六、竞赛题选讲

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集合竞赛试题

竞赛试题选讲之：集合与函数一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．（2006陕西赛区预赛）a,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则a+b 的值等于（）A ． -1B ．0C ．1D ．1±2．（2006天津）已知函数22)(2+-=ax x x f ，当),1[+∞-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，则a 的取值范围是（） A ．12<<-a B ．12≤≤-a C ．23-≤≤-a D ．13≤≤-a 3．（2006陕西赛区预赛）若关于x 的方程323()25xaa+=-有负数根，则实数a 的取值范围为（）A ．2(,)(5,)3-∞-+∞B ．3(,)(5,)4-∞-+∞ C ．2(,5)3- D ．23(,)34-4．（2006陕西赛区预赛）若函数()f x 满足22()log ||f x x =+()f x 的解析式是（）A ．2log xB ．2log x -C ．2x-D ．2x -5．（2006年江苏）函数3log 3xy =的图象是（）A B C D 6．（2006陕西赛区预赛）已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且1201,1x x <<>则ba 的取值范围是（） A ．1(1,]2-- B ．1(1,)2-- C ．1(2,]2-- D ．1(2,)2--7．（2006年江苏）设()f x 是定义在R 上单调递减的奇函数．若120x x +>，230x x +>，310x x +>则（） A ．()()()1230f x f x f x ++> B ．()()()1230f x f x f x ++<C ．()()()1230f x f x f x ++=D ．()()()123f x f x f x +>8．（2006吉林预赛）如果集合A={y|y=－x 2+1，x ∈R +}，B={y|y=－x+1，x ∈R}，则A 与B 的交集是（） A ． (0，1)或(1，1) B ．{(0，1)，(1，1)} C ． {0，1} D ． (－∞，1)9．（2006安徽初赛）已知lg x 的小数部分为a ，则21lg x的小数部分为（）A ．2a -的小数部分B ．12a -的小数部分C ．22a -的小数部分D ．以上都不正确10．（2006吉林预赛）若函数f(x)=x 3－6bx+3b 在(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（） A ． (0，1) B ． (－∞，1) C ． (0，+∞) D ． (0，0.5)11．（2006年南昌市）设集合22{8|},{29|}A a a N B b b N =+∈=+∈,若A B P =,则P 中元素个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．至少3个 12．（2006年南昌市）设x xx f -+=11)(,记()()1f x f x =,若)),(()(1x f f x f n n =+则=)(2006x f （）A ．xB ．-x 1C ．x x -+11D ．11+-x x二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．（2006安徽初赛）已知实数x 、y 满足()()()()55111511541545x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，则x y += ． 2．（2006天津）已知集合},,,,{54321a a a a a C B A = ，且},{21a a B A = ，则集合A 、B 、C 所有可能的情况有种．3．（2006年南昌市）设M ＝{1,2,…,100},A 是M 的子集,且A 中至少含有一个立方数,则这种子集A 的个数是____________. 4．（2006年江苏）集合{}3,,010A x x n n N n ==∈<<，{}5,,06B y y m m N m ==∈≤≤，则集合AB 的所有元素之和为．5．（2006年南昌市）若曲线2|2|y x =-与直线3y x k =+恰有三个公共点,则k 的值为___6．（2006年上海）已知函数:f R +→R 满足：对任意,x y ∈R +，都有11()()()20062005f x f y f xy xy⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则所有满足条件的函数f 为．7．（2006年上海）对于任意实数a ，b ，不等式{}max ,,2006a b a b b C +--≥恒成立，则常数C 的最大值是．（注：{}max ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最大者．）8．（2006年上海）设2()cos f x x ax b x =++，{}{}()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满足条件的所有实数a ，b 的值分别为．三、解答题（每小题20分，共60分）1．（2006年江苏）设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值范围．2．(集训试题)已知a>0，函数f(x)=ax-bx 2,（1）当b>0时，若对任意x ∈R 都有f(x)≤1，证明：a ≤2b ；（2）当b>1时，证明：对任意x ∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a ≤2b ；（3）当0<b ≤1时，讨论：对任意x ∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件。

