQ+PQ+AP+1；（3）存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形，理由如下：①以AE为菱形对角线，此时AM＝ME，∴−1−2=1+x−5=m+y4+m2=9+(m+5)2，解得x=−4y=−2m=−3，∴M（1，﹣3）；②以AM为菱形对角线，此时AE＝EM，∴−1+1=−2+xm=y−51+25=9+(m+5)2，解得x=y=m=−5+x=2y=m=∴M（1，﹣51，﹣5③以AN为菱形对角线，此时AE＝AM，∴−1+x=−2+1 y=m−51+25=4+m2，解得x=y=m或x=0y=m=∴M（11，综上所述：M点坐标为（1，﹣3），(1，(1，，(1，−5+，(1，．1．（2022•新化县模拟）如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，1），若抛物线y＝x2+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是（ ）A．﹣1≤c≤0B．﹣1≤c≤12C．﹣1≤c≤916D．0≤c≤916【思路点拨】先通过待定系数法将AB所在直线解析式求出，然后通过数形结合方法，求出抛物线与直线相切及抛物线经过点A时c的值求解．【解题过程】解：设AB所在直线为y＝kx+b，将（﹣1，0），（1，1）代入y＝kx+b得k=12 b=12，∴y=12x+12，如图，当抛物线与线段AB相切时，令12x+12=x2+c，整理得x2−12x−12+c＝0，∴Δ＝（−12）2﹣4（−12+c）＝0，解得c=9 16，c减小，抛物线向下移动，当抛物线经过点A（﹣1，0）时，将（﹣1，0）代入y＝x2+c得0＝1+c，解得c＝﹣1，∴﹣1≤c≤916满足题意．故选：C．2．（2022•新河县一模）如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线x=32；②抛物线的最大值为98；③∠ACB＝90°；④OPA．①②④B．①②C．①②③D．①③④【思路点拨】用待定系数法求出函数的解析式即可对①②进行判断；利用勾股定理对③进行判断即可；求出直线AC的解析式，设P（t，−12t+2），再利用两点间距离公式求出OP的最大值即可．【解题过程】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2）代入，∴a−b+c=016a+4b+c=0 c=2，解得a=−12 b=32c=2，∴y=−12x2+32x+2，∵y=−12x2+32x+2=−12（x−32）2+258，∴抛物线的对称轴为直线x=3 2，故①正确；当x=32时，抛物线有最大值258，故②不正确；∵B （﹣1，0），A （4，0），C （0，2），∴AB ＝5，AC ＝BC ∵AC 2＝AB 2+BC 2，∴△ABC 是直角三角形，∴∠ACB ＝90°，故③正确；设直线AC 的解析式为y ＝kx +m ，∴m =24k +m =0，解得k =−12m =2，∴y =−12x +2，设P （t ，−12t +2），∴OP∴当t =45时，OP 故④正确；故选：D ．3．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ≥0时，它们对应的函数值相等；当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y ＝x ，它的相关函数为y =x(x ≥0)−x(x ＜0)．已知点M ，N 的坐标分别为(−12，1)，(92，1)，连结MN ，若线段MN 与二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象有两个公共点，则n 的取值范围为（ ）A ．﹣3≤n ≤﹣1或1＜n ≤54B ．﹣3＜n ＜﹣1或1＜n ≤54C ．﹣3＜n ≤﹣1或1≤n ≤54D ．﹣3≤n ≤﹣1或1≤n ≤54【思路点拨】首先确定出二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【解题过程】解：如图1所示：线段MN 与二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象恰有1个公共点，∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x=−42×(−1)=2，∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3，如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1；∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n＝1，如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（−12，1），∴14+2﹣n＝1，解得：n=54，∴1≤n≤54时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤5 4，故选：C．4．（2022•江阴市校级一模）如图，抛物线y＝ax2−103x+4与直线y=43x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）A．MN+BN＜AB B．∠BAC＝∠BAEC．∠ACB﹣∠ANM=12∠ABC D．四边形ACBM的最大面积为13【思路点拨】（1）当MN过对称轴的直线时，解得：BN=256，而MN=56，BN+MN＝5＝AB；（2）由BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）推知∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA，故∠BAC＝∠BAE错误；（3）如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠ABC的平分线，∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD =12∠ABC ；（4）S 四边形ACBM ＝S △ABC +S △ABM ，其最大值为94．【解题过程】解：将点A （2，0）代入抛物线y ＝ax 2−103x +4与直线y =43x +b解得：a =23，b =−83，设：M 点横坐标为m ，则M （m ，23m 2−103m +4）、N （m ，43m −83），其它点坐标为A （2，0）、B （5，4）、C （0，4），则AB ＝BC ＝5，则∠CAB ＝∠ACB ，∴△ABC 是等腰三角形．A 、当MN 过对称轴的直线时，此时点M 、N 的坐标分别为（52，−16）、（52，23），由勾股定理得：BN =256，而MN =56，BN +MN ＝5＝AB ，故本选项错误；B 、∵BC ∥x 轴（B 、C 两点y 坐标相同），∴∠BAE ＝∠CBA ，而△ABC 是等腰三角形不是等边三角形，∠CBA ≠∠BCA ，∴∠BAC ＝∠BAE 不成立，故本选项错误；C 、如上图，过点A 作AD ⊥BC 、BF ⊥AC ，∵△ABC 是等腰三角形，∴BF 是∠ABC 的平分线，易证：∠CAD ＝∠ABF =12∠ABC ，而∠ACB ﹣∠ANM ＝∠CAD =12∠ABC ，故本选项正确；D 、S 四边形ACBM ＝S △ABC +S △ABM ，S △ABC ＝10，S △ABM =12MN •（x B ﹣x A ）＝﹣m 2+7m ﹣10，其最大值为94，故S 四边形ACBM 的最大值为10+94=12.25，故本选项错误．故选：C ．5．（2022•高青县一模）已知点A （2，4），B （0，1），点M 在抛物线y =14x 2上运动，则AM +BM 的最小值为 5 ．【思路点拨】设点M （m ，14m 2），用含m 代数式表示BM =14m 2+1，可得点M 到点B 的距离与点M 到直线y ＝﹣1的距离相等，进而求解．【解题过程】解：设点M （m ，14m 2），则点M 到x 轴距离为14m 2，BM 14m 2+1，∴点M 到点B 的距离与点M 到直线y ＝﹣1的距离相等，∵点A 横坐标为x ＝2，∴点M 为直线x ＝2与抛物线交点，如图，设直线x ＝2与直线y ＝﹣1交点B '（2，﹣1），∴AB '为AM +BM 最小值，AB '＝4﹣（﹣1）＝5，故答案为：5．6．（2022•广西模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是 ．【思路点拨】分两种情况分别求得a的取值范围，再取两者的公共部分即可：当顶点C与D点重合时，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+3；当顶点C与F点重合时，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y ＝a（x﹣3）2+2．【解题过程】解：∵顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，∴当顶点C与D点重合时，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+3，∴a(−2−1)2+3≤0 a(−1−1)2+3≥0，解得−34≤a≤−13；当顶点C与F点重合时，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y＝a（x﹣3）2+2，∴a(−2−3)2+2≤0 a(−1−3)2+2≥0，解得−18≤a≤−225；∵顶点可以在矩形内部，∴−34≤a≤−225．故答案为：−34≤a≤−225．7．（2022•包河区校级三模）函数y=2mx 2−4mx−3(x≥0)−2mx2−4mx−3(x＜0)，其中m是常数且m≠0，该函数的图象记为G．（1）当m=12时，图象G与x轴的交点坐标为 （3，0） ．（2）若直线y＝m与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为 3或﹣1 ．【思路点拨】（1）m=12，从而两个解析式是已知的，令y＝0，解方程即可；（2）分m＞0，m＜0两种情况，画出草图，令y＝m与二次函数联列得方程组，求解即可．【解题过程】解：（1）当x≥0时，对称轴为直线x=−−4m2×2m=1，当x＜0时，对称轴为直线x=−−4m2×(−2m)=−1，又当m=12时，函数y=x2−2x−3(x≥0)−x2−2x−3(x＜0)，当x≥0时，令x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x1＝3或x2＝﹣1（舍去），∴x≥0时，x＝3；当x＜0时，令﹣x2﹣2x﹣3＝0，∴x2+2x+3＝0，∵Δ＝9﹣12＜0，∴x＜0，无解，∴与x轴的交点坐标为（3，0）；（2）当m＞0时，图象大致如图1所示，当y＝m经过顶点时，恰有2个交点，∴当x＝﹣1时，y＝﹣2m+4m﹣3＝2m﹣3＝m，∴m＝3；∴当x＝1时，y＝2m﹣4m﹣3＝﹣2m﹣3＝m，∴m＝﹣1（舍去），当m＜0时，图象大致如图2所示，当y＝m经过顶点时，恰有2个交点，当x＝﹣1时，y＝﹣2m+4m﹣3＝2m﹣3＝m，∴m＝3（舍去），当x＝1时，y＝2m﹣4m﹣3＝﹣2m﹣3＝m，∴m＝﹣1，综上所述，m取值为3或﹣1．8．（2022•安顺模拟）如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直线y ＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA，PD，求△PAD的面积的最大值．【思路点拨】（1）根据y＝﹣x﹣1经过点A，可求出点A的坐标，将点A、C的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求出抛物线的解析；（2）联立抛物线和一次函数y＝﹣x﹣1的解析式列方程解出可得点D的坐标，过点P作PE∥y轴，交AD 于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），表示PE的长，根据三角形面积公式可得△APD的面积，配方后可得结论．