第2章 .电磁场的基本规律(复习)

第2，3章 .电磁场的基本规律（复习）知识脉络静态场见下页重点、难点一、电荷分布与电流分布在电磁理论中，电荷源模型分为体电荷、面电荷、线电荷和点电荷，电流源模型分为体电流、面电流和线电流。

关于电荷源模型与电流源模型应注意以下几点：1、 微观上看，电荷是以离散的形式存在的。

分析宏观电磁现象时，认为电荷是连续分布在空间体积内。

空间的电荷分布用电荷体密度ρ来表示，电流分布用电流体密度J 来表示。

出于理论分析的需要，引入面分布电荷、线分布电荷的概念；2、“点电荷”是电磁场中的一个重要的概念。

当一个带电体的体积很小，以至于可以忽略其体积的大小，将其看作电荷q 集中在一个体积为零的几何点上，这个电荷就称为点电荷q 。

利用δ函数，可将位于'r 处的点电荷q 的体密度()ρr 表示为()()q ρδ'=-r r r ；3、 同样，电流也有面分布电流和线电流的概念，面电流密度与面电荷密度的关系为S σ=J v ，线电流与线电荷密度的关系为l I v ρ=；在分析磁场时，也引入了点源的概念，即电流元d I l ，它是一种矢量性质的点源。

体电流和面电流的电流元分别为d τJ 和d S S J 。

二、库仑定律1、库仑定律是静电场的基本实验定律。

要注意它的适用条件：它是在无限大的均匀、线性、各向同性介质中总结出的实验定律。

2、静止点电荷之间的相互作用力称为静电力。

两个点电荷之间静电力的大小与两个电荷的电量成正比、与电荷之间距离的平方成反比，方向在两个电荷的连线上。

静电力遵从叠加原理，当有多个点电荷存在时，其中任一个点电荷受到的静电力是其他各点电荷对⎩z z其作用力的矢量叠加。

对于连续分布的电荷系统（如体、面和线电荷），静电力必须进行矢量积分。

三、电场强度电场强度是表征电场特性的基本场量，对于电场强度的概念应注意以下几点：① 电场强度是空间变量的矢量函数，它由电场本身的性质所决定，与检验电荷的大小无关。

电场强度定义中，取检验电荷00q →表示检验电荷的电量很小，使它对被检验电场分布的影响可以忽略；② 电场的存在是通过对场中的其它电荷产生作用力来表现的，电场强度反映了这种作用力的强度，即q =F E ；③ 电场强度矢量在数值上虽等于单位试验电荷所受的电场力，但电场强度不是力。

静电场求解分析一、静电场的基本方程有微分和积分两种形式，它们是分析求解静电场问题的基础。

应明确：①为什么说它们是静电场的基本方程？②方程的两种形式之间存在什么联系、有何差异？③它们在应用方面有何不同？这些问题对深刻理解和掌握静电场的基本性质，正确地分析、求解静电场问题是非常重要的。

① 静电场的基本方程静电场基本方程组完整地反映出了静电场的基本性质，是分析求解静电场问题的基础。

高斯定理d S q=⎰D S 及其微分形式ρ∇⋅=D 清楚地表示出静电场是有源场，电荷就是静电场的源；电力线发自于正电荷，终止于负电荷。

环路定理d 0C =⎰E l 及其微分形式0∇⨯=E ，则反映了静电场的无旋性，是保守场。

并且静电场基本方程组适用于任何静电场，只要是静电场，E 和D 就满足静电场基本方程。

② 基本方程的微分形式和积分形式都可以直接从电场表达式出发推导出来，并且它们之间可以互相转换，即利用散度定理和斯托克斯定理，可由微分形式推导出积分形式。

反之，也能由积分形式推导出微分形式。

③ 在不同媒质的分界面上或有面电荷分布之处，E 和D 通常是不连续的，∇⨯E 和∇⋅D 失去意义。

所以，场方程的微分形式在不同媒质的分界面上不再适用，而场方程的积分形式在这些地方依然是适用的。

④ 场方程的积分形式反映了一定区域内静电场的整体性质。

d S q =⎰D S 表明：电位移矢量D 在任一闭曲面S 上的通量只与S 内的自由电荷的总量有关，只要S 内自由电荷的总量不变，无论电荷怎样分布，D 在任一闭曲面S 上的通量都相同。