【精选】小学六年级数学竞赛奥数讲义例题

一、拓展提优试题1．如图，已知AB＝2，BG＝3，GE＝4，DE＝5，△BCG和△EFG的面积和是24，△AGF和△CDG的面积和是51．那么，△ABC和△DEF的面积和是．2．（15分）二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，其中二进制数转换成十进制数的方法如下：那么，将二进制数 11111011111 转化为十进制数，是多少？3．若质数a，b满足5a+b＝2027，则a+b＝．4．若A：B＝1：4，C：A＝2：3，则A：B：C用最简整数比表示是．5．如图，设定E、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，线段CE，BF交于点D，若△CDF，△BCD，△BDE的面积分别为3，7，7，则四边形AEDF的面积是．6．如图，六边形ABCDEF的周长是16厘米，六个角都是120°，若AB＝BC ＝CD＝3厘米，则EF＝厘米．7．根据图中的信息计算：鸡大婶和鸡大叔买的花束中，玫瑰、康乃馨、百合各多少枝？8．已知三个分数的和是，并且它们的分母相同，分子的比是2：3：4．那么，这三个分数中最大的是．9．如图，已知AB＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是cm2．（π取3.14）10．如图，圆P的直径OA是圆O的半径，OA⊥BC，OA＝10，则阴影部分的面积是．（π取3）11．已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是．12．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行．甲、乙的速度比是5：3．两人相遇后继续行进，甲到达B地，乙到达A地后都立即沿原路返回．若两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点50千米，则A、B两地相距千米．13．将浓度为40%的100克糖水倒入浓度为20%的a克糖水中，得到浓度为25%的糖水，则a＝．14．张强晚上六点多外出锻炼身体，此时时针与分针的夹角是110°；回家时还未到七点，此时时针与分针的夹角仍是110°，则张强外出锻炼身体用了分钟．15．已知两位数与的比是5：6，则＝．16．如图，将1个大长方形分成了9个小长方形，其中位于角上的3个小长方形的面积分别为9，15和12，由第4个角上的小长方形的面积等于．17．某项工程，开始由6人用35天完成了全部工程的，此后，增加了6人一起来完成这项工程．则完成这项工程共用天．18．如图，向装有水的圆柱形容器中放入三个半径都是1分米的小球，此时水面没过小球，且水面上升到容器高度的处，则圆柱形容器最多可以装水188.4立方分米．19．王老师开车从家出发去A地，去时，前的路程以50千米/小时的速度行驶，余下的路程行驶速度提高20%；返回时，前的路程以50千米/小时的速度行驶，余下的路程行程速度提高32%，结果返回时比去时少用31分钟，则王老师家与A地相距千米．20．在救灾捐款中，某公司有的人各捐200元，有的人各捐100元，其余人各捐50元．该公司人均捐款元．21．22012的个位数字是．（其中，2n表示n个2相乘）22．用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是cm．23．若一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的2倍，所有棱长之和是56，则此长方体的体积是．24．图中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点A和点C，AE＝4m，点B 是AE的中点，那么阴影部分的周长是m，面积是m2（圆周率π取3）．25．A、B、C、D四个箱子中分别装有一些小球，现将A箱中的部分小球按如下要求转移到其他三个箱子中：该箱中原有几个小球，就再放入几个小球，此后，按照同样的方法依次把B、C、D箱中的小球转移到其他箱子中，此时，四个箱子都各有16个小球，那么开始时装有小球最多的是箱，其中装有小球个．26．如图，三个同心圆分别被直径AB，CD，EF，GH八等分，那么，图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是．27．老师让小明在400米的环形跑道上按照如下规律插上一些旗子做标记：从起点开始，沿着跑道每前进90米就插上一面旗子，直到下一个90米的地方已经插有旗子为止，则小明要准备面旗子．28．12013+22013+32013+42013+52013除以5，余数是．（a2013表示2013个a相乘）29．快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇行了全程的，已知慢车行完全程需要8小时，则甲、乙两地相距千米．30．一个两位数除以一位数，所得的商若是最小的两位数，那么被除数最大是．31．如图，边长为12cm的正方形与直径为16cm的圆部分重叠（圆心是正方形的一个顶点），用S1，S2分别表示两块空白部分的面积，则S1﹣S2＝cm2（圆周率π取3）．32．一列快车从甲地开往乙地需要5小时，一列慢车从乙地开往甲地所需时间比快车多，两车同时从甲乙两地相对开出2小时后，慢车停止前进，快车继续行驶40千米后恰与慢车相遇，则甲乙两地相距千米．33．图中的三角形的个数是．34．图中每一个圆的面积都是1平方厘米，则六瓣花形阴影部分的面积是平方厘米．35．如图，正方形ABCD和EFGH分别被互相垂直的直线分为两个小正方形和两个矩形，小正方形的面积的值已标在图中，分别为20和10，18和12，则正方形ABCD和EFGH中，面积较大的正方形是．36．某工程队修建一条铁路隧道，当完成任务的时，工程队采用新设备，使修建速度提高了20%，同时为了保养新设备，每天工作时间缩短为原来的，结果，前后共用185天完工，由以上条件可推知，如果不采用新设备，完工共需天．37．小强和小林共有邮票400多张，如果小强给小林一些邮票，小强的邮票就比小林的少；如果小林给小强同样多的邮票，则小林的邮票就比小强的少，那么，小强原有227张邮票，小林原有张邮票．38．对任意两个数x，y规定运算“*”的含义是：x*y＝（其中m是一个确定的数），如果1*2＝1，那么m＝，3*12＝．39．对于一个多边形，定义一种“生长”操作：如图1，将其一边AB变成向外凸的折线ACDEB，其中C和E是AB的三等分点，C，D，E三点可构成等边三角形，那么，一个边长是9的等边三角形，经过两次“生长”操作（如图2），得到的图形的周长是；经过四次“生长”操作，得到的图形的周长是．40．从1开始的n个连续的自然数，如果去掉其中的一个数后，余下的各个数的平均数是，那么去掉的数是．【参考答案】一、拓展提优试题1．解：作CM⊥AD，垂足为M，作FN⊥AD，垂足为N，设CM＝x，FN＝y．由题意得方程组，解方程组得，所以△ABC与△DEF的面积和是：AB•CM+DE•FN＝×2×8+×5×6＝8+15＝23．故答案为：23．2．解：（11111011111）2＝1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+0×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20＝1024+512+256+128+64+0+16+8+4+2+1＝（2015）10答：是2015．3．解：依题意可知：两数字和为奇数，那么一定有一个偶数．偶质数是2．当b＝2时，5a+2＝2027，a＝405不符合题意．当a＝2时，10+b＝2027，b＝2017符合题意，a+b＝2+2017＝2019．故答案为：2019．4．解：A：B＝1：4＝：＝（×6）：（×6）＝10：29C：A＝2：3＝：＝（×15）：（×15）＝33：55＝3：5＝6：10这样A的份数都是10，所以A：B：C＝10：29：6．故答案为：10：29：6．5．解：连接AD，因△CDF和△BCD的高相等，所以FD：DB＝3：7，所△AFD和△ABD的面积比也是3：7，即可把△AFD的面积看作是3份，△ABD的面积看作是7份，S△BCD＝7，S△BDE＝7所以CD＝DE，S△ACD＝S△ADE，S△ACD+S△BDE＝S△ABD，S△ACD+S△BDE＝7份，S△AFD+S△CDF+S△BDE＝7份，3份+3+7＝7份，则1份＝2.5，S四边形AEDF＝10份﹣7＝10×2.5﹣7＝25﹣7＝18答：四边形AEDF的面积是18．故答案为：18．6．解：如图延长并反向延长AF，BC，DE，分别相交与点G、H、N，因六边形ABCDEF的每个角是120°所以∠G＝∠H＝∠N＝60°所以△GHN，△GAB，△HCD，△EFN都是等边三角形AB＝BC＝CD＝3厘米，△GHN边长是3+3+3＝9（厘米）AN＝9﹣3＝6（厘米）AN＝AF+EFDE＝六边形ABCDEF的周长﹣AB﹣BC﹣CD﹣（AF+EF）＝16﹣3﹣3﹣3﹣6＝1（厘米）EF＝EN＝9﹣3﹣1＝5（厘米）答：EF＝5厘米．故答案为：5．7．解：依题意可知：玫瑰与康乃馨和百合的枝数化连比为：10：15：3；购买一份比例的价格为：3×20+15×6+15×10＝300；正好是1倍关系．答：购买玫瑰10枝，康乃馨15枝，百合3枝．8．解：＝＝，答：这三个分数中最大的一个是．故答案为：．9．解：40÷2＝20（厘米）20÷2＝10（厘米）3.14×202﹣3.14×102÷2×4＝1256﹣628＝628（平方厘米）答：阴影部分的面积是628平方厘米．故答案为：628．10．解：3×102÷2﹣3×（10÷2）2＝3×100÷2﹣3×25＝150﹣75＝75答：阴影部分的面积是75．故答案为：75．11．解：自然数N的个位数字是0，它一定有质因数5和2，要使N最小，5的个数应最少为1个，而求其它因数最好都是2和3，并且2的个数不能超过2个，其它最好都是3；设这个自然数N＝21×51×3a，根据约数和定理，可得：（a+1）×（1+1）×（1+1）＝8，（a+1）×2×2＝8，a＝1；所以，N最小是：2×3×5＝30；答：N最小是30．故答案为：30．12．解：因为，甲乙的速度比为 5：3；总路程是：5+3＝8；第一次相遇时，两人一共行了AB两地的距离，其中甲行了全程的，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的，第二次相遇时，两人一共行了AB两地距离的3倍，则甲行了全程的＝，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的2﹣＝，所以，AB两地的距离为：50÷（）＝50÷＝100（千米）答：A、B两地相距100千米．故答案为：100．13．解：依题意可知：根据浓度是十字交叉法可知：浓度差的比等于溶液质量比即1：3＝100：a，所以a＝300克故答案为：30014．解：依题意可知：分针开始落后时针共格；后来分针领先格，路程差为格．锻炼身体的时间为：＝40（分）；故答案为：40．15．解：因为（10a+b）：（10b+a）＝5：6，所以（10a+b）×6＝（10b+a）×560a+6b＝50b+5a所以55a＝44b则a＝b，所以b只能为5，则a＝4．所以＝45．故答案为：45．16．解：如图，设D的面积为x，9：12＝15：x9x＝12×15x＝x＝20答：第4个角上的小长方形的面积等于20．故答案为：20．17．解：总工作量看做单位“1”．剩余工作量为1﹣＝，一个人的工作效率为÷6÷35，（1﹣）÷[÷6÷35×（6+6）]＝÷（÷6÷35×12）＝÷＝35（天）35+35＝70（天）答：完成这项工程共用70天．故答案为：70．18．解：×3.14×13×3÷（﹣）＝12.56×15＝188.4（立方分米）答：圆柱形容器最多可以装水188.4立方分米．故答案为：188.4．19．解：已知去时的速度为50千米/小时，余下的路程行驶速度是50×（1+20%）＝50千米/小时；返回的速度为50千米/小时，余下的路程行驶速度是50×（1+32%）＝66千米/小时．设总路程为x千米，得：（x×+x×）﹣（x×+x×）＝x﹣x＝x＝x＝330答：王老师家与A地相距330千米．故答案为：330．20．解：捐50元人数的分率为：1﹣＝，（200×+100×+50×）÷1＝（20+75+7.5）÷1＝102.5（元）答：该公司人均捐款102.5元．故答案为：102.5．21．解：2012÷4＝503；没有余数，说明22012的个位数字是6．故答案为：6．22．解：据分析可知，沙子的高度为：5+20÷3＝11（厘米）；答：沙子的高度为11厘米．故答案为：11．23．解：长方体的高是：56÷4÷（1+2+4），＝14÷7，＝2，宽是：2×2＝4，长是：4×2＝8，体积是：8×4×2＝64，答：这个长方体的体积是64．故答案为：64．24．解：阴影部分的周长：4+3×4×2÷4+3×2×2÷4，＝4+6+3，＝13（米）；阴影部分的面积：3×42÷4+3×22÷4﹣2×4，＝12+3﹣8，＝7（平方米）；答：阴影部分的周长是13米，面积是7平方米．故答案为：13、7．25．解：根据最后四个箱子都各有16个小球，所以小球总数为16×4＝64个，最后一次分配达到的效果是，从D中拿出一些小球，使A、B、C中的小球数翻倍，则最后一次分配前，A、B、C中各有小球16÷2＝8个，由于小球的转移不改变总数，所以最后一次分配前，D中有小球64﹣8﹣8﹣8＝40个；于是得到D被分配前的情况：A8，B8，C8，D40；倒数第二次分配达到的效果是，从C中拿出一些小球，使A、B、D中的小球数翻倍，则倒数第二次分配前，A、B中各有小球8÷2＝4个，D中有40÷2＝20个，总数不变，所以最后一次分配前，C中有小球64﹣4﹣4﹣20＝36个，于是得到C被分配前的情况：A4，B4，C36，D20，同样的道理，在B被分配前，A中有小球4÷2＝2个，C中有小球36÷2＝18个，D中有小球20÷2＝10个，B中有小球64﹣2﹣18﹣10＝34个，即B被分配前的情况：A2，B34，C18，D10；再推导一次，在A被分配前，B中有小球34÷2＝17个，C中有小球18÷2＝9个，D中有小球10÷2＝5个，B中有小球64﹣17﹣9﹣5＝33个，即A被分配前的情况：A33，B17，C9，D5；而A被分配前的情况，就是一开始的情况，所以一开始，A箱子装有最多的小球，数量为33个；答：开始时装有小球最多的是A箱，其中装有33小球个；故答案为：A，33．26．解：由图可知，阴影部分的面积是图中最大圆面积的，非阴影部分的面积是图中最大圆面积的，所以图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是：：＝1：3；答：图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是1：3．故答案为：1：3．27．解：400和90的最小公倍数是3600，则3600÷90＝40（面）．答：小明要准备40面旗子．故答案为：40．28．解：多个2相乘结果个位数字有一个规律：2、4、8、6每4个2相乘一个循环，多个3相乘结果个位数字有一个规律：3、9、7、1每4个3相乘一个循环，2013÷4＝503…1，所以2013个2相乘后个位数字是2，2013个3相乘后个位数字是3，2013个4相乘后个位数字是4，1的任何次方都是1，5的任何次方的个位数字都是5，1+2+3+4+5＝15所以12013+22013+32013+42013+52013的个位数字是5，所以除以5的余数是0；故答案为：0．29．解：1﹣＝×8＝（小时）×33＝（千米）÷＝198（千米）答：甲、乙两地相距198千米．故答案为：198．30．解：商是10，除数最大是9，余数最大是8，9×10+8＝98；被除数最大是98．故答案为：98．31．解：3×（16÷2）2﹣122＝192﹣144，＝48（平方厘米）；答：S1﹣S2＝48cm2．故答案为：48．32．解：慢车行完全程需要：5×（1+），＝5×，＝6（小时）；全程为：40÷[1﹣（+）×2]，＝40÷[1﹣]，＝40÷，＝40×，＝150（千米）；答：甲乙两地相距150千米．故答案为：150．33．解：根据题干分析可得：10+10+10+5＝35（个），答：一共有35个三角形．故答案为：35．34．解：1×2＝2（平方厘米）；答：六瓣花形阴影部分的面积是2平方厘米．故答案为：2．35．解：小正方形的面积之和为30时，两正方形的面积差最小，则大正方形的面积越大，即EFGH的面积较大；故答案为：EFGH．36．解：设计划用x天完成任务，那么原计划每天的工作效率是，提高后每天的工作效率是×（1+20%）＝×＝，前面完成工程的所用时间是天，提高工作效率后所用的实际是（185﹣）×天，所以，+（185﹣）××＝1，+（185﹣）××﹣＝1﹣，（185﹣）××＝，（185﹣）×÷＝÷，185﹣+＝x+，x÷＝185÷，x＝180，答：工程队原计划180天完成任务．故答案为：180．37．解：（1﹣）：1＝13：19，13+19＝32；1：（1﹣）＝17：11，17+11＝28，32与28的最小公倍数是224，小强和小林共有邮票400多张，所以共有224×2＝448张，448÷32×13＝182，448÷28×17＝272．小强：（182+272）÷2＝227张小林：448﹣227＝221．故答案为：227，221．38．解：①因为：x*y＝（其中m是一个确定的数）且1*2＝1所以：＝18＝m+6m+6＝8m+6﹣6＝8m＝2②3*12＝＝＝故答案为：2，．39．解：边长是9的等边三角形的周长是9×3＝27第一次“生长”，得到的图形的周长是：27×＝36第二次“生长”，得到的图形的周长是：36×＝48第三次“生长”，得到的图形的周长是：48×＝64第四次“生长”，得到的图形的周长是：64×＝＝85答：经过两次“生长”操作，得到的图形的周长是48，经过四次“生长”操作得到的图形的周长是85．故答案为：48，85．40．解：设去掉的数是x，那么去掉一个数后的和是：（1+n）n÷2﹣x＝×（n﹣1）；显然，n﹣1是7的倍数；n＝8、15、22、29、36时，x均为负数，不符合题意．n＝43时，和为946，42×＝912，946﹣912＝34．n＝50时，和为1225，49×＝1064，1225﹣1064＝161＞50，不符合题意．答：去掉的数是34．故答案为：34．。