【解题过程】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣1经过点A，∴令y＝0，则0＝﹣x﹣1，∴x＝﹣1，∴A（﹣1，0），将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：a−2+c=0c=3，解得：a=−1 c=3，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，﹣5），过点P作PE∥y轴，交AD于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+3t+4，∴△PAD 的面积=12•PE •（4+1）=52（﹣t 2+3t +4）=−52（t −32）2+1258，当t =52时，△PAD 的面积最大，且最大值是1258．9．（2022•平桂区 一模）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）在第四象限内抛物线上存在一点M ，使S △MAB ＝S △CAB ，请求出点M 的坐标；（3）点N 在该抛物线上且到对称轴的距离为3个单位，点P 为点M ，N 之间（含点M 、N ）抛物线上的一个动点．求点P 纵坐标y P 的取值范围．【思路点拨】（1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案即可；（2）设点M 的纵坐标为t （t ＜0），根据S △MAB ＝S △CAB ，可得12AB •OC =12AB •（﹣t ），求出t 的值，即可得M 点坐标；（3）利用点N 到对称轴的距离为3个单位求出点N 的横坐标，即可得点N 的坐标，再结合M 、D 两点的坐标即可求解．【解题过程】解：（1）∵二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过A （﹣1，0）、C （0，﹣3），∴1−b +c =0c =−3，解得：b =−2c =−3，∴抛物线解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3，把y ＝x 2﹣2x ﹣3配方，得y ＝（x ﹣1）2﹣4∴顶点D 的坐标为（1，﹣4）；（2）设点M的纵坐标为t（t＜0），∵S△MAB＝S△CAB，∴12AB•OC=12AB•（﹣t），∵抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0）、B（3，0），∵点C（0，﹣3），∴AB＝4，OC＝3．∴﹣t＝3，得t＝﹣3．当t＝﹣3时，x2﹣2x﹣3＝﹣3，解得x1＝0，x＝2，∴点M的坐标为（2，﹣3）；（3）∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴抛物线的对称轴为x＝1，∵点N到对称轴的距离为3个单位，∴点N的横坐标为﹣2或4，∴点N纵坐标为42﹣2×4﹣3＝5．∴点N的坐标为（﹣2，5）或（4，5）．∵点M的坐标为（2，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4），当N在对称轴的右侧时，﹣3≤y P≤5；当N在对称轴的左侧时，﹣4≤y P≤5；10．（2022春•浦江县期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，9），与坐标轴交于B、C、D 三点，且B点的坐标为（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、M，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）在（2）中的矩形周长最大时，连接BM，已知点P是x轴上一动点，过点P作PQ∥y轴，交直线BM 于点Q，是否存在这样的点P，使直线PQ把△BCM分成面积为1：2的两部分？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+9，将点B代入即可；（2）设M（m，﹣m2+2m+8），则N（2﹣m，﹣m2+2m+8），则矩形MNHG的周长＝﹣2（m﹣2）2+20，可求当m＝2时，矩形MNHG的周长有最大值20；（3）求出S△BCM＝24，设P（t，0），则Q（t，2t+4），分两种情况讨论：当S△BPQ＝8时，P（2，0）；当S△BPQ＝16时，P（2，0）．【解题过程】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+9，将点B（﹣2，0）代入，∴9a+9＝0，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+9＝﹣x2+2x+8；（2）设M（m，﹣m2+2m+8），则N（2﹣m，﹣m2+2m+8），∴MN＝2m﹣2，MG＝﹣m2+2m+8，∴矩形MNHG的周长＝2（MN+MG）＝2（﹣m2+4m+6）＝﹣2（m﹣2）2+20，∴当m＝2时，矩形MNHG的周长有最大值20；（3）存在点P，使直线PQ把△BCM分成面积为1：2的两部分，理由如下：当m＝2时，M（2，8），设直线BM的解析式为y＝kx+b，∴−2k+b=0 2k+b=8，解得k=2 b=4，∴y＝2x+4，令y＝0，则﹣x2+2x+8＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴C（4，0），∴BC＝6，∴S△BCM=12×6×8＝24，设P（t，0），则Q（t，2t+4），当S△BPQ＝8时，12×（t+2）×（2t+4）＝8，解得t＝2或t＝﹣2（舍），∴P（2，0）；当S△BPQ＝16时，12×（t+2）×（2t+4）＝16，解得t＝2或t＝﹣6（舍），∴P（2，0）；综上所述，P点坐标为（2，0）或（2，0）．11．（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB 上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E 处．（1）求抛物线解析式；（2）连接BE，求△BCE的面积；（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由点A的坐标可得出点E的坐标，由点A，E的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，再利用三角形的面积计算公式，结合S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE，即可求出△BCE的面积；（3）存在，由点A，B的坐标可得出OA＝OB，结合∠AOB＝90°可得出∠BAE＝45°，设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），分点P在x轴上方及点P在x轴下方两种情况考虑：①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，则EM＝P1M，进而可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将符合题意的m值代入点P的坐标中即可求出点P1的坐标；②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x 轴于点N，则EN＝P2N，进而可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将符合题意的m值代入点P的坐标中即可求出点P2的坐标．【解题过程】解：（1）∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，0），∴点E的坐标为（﹣1，0）．将A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，得：9a+3b+3=0a−b+3=0，解得：a=−1b=2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当x＝0时，y＝﹣1×（0）2+2×0+3＝3，∴点B的坐标为（0，3）．设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），将A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，得：3m+n=0n=3，解得：m=−1n=3，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D（1，0），当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2，∴点C的坐标为（1，2）．∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，0），∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE=12AE•OB−12AE•CD=12×4×3−12×4×2＝2，∴△BCE的面积为2．（3）存在，理由如下：∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），∴OA＝OB＝3．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠BAE＝45°.∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）．①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝2，∴点P1的坐标为（2，3）；②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于点N，在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝4，∴点P2的坐标为（4，﹣5）．综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．12．（2022•太原一模）综合与实践如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC 下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．【思路点拨】（1）分别令x＝0，y＝0，求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），可得DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得线段DE的最大值；（3）设F（﹣1，n），根据两点间距离公式可得：AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，分三种情况：①当∠AFC＝90°时，②当∠CAF＝90°时，③当∠ACF＝90°时，分别建立方程求解即可．【解题过程】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8），令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则−4k+b=0 b=−8，解得：k=−2 b=−8，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），∵点D在点E的下方，∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣2时，线段DE最大值为4；（3）∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设F（﹣1，n），又A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，①当∠AFC＝90°时，∵AF2+CF2＝AC2，∴n2+9+n2+16n+65＝80，解得：n1＝﹣4n2＝﹣4+∴F（﹣1，﹣4﹣1，﹣4②当∠CAF＝90°时，∵AF2+AC2＝CF2，∴n2+9+80＝n2+16n+65，解得：n=3 2，∴F（﹣1，32）；③当∠ACF＝90°时，∵CF2+AC2＝AF2，∴n2+16n+65+80＝n2+9，解得：n=−17 2，∴F（﹣1，−172）；综上所述，点F的坐标为（﹣1，﹣4﹣1，﹣4+﹣1，32）或（﹣1，−172）．