而场方程的微分形式则反映出场中每一点的特性，ρ∇=D 表明，场中任一点D 的散度等于该点的电荷体密度，而与其它地方的电荷分布无关。

⑤ 当电场分布具有某种空间对称性（如平面对称、轴对称、球对称等）时，应用高斯定理d Sq =⎰D S 求解电场强度最为简单。

但在一般情况下，由场方程的微分形式与边界条件联立构成边值问题，原则上可以求解任何电荷分布的电场。

若已知场分布，则由d S q =⎰D S 可求出闭曲面S 内的总电荷；而利用ρ∇=D 则可求出场中各点的电荷体密度。

对场分布不连续之处，由21()σ-=n D D可求出其电荷面密度。

0()()()0r E r E r ρε⎧∇=⎪⎨⎪∇⨯=⎩ 0()()0S C Q E r dS E r ε⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰二、静电场的边界条件边界条件是静电场的重点内容之一，怎样正确的理解边界条件的意义与作用，掌握并运用边界条件是难点。

什么是静电场的边界条件？为什么要讨论边界条件？静电场问题中，常常涉及到具有不同物理性质的媒质，在两种不同媒质的分量面上，场量会产生突变，基本方程的微分形式不适用于媒质分界面。

那么，在媒质分界面两侧的场量之间存在什么关系?这就是场量在媒质分界面上所满足的边界条件。

边界条件实质上是静电场基本方程在媒质分界面上的一种表现形式。

所以，在静电场中，场量不仅满足基本方程，而且也满足边界条件。

也就是说，只有满足基本方程，并且也满足边界条件的场矢量E 和D 才是静电场问题的解。

因此，在求解静电场问题中，边界条件起定解的作用。

三、电位参考点电位是静电场中的一个重要的概念。

关于电位应注意以下几点：① 电位具有明确的物理意义，它表示将正电荷从场点移动到参考点时电场力所做的功；② 明确电位参考点的作用。

电位具有相对意义，在同一个静电场中，各点的电位值与参考点的选取有关。

但场中两点之间的电位差是绝对的，与参考点的选择无关；③ 选择电位参考点的—般原则：一是电位表达式要有意义。

例如，在点电荷的电场中不能选择点电荷所在处为电位参考点，在均匀场中不能选择无穷远处为电位参考点。

否则空间中大多数地方电位将为无穷大，而失去实际意义；二是同一个问题中只能选择一个电位参考点。

④ 电荷分布在有限的区域时，通常选择无穷远处为电位参考点。

电荷不是分布在有限区域内时，则不能选择无穷远处为电位参考点，这时可根据具体情况选择电位参考点。

如：对于均匀带电的无限长细直导线的电位，可选择0r r =（00r ≠的常数）为电位参考点。

⑤ 在静电场中，有接地导体时，通常选择接地导体的电位为零。

但接地与电位参考点是两个不同的概念，不能混为一谈。

导体接地的主要含义：一是接地导体与地球同电位，且与外界条件的变化无关；二是导体接地会与大地产生电荷交换，电荷的流动方向取决于导体接地前的电位是高于大地，还是低于大地。

若接地前导体的电位高于大地，接地后将有正电荷流向大地，直到导体与大地电位相等。

因此，导体接地与否，其上的电荷分布可能完全不同。

例如，在一个导体球附近放置一个带正电的点电荷，导体球面上会出现感应电荷分布。

当导体球接地时，球面上只有负的感应电荷分布；若导体球不接地，则球面上靠近点电荷的地方有负的感应电荷分布，而离点电荷较远的地方则有正的感应电荷分布、且球面上感应电荷的总量为零。