初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形

初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形一、知识要点1、整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。

3、乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条： ① (a+b) (a-b)=a 2-b 2② (a±b)2=a 2±2ab+b 2③ (a+b) (a 2-ab+b 2)=a 3+b 3④ (a-b) (a 2+ab+b 2)=a 3-b 3⑤ (a+b+c)2= a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)= a 3+b 3+c 3-3abc⑦ (a±b)3= a 3±3a 2b+3a b 2±b 34、整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。

5、余数定理多项式()x f 除以 (x-a) 所得的余数等于()a f 。

特别地()a f =0时，多项式()x f 能被(x-a) 整除二、例题精讲例1 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解因1+2+3+…+1998=()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数，又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。

先考虑四个连续的自然数n 、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。

很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号，即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1故所求最小的非负数是1。

高中数学竞赛专题讲座之五：解析几何_2_

高中数学竞赛专题讲座之五：《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题1．（04湖南）湖南）已知曲线已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是(C) A ．)2,12(-- B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-2．（05全国）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是表示的曲线是（）A ．焦点在x 轴上的椭圆轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线轴上的双曲线3．（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（共有（ C ）条. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。

正确答案为C. 4．（06安徽）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（线（）上）上A ．2213,22y x y x == B ．2235,22y x y x ==C ．22,3y x y x ==D ．223,5y x y x ==5．若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A ) A ．a 21 B ．a1C ．aD ．a 26．（06江苏）已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有(B) A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个7．（06全国）如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点.若M 为线段FP 的中点，O 为坐为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（的大小关系为（） A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定．不确定8．（05四川）双曲线12222=-b y a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定为直径的两圆一定（）A ．相交．相交B ．内切．内切C ．外切．外切D ．相离．相离解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△PF F 21中，C 为1PF 的中点，O 为21F F 的中点，从而|)||(|21||212112A A PF PF OC -==，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切. 9．点A 是直线x y l 3:=上一点，且在第一象限，点B 的坐标为（3，2），直线AB 交x 轴正半轴于点C ，那么三角形AOC 面积的最小值是（A ）10．（02湖南）已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（）（奥析263） A ．双曲线．双曲线 B ．椭圆．椭圆 C ．椭圆的一部分．椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分．双曲线的一部分11．（03全国）过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为60O的直线。

高二数学竞赛班讲义第六讲组合问题

高二数学竞赛班二试第六讲组合问题班级姓名一、知识要点：组合数学是一个既古老又年轻的离散数学分支，竞赛中的组合问题主要包括组合计数问题、组合极值问题、存在性问题、操作变换问题、组合几何问题以及图论中的问题，求解竞赛中的组合问题并不是需要复杂的数学知识，然而在趣味性命题的陈述下包含了高超的解题技巧，无论是从智力训练的角度，还是从竞赛准备的角度考虑，理解和钻研这些问题都是十分有意义的．在解决组合问题时，有时会用到以下几个原理．1、极端原理原理 1 设M 是自然数集的一个非空子集，则M 中必有最小数．原理 2 设M 是实数集的一个有限的非空子集，则M 中必有最小数．2、抽屉原理把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释。

一般地，我们将它表述为：把（mn ＋1）个物体放入n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有（m ＋1）个物体。