13．（2022•将乐县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y=−12有唯一的公共点A，与直线y=32交于点B，C（C在B的右侧），且△ABC是等腰直角三角形．过C作x轴的垂线，垂足为D（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y＝2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧．（ⅰ）求P，Q两点的坐标；（ⅱ）设直线y＝2x+m（m＞0）与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点．【思路点拨】（1）过点A作AM⊥BC交于M，由等腰直角三角形的性质求出AM＝BM＝2，从而求出M（1，32），A（1，−12），B（﹣1，32），再用待定系数法求解析式即可；（2）（ⅰ）联立方程组y=2xy=12x2−x，即可求P、Q点的坐标；（ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组y=2x+my=12x2−x，可得x1+x2＝6，y1＝2x1+m，y2＝2＝﹣2x1+m+12，求出直线PM的解析式后，求直线PM与CD的交点为（3，6+3mx1），求出QN的解析式后，求直线QN与CD的交点为（3，6+3mx1），从而所求得证．【解题过程】（1）解：过点A作AM⊥BC交于M，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AM＝BM=32−（−12）＝2，∵CD⊥x轴，D（3，0），∴C（3，32），∴M（1，32），A（1，−12），B（﹣1，32），设y＝ax2+bx+c（a≠0），∴a+b+c=−12a−b+c=329a+3b+c=32，解得a=12 b=−1 c=0，∴y=12x2﹣x；（2）（ⅰ）解：联立方程组y=2xy=12x2−x，解得x=0y=0或x=6y=12，∵P在Q的左侧，∴P（0，0），Q（6，12）；（ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组y=2x+m y=12x2−x，整理得x2﹣6x﹣2m＝0，∴x1+x2＝6，∴y1＝2x1+m，y2＝2＝﹣2x1+m+12，设直线PM的解析式为y＝k1x，∴2x1+m＝k1x1，∴k1＝2+mx1，∴y＝（2+mx1）x，∴直线PM与CD的交点为（3，6+3mx1），设QN的解析式为y＝k2x+b2，∴6k2+b2=12(6−x1)k2+b2=−2x1+m+12，解得k2=2−mx1b2=6mx1，∴y＝（2−mx1）x+6mx1，∴直线QN与CD的交点为（3，6+3mx1），∴直线PM，QN，CD交于一点．14．（2022春•兴宁区校级期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；（3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c即可得到答案；（2）过点P作PM∥y轴交直线AC于点M，则P的坐标是（m，m2+2m﹣3），利用待定系数法求AC的解析式，表示M的坐标，用m的代数式表示PM的长度，根据三角形面积公式即可得到答案；（3）分两种情况：①如图2，四边形CDEB是菱形，②如图3，四边形CBDE是菱形，根据两点的距离公式和菱形的边长相等列方程可解答．【解题过程】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得：9−3b+c=0 1+b+c=0，解得：b=2c=−3，∴y＝x2+2x﹣3；（2）如图1，过点P作PM∥y轴交直线AC于点M，∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），设直线AC的解析式为：y＝kx+n，∴−3k+n=0 n=−3，∴k=−1 n=−3，∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，∵P点的横坐标为m，∴P的坐标是（m，m2+2m﹣3），则M的坐标是（m，﹣m﹣3），∴PM＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，∵点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，∴﹣3＜m＜0，∴S=12•PM•OA=32（﹣m2﹣3m）=−32m2−92m（﹣3＜m＜0）；（3）分两种情况：①如图2，四边形CDEB是菱形，设D（t，﹣t﹣3），则E（t+1，﹣t），∵四边形CDEB是菱形，∴CD＝BC，∴（t﹣0）2+（﹣t﹣3+3）2＝12+32，∴t＝∵t＜0，∴t=∴E（+1②如图3，四边形CBDE是菱形，设D（t，﹣t﹣3），则E（t﹣1，﹣t﹣6），∵四边形CBDE是菱形，∴CE＝BC，∴（t﹣1﹣0）2+（﹣t﹣6+3）2＝12+32，∴t＝0（舍）或﹣2，∴E（﹣3，﹣4）；综上所述，点E的坐标为（1﹣3，﹣4）．15．（2022春•兴宁区期末）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣2），点C（0，﹣5），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若E为线段AB上一点，且BE：EA＝3：1，P为直线AC上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）将点A（3，﹣2），点C（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）平移后的顶点坐标为（1，m﹣6），求出直线AC的解析式，由题意可知﹣4＜m﹣6＜﹣2，求出m的取值即可；（3）设P（t，t﹣5），Q（x，x2﹣2x﹣5），根据对角线分三种情况求解即可．【解题过程】解：（1）将点A（3，﹣2），点C（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c，∴9+3b+c=−2 c=−5，解得b=−2 c=−5，∴y＝x2﹣2x﹣5，∴M（1，﹣6）；（2）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣6+m，∴平移后的顶点坐标为（1，m﹣6），∴抛物线的顶点在x＝1的直线上，设直线CA的解析式为y＝kx+b，∴3k+b=−2 b=−5，∴k=1b=−5，∴y＝x﹣5，当x＝1时，y＝﹣4，∴﹣4＜m﹣6＜﹣2，解得2＜m＜4；（3）存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：当y＝﹣2时，x2﹣2x﹣5＝﹣2，解得x＝﹣1或x＝3，∴B（﹣1，﹣2），∴AB＝4，∵BE：EA＝3：1，∴AE＝1，∴E （2，﹣2），设P （t ，t ﹣5），Q （x ，x 2﹣2x ﹣5），①当BE 为平行四边形的对角线时，2−1=t +x −2−2=t−5+x 2−2x−5，解得t =x =或t =x =，∴Q ②当BP 为平行四边形的对角线时，−1+t =2+x −2+t−5=−2+x 2−2x−5，解得x =t =或x =y =∴Q ③当BQ 为平行四边形的对角线时，−1+x =2+t −2+x 2−2x−5=−2+t−5，此时无解；综上所述：Q16．（2022•肃州区模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，AB ＝4，交y 轴于点C ，对称轴是直线x ＝1．（1）求抛物线的关系式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使△ACP 的周长最小，并求此时点P 的坐标．（3）动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动（到点B 停止），过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，交线段BC 于点Q ．设运动时间为t （t ＞0）秒．△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【思路点拨】（1）根据x轴上的点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，求得点A、B的坐标，再代入抛物线解析式，解方程组即可得出答案；（2）点B与点A关于抛物线的对称轴对称，根据两点之间，线段最短可知，抛物线的对称轴与BC的交点就是△ACP的周长最小时点P的位置，先求出直线BC的解析式，再求出点P的坐标；（3）分OQ＝BQ或OB＝BQ或OQ＝OB三种情况，分别求解即可．【解题过程】解：（1）∵x轴上的点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，∴A（﹣1，0），B（3，0），把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：−9+3b+c=0−1−b+c=0，解得b=2 c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图1，点A关于对称轴的对称点是点B，连接BC，交对称轴直线x＝1于点P．点P就是使△ACP 的周长最小的点．在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝mx+n，则：n=33m+n=0，解得：m=−1 n=3，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2．∴P（1，2）．（3）如图2，∵动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动（到点B停止），运动时间为t（t＞0）秒，∴OM＝2t，且0＜t≤3 2，∴M（2t，0），∵MN⊥x轴，∴点Q的横坐标为2t，当x＝2t时，y＝﹣x+3＝﹣2t+3＝3﹣2t，∴Q（2t，3﹣2t），∴QM＝3﹣2t，BM＝3﹣2t，∴BM＝QM，∵△BOQ为等腰三角形，∴OQ＝BQ或OB＝BQ或OQ＝OB：①当OQ＝BQ时，∵QM⊥OB，∴OM＝BM，∴2t＝3﹣2t，解得：t=3 4；②当OB＝BQ时，在Rt△BMQ中，∵BM＝QM，∠BMQ＝9°，∴△BQM是等腰直角三角形，∴∠OBQ＝45°，BQ=，∴OB，即3=3﹣2t），解得：t=③当OQ＝OB时，则点Q、C重合，此时t＝0，而t＞0，故不符合题意，综上述，当t=34秒或△BOQ为等腰三角形．17．（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（−12，0），B（3，72）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据待定系数法，将点A，点B代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；（2）设出点P的坐标，确定出PD∥CO，由PD＝CO，列出方程求解即可；（3）过点D 作DF ⊥CP 交CP 的延长线于点F ，过点F 作y 轴的平行线EF ，过点D 作DE ⊥EF 于点E ，过点C 作CG ⊥EF 于点G ，证明△DEF ≌△FGC （AAS ），由全等三角形的性质得出DE ＝FG ，EF ＝CG ，求出F 点的坐标，由待定系数法求出直线CF 的解析式，联立直线CF 和抛物线解析式即可得出点P 的坐标．