四、恒定电场与静电场的比较恒定电场与静电场具有相似的性质，但也有所区别。

在学习恒定电场时，应对恒定电场产生的条件有清楚的认识，将恒定电场与静电场进行比较。

静电场是静止电荷产生的场，带电体充有电荷后，就不再需要外电源提供能量。

恒定电场是恒定流动的电荷所产生的电场，由于导体内的电荷流动要消耗能量，所以必须有外电源提供能量才能维持导体中的电荷作恒定流动。

恒定电场中，导电媒质内存在恒定电流，各点的电位不同。

因而，导体不再是等位体，导体表面也不是等位面，这一点与静电场是完全不同的。

导电媒质中的恒定电场(电源外)与介质中的静电场(无源区域)公式对比如下：从以上对比关系可以看出：① 表征两种场的特性的方程和边界条件具有相似的形式；② 导电媒质中的E 、ϕ、J 、I 、γ和G 分别与电介质中的E 、ϕ、D 、q 、ε和C 在各自的方程和边界条件中有相同的地位，因而它们之间是对偶量；③ 如果两种场具有相同边界条件，则它们有相同形式的解。

因而在相同边界条件下，如果已知一种场的解，只要用对偶量代换，就可得到另一种场的解，这种方法称为静电比拟法。

五、静电场能量在静电场中，表示能量的公式有几个，其中主要的是：点电荷系的静电场能量公式，连续分布电荷系的静电场能量公式 和用电场表示的能量公式。

应注意这些公式的物理含义以及它们之间的联系与差异。

按照场的观点，静电场能量存在于电场所在的区域内，也就是说场蕴含着能量。

直接反映这个观念的是电场能量密度公式，它仅由场量E 、D 来确定，而与电荷无关。

这就表明了场存在的空间中，任一体积元内都具有能量，若在场中某一体积内对能量密度积分，就得到该体积内蕴含的静电场能量；若积分遍及电场存在的全空间，就得到总的静电能量。

所以由电场的能量密度，既可计算总的静电能量，也可计算局部空间中蕴含的静电能量。

既适用于静电场，也适用于时变场，具有普遍的意义。

六、静电场解题静电场解题的主要问题包括：①由已知电荷分布求电场和电位分布；②由已知电场或电位分布求自由电荷和极化分布；③求电容、静电能量。

① 已知电荷分布求解电场分布主要有三种方法：a 、直接应用电场强度的计算公式求解。

这一方法主要用于计算一些比较简单的电荷分布在空间某些特殊位置的电场；b 、应用高斯定理求解对称分布的电场。

当电场分布具有某种空间对称性（如平面对称、轴对称、球对称等）时，应用高斯定理d Sq=⎰D S 求解电场强度最为简单。

对于某些非对称分布的场，若能将其表示为若干个对称分布的场的叠加，也能应用高斯定律求解。

当存在介质分界面时，有两种情况适宜用高斯定理求解：一种情况是在介质分界面上，电场垂直于1()()2e w D r E r = 1()()2e V W D r E r dV =⎰ 12e i i i W q ϕ=∑1()()2e V W r r dVρϕ=⎰介质分界面，即电场只有法向分量。

这时D 成对称分布，可直接应用高斯定理求解；另一种情况是在介质分界面上，电场平行于分界面，即电场只有切向分量。

根据边界条件，这时应有12E E =，但12D D ≠。

也就是说，在这种情况下E 成对称分布，而D 不是对称分布的。

应用高斯定理求解这种问题的关键在于：将12E E E ==、111D E ε=和222D E ε=代入d S q=⎰D S ；c 、由电位的梯度求电场强度。

② 求解电位分布的三种主要方法是：a 、直接应用电位的计算公式求解。

这一方法主要用于计算一些比较简单的电荷分布在空间某些特殊位置的电位；b 、由电场强度的积分求电位；c 、求解泊松方程或拉普拉斯方程的边值问题（这一解法将在第四章中讨论）。