使用抽屉原理解题，关键是构造抽屉。

一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。

第一抽屉原理若将m 个小球放入n 个抽屉中，则必有一个抽屉内至少有11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n m 个小球．第二抽屉原理若将m 个小球放入n 个抽屉中，则必有一个抽屉内至多有⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m 个小球． 3、算两次原理所谓算两次原理（又称富比尼原理）就是对同一个量，如果用两种不同的方法去计算，所得的结果应相等．二、经典例题例 1．（2008年山西省预赛试题）设M ＝｛1，2，…，2008｝是前2008个正整数组成的集合，A ＝｛1a ，2a ，…30a ｝是M 的一个30元子集，已知A 中的元素两两互质，证明A 中至少一半元素是质数．分析考查集合A 中的合数a ，设p 是a 的最小质因数，则p ≤a .又a ≤2008，于是p ≤45，再由A 中的元素两两互质，可以证明A 中16个元素中必有一个是质数，进而可以导出结论．证明先证明：A 中16个元素中必有一个是质数．为此，任取16个元素，不妨设为1a ，2a ，…，16a ，若其中没有质数，则它们中至多一个为1，其余15个皆为合数．设1a ，2a ，…，15a 都是合数，则每个数皆可分解成至少两个质因数的乘积，若i p 是i a 的最小质因数，则i p ≤i a （i ＝1，2，…，15）．由于A 中的数两两互质，则1p ，2p ，…，15p 互不相同，而将全体质数自小到大排列，第15个质数是47，所以，若1p 是1p ，2p ，…，15p 中的最大数，即有1p ≥47，于是1a ≥21p ≥247＞2008，即1a ∉M ，矛盾！因此，1a ，2a ，…，15a 中必有质数，不妨设1a 为质数，今从集合A 中去掉1a ，在剩下的29个元素中，再次进行同样的讨论，可知其中的16个元素中也必有一个是质数，设为2a .如此下去，可以连续进行15次，每次都可从A 中取到一个新的质数，因此A 中至少有15个质数．说明本题利用极端原理，通过对合数的最小质因数的考查，获取集合A 中元素的性质，进而完成了证明，这种方法也是数论中研究合数的一种重要策略．例 2．已知A 与B 是集合｛1，2，3，…，100｝的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A ∩B 为空集，若n ∈A 时总有2n+2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为多少？分析该问题是组合构造，由条件“A 与B 的元素个数相同且若n ∈A 时总有2n +2∈B ”知|A |＝|B |，且2n +2≤100，从而可知A 中的元素不超过49个，为此需要进行分类考虑．解首先证明|A ∪B |≤66，只需要证明|A |≤33，由分析知需要证明：若A 是｛1，2，3，…，49｝的任何一个34元子集，则必存在n ∈A ，使得2n+2∈A.证明如下：将｛1，2，3，…，49｝分成如下33个集合：｛1，4｝，｛3，8｝，｛5，12｝，…，｛23，48｝，共12个；｛2，6｝，｛10，22｝，｛14，30｝，｛18，38｝，共4个；｛25｝，｛27｝，｛29｝，…，｛49｝，共13个；｛26｝，｛34｝，｛42｝，｛46｝，共4个．若A 是｛1，2，3，…，49｝的任何一个34元的子集，则由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的两个数均属于A ，即存在n ∈A ，2n +2∈A .所以|A |≤33.事实上，如取A ＝｛1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46｝，B ＝｛2n +2|n ∈A ｝，则A ，B 满足题中要求，且|A ∪B |＝66.所以集合A ∪B 的元素个数最多为66.说明将集合中的元素进行适当分会组，并结合抽屉原理使问题得以解决，这是解决类问题的常用手段.例 3． (2007年浙江省预赛试题)设M ＝｛1，2，…，65｝，A M 为子集，若|A|＝33，且存在x ，y ∈A ，x ＜y ，x | y ，则称A 为“好集”，求最大的a ∈M ，使含a 的任意33元子集为好集．分析首先要准确理解“好集”的含义，搞清楚“好集”中元素的构成规律，再来分析a 的可能的取值．解令P ＝｛21 + i | i ＝1，2，…，44｝— ｛2（21 + i ）| i ＝ 1，2，…，11｝，| p | ＝ 33.显然对任意1≤i ＜j ≤44，不存在n ≥3，使得21+j ＝ n (21 +i )成立，故P 是非好集．因此a ≤21，下面证明：包含21的任意一个33元子集A 一定为好集．设A ＝｛1a ，2a ，…，32a ，21｝．若1，3，7，42，63中之一为集合A 的元素，显然A 为好集现考虑1，3，7，42，63都不属于集合A ．构造集合：1A ＝｛2，4，8，16，32，64｝，2A ＝｛5，10，20，40｝，3A ＝｛6，12，24，48｝，4A ＝｛9，18，36｝，5A ＝｛11，22，44｝，6A ＝｛13，26，52｝，7A ＝｛14，28，56｝，8A ＝｛15，30，60｝，9A ＝｛17，34｝，10A ＝｛19，38｝，11A ＝｛23，36｝，12A ＝｛25，50｝，13A ＝｛27，54｝，14A ＝｛29，58｝，15A ＝｛31，62｝，'A ＝｛33，35，37，…，61，65｝，由上可见，1A ，2A ，…，15A 每个集合中两个元素都是倍数关系，考虑最不利的情况，即'A A ，也即'A 中16个元素全部选作A 的元素，A 中剩下16个元素必须从1A ，2A ，…，15A 这15个集合中选取，根据抽屉原理，至少有一个集合有两个元素被选，即集合A 中至少有两个元素存在倍数关系．综上所述，包含21的任意一个33 元子集A 一定为好集，即a 的最大值为21．说明对于这一类型的集合问题，一般都需要通过适当的方式构造出符合某种要求的集合，抽屉原理是解决集合构造问题的常用工具．例4．（2008年甘肃省预赛试题）一个20行若干列的0、1数阵满足：各列互不相同且任意两列同一行都取1的行数不超过2．求当列数最多时，数阵中1的个数的最小值．分析由题设，对于数阵中1的个数超过3的列，保留其中任意3个1，而将其余的都变成0，得到的新数阵仍然满足要求，于是可知当列数最多时，数阵中至多包含1的个数不超过3的所有的列.这样可得列数最大值，进而求得此时数阵中1的个数的最小值．解对于满足条件的列数最大的一个数阵，如果这个数阵中某一列1的个数超过3个，那么就保留其中任意3个1，其余的都改变成0，这样就会得到一个列数相同并有仍然满足要求的一个新数阵，如果这个新数阵中还有1的个数超过3的列，则重复上述过程，最后可以得到一个列数最多，且每列中1的个数最多为3的满足要求的数列，它的列数最多为1+120C +220C +320C .另一方面，构造一个满足要求的数阵如下：它包括没有1的列以及所有互不相同的只有一个1的列，2个1的列和3个1的列，由上所说，可知这个数阵的列数是最多的，同时在满足要求的列数最多的所有数阵中所有数阵中，该数阵中的1是最少的，此数阵的列数为1+120C +220C +320C ，此数列中1的个数是120C +2202C +3203C ＝20+380+3420＝3820说明本题中求数阵的列数的最大值的方法叫做局部整法，它是解决最值问题的一种行之有效的方法，尤其是离散变量最值问题常常需要用到这种方法．例 5．（2008年浙江省预赛试题）将3k （k 为正整数）个石子分成五堆，如果通过每次从其中3堆中各取走一个石子，而最后取完，则称这样的分法是“和谐的”，试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明．分析从整体上看，就是从3k个石子中每次取3个，恰好k次取完，于是和谐的分法就是要求每堆石子的个数不超过k，再用数学归纳法证明，最多一堆石子的个数不超过k的分法是和谐的．解分析是和谐的充分必要条件是最多一堆石子的个数不超过k．下面设五堆石子的个数分别为a、b、c、d、e（其中a≥b≥c≥d≥e）．“必要性”的证明：若分法是和谐的，则把a所对应的石子取完至少要取a次，这a次每次都要取走3个石子，如果a＞k，则3a＞3k，即把a所对应的一堆取完时，需取走的石子多于五堆石子的总数，矛盾，因此最多一堆石子的个数不能超过k.“充分性”的证明：（数学归纳法）（1）当k＝1时，满足a≤k的分法只能是1、1、1、0、0．显然这样的分法是和谐的．（2）假设k≤n时，若a≤k的分法是和谐的．当k＝n+1时，若a≤n+1，且分法a、b、c、d、e是不和谐的，则分法a－1、b－1、c－1、d、e也是不和谐的．由（2）及必要性的证明，可知max｛a－1，b－1，c－1，d，e｝＞n．因为a≥b≥c≥d≥e，所以max｛a－1，b－1，c－1，d，e｝＝max｛a－1，d｝＞n．若a－1≥d，则有a－1＞n．这与a≤n+1矛盾．若a－1＜d，则有n＜d≤c≤b≤a≤n+1，从而有a ＝b＝c＝d＝n+1，于是有3（n+1）＝a + b + c + d + e＝ 4 (n+1) + e，这是不可能的．因此，当a≤n+1时，分法a、b、c、d、e是和谐的说明本题充分性的证明采用的是数学归纳法，这是一种归纳构造，它是利用构造思想解决存在性问题的一种重要手段例 6．（1988年全国联赛试题）在坐标平面上是否存在一个含有无穷多条直线1l ，2l ，…，n l ，…的直线族，满足条件：（1）点（1，1）∈n l ，n ＝1，2，3，…；（2）1+n k ＝ n a －n b ，其1+n k 中是1+n l 的斜率，n a 和n b 分别是n l 在x 轴和y 轴上的截距，1k 是1l 的斜率，n ＝ 1，2，3，…；（3）1+n n k k ≥0，n ＝ 1，2，3，…并证明你的结论分析假设这样的直线族存在，先利用直线n l 的方程求出n a 与n b ，即可得到｛n k ｝的递推关系，再结合条件（3）求解解题中给出的是以点（1，1）为公共点的中心直线族，若这样的直线族存在，则n l 的方程为y －1 ＝ ()1-x k n当y ＝ 0 时，－1＝()1-n n a k ，n a ＝ 1－nk 1 当x ＝ 0 时，n b －1＝－n k ，n b ＝ 1－n k因为n l 存在，所以n a 和n b 都存在，从而n k ≠0，n ＝ 1，2，3，…，利用条件（2）有1+n k ＝ n a －n b ＝ n k －nk 1 继续有 n k ＝ 1-n k －11-n k …… 2k ＝ 1k －11k 以上诸式相加得到1+n k ＝ 1k －（11k + 21k + … + nk 1） ① 由n k ≠0及条件(3)得1+n n k k ＞0，故所有的i k （i ＝ 1，2，3，…）同号，不妨设i k＞0，则1+n k ＝n k － n k 1＜n k ，即数列｛n k ｝是正项递减数列，从而11+n k ＞n k 1，于是11k + 21k + … + n k 1＞1k n 这样，由①式得1+n k ＜1k －1k n ＝ 121k n k - ② 当n ＞21k 时，由②式推出1+n k ＜0．由假设n k ＞0，得1+n n k k ＜0，与己知矛盾同理可证，当n k ＜0 时，也导致矛盾所以，同时满足条件（1），（2），（3）的直线族不存在说明本题是探索性质的存在性问题，解决问题时，常常需要先作出判断，明确解题方法，再求解，这对学生的能力提出了更高的要求例7．（2007年吉林省预赛试题）一个空间中的点组成的集合Ｓ满足性质：Ｓ中任意两点之间的距离互不相同，假设Ｓ中的点的坐标（x ，y ，z ）都是整数，并且１≤ x ，y ，z ≤ n ，证明：集合S 的元素个数小于min ｛（n +2）·3n ，6n ｝证明记 | S | ＝ t ，则对任意（,1,1,1z y x ），（,2,2,2z y x ）∈S ，都有()221x x -+()221y y -+()221z z -≤3()21-n （因为满足1≤x ，y ，z ≤n 的整点之间的距离不超过（1，1，1）与（n ，n ，n ）之间的距离）并且依题意，S 中任意两点之间的距离互不相同，故2t C ≤3()21-n ，得2t －t ≤ 6()21-n ，于是 t≤21+21()21241-+n ＜6n(最后一个不等式价于1+24()21-n ＜()2162-n ，展开后移项即可得到) 另一方面，对S 中的任意两点（,,,i i i z y x ）、（,,,i i i z y x ），考虑集合｛a ，b ，c ｝(允许出现重复元素)，这里a ＝ | j i x x -|，b ＝|j i y y -|，c ＝ |j i z z -|，依题意，所得的｛a ，b ，c ｝两两不同，且0 ≤ a ，b ，c ≤n －1，a 、b 、c 不全为0，于是，我们有2t C ≤12123-++n n n C C C ①故2t C ＜1232n n n C C C ++解得t ＜()()21314121++++n n n ．当n ≥3时，有t ＜()32n n +．这只需证明 ()()21314121++++n n n ≤()32n n +，等价于 ()()213141+++n n n ≤()22132⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+n n ，展开后移项即可知此不等式在n ≥3时成立）．于是，当n ≥3时，总有t ≤()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+6,32min n n n ②而当n ＝1时，t ＝1；当n ＝2时，由①知t ≤3，这时②都成立，命题获证．说明：本题从两个不同的角度，分别得到了2t C 的上界，从而完成了证明．这种思想的实质是算两次原理．它是研究跟计算有关的组合问题的一种重要策略．例8．（2009年山西省预赛试题）有七种颜色的珍珠，共计14颗，其中每种颜色的珍珠各两颗；今把这珍珠分装于七个珠盒中，使得每个珠盒中各有一对不同颜色的珍珠．（1）证明：不论各盒中的珍珠怎样搭配，总可以将这七个珠盒分别放置于一个正七边形的七个顶点之上，使得七边形的任两个相邻顶点处所放置的盒中的四颗珍珠互不同色．（2）如将以上条件与待证结论中的“七”一律改为“五”，“14”改为“10”，则情况如何？分析：本题的文字叙述难以找出一般规律，把文字语言首先转化为图论语言，再借助图的性质找出问题的解决思路．解：（1）用点v 1，v 2，…，v 7分别表示这七种颜色，如果一个i v 色的珍珠和一个j v 色的珍珠装在同一盒中（i ≠j ），则在点i v 与j v 间连一条边，这样就得到一个图G （点i v 与j v 之间有可能连出两条边），由于同一色的珍珠有两颗，每颗珍珠都需与一颗其他颜色的珍珠共盒，则图G的每点恰好发出两条边；从G的任一点A出发，沿一条边走到点B，再由B沿另一条边走到C，…，如此下去，最后必定回到出发点A（这是由于，途中经过的每个点P 都有两条边，若参沿一条边进入点P，则必沿另一条边可离开点P，而由点P不能再加到途中已经过的点，因为这种点所发出的两条边都已走过，因此只能到达新点或回到出发点，而新点终将逐渐耗尽，最后必定回到出发点A），这样就得到一个圈．去掉这个圈，若剩下还有点，依上述方法，又将得到新的圈，若称两点的的圈为“两边形”，则图G的结构只有如下四种情况：1°一个七边形2°一个五边形和一个两边形3°一个四边形和一个三角形4°一个三角形和两个两边形对于每种情况，我们都对相应的边作出适当编号，并将这些边所对应的珠盒放置于七边形的顶点之上，如图5所示．因此所证结论成立．（2）当14颗七以珍珠改为10颗五色珍珠后，结论不成立．例如，对于五色54321,,,,v v v v v ，我们若将10颗珍珠这样装盒：()211,v v e =，()322,v v e =，()133,v v e =，()544,v v e =，()545,v v e =，则无论怎样摆放于正五边形的顶点上，都不能满足条件（因为1e 、2e 、3e 中，任两盒都有同色的珠，无论怎样摆放于正五边形的顶点上，必有两盒相邻）．第13讲抽屉原理例1 从1，2，3，…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定：（1）有2个数互质；（2）有2个数的差为50；（3）有8个数，它们的最大公约数大于1。