【解题过程】解：（1）将点A （−12，0），B （3，72）代入到y ＝ax 2+bx +2中得：a−12b +2=0+3b +2=72，解得：a =−1b =72，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+72x +2；（2）设点P （m ，﹣m 2+72m +2），∵y ＝﹣x 2+72x +2，∴C （0，2），设直线BC 的解析式为y ＝kx +c ，∴3k +c =72c =2，解得k =12c =2，∴直线BC 的解析式为y =12x +2，∴D （m ，12m +2），∴PD ＝|﹣m 2+72m +2−12m ﹣2|＝|m 2﹣3m |，∵PD ⊥x 轴，OC ⊥x 轴，∴PD ∥CO ，∴当PD ＝CO 时，以P 、D 、O 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴|m 2﹣3m |＝2，解得m ＝1或2∴点P 的横坐标为1或2（3）①当Q 在BC 下方时，如图，过B 作BH ⊥CQ 于H ，过H 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，过B 作BN ⊥MH 于N ，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，∵H（m，n），∵C（0，2），B（3，72），=3−m−n=m，解得m=94n=54，∴H（94，54），设直线CH的解析式为y＝px+q，p+q=542，解得p=−13q=2，∴直线CH的解析式为y=−13x+2，联立直线CF与抛物线解析式得y=−x2+72x+2y=−13x+2，解得x=0y=2或x=236y=1318，∴Q（236，1318）；②当Q在BC上方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，同理得Q（12，72）．综上，存在，点Q的坐标为（236，1318）或（12，72）．18．（2022•武汉模拟）点P（﹣3，a）在抛物线y＝x2﹣6上，过点P的直线l1：y＝k1x+b1与抛物线交于另一点F．（1）直接写出a的值；（2）如图（1），当点F在第四象限时，若PF交x轴的负半轴于点S，交y轴的负半轴于点T，且PS+FT＝ST，求点F的坐标；（3）如图（2），过点P的另一条直线l2：y＝k2x+b2与抛物线交于另一点H，M，N分别为线段PF，PH 的中点，且k1+k2＝﹣4，求证：直线MN与经过原点的一条定直线平行．【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可；（2）设F（m，m2﹣6），利用待定系数法可得到直线PF的解析式为y＝（m﹣3）x+3m﹣6，利用已知条件可求得点S的坐标，将点S的坐标代入直线PF的解析式y＝（m﹣3）x+3m﹣6，即可求得m的值，则结论可求；（3）利用待定系数法可得直线PF的解析式为y＝k1x+3k1+3，与抛物线解析式联立，则得点P，点F的横坐标是方程x2﹣k1x﹣3k1﹣9＝0的两根，利用一元二次方程的根与系数的关系和中点坐标的特征可得点M 的坐标，同理可求得点N坐标，利用待定系数法求得直线MN的解析式，利用直线平行的特征可得直线MN 与直线y＝2x平行，则结论可得．【解题过程】（1）解：∵点P（﹣3，a）在抛物线y＝x2﹣6上，∴a＝（﹣3）2﹣6，∴a＝3．（2）解：设F（m，m2﹣6），直线PF的解析式为y＝k1x+b1，∴−3k1+b1=3mk1+b1=m2−6，解得：k1=m−3b1=3m−6，∴直线PF的解析式为y＝（m﹣3）x+3m﹣6．∵PS+FT＝ST，∴PF＝2ST．∴x F﹣x P＝2（x T﹣x S），∴m+3＝2（0﹣x S），∴x S=−m3 2．∴S（−m32，0）．将S（−m32，0）代入PF的解析式得：（m﹣3）（−m32）+3m﹣6＝0，解得：m＝33∵当点F在第四象限，∴m2﹣6＜0．当m＝3+m2﹣6＝0，不合题意，舍去，当m＝3m2﹣6＝9﹣0，∴F（39﹣（3）证明：∵直线y＝k1x+b1经过点P（﹣3，3），∴﹣3k1+b1＝3，∴b1＝3k1+3，∴直线PF的解析式为y＝k1x+3k1+3，联立：y=x2−6y=k1x+3k1+3，∴x2﹣k1x﹣3k1﹣9＝0．∴点P，点F的横坐标是方程x2﹣k1x﹣3k1﹣9＝0的两根，∴x P+x F＝k1．∵M为线段PF的中点，∴x M=x P x F2=k12，∴M（k12，k212+3k1+3），∵直线y＝k2x+b2经过点P（﹣3，3），∴﹣3k2+b2＝3，∴b2＝3k2+3，∴直线PH的解析式为y＝k2x+3k2+3，联立：y=k2x+3k2+3 y=x2−6，∴x2﹣k2x﹣3k2﹣9＝0．∴点P，点H的横坐标是方程x2﹣k1x﹣3k1﹣9＝0的两根，∴x P+x H＝k2，∵N为线段PH的中点，∴x N=x P x H2=k22，∴N（k22，k222+3k2+3），设直线MN的解析式为y＝kx+n，k+n=k212+3k1+3k+n=k222+3k2+3，解得：k=k1+k2+6 n=3−k1k22，∴直线MN的解析式为y＝（k1+k2+6）x+3−k1k2 2．∵k1+k2＝﹣4，∴直线MN的解析式为y＝2x+3−k1k2 2，∴直线MN与直线y＝2x平行，∵直线y＝2x是一条经过原点的直线，∴直线MN与经过原点的一条定直线平行．19．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；（2）过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．【解题过程】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），∴1+b+c=0c=3，解得b=−4c=3，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG=12 PG•AE=12×3×（﹣m2+5m﹣3）=−32（m2﹣5m+3）=−32（m−52）2+398，∵−32＜0，∴当m =52时，△OPE 面积最大，此时，P 点坐标为（52，−34）；（3）由y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，得抛物线l 的对称轴为直线x ＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L 向上平移h 个单位长度后顶点为F （2，﹣1+h ）．设直线x ＝2交OE 于点DM ，交AE 于点N ，则E （2，3），∵直线OE 的解析式为：y ＝x ，∴M （2，2），∵点F 在△OAE 内（包括△OAE 的边界），∴2≤﹣1+h ≤3，解得3≤h ≤4；（4）设P （m ，m 2﹣4m +3），分四种情况：①当P 在对称轴的左边，且在x 轴下方时，如图，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∴∠OMP ＝∠PNF ＝90°，∵△OPF 是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m=∴P②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1=m2∴P③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m=m2=P ④当P 在对称轴的右边，且在x 轴上方时，如图，同理得m 2﹣4m +3＝m ﹣2，解得：m =P综上所述，点P20．（2022•大方县二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B点的坐标为（4，0），抛物线的对称轴为直线x =32，点D 是BC 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD 的面积为74时，求点D 的坐标；（3）过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，是否存在点D ，使得△CDE 中的某个角等于∠ABC 的2倍？若存在，请直接写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】。
巧用“数形结合”求解二次函数问题
巧用“数形结合”求解二次函数问题作者：徐超凡来源：《中小学教学研究》2010年第06期摘要:二次函数是初中数学知识的重中之重,它与其他知识紧密相关,中考命题者钟爱有加。
如何把脉二次函数,让学生学而不厌,知难而进呢?可以把数形结合作为解决二次函数问题的武器,逐一破解“残缺型抛物线”、灵活解决“四点”“五距”,化解二次函数的探究应用问题中难点。
关键词:数形结合;残缺型抛物线;探究应用数形结合的思想,它是指把代数的精确刻划与几何的直观形象相统一,将抽象思维与直观形象水乳交融的一种思想方法。
数形结合是学好数学的一个魔法棒:它可将一些看似复杂的问题简单化,一些难于入手的问题迎刃而解。
二次函数是初中数学知识的重中之重,它与其他知识紧密相关,中考命题者钟爱有加。
如何把脉二次函数,让学生学而不厌,知难而进呢?巧妙运用数形结合可以达到四量拨千斤的效果,让学不得法的学生忘了烦恼忘了忧。
一、巧用数形结合求残缺型抛物线问题何谓“残缺型抛物线”,顾名思义,就是不完整的抛物线。
虽然抛物线不完整,但是利用已知条件及抛物线的轴对称性,可以达到既可意会,也可言传的功效,从而轻而易举解决相关问题。
例1(2007南充).如图1是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1。
给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5a②其中正确结论是().A ②④B ①④C ②③D ①③解析:图象开口向下,顶点在第二象限想象到抛物线一定与x轴有两个交点,所以①正确;对称轴为x=-■=-1 得2a-b=0,所以②错误;顶点在第二象限,当x=-1,a-b+c>0,所以③错误;抛物线开口向下,a例2(2009德城).如图2是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为B(3 ,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是_________解析:根据图象可知抛物线开口向上,与x轴有两个公共点,对称轴右边的交点B与对称轴相距2个单位长度。
二次函数数形结合题专练
1、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）2、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2-x-2 B 、y=121212++-x C 、y=121212+--x x D 、y=22++-x x 3、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图4A ．B ．C ．D ．xxxx5、如图7，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12x 2的图象，C 2是函数y =-12x 2的图象，则阴影部分的面积是 .6、图12为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）7、某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ （3）请画出上述函数的大致图象．8、如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．9、如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。
中考数学复习专题十一 二次函数与几何图形综合题
【点评】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得 P1C 和 P2A 的解析式是解答问题(2) 的关键，求得点 P 的纵坐标是解答问题(3)的关键．
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[对应训练] 1．(2016·遵义)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点分别是 A(－8，3)，B(－
4，• 0单)，•击C第(此－二4处级，3编)，辑∠A母BC版＝文α°本.抛样物式线 y＝12x2＋bx＋c 经过点 C，且对称轴为 x＝－45，并与
证：PH＝GH.
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•
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• 第二级
12×（－4）2－4b＋c＝3，
解：(1)根• 第据•三题第级意四• 得级第：五级－2×b 12＝－45，
解得
b＝45， c＝－95，∴抛物线的解析式为：y
Hale Waihona Puke ＝12x2＋45x－95，点 G(0，－95)
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标为(－2，5)．综• 第上五所级述，P 的坐标是(1，－4)或(－2，5)
单击此处编辑母版标题样式 (3)如图 2 所示：连接 OD.由题意可知，四边形 OFDE 是矩形，则 OD＝EF.根据垂线
段最短，可得当 OD⊥AC 时，OD 最短，即 EF 最短．由(1)可知，在 Rt△AOC 中，∵OC
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• 单三击个此步处骤 编辑母版文本样式
•解第二二次级函数与几何图形综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻
译并转化• 为第显三性级条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于 联想和转化，• 将第四以级上得到的显性条件进行恰当的组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的
初三二次函数综合测试题及答案
二次函数单元测评一、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )A. B. C. D.2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上二、4. 抛物线的对称轴是( )A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是(A. ab>0，c>0B. ab>0，c<0C. ab<0，c>0D. ab<0，c<06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( ) A. 一B. 二C. 三 D. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是( )A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1<x 1<x 2，x 3<-1，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3 B. y 2<y 3<y 1 C. y 3<y 1<y 2 D. y 2<y 1<y 3 10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( ) A. B. C. D.二、填空题(每题4分，共32分)11. 二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是______________.12. 若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.(m/s)竖直向上抛物16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：=10m/s，则该物体在运(其中g是常数，通常取10m/s2).若v动过程中最高点距地面_________m.17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.的值是18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0) (1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标(2)求此二次函数的解析式；20.在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；.(2)求△MCB的面积S△MCB1.考点：二次函数概念.选A.2.考点：求二次函数的顶点坐标.解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选C.3. 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标.解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选C.4. 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B.5.考点：二次函数的图象特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，答案选C.6.考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方在第四象限，答案选D.7.考点：二次函数的图象特征.解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.8.考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.答案选C.9. 考点：一次函数、二次函数概念图象与性质.解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1<x1<x2，当x>-1时，由图象知，y随x的增大而减小，所以y2<y1；又因为x3<-1，此时点P3(x3，y3)在二次函数图象上方，所以y2<y1<y3.答案选D.10.考点：二次函数图象的变化.抛物线的图象向左平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到.答案选C.考点：二次函数性质.解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程.答案x=1.12.考点：利用配方法变形二次函数解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.13. 考点：二次函数与一元二次方程关系.解析：二次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，求得x1=-1，x2=3，则AB=|x2-x1|=4.答案为4.14.考点：求二次函数解析式.解析：因为抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-3.15.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，.解析：需满足抛物线与x轴交于两点，与y轴有交点，与△ABC是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-1.16.考点：二次函数的性质，求最大值.解析：直接代入公式，答案：7.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.解析：如：y=x2-4x+3.18.考点：二次函数的概念性质，求值.答案：.19. 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20.考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式. 解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x 1+1)(x 2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x 1+x 2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5∴y=x 2-9为所求(2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5)，P(2，-9).21. 解：(1)依题意：。
数形结合思想在二次函数问题中的应用探析
2020年36期208数形结合思想在二次函数问题中的应用探析李佳彬（福建省南安国光中学，福建 南安 362321）二次函数是我国中考必考的常见知识点，而且二次函数的考察方式也是十分灵活的，二次函数既可以以现实生活中实际的问题作为载体进行考察，又能出现在一些综合题中。
在对学生进行二次函数考察的过程中，能够很好地检验出学生对于二次函数知识掌握的情况，并巩固学生所学。
初中数学教师在教学的过程中需要结合数形结合的思想，让学生可以更加深入地理解二次函数的深刻含义。
一、数形结合思想的概述数形结合的思想主要包括两个方面，主要为“以数论性”和“以形论数”。
在年代比较久远的《中国数学杂志》中，就曾经提到过“形”与“数”之间比较密切的关系。
有关数形结合这一概念正式出现的地方是在我国著名数学家华罗庚的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中。
华罗庚在书中这样说道：“数无形而少直观，形无数而难入微”，通过数和形的相互转化能够简化一些比较复杂的难以理解的数学问题，体现了数学中精简的思想。
数形结合这种思想将直观的图像和数学语言相结合，将形象的思维和抽象的思维相结合，可以通过直观的图形发挥出抽象概念的支柱作用。
通过这种相互转化、相互补充，使得数形结合成为了解决数学问题的重要思想[1]。
二、数形结合思想在二次函数教学中的应用探析（一）从数到形，“以形论数”学过二次函数的我们都知道，y=ax2+bx+c的形式称之为二次函数，其中a、b、c是常数，a≠０，其中x是自变量，y是因变量，a、b、c是常 量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
首先，数学教师要先让学生理解这个一元二次函数的内涵，让学生理解常数a不仅仅是二次函数中二次项的系数，也决定了二次函数图像的开口方向和开口的大小，常数a和b决定了二次函数对称轴的位置，常数c决定了二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的位置，在学生确定了常数a、b、c之后，就能确定二次函数的图像以及表达式。
数形结合之二次函数小题
数形结合之二次函数一．选择题1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，其中，正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣），（）是抛物线上两点，则y1＜y2其中结论正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．①③④8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形9．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0，其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的个数为（）①c＞0；②a＜b＜0；③2b+c＞0；④当x＞时，y随x的增大而减小．A．1 B．2 C．3 D．411．以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A．b≥B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤212．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c﹣b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．其中正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③14．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=115．已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．17．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（）A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜319．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．420．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．2a+b＜0 B．4a+2b+c＞0C．m（am+b）＞a+b（m为大于1的实数）D．3a+c＜021．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与X轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a+c＜1；④b2+8a＞4ac，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个22．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a﹣b+c＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（）个．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个23．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④24．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①b＜0；②b+2a=0；③方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=﹣2，x2=4；④a+c＞b；⑤3a+c ＜0．其中正确的结论有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个25．若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k 有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（）A．0＜k＜4 B．﹣3＜k＜1 C．k＜﹣3或k＞1 D．k＜426．已知二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m，其中m＞0，它的图象与x轴从左到右交于R和Q两点，与y轴交于点P，点O是坐标原点．下列判断中不正确的是（）A．方程x2﹣（m﹣1）x﹣m=0一定有两个不相等的实数根B．点R的坐标一定是（﹣1，0）C．△POQ是等腰直角三角形D．该二次函数图象的对称轴在直线x=﹣1的左側27．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的个数是（）①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④k＞a+b；⑤ac+k＞0．A．1 B．2 C．3 D．428．如图，二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．下列结论：①abc＜0；②b ＜﹣2a；③b2+8a＞4ac；④2a+c＜0．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个29．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于点（0，2）．下列结论①2a+b＞﹣1，②3a+b ＞0，③a+b＜﹣2，④a＞0，⑤a﹣b＜0，其中结论正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1第11页（共11页）。