高中数学奥赛竞赛题选讲

高中数学奥赛竞赛题选讲1. 引言高中数学奥赛竞赛是一项通过解决复杂、富有挑战性的数学问题来培养学生创造力和解决问题能力的活动。

本文将介绍一些常见的高中数学奥赛竞赛题目，并提供详细的解答和解题思路，帮助读者更好地理解和应用其中的数学知识。

2. 数论2.1 素数与因子分解2.1.1 素数的定义和性质•介绍素数和合数的概念及其区别•讨论素数的性质：只有两个因子为1和自身2.1.2 因子分解与最大公因数、最小公倍数•解释因子分解的概念，例如将一个整数表示为其所有素因子相乘的形式•解释最大公因数(GCD)和最小公倍数(LCM)的概念，并给出计算方法2.2 同余定理与剩余类方程2.2.1 同余定理的基本原理•引入同余符号和模运算的概念，例如"a ≡ b (mod m)" 表示"a"与"b"在模m下同余•介绍同余定理的基本原理和性质2.2.2 解决线性同余方程组的方法•引入线性同余方程组的概念，例如：•a₁x ≡ b₁ (mod m₁)•a₂x ≡ b₂ (mod m₂)•提供解决线性同余方程组的方法，如中国剩余定理2.3 数论函数及其应用2.3.1 欧拉函数•定义欧拉函数φ(n)，表示小于等于n且与n互质的正整数个数。

•给出计算欧拉函数值的方法2.3.2 应用：费马小定理、欧拉定理与RSA加密算法•介绍费马小定理和欧拉定理，并给出证明过程•讨论RSA加密算法的基本原理和步骤3. 解析几何与三角函数的应用3.1 直线与曲线方程3.1.1 直线的一般方程和截距式方程•解释直线一般方程(Ax + By + C = 0)和截距式方程(x/a + y/b =1)的含义及其转换关系•给出构造直线方程的方法和示例3.1.2 平行线和垂直线的性质及判定•讨论平行线和垂直线的定义和性质•提供判定两条直线平行或垂直的方法3.2 三角函数3.2.1 常见三角函数及其基本性质•介绍正弦、余弦、正切等常见三角函数的定义和性质•解释三角函数在单位圆上的几何意义3.2.2 角度与弧度制之间的转换•讲解角度制和弧度制之间的转换关系3.3 三角函数与几何应用3.3.1 正弦定理与余弦定理•引入正弦定理(a/sinA = b/sinB = c/sinC)和余弦定理(c²=a²+b²−2abcosC)的概念•解释如何运用这些公式求解三角形边长和角度3.3.2 应用：海伦公式和面积公式•引入海伦公式(面积S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)))以及面积公式(三角形面积S=1/2 * a * b * sinC)的概念•提供应用海伦公式和面积公式求解三角形面积的问题4. 组合数学与概率论4.1 排列与组合4.1.1 排列和组合的基本概念•解释排列(permutation)和组合(combination)的定义和区别•讲解计算排列数和组合数的方法4.1.2 应用：鸽笼原理•引入鸽笼原理及其基本思想，并提供应用示例4.2 概率论4.2.1 基本概率计算方法与条件概率•讲解基本事件和复合事件的概念，以及如何计算它们的概率•解释条件概率及其计算方法4.2.2 应用：排列组合与概率问题•提供运用排列组合知识解决实际生活中的概率问题的示例5. 数学建模与实际问题求解思路5.1 数学建模方法论与实例分析5.1.1 数学建模基本步骤•阐述从现实问题到数学模型的转化过程，包括定义目标、收集数据、制定假设等步骤•提供一个数学建模的实例分析5.2 实际问题求解思路5.2.1 利用数学工具和方法解决实际问题•强调在解决实际问题时，应根据具体情况选择合适的数学工具和方法•提供一个简单实际问题的求解思路示例结语本文对高中数学奥赛竞赛题选讲进行了详细介绍，涵盖了数论、解析几何与三角函数、组合数学与概率论以及数学建模等方面内容。

五六年级心理健康知识竞赛题库讲课讲稿

五六年级心理健康知识竞赛题库西安高新国际学校五六年级《开心辞典》心理健康知识竞赛题库一、选择题1.全国大中小学生心理健康日是哪一天？（A）A．5月25日 B.4月25日 C.6月25日 D.5月26日2.下列哪些行为属于心理健康的范围 (D)A．能极力满足个人的需要B．对自己有过高的评价C．为维持自己的心理平衡，极力宜泄自己的情绪D．有充分的自我安全感3.下列哪种心理属于健康心理 (D)A．郁郁寡欢 B．不愿与人交往C．经常感觉自己什么都做不好 D．遇到困难时，能积极克服困难4.有的人白天工作效率高，有的人夜晚工作效率高，这是指 (A)A．人的心理活动的周期节律性 B．环境适应力C．心理自控能力 D．社交能力5.心理学的英文名称是（B）A.psychologistB.psychologyC.psychopathD.psychiotry6.心理健康日5.25的谐音是 (Ａ)A.我爱我B.我是我C.我要我7.健康的概念是指哪种状态？（D）A．身体健康 B．生理无残疾 C．心理健康 D．身心健康8.人们遭遇不良情绪时,正确的处理方式为( D )A.把自己关在家里不出门B.吃大量的东西C.藏在心里，以免影响他人D.和朋友倾诉9.同学交往过程中能否成为知己,关键在于各自能否(D)。

A.改善交往情境B.经常给对方送礼物C.增加交往频率，经常一起聊天D.向对方敞开心扉10.心理健康在社会交往中可表现为 (C)A．经常与素不相识的人十分热情地交谈，表现为十分兴奋的状态B．对同事、好友无缘无故地表现为冷漠、漠不关心C．有自己喜欢与不喜欢的人D．接触异性时经常表现为紧张的情绪11. 下列说法中表现心理健康人士的耐受力方面为 (C)A．过去的痛苦的体验经常浮现在自己的脑海里，但不影响日常的学习和生活B．遇到困难，能够忍受C．把克服困难当成一种乐趣和挑战，勇敢地面对生活的挫折D．对于外人的议论并不在意12.由于缺乏准备，不能驾驭或摆脱某种可怕或危险情景时所表现的情绪体验是（D）Ａ．快乐Ｂ．悲哀Ｃ．愤怒Ｄ．恐惧13.关于对错觉的理解，以下哪些是正确的 (A)A．是歪曲的知觉 B．只在病人中存在C．病人出现的错觉多持续时间较短 D．错觉存在时间较短14. “悲喜交加”，“百感交集”是人的情绪和情感的（A）的表现。

六年级数学竞赛上册奥数高思第16讲复杂行程问题选讲(彩色)