二次函数综合(动点与三角形)问题方法与解析
二次函数综合（动点与三角形）问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。
（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。
二、例题精析㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】例一．（2013•铜仁地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．的坐标为（﹣得：解得：，OB=×时，解得：））时，，，，），﹣）㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】（2013鞍山）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c 例二．的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据y=0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a （x﹣2）2，进而求出即可；（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．解答：解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，∴0=0.5x+2，∴x=﹣4，与y轴交于点B，∵x=0，∴y=2∴B点坐标为：（0，2），∴A（﹣4，0），B（0，2），∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2∴可设二次函数y=a（x﹣2）2，把B（0，2）代入得：a=0.5∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2；（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点由Rt△AOB∽Rt△BOP1∴=，∴=，得：OP1=1，∴P1（1，0），（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，将y=0.5x+2与y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，4.5），则AD=，当D为直角顶点时∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，∴△ABO∽△AP2D，∴=，=，解得：AP2=11.25，则OP2=11.25﹣4=7.25，故P2点坐标为（7.25，0）；（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D得：，∴，∵方程无解，∴点P3不存在，∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．㈢【抛物线上的点能否构成相似三角形】例三．（2013•恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB 沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（﹣（（×﹣三、形成训练1．（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．x=）根据﹣∴﹣，x+x x+4=（，﹣+，即﹣+，，y=，=AQ====，==±﹣4+2 ：已知：直线12y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线22y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．3、如图，抛物线21222y x x =-++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点．（1）求A B C 、、三点的坐标；（2）证明ABC △为直角三角形；（3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使ABP △是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．4、如图，已知抛物线224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ．（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ成为以．BQ ．．为一腰．．．的等腰三角形？若存在， 求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．5、（09年成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS ∠BCO ＝10。
数形结合思想在二次函数问题中的应用解析
5
例4、如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C(0,三点，
2
)
（1）、求抛物线的解析式
（2）、在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，
求点P的坐标。
（3）、点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，
使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求
点yN的坐标;若不存在，请说明理由。
下列结论列结中论：中：①①aabbcc＞＞0；0②；b=2a；②b=2a；
③a+b+c③是＜a+（0b+；c＜④）0；a④+ab+b--cc＞＞0;0⑤; a⑤-b+ac＞-b0正+c确＞的个0正数 确的个数
是 （ A、）2个 B、3个
A、2个 C、4B个、D3、个5个
y
C、4个 D、5个
y
-1 0o 1 x x
①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③无
实数根？
b2 4ac 0 有2个交点
y
4
b
2
4ac
0
有1个交点
b2 4ac 0 没有交点
方程问题 转化 函数问题
-3 -1 o 1
x
（数）
（形）
y (x 1)2 4
本题先由数到形，后图由1形到数，用运动变化的观点去进行观察分 析和化归，巧妙地运用了图形特征来观察图形的变化规律，解答 十分巧妙，充分体现了“数”、“形”结合的解题思想。
两数
者缺
结形
合时
万少
般直
好观
，，
隔形
y
离缺 分数
——
家时
o
x
万难
二次函数与几何图形的综合问题(学生版)--初中数学专题训练
二次函数与几何图形的综合问题目录一、热点题型归纳【题型一】 二次函数与图像面积的数量关系及最值问题【题型二】 二次函数与角度数量关系问题【题型三】 二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题【题型四】 二次函数与特殊三角形问题【题型五】 二次函数与相似三角形存在性问题【题型六】 二次函数与特殊四边形存在性问题【题型七】 二次函数与代数或几何综合问题二、最新模考题组练1.热点题型归纳题型一：二次函数与图像面积的数量关系及最值问题1【典例分析】1如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A-3,0两点，点C为二次函数的图象与y轴，B1,0的交点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为二次函数图象上的一点，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．2【提分秘籍】对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤是：①弄清其取值范围，画出符合条件的图形；②确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；③过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性.④对于面积的最值问题选择合适的自变量，建立面积关于自变量的函数，并求出自变量的取值范围，用二次函数或一次函数的性质来解决.3【变式演练】1如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCP的面积最大值．2如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1，0两点．，B3，0(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，y>0？(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(-2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．(1)求抛物线的函数关系式．(2)设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．题型二：二次函数与角度数量关系问题1【典例分析】1如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点(与点B、C不重合)，作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO=∠PBC时，请求出点Q的坐标．2【提分秘籍】探究两个角相等的方法：①可转换为满足此三角形是等腰三角形时的点，一般是通过此动点作已知两点连线的中垂线，再通过三角形相似以及中垂线的性质求出中垂线所在直线的解析式，最后通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标；②通过构造两个三角形相似，再通过三角形相似的性质建立等式关系，再通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标.3【变式演练】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c过点A-2,0,B4,0，x轴上有一动点P t,0，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接CE．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在线段OB上运动时(不与点O，B重合)当△CDE∽△BDP时，求t的值．(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使∠DCE=∠DEC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2如图，抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)与y轴相交于点C，且经过A(1,0)，B(5,0)两点，连接AC．(1)求抛物线的表达式；(2)设P为x轴下方抛物线上一点，M为对称轴上一点，N为该抛物线对称轴与x轴交点，若∠MNP=∠OCA，求点P的坐标．题型三：二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题1【典例分析】1如图，已知经过A1,0两点的抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C．，B4,0(1)求此抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若线段BC上有一动点M(不与B、C重合)，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N．求当线段MN的长度最大时点M的坐标；2【提分秘籍】探究平面直角坐标系中线段的数量关系的方法：①先设点的坐标，再用点的坐标表示线段的长度，然后分析表示线段长度的代数式，得出线段之间的数量关系；②函数图象上点的坐标的表示方法：直线y=kx+b上点的坐标为(x，kx+b);抛物线y=ax2+bx+c上点的坐标为(x，ax2+bx+c)；双曲线y=k x上的点的坐标为y=x，k x③已知点A(x,y),B(m,n),若AB与x轴平行，则AB=|x-m|;若AB与y轴平行，则AB=|y-n|;若AB既不与x轴平行又不与y轴平行，则AB=(x-m)2+(y-n)2。
二次函数与几何图形结合题及答案