16复杂行程问题选讲115这一讲，是我们最后一次系统地学习行程问题，我们将针对电车问题、扶梯问题、优化配置问题、往返接送问题等几类特殊的行程问题进行详细讲解．它们都是整个行程问题中复杂度较高，难度较大的问题，需要大家对以前学过的各种分析方法有比较好的掌握，并能够将它们综合运用．首先我们一起来学习一下电车问题．严格来讲，电车问题应该称为“等间隔发车”问题，因为通常情况下，题目中的电车不仅行驶速度相同，而且发车间隔也都相同，因此车与车的间距也是一个定值，而这个定值往往就是解决电车问题的关键．例题1电车发车站每隔固定的时间发出一辆电车．小王骑自行车每隔14分钟就被一辆后面开来的电车追上；如果小王把车速提高20%，则每隔15分钟就被一辆后面开来的电车追上．那么相邻两辆电车的发车时间相差多少分钟？分析这是一个间隔发车问题．小王车速提高之前与之后，电车对小王有两个不同的追及过程，这两个追及过程之间有什么相同的地方吗？练习1.电车发车站每隔固定的时间发出一辆电车．小王骑自行车每隔15分钟遇到一辆迎面开来的电车；如果小王把车速提高20%，则每隔14分钟就遇到一辆迎面开来的电车．那么相邻两辆电车的发车时间相差多少分钟？自动扶梯是现代化商场中常见的代步工具，人站在扶梯上无需向前迈步，就会自动从某一楼层到达另一层，十分便捷．如果你顺着扶梯前进的方向走，那在扶梯的帮助下，你可以前进的更快；但如果你非得逆着扶梯前进的方向走，那由于扶梯的运行，你会发现自己前进的很慢，甚至会被扶梯带着往回运动．116例题2自动扶梯由下向上匀速运动，每两秒向上移动1级台阶．卡莉娅沿扶梯向上行走，每秒走两级台阶．已知自动扶梯的可见部分共120级，卡莉娅沿扶梯向上走，从底部走到顶部的过程中，她共走了多少级台阶？分析当卡莉娅顺着扶梯向前进时，她所走过的路程应该小于扶梯可见部分长度，因为除了她自身向前走了一段距离外，扶梯还把她往前带了一段，这两段路程加起来才是扶梯可见部分的总长．练习2.自动扶梯由下向上匀速运动，每两秒向上移动1级台阶．卡莉娅沿扶梯向下行走，每秒走两级台阶．已知自动扶梯的可见部分共120级，卡莉娅沿扶梯向下走，从顶部走到底部的过程中，她共走了多少级台阶？例题3自动扶梯由下向上匀速运动，甲从顶部向下走到底部，共走了150级；乙从底部向上走到顶部，共走了75级．如果甲的速度是乙的速度的3倍，那么扶梯可见部分共有多少级？分析甲逆着扶梯走，他走过的台阶数比扶梯可见部分台阶数多还是少？乙顺着扶梯走，他走过的台阶数比扶梯可见部分台阶数多还是少？117练习3.自动扶梯由上向下匀速运动，甲从顶部向下走到底部，共走了90级；乙从底部向上走到顶部，共走了120级．如果乙的速度是甲的速度的2倍，那么扶梯可见部分共有多少级？?自动扶梯的发明两名美国人分别在十九世纪末研究电动扶梯．1897年，杰斯·雷诺（Jesse.W.Reno）在美国纽约康尼岛的游乐场建成了一条使用斜板行走、类似电动扶梯的机动游戏．而查理斯·西伯格（Charles Seeberger）则在1898年购下一项关于电动扶梯的发明专利，并且与奥的斯电梯公司合作，1899年在纽约州制造出第一条有水平的梯级、扶手和梳齿板的电动扶梯．1900年举行的巴黎博览会上，西伯格成功展出了他们以“电动扶梯”（escalator）为名的产品，并且获得了一项头奖．1910年奥的斯收购了西柏格的专利，次年再购下雷诺的公司．1920年，奥的斯把两者的设计结合，成为今天电动扶梯的基本设计．中国首个安装电动扶梯的城市是上海．1935年，上海的大新百货公司安装了两台奥的斯单人电动扶梯，连接地面至二楼及二楼到三楼．上述行程问题虽然有些复杂，但都有确定的行程过程，没有需要自行调配或者优化的东西．有的行程问题就不同，它们没有给出过程的全部细节，很多细节必须根据题意自行判断和设计，如果判断或设计不当甚至会得到错误的结论．下面我们就来看几道这样的例题．例题4四辆汽车分别停在一个十字路口的四条岔路上，它们与路口的距离都是18千米，四辆车的最大时速分别为40千米、50千米、60千米和70千米．现在四辆汽车同时出发沿着公路行驶，那么最少要经过多少分钟，它们才能设法相聚在同一地点？分析4辆车要能够相聚在同一地点，一个前提要求是在相应的时间内，任意两辆车必须能够相聚到同一地点．118练习4.一个边长为4千米的正方形环路，它的四个顶点处各有一辆汽车，最大时速分别为10千米、10千米、40千米、40千米．允许调整四辆车的初始位置，但必须保证环路四个顶点处各有一辆车．如果4辆车同时出发，开到环路上的某个地方集合，最少需要多少分钟？例题5某种小型飞机满油最多能飞行1500千米，但不够从A地飞到B地．如果从A地派3架这样的飞机，通过实现空中供给油料，可以使其中一架飞机飞到B地，另两架安全返回A地，那么A、B两地最远相距多少千米？分析只需让一架飞机飞到B地即可，其余两架安全返回．返回的两架飞机其实就是给飞往B地的飞机供油的．练习5.一支轻骑摩托小分队奉命把一份重要文件送到距驻地很远的指挥部．每辆摩托车装满油最多能行120千米，且途中没有加油站．由于一辆摩托车无法完成任务，队长决定派四辆摩托车执行任务，其中一辆摩托车负责把文件送到指挥部，另三辆则在中途供给油料后安全返回驻地．请问：指挥部距小分队驻地最远可能是多少千米？人数太多，交通工具的数量太少，为了节省时间，我们就有了往返接送的想法．那么每个人搭多长时间的交通工具、怎样使用交通工具才能最有效率，这是我们接下来要解决的问题．119例题6现有两支球队同时从某地到9千米外的体育馆进行比赛，但只有一辆汽车接送，且每次只能乘坐一支球队．已知队员步行速度均为6千米/时，汽车满载的速度为27千米/时，空载的速度为36千米/时．请问：比赛最早会在两队出发后多少分钟开始？（两队均到场即可开始）分析两队只有都到达目的地才能开始比赛，所以要想尽可能早的比赛，汽车送一个队走的时候，另外一个队也要步行往前走，这样显然会更快一点．另外，汽车把第一拨人到底送到哪里放下呢？如果送到终点，那么汽车回去接另一拨人时，第一拨人就在体育场干等着，这显然不合理；若是放下的较早，则汽车回头把第二拨人接到终点时第一拨人还没到，还得再回去接第一拨人，这显然也不合理．因此，放下第一拨人的时间应该恰到好处：汽车把第一拨人送到某个地方放下，回去接第二拨人，将第二拨人送到体育馆时第一拨人恰好也到体育馆．练习6.甲、乙两班学生到离校29千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．甲班学生的步行速度是6千米/时，乙班学生的步行速度是3千米/时，汽车速度是42千米/时．为了尽快到达飞机场，那么甲班学生需要步行多少千米？?同时性的妙用——苏步青的狗苏步青是我国著名的数学家．他小时候，有人曾给他出了这样一道数学题：甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是50千米，甲小时走6千米，乙每小时走4千米．甲有一条狗，每小时跑8千米．这只狗和甲一起出发朝乙跑去，碰到乙的时候它又掉转头跑回甲，碰到甲又掉头跑向乙……就这样来回跑，直到两人碰头为止．那么这条狗一共跑了多少千米？120思考题甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车，每辆电车都是每隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车．小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行．小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔6分钟遇到一辆迎面开来的电车．如果电车行驶完全程需要56分钟，那么小王与小张在途中相遇时，他们已经出发了多少分钟？本讲知识点汇总一、间隔发车问题．二、扶梯问题．三、优化配置问题．四、往返接送问题．作业1.甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车开向对方车站．小王骑自行车每隔8分钟就被一辆后面开来的电车追上；每隔6分钟就与一辆迎面开来的电车相遇．那么相邻两辆电车的发车时间相差多少分钟？2.自动扶梯由下向上匀速运动，每秒向上移动1级台阶．阿呆在扶梯顶部开始往下行走，每秒走3级台阶．已知自动扶梯的可见部分共100级，那么阿呆从顶部走到底部的过程中，自动扶梯移动了多少级台阶？1213.一个边长为36千米的正方形环路，它的四个顶点处各有一辆汽车，最大时速分别为32千米、36千米、40千米、50千米．允许调整四辆车的初始位置，但必须保证环路四个顶点处各有一辆车．如果4辆车同时出发，开到环路上的某个地方集合，最少需要多少分钟？4.在一个沙漠地带，汽车每天行驶250千米，每辆汽车最多可装载行驶24天的汽油．现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成探测任务后沿原路返回．那么通过合理安排，其中一辆车能探测的最远距离为多少千米？（两车均要回到出发点）5.甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，甲班步行速度是每小时4千米，乙班步行速度是每小时3千米，学校有一辆汽车，速度是每小时36千米．这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两班学生能在最短时间内到达公园，那么甲、乙两班学生需要步行的路程之比是多少？122。

小学六年级数学竞赛讲座第15讲杯赛经典题目选讲

所有得到的回答中包含了 0 到 14 的所有整数，那么该班至少有多少个同学的生日相同？解：该班至少有 2 个同学生日相同，分析如下：
如果得到的答案包含 0~14，则说明生日属于某个月份或某个号数的人数应该为 1~15，
∵ 1+2+3+4+…+15=120=2×60，∴根据抽屉原理，所有同学的生日的月份都必须属于这些月份之中的
在第五类中每组取 1 个数，再加上最后的 1290 个数，
所以一共可以取 9+122+258+1290=1679（个）数。
解法 2：从后面看 2014÷5=402……4，所以把 403 到 2014 都取出来有 2014−402=1612 个数，
402 不取，402÷5=80……2，80÷5=16，取 80、79、78、……、17，有 64 个数，
则有 C51 A43 =5×24=120 种方式。
如果没有一份报纸是三户都订的，又需要满足每两户所订的报纸恰好有一份相同，
那一定是甲、乙、丙三户订的报纸为(a，b)，(b，c)，(c，a)，
可以有甲先从 5 份报纸中选定 2 份，有 C52 10 种方式，乙从这 2 份中选 1 份，在从剩余的 3 份中选 1
2 33 444
2016 2016
2016
=0.5+1+1.5+2+……+1007.5= (0.5 1007.5) 2015 =1015560. 2
例 2．算式
2017 22 1
2017 42 12017 62 1

2017 20142 1

2017 20162 1
的计算结果是

奥数六年级竞赛计数问题.教师版word

“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容． ⑴能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题． ⑵运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题． ⑶理解和运用概率性质进行概率的运算．【例 1】若有A 、B 、C 、D 、E 五个人排队，要求A 和B 两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【分析】题目要求A 和B 两个人必须排在一起，首先将A 和B 两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A ，B ”、C 、D 、E “四个人”进行排列，有4424A =种排法．又因为捆绑在一起的A 、B 两人也要排序，有222A =种排法．根据分步乘法原理，总的排法有424224248A A ⨯=⨯=种．【例 2】一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？【分析】若直接解答须分类讨论，情况较复杂．故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有37C 种方法（请您想想为什么不是37A ），因此所有不同的关灯方法有3776535321C ⨯⨯==⨯⨯种.［拓展］若有A 、B 、C 、D 、E 五个人排队，要求A 和B 两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？［分析］题目要求A 和B 两个人必须隔开．首先将C 、D 、E 三个人排列，有336A =种排法；若排成D C E ，则D 、C 、E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：D CE ，此时可将A 、B 两人插到四个空位置中的任意两个位置，有2412A =种插法．由乘法原理，共有排队方法：323461272A A ⨯=⨯=．第 8讲计数㈠【例 3】现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法?【分析】将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法．由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组），其方法种数为6984C=．【例 4】⑴已知方程20=++zyx，求这个方程的正整数解的个数．⑵已知方程20=++zyx，求这个方程的非负整数解的个数．【分析】⑴将20分成20个1，列出来：11111111111111111111在这20个数中间的19个空中插入2个板子，将20分成3部分，每一部分对应“1”的个数，按顺序排成=x；=y；z=；即是正整数解．故正整数解的个数为219171C=．⑵将问题转化为求方程24x y z++=的正整数个数，显然原方程的解法与转化后的方程的解可以一一对应，新方程的每一组解的值减去1，即可得到原方程的一组解，反过来，原方程的任意一个解的值加一，也可对应新方程的解对应所以该方程的非负整数解有223253C=个．在抛掷一枚硬币时，究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时，就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的一半左右．这里的“大量重复”是指多少次呢?历史上不少统计学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的试验，随着试验次数的增加，出现正面的频率波动越来越小，频率在0.5这个定值附近摆动的性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的表现，0.5恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，0.5就是抛掷硬币时出现正面的概率．这就是概率统计定义的思想，这一思想也给出了在实际问题中估算概率的近似值的方法，当试验次数足够大时，可将频率作为概率的近似值．概率的古典定义：如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：()mP An=，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m表示事件A包含的试验基本结果数．小学奥数中，所涉及的问题都属于古典概率．其中的m和n需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．【例 1】一个骰子六个面上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.【分析】掷的总点数在8至12之间时，再掷一次，总点数才有可能超过12（至多是17）．当总点数是8时，再掷一次，总点数是13的可能性比总点数超过13的可能性大．当总点数在9至12之间时，再掷一次，总点数是13的可能性不比总点数是14，15，16，17的可能性小．例如，总点数是11时，再掷一次，出现05的可能性相同，所以总点数是1116的可能性相同，即总数是13的可能性不比总数点数分别是14，15，16的可能性小，综上所述，总点数是13的可能性最大．［前铺］在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞 200尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？［分析］ 200尾鱼中有25条鱼被标记过，所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为252000.125÷=，所以池塘中的鱼被标记的概率可一看作是0.125，池塘中鱼的数量约为1000.125800÷=尾．［前铺］一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往周面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比较大．［分析］因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大．举例：⑴明天正午的天气是阴天与明天正午的天气是雨天是两个互斥事件，所以明天正午天气为阴雨的概率等于明天正午的天气是阴天概率与明天正午的天气是雨天概率之和．⑵抛一枚硬币掉下来后是正面向上与抛一枚硬币掉下来后是反面向上是两个互斥事件，所以抛一枚硬币掉下来后是正面或是反面向上的概率等与抛一枚硬币掉下来后是正面向上的概率与抛一枚硬币掉下互斥事件：()()()P A B P A P B +=+ 互斥事件也叫互不相容事件．也可表述为不可能都发生的事件.公式的含义为：如果事件A 和B 为互斥事件（互不相容事件）,那么A 或B （之一）发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和．如果事件A 、B 为互斥事件，且事件A 、B 发生机会均等，那么()()()12P A P B P A B ==+. 如果某事件所有可能发生的情况1A 、2A 、、n A 互斥，且机会均等，那么()()()()121211n n P A P A P A P A A A n n ====+++=. 其中的m 种情况发生的概率为mn．来后反面向上的概率之和，即11122P =+=． ⑶掷出的骰（t óu ）子数字1、2、3、4、5、6向上情况互斥且机会均等，所以每种情况发生的概率为16.【例 2】（2008年奥数网杯）一块电子手表，显示时与分，使用12小时计时制，例如中午12点和半夜12点都显示为12:00．如果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是______．【分析】一天当中，手表上显示的时刻一共有1260720⨯=种．其中冒号之前不出现1的情况有2、3、4、5、6、7、8、9八种，冒号之后不出现1的情况有()()6110145-⨯-=种，所以不出现1的情况有458360⨯=种．所以至少看到一个数字“1”的情况有720360360-=种，所以至少看到一个数字“1”的情况有36017202=种．【例 3】如图9个点分布成边长为2厘米的方阵（相邻点与点之间的距离为1厘米），在这9个点中任取3个点，则这三个点构成三角形的概率为多少？这三个点构成面积为12平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为1平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为32平方厘米的概率为多少？构成面积为2平方厘米的概率为多少？【分析】从9个点中任取3个点一共有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯种情况．三个点共线一共有3328++=种情况．所以三个点能够成三角形的概率为81918421-=．9个点中能构成面积为12的三角形一共有444432⨯+⨯=种情况．所以三个点能够成面积为12平方厘米的三角形的概率为3288421=． 9个点中能够成面积为1平方厘米的三角形的情况有46832⨯+=种情况．所以三个点能够成面积为1平方厘米的三角形的概率为3288421=． 9个点中能够成面积为32平方厘米的三角形的情况有4种情况．所以三个点能够成面积为32平方厘米的三角形的概率为418421=．9个点中能够成面积为2平方厘米的三角形的情况有8种情况．所以三个点能够成面积为2平方厘米的三角形的概率为828421=．【例 4】奥苏旺大陆上流行一种牌戏，类似于我们世界的“扑克牌”，但他们的牌只有18张，不同的牌有不同的点数或花色，一共有16这6个点数，以及◎、☆、◇三种花色.玩家从一幅牌中抽出3张牌，求：⑴抽到“顺子”（三张牌点数连续）的概率，⑵抽到“同花”（三张牌花色相同）的概率，⑶抽到“同花顺”（三张牌点数连续，花色相同）的概率．【分析】 18张牌中抽取3张有318816C =种方法．顺子一共有4种，即()1,2,3、()2,3,4、()3,4,5、()4,5,6对于每一种顺子，又有33327⨯⨯=种，所以抽取到顺子的概率有427981668⨯=．同花有三种花色，每一种同花有3620C =种，所以抽取到同花的概率有320581668⨯=．同花顺有3412⨯=种，所以抽取到同花顺的概率为12181668=．【例 5】甲、乙两个学生各从09这10个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的差不超过2的概率，⑵两个数字的差不超过6的概率．【分析】 ⑴两个数相同（差为0）的情况有10种，两个数差为1有2918⨯=种，两个数的差为2的情况有2816⨯=种，所以两个数的差不超过2的概率有10181611101025++=⨯． ⑵两个数的差为7的情况有23⨯种．两个数的差为8的情况有224⨯=种．两个数的差为9的情况有2种．所以两个数字的差超过6的概率有6423101025++=⨯. 两个数字的差不超过6的概率有32212525-=.【例 6】甲、乙、丙、丁四人互相传球，由甲开始第一次传球，每个人接到球后，都随机从其他人中选择一个人将球传出，那么第四次传球恰好传回甲手里的概率是多少？【分析】对每一个接到球的人来说，下一次传球的方向有3种可能，所以四次传球的总路线有4381=种可能，每一种之间都是互斥的等概率事件. 而恰好传回到甲的情况，以第一步为→甲乙为例有如下7种情况： ⎧→→⎧⎪⎪→→→⎨⎪⎪⎪→→⎩⎪⎪→⎨→→⎧⎪→⎨⎪→→⎩⎪⎪→→⎧→⎨⎪→→⎩⎩乙甲甲丙甲丁甲甲乙乙甲丙丁甲乙甲丁丙甲所以第4次传回甲的概率为3778127⨯=．【例 7】如图为A、B两地之间的道路图，其中⊙表示加油站，小王驾车每行驶到出现两条通往目的地方向道路的路口时（所有路口都是三叉的，即每到一个路口都只有一条或两条路通往目的地），都用抛硬币的方式随机选择路线，求：⑴小王驾车从A到B，经过加油站的概率．⑵小王驾车从B 到A，经过加油站的概率．【分析】运用标数法，标数规则（性质）：⑴从起点开始标“１”．⑵以后都将数标在线上，对于每一个节点，起点方向的节点相连线路上所标数之和与和目标方向节点相连线路上标数之和相等．⑶对于每一个节点，目标方向的各个线路上标数相等．如图：从A到B经过加油站的概率为18；8 41如图：从B到A经过加油站的概率为38；4161举例：⑴明天是否晴天与明天晚餐是否有煎鸡蛋相互没有影响，因此两个事件为相互独立事件.所以明天天晴，并且晚餐有煎鸡蛋的概率等于明天天晴的概率乘以明天晚餐有煎鸡蛋的概率.⑵第一次抛硬币掉下来是正面向上与第二次抛硬币是正面向上是两个相互独立事件．所以第一次、第二次抛硬币掉下来后都是正面向上的概率等于两次分别抛硬币掉下来后是正面向上的概率之和，即相互独立事件：()()()P A B P A P B⋅=⋅事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．公式含义：如果事件A和B为独立事件，那么A和B都发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积．111224P =⨯=.⑶掷骰子，骰子是否掉在桌上和骰子的某个数字向上是两个相互独立的事件，如果骰子掉在桌上的概率为0.6，那么骰子掉在桌上且数字“n ”向上的概率为10.60.16⨯=．【例 8】某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为40%，如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少? 【分析】 ⑴全部射中靶心的概率为0.40.40.40.064⨯⨯=．⑵第一箭射中，其他两箭射空的概率为()()0.410.410.40.144⨯-⨯-=．第二箭射中，其他两箭射空的概率为()()0.410.410.40.144⨯-⨯-=．第三箭射中，其他两箭射空的概率为()()0.410.410.40.144⨯-⨯-=．有一箭射中的概率为0.1440.1440.1440.432++=.⑶第一箭射中，其他两箭射中的概率为()10.40.40.40.096-⨯⨯=．第二箭射中，其他两箭射中的概率为()10.40.40.40.096-⨯⨯=．第三箭射中，其他两箭射中的概率为()10.40.40.40.096-⨯⨯=．有两箭射中的概率为0.960.960.960.288++=.【例 9】小刚爬楼梯掷骰子来确定自己下一步所跨台阶步数，如果点数小于3，那么跨1个台阶，如果不小于3，那么跨出2个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出6个台阶的概率为多少？［分析］小明每跨出一步，有13的概率跨1个台阶，有23的概率跨2个台阶，对于4步跨6台阶的每一种情况，例如()2,2,1,1，发生的可能性有22114333381⨯⨯⨯=，所以4步跨6台阶发生的总概率为4868127⨯=．［铺垫］小明爬楼梯时以抛硬币来确定下一步跨1个台阶还是2个台阶，如果是正，那么跨1个台阶，如果是反，那么跨出2个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出6个台阶的概率为多少？［分析］小明跨出4步的所有情况有222216⨯⨯⨯=种情况，其中恰好跨出6个台阶的情况有： ()2,2,1,1、()2,1,2,1、()1,2,2,1、()2,1,1,2、()1,2,1,2、()1,1,2,2六种，所以概率为63168=．【例10】 A 、B 、C 、D 、E 、F 六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？【分析】 A 抽中的概率为16，没抽到的概率为56，如果A 没抽中，那么B 有15的概率抽中，如果A 抽中，那么B 抽中的概率为0，所以B 抽中的概率为511656⨯=.同理，C 抽中的概率为54116546⨯⨯=，D 抽中的概率为5431165436⨯⨯⨯=，E 抽中的概率为543211654326⨯⨯⨯⨯=，F 抽中的概率为5432111654326⨯⨯⨯⨯⨯=. 由此可见六人抽中的概率相等，与抽签的先后顺序无关.［拓展］如果每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概率为多少？［分析］抽中的概率依次为：16、5166⨯、511666⨯⨯、51116666⨯⨯⨯、5111166666⨯⨯⨯⨯、511111666666⨯⨯⨯⨯⨯，在这种情况下先抽者，抽中的概率大．【例11】甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物，事情是这样的：墙上挂着两串礼物（如图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止．甲第一个取得礼物，然后，乙、丙、丁、戊依次取得第2件到第5件礼物，当然取法各种各样，那么共有＿＿＿＿种不同的取法．事后他们打开这些礼物仔细比较，发现礼物D 最精美，那么取得礼物D 可能性最大的是＿＿＿＿，可能性最小的是＿＿＿＿．CD E AB【分析】本题需要注意的隐含条件：对于每个人，如果摆在面前的有两串礼物，那么该人选择其中一串的概率为12，如果摆在面前的只有一串礼物，那么该人100%选择那一串．第一件取A 的有4种取法,第一件取C 的有6种取法．所以有不同的取法4610+=种．观察这10种取法的树状图可知，甲和戊不可能取得D ，所以取得D 可能性最小的是甲和戊，乙、丙、丁谁的可能性大不能看谁的取法较多，因为每种取法实现的可能性不同. 法一：计算枚举出的每一种取拿方法的所有概率（各种取拿方法流程之间是互斥事件）：第一件取A 有4种方法：1111112241111112228111111222216111111222216B C D E B D E A C B E D E B⎧⎛⎫→→→⨯⨯⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎧⎛⎫→→⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪→⎨⎪⎧⎪⎛⎫⎪→→⨯⨯⨯⨯=⎨ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪→⎪⎨⎪⎛⎫⎪⎪→⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎩⎩⎩第一件取B 有6种方法：11111122281111112222161111112222161111112222161111112222161111112228B D E A B E D E B C B E A D E B E A B⎧⎛⎫→→⨯⨯⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎧⎪⎛⎫→→⨯⨯⨯⨯=⎨ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪→⎨⎪⎛⎫⎪→⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎩⎩→⎧⎧⎛⎫→⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪→⎨⎪⎪⎛⎫⎪→→⨯⨯⨯⨯=⎨ ⎪⎪⎝⎭⎩⎪⎪⎛⎫→→⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩乙取得D 的可能性是1111161684++=；丙取得D 的可能性是11111161616164+++=；丁取得D 的可能性占11114882++=．所以取得D 可能性最大的是丁．法二：计算流程各个阶段，事件发生情况：（每个人选择哪一串在是否取完一串的条件已知的情况下与后一个人选择哪一串相互独立）.乙取得D 的可能性是111224⨯=；丙取得D 的可能性是111122224⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；丁取得D 的可能性占1111112222222⎛⎫⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．所以取得D 可能性最大的是丁．1．从小红家门口的车站到学校，有1路、9路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10分中开来一辆．小红到车站后，只要看见1路或9路，马上就上车，据有人观察发现：总有1路车过去以后3分钟就来9路车，而9路车过去以后7分钟才来1路车．小红乘坐______路车的可能性较大．【分析】首先某一时刻开来路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示：显然由上表可知每10分钟乘坐1路车的几率均为10，乘坐9路车的几率均为10，因此小红乘坐1 路车的可能性较大．2．某人有5把钥匙，一把房门钥匙，但是忘记是哪把，于是逐把试，问恰好第三把打开门的概率？【分析】从5把钥匙中排列出前三把，一共有3554360P =⨯⨯=种，从5把钥匙中将正确的钥匙排在第三把，并排出前二把一共有244312P =⨯=种，所以第三把钥匙打开门的概率为121605=．3．一张圆桌旁有四个座位，A 、B 、C 、D 四人随机坐到四个座位上，求A 与B 不相邻而坐的概率．【分析】四人入座的不同情况有432124⨯⨯⨯=种．A 、B 相邻的不同情况，首先固定A 的座位，有4种，安排B 的座位有2种，安排C 、D 的座位有2种，一共有42216⨯⨯=种．所以A 、B 不相邻而座的概率为()12416243-÷=．4．如图为甲、乙两地之间的道路图，晓峰从甲地步行前往乙地，晓峰步行的方向始终为向北或向东，如果行走某个路口，出现有向北和向东的两条道路，晓峰就用抛硬币的方式随机选择路线，问晓峰最有可能通过A 、B 、C 中的哪一条道路从西城走到东城？乙甲CBA【分析】运用标数法，将晓峰通过的每一条路的概率标在道路上，如图：由标数可得晓峰通过A 的概率为12，通过B 和C 的概率为14.5．设每门高射炮击中敌机的概率为0.6,今欲以99%的把握击中敌机,则至少应配备几门高射炮同时射击？【分析】如果只配一门高射炮，那么未击中的概率为0.4，配备两门高射炮那么未击中的概率为0.40.40.16⨯=，如果配备三门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.064⨯⨯=，如果配备四门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.40.0256⨯⨯⨯=，如果配备五门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.40.40.01024⨯⨯⨯⨯=，如果配备六门高射炮，那么未击中的概率为60.40.004096=．所以至少配备6门高射炮，同时射击．。