1.如图，抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．〔1〕求A 、B 、C 三点的坐标;〔2〕过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积;解：〔1〕令0y =，得210x -= 解得1x =± 令0x =，得1y =-∴A (1,0)-B (1,0)C (0,1)-……………………3分〔2〕∵O A =O B =O C =1∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45过点P 作P E ⊥x 轴于E ，那么∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，那么P E =1a +∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=- 解得12a =，21a =-〔不合题意，舍去〕∴P E =3……………………………………………………………………………5分∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯=………………………………6分2.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．〔1〕求b ,c 的值；〔2〕点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 假设存在，求出所有点P 的坐标；假设不存在，说明理由.解：〔1〕由得：A 〔-1，0〕 B 〔4，5〕…………………1分∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A 〔-1，0〕B(4,5)∴101645b c b c -+=⎧⎨++=⎩…………………………………………………2分 解得：b=-2 c=-3…………………………………………………3分〔2〕如２６题图：∵直线AB 经过点A 〔-1，0〕 B(4,5)∴直线AB 的解析式为：y=x+1……………………………………4分∵二次函数223y x x =--∴设点E(t ， t+1),那么F 〔t ，223t t --〕………………………5分∴EF= 2(1)(23)t t t +---………………………………………6分=2325()24t --+ ∴当32t =时，EF 的最大值=254 ∴点E 的坐标为〔32，52〕………………………………7分 〔3〕①如２６题图：顺次连接点E 、B 、F 、D 得四边形ＥＢＦＤ．可求出点F 的坐标〔32，154-〕,点D 的坐标为〔1，-4〕 S EBFD 四边行 = SBEF + S DEF =12531253(4)(1)242242⨯-+⨯- =758………………………………………………10分 ②如２６题备用图：ⅰ)过点E 作a ⊥EF 交抛物线于点P,设点P(m ,223m m --)那么有：25232m m --= 解得:1226m =－,2226m += ∴12265(,)2p －, 22265(,)2p + ⅱ〕过点F 作b ⊥EF 交抛物线于3P ，设3P 〔n ，223n n --〕那么有：215423n n --=- 解得：112n = ，232n =〔与点F 重合，舍去〕 ∴3P 11524（，－） 综上所述：所有点P 的坐标：12265(,)22p －，22265(,)22p +3P 〔11524（，－）. 能使△EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形．…………………………………… 13分3.如图,二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C 〔1，－2〕. 〔1〕求此函数的关系式；〔2〕作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A 、C 、B 、D.假设在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；〔1〕∵c bx x y ++=2的顶点为C 〔1，－2〕， ∴2)1(2--=x y ，122--=x x y ． ……………2分 ２６题备用图〔2〕设直线PE 对应的函数关系式为b kx y +=由题意，四边形ACBD 是菱形.故直线PE 必过菱形ACBD 的对称中心M ． ………3分由P (0，－1)，M 〔1，0〕，得⎩⎨⎧=+-=01b k b ．从而1-=x y ， …5分 设E (x ，1-x )，代入122--=x x y ，得1212--=-x x x ． 解之得01=x ，32=x ，根据题意，得点E (3，2) …………………………………7分．4如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点〔点A 在点B 的右侧〕，点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动〔点P 与A 不重合〕，过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，假设点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？假设存在，求点F 的坐标；假设不存在，请说明理由．解：〔1〕∵抛物线的顶点为Q 〔2，－1〕∴设()122--=x a y将C 〔0，3〕代入上式，得()12032--=a1=a ∴()122--=x y ， 即342+-=x x y …〔3分〕〔2〕分两种情况：①当点P 1为直角顶点时,点P 1与点B 重合(如图)令y =0, 得0342=+-x x 解之得11=x , 32=x∵点A 在点B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0)∴P 1(1,0) 〔5分〕②解:当点A 为△APD 2的直角顶点是(如图)∵OA=OC, ∠AOC= 90, ∴∠OAD 2=45当∠D 2AP 2= 90时, ∠OAP 2= 45, ∴AO 平分∠D 2AP 2- .又∵P 2D 2∥y 轴, ∴P 2D 2⊥AO, ∴P 2、D 2关于x 轴对称设直线AC 的函数关系式为b kx y +=将A(3,0), C(0,3)代入上式得 ⎩⎨⎧=+=bb k 330, ∴⎩⎨⎧=-=31b k ∴3+-=x y ……………〔7分〕 ∵D 2在3+-=x y 上, P 2在342+-=x x y 上,∴设D 2(x ,3+-x ), P 2(x ,342+-x x )∴(3+-x )+(342+-x x )=0 0652=+-x x , ∴21=x , 32=x (舍)∴当x =2时, 342+-=x x y =32422+⨯-=－1 ∴P 2的坐标为P 2(2,－1)(即为抛物线顶点)∴P 点坐标为P 1(1,0), P 2(2,－1) …………………………………………………〔9分〕(3)解: 由题(2)知,当点P 的坐标为P 1(1,0)时,不能构成平行四边形……………………〔10分〕当点P 的坐标为P 2(2,－1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交x 轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE 时,四边形PAFE 是平行四边形∵P(2,－1), ∴可令F(x ,1)∴1342=+-x x 解之得: 221-=x , 222+=x ∴F 点有两点, 即F 1(22-,1), F 2(22+,1) ……………〔13分〕3. 〔2021，25，10分〕如图，抛物线212y x x a =-+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y =－2x 上.(1)求a 的值；(2)求A ,B 两点的坐标; (3)以AC ,CB 为一组邻边作□ABCD ,那么点D 关于x 轴的对称点D ´是否在该抛物线上?请说明理由.考点：二次函数综合题。
二次函数试题及答案
二次函数一、选择题1. （2016·湖北鄂州）如图，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC. 则下列结论：①abc＞0 ②9a+3b+c＜0 ③c＞－1 ④关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－1a其中正确的结论个数有（）A. 1个B. 2个个 D. 4个【考点】二次函数图象与系数的关系，数形结合思想．【分析】①由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＜0，则可对①进行判断；②当x=3时，y=ax2+bx+c=9a+3b+c＞0，则可对②进行判断；③【解答】①解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∴①正确；②当x=3时，y=ax2+bx+c=9a+3b+c＞0，∴②9a+3b+c＜0错误；③∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），由图知，A在1的左边∴﹣c＜1 ，即c＞－1∴③正确；④把－a1代入方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，得ac﹣b+1=0，把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，即ac﹣b+1=0，∴关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－a1.综上，正确的答案为：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．1. (2016·四川资阳)已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（）A．m=n B．m=n C．m=n2D．m=n2【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A（﹣﹣，m），B（﹣+，m）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．又∵点A（x1，m），B（x1+n，m），∴点A、B关于直线x=﹣对称，∴A（﹣﹣，m），B（﹣+，m），将A点坐标代入抛物线解析式，得m=（﹣﹣）2+（﹣﹣）b+c，即m=﹣+c，∵b2=4c，∴m=n2，故选D．2. (2016·四川自贡)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，反比例函数y=与正比例函数y=bx 在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质；正比例函数的图象；反比例函数的图象．【分析】根据函数图象的开口方向，对称轴，可得a、b的值，根据a、b的值，可得相应的函数图象．【解答】解：由y=ax2+bx+c的图象开口向下，得a＜0．由图象，得﹣＞0．由不等式的性质，得b＞0．a＜0，y=图象位于二四象限，b＞0，y=bx图象位于一三象限，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用函数图象的开口方向，对称轴得出a、b的值是解题关键．3. （2016·四川成都·3分）二次函数y=2x2﹣3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线经过点（2，3）C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．抛物线与x轴有两个交点【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2﹣3=0解的情况对D进行判断．【解答】解：A、a=2，则抛物线y=2x2﹣3的开口向上，所以A选项错误；B、当x=2时，y=2×4﹣3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以B选项错误；C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D、当y=0时，2x2﹣3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．故选D．4. （2016·四川达州·3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③ B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【考点】二次函数的性质．【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在原点左侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．5. （2016·四川广安·3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，其中，正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案．【解答】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；∵图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵图象与y轴交于x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，故②正确；当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故此选项错误；∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，则m＞﹣2，故④正确．故选：B．6. （2016·四川凉山州·4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数与一次函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．【分析】根据二次函数的图象找出a、b、c的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．【解答】解：观察二次函数图象可知：开口向上，a＞0；对称轴大于0，﹣＞0，b＜0；二次函数图象与y轴交点在y轴的正半轴，c＞0．∵反比例函数中k=﹣a＜0，∴反比例函数图象在第二、四象限内；∵一次函数y=bx﹣c中，b＜0，﹣c＜0，∴一次函数图象经过第二、三、四象限．故选C．7．（2016·山东烟台）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．其中正确的有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线与x轴有两个交点即可判断①正确，根据x=﹣1，y＜0，即可判断②错误，根据对称轴x＞1，即可判断③正确，由此可以作出判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac＜b2，故①正确，∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故②错误，∴对称轴x＞1，a＜0，∴﹣＞1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故③正确．8．(2016福州，11,3分)已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．【考点】坐标确定位置；函数的图象．【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；∵B（1，m），C（2，m+1），∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误．故选C．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．9.（2016·广东广州）对于二次函数y=-14x2+x-4,下列说法正确的是（）A、当x>0，y随x的增大而增大B、当x=2时，y有最大值－3C、图像的顶点坐标为（－2，－7）D、图像与x轴有两个交点［难易］中等［考点］二次函数的性质［解析］二次函数y=-14x2+x-4=-14(x-2)2-3,所以二次函数的开口向下，当x=3时，取得最大值，最大值为－3,所以B正确。
二次函数中的数形结合训练及解析(原创题)
二次函数中的数形结合如图，已知抛物线C:y 1=−(x −ℎ)2+k 经过原点，直线l:y 2=x +4与x 轴，y 轴分别交于点A 、B.(1)用含h 的代数式表示k ；(2)若抛物线C 与直线l 有唯一公共点，求h 的值；(3)我们将横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，设△AOB 内部(不含边界)的整数点有n 个；当抛物线C 与x 轴围成的区域内部(不含边界)的整数点个数为n-1时，求出此时h 的取值范围.解:(1)将(0,0)代入y 1=−(x −ℎ)2+k 得k =ℎ2；(2)当抛物线与直线有唯一公共点时，考虑方程−(x −ℎ)2+ℎ2=x +4，整理得x 2+(1−2ℎ)x +4=0△=(1−2ℎ)2−16=0，解得ℎ1=−32,ℎ2=52(3)由直线y 2=x +4可得A(-4,0)和B(0,4)，所以△AOB 内部的整数点有三个，即n=3； ①当抛物线对称轴在y 轴左侧时；当抛物线经过(-1,1)时，求出h=-1，抛物线解析式为y =−x 2−2x ，此时区域内部没有整数点；当抛物线经过点(-2,1)时，求出ℎ=−54，抛物线解析式为y =−x 2−52x ，此时区域内有1个整数点；当抛物线经过(-1.2)时，求出ℎ=−32；抛物线解析式为y =−x 2−3x ，此时区域内有2个整数点，同时抛物线还经过点(-2,-2)；当抛物线经过(-3,1)时，求出ℎ=−53，抛物线解析式为y =−x 2−103x ，此时区域内有4个整数点；因此−32≤ℎ<−54；②抛物线对称轴在y 轴右侧时当抛物线经过(1,1)时，求出h=1，抛物线解析式为y =−x 2+2x ，此时区域内部没有整数点； 当抛物线经过点(2,1)时，求出ℎ=54，抛物线解析式为y =−x 2+52x ，此时区域内有1个整数点；当抛物线经过(1.2)时，求出ℎ=32；抛物线解析式为y =−x 2+3x ，此时区域内有2个整数点，同时抛物线还经过点(2,2)；当抛物线经过(3,1)时，求出ℎ=53，抛物线解析式为y =−x 2+103x ，此时区域内有4个整数点；因此54<ℎ≤32； （也可由抛物线对称性得到）综上所述，−32≤ℎ<−54；54<ℎ≤32。
九年级数学二次函数数形结合训练卷人教版
二次函数数形结合训练题1.如图1，抛物线2x y =的顶点为P ，A 、B 是抛物线上的两点，x AB //轴，四边形ABCD 为矩形，CD 边经过点P ，AD AB 2=.⑴求矩形ABCD 的面积；⑵如图2，若将“抛物线2x y =”改为“抛物线c bx x y ++=2”，其他条件不变，求矩形ABCD 的面积； ⑶若将“抛物线c bx x y ++=2”改为“抛物线c bx ax y ++=2”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD 的面积（用a 、b 、c 表示，并直接写出答案）2.如图1，抛物线22x y =的顶点为P ，A 、B 、C 、D 是抛物线上的四点，PAB ∆为等腰直角三角形，x AB DC ////轴，AB DC 2=.⑴求四边形ABCD 的面积；⑵若将“抛物线22x y =”改为“抛物线1422+-=x x y ”，其他条件不变，求四边形ABCD 的面积； ⑶如图2，若将“抛物线22x y =”改为 “抛物线c bx ax y ++=2”，其他条件不变，求四边形ABCD 的面积（用a 、b 、c 表示）--1--3.如图1，抛物线322+-=x y 的顶点为P ，A 、B 是抛物线上的两点，ABP ∆为等边三角形. ⑴求ABP ∆的周长；⑵如图2，若将“抛物线322+-=x y ”改为“抛物线c bx x y ++-=22”，其他条件不变，求ABP ∆的周长；⑶若将“抛物线c bx x y ++-=22”改为“抛物线c bx ax y ++=2”，其他条件不变，猜想ABP ∆的周长（用a 、b 、c 表示，并直接写出答案）4.如图1，点C 、B 分别是抛物线1C ：121+=x y 、抛物线2C ：22222c x b x a y ++=的顶点，分别过点B 、C 作x 轴的平行线，交抛物线1C 、2C 于点A 、D ，且BD AB =.⑴求点A 的坐标；⑵如图2，若将“抛物线1C ：121+=x y ”改为“抛物线11212c x b x y ++=”，其他条件不变，求CD 的长和2a 的值；⑶如图2，若将“抛物线1C ：121+=x y ”改为“抛物线11211c x b x a y ++=”，其他条件不变，求21b b +的值.--2--5.如图，抛物线2x y -=，A 、B 在x 轴的正半轴上，A （1，0），B （2，0），作x AD ⊥轴交抛物线于D ，作x BC ⊥轴交抛物线于C ，直线CD 交y 轴于E .⑴求点E 的坐标，并判断OE 与OB OA ⋅的关系；⑵将“A （1，0），B （2，0）”改为“A （t ，0），B （2t ，0）”，其他条件与做法不变，判断⑴中OE 与OB OA ⋅的关系是否仍然成立？⑶将“A （1，0），B （2，0）”改为“A （t ，0），B （m t ，0）”，试判断OE 与OB OA ⋅的关系（直接写出答案）⑷将“A （1，0），B （2，0）”改为“A （t ，0），B （2t ，0）”，“抛物线2x y -=”改为“抛物线2ax y =（0<a ）”，试判断OE 与OB OA ⋅的关系6.如图1，在平面直角坐标系中，A （1，0）、B 在x 轴上，P 是抛物线2x y =的顶点，AB AP =，分别过A 、B 两点作x 轴的垂线交2x y =于C 、D ，射线OC 交BD 于E ，CDE ∆面积记作CDE S ∆，梯形ABDC 面积记作梯S .⑴求CDE S ∆：梯S ；⑵将点“A （1，0）”改为“A （t ，0）”，其他条件不变，求CDE S ∆：梯S ；⑶如图2，若将“抛物线2x y =”改为“抛物线c bx x y ++=2”，A 、B 在直线PQ 上，x PQ //轴，PQ AC ⊥，PQ BD ⊥，t AB AP ==，求CDE S ∆：梯S ；⑷如图3，在⑶的基础上将“抛物线c bx x y ++=2”改为“抛物线c bx ax y ++=2”，求CDE S ∆：梯S .--3--7.如图1，抛物线2x y =的顶点为P ，A 、B 是抛物线上的两点，且BP AP ⊥，作x AC ⊥轴于C ， 作x BD ⊥轴于D .⑴求BD AC ⋅的值；⑵如图2，若将“抛物线2x y =”改为“抛物线c bx x y ++=2”，x PQ //轴，PQ AC ⊥轴于C ，PQ BD ⊥轴于D .其他条件不变，求BD AC ⋅的值；⑶如图3，在⑵的基础上，若将“抛物线c bx x y ++=2”改为“抛物线c bx ax y ++=2”，其他条件不变，求BD AC ⋅的值.8.在平面直角坐标系中，抛物线1F ：2x y =的顶点为P ，将抛物线1F 平移得到抛物线2F ，使其图象经过抛物线1F 的顶点，与x 轴的交点A 的坐标为（2，0），抛物线2F 的顶点为点C ，其对称轴交抛物线1F 于点B .⑴猜想四边形PCAB 的形状及面积（直接写出答案）⑵若将“抛物线1F ：2x y =”改为“抛物线1F ：2ax y =”，“A 的坐标为（2，0）”改为“A 的坐标为（m ，0）”，其他条件不变，探究四边形PCAB 的形状及面积⑶若将“抛物线1F ：2x y =”改为“抛物线1F ：c ax y +=2”，“A 的坐标为（2，0）”改为“A 的坐标为（m ，c ）”，其他条件不变，请你直接写出直线AB 与y 轴的交点坐标.--4--9.如图1，抛物线1F ：2x y =的顶点为P ，将抛物线1F 平移得到抛物线2F ，使抛物线2F 的顶点Q 始终在抛物线1F 图象上（点Q 不与点P 重合），过点Q 直线x QB //轴，与抛物线1F 的另一个交点为B ，抛物线1F 的对称轴交抛物线2F 于点A .⑴四边形ABOQ 能否成为正方形？若能需增加怎样的条件，说明理由，并求出此时点Q 的坐标； ⑵若将“抛物线1F ：2x y =”改为“抛物线1F ：2ax y =”，其他条件不变，请你探究⑴中的问题； ⑶若将“抛物线1F ：2x y =”改为“抛物线1F ：()n m x a y +-=2”，当四边形ABOQ 为正方形时，请你直接写出点Q 的坐标.10.如图1，抛物线1F ：2x y =的顶点为P ，将抛物线1F 平移得到抛物线2F ，使抛物线2F 的顶点Q 始终在抛物线1F 图象上（点Q 不与点P 重合），过点Q 直线x QB //轴，与抛物线1F 的另一个交点为B ，抛物线1F 的对称轴交抛物线2F 于点A .⑴四边形ABOQ 能否成为︒=∠60BOQ 的菱形？若能需增加怎样的条件，说明理由，并求出此时点Q 的坐标；⑵若将“抛物线1F ：2x y =”改为“抛物线1F ：2ax y =”，其他条件不变，请你探究⑴中的问题； ⑶若将“抛物线1F ：2x y =”改为“抛物线1F ：()n m x a y +-=2”，当四边形ABOQ 为有一个内角为︒60的菱形时，请你直接写出点Q 的坐标.--5--11.如图1，抛物线2x y =的顶点为P ，A 、B 是抛物线上的两点，且x AB //轴. ⑴若︒=∠120AOB ，求AB 的长；⑵如图2，在⑴的基础上，若将“抛物线2x y =”改为“抛物线c bx ax y ++=2”，其他条件不变，求AB 的长；⑶如图3，α=∠APB ，在⑵的基础上，其他条件不变，求AB 的长及ABP ∆的面积.12.如图，抛物线F ：c bx ax y ++=2的顶点为P ，抛物线F 与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B ，过点P 作x PD ⊥轴于点D ，平移抛物线F 使其经过点A 、D 得到抛物线F '：'+'+'=c x b x a y 2，抛物线F '与x 轴的另一个交点为C ． ⑴当1=a ，2-=b ，3=c 时，求点C 的坐标(直接写出答案)； ⑵若a 、b 、c 满足了ac b 22= ①求b b ':的值；②探究四边形OABC的形状，并说明理由．--6--。
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3、 k取何值时，不论x取何值，二次函数
y= （2k -1) x2 (4k 1)x 2k 1
的函数值恒为负数？
• 观察二次函数的图象，如果抛物线的开 口向上，一定会有一些函数值大于零，因此 可知图象的开口必须向下，即2k-1<0 ; 要想 函数值恒为负数，可知函数的图象在x轴下 方，也就是说图象与x轴没有交点,或者函数 的最大值小于零。
• 与此图象有两个公共点时2，b的取值范围.
相信自己，你会成功的，努力吧
例3：已知关于x的一元二次方程 2x2 4x k 1 0
有实数根，k为正整数.
• （1）求k的值； • （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x
的二次函数 y 2x2 4x k 1
• 的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析 式；
• （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的 图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部 分的保图持 象不 回变 答， ：得 当到直一线个y新 1的x 图b象b .请k 你结合这个新
平移、对称 就是要与顶
点对话
四、巩固练习
例1、将抛物线 y x2 4x 向左平移两个单位，再向上平移一个单
位，写出平移后所得到抛物线的解析式。
例2、已知：二次函数y x2 4x 1 的图像与抛物
线 y ax2 bx c
关于y轴对称，求a,b,c的值。 • 关于x轴对称呢？关于原点对称呢？
• 由上面的分析可知，此题 可列出下面两种
关系式：
0 或
2k 1 0
解得
kk185
4ac b2 4a
0
2k 1 0
当
k 5 8
2
时，该二次函数的函数值恒为负数
三、拓广探索：关于二次函数图象变换（如平 移、对称等）的思考
抓住一轴一顶点 (1) y 2x 2 (2) y 2(x 3)2 2 (3) y 2(x 5)2 3
数形结合解决二次函数综 合题
一、二次函数的定义
形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数， 且a≠0 ）的函数，叫做二次函数。
二次函数的一般式：y=ax2+bx+（a≠0）。 二次函数的双根式：y=a（x-x1)(x-x2)（a≠0)。
写出二次函数y = -2x2+8x-6的顶点、对称 轴方程、最值、增减性、与轴的交点……
二、二次函数的图象与性质
把一般式 y=ax2+bx+c 配成顶 点式为：
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
抛物线、顶点、对称轴、开口方 向、增减性、最值、与轴的交点、 与方程不等式的结合等……
练一练
1、 二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a=___-_1__．
k 5 8