初中数学竞赛题选讲知识点梳理

初中数学竞赛题选讲知识点梳理数学竞赛在初中阶段是一项受到广泛关注的活动，无论是对学生的数学能力的考察还是对数学知识的综合运用都提出了高要求。

在数学竞赛中，学生所面临的题目类型和考点非常多样化和丰富。

为了帮助同学们更好地应对数学竞赛，笔者将按照常见的数学竞赛题目类型，梳理其中涉及的重要知识点，以供大家参考。

1. 空间几何题空间几何题是数学竞赛中的一类常见题型，主要考察学生对几何形体的认识和推理能力。

在此类题目中，常见的几何形体包括立体图、平面图和几何体的侧视图、俯视图和正视图。

知识点梳理：- 几何体的名称与特点：如球体、长方体、正方体等。

- 几何体的计算：包括体积、表面积的计算公式。

- 侧视图、俯视图和正视图之间的转换与关系：学会根据图形的特点判断几何体的形状和位置。

2. 数列与函数题数列与函数题在数学竞赛中常常出现，涉及到同学们熟悉的数列概念和函数的运算求解。

知识点梳理：- 数列的概念与性质：包括等差数列、等比数列等。

学生需要了解数列的通项公式、前n项和等概念等。

- 数列的运算：同学们需要掌握数列的加法、减法及乘法等运算，以及运用这些运算求解问题的能力。

- 函数的概念与性质：学生需要理解函数的定义、函数的图像以及函数的性质等。

- 函数的运算与组合：包括函数相加、相减、相乘等基本运算，以及函数的复合等。

3.方程与不等式题方程与不等式题在数学竞赛中也是常见的题型，主要考察学生的方程与不等式的解法和推理能力。

知识点梳理：- 一元一次方程与一元一次不等式：学生需要掌握解一元一次方程和不等式的基本方法，并能灵活应用于问题求解。

- 二元一次方程与二元一次不等式：同学们需要熟悉解二元一次方程和不等式的方法，包括图形解法和代入法等。

- 绝对值方程与绝对值不等式：学生需要理解绝对值的概念，掌握解绝对值方程和不等式的方法。

- 分式方程与分式不等式：同学们需要了解分式方程和不等式的性质，并学会解这类问题的方法。

4.概率与统计题概率与统计题在数学竞赛中也经常出现，主要考察学生对概率与统计的基本理解和运用能力。

小学六年级数学竞赛讲座第14讲数论总复习

x +x=180，解得 x=135. 3
4．两个整数的最小公倍数是 1925，这两个整数分别除以它们的最大公因数，得到两个商的和是 16，写出这两个数。解：设这两个数分别是 a=mp、b=np，其中 m，n 互质，由题意 m+n=16，mnp=1925，
1925=52×7×11，其中 5+11=16，可取 m=5、n=11、p=35，于是 a=5×35=175，b=11×35=385。
所以这些数字都不会是偶数，只能从 1、3、5、7、9 中选取，且各不相同，其中取 3 个数字，任何 3 个数字的和都不能被 9 整除，所以排除 9，如果选取 3，则只有 1、3、5 三个数的和能被 3 整除，或 3、5、7 三个数的和能被 3 整除，有 135 和 315 能被 1、3、5 整除；或 735 能被 3、5、7 整除；如果不取 3，只剩下 1、5、7，其中 175 能被 1、7、5 整除；所以三位数是 135、315、175、735.
例 6．有一个四位数，它和 6 的积是一个完全立方数，它和 6 的商是一个完全平方数，那么这个四位数是。解：在这个四位数的因数中有 63m−1，同时满足 3m−2 是偶数，所以 m=2，
即一定含有 65=7776 这个因数，而它是一个四位数，就是 7776。
例 7．如果 2×38 能表示成 k 个连续正整数的和，则 k 的最大值为
此时 B 的最小值是 4，有 3 个因数，A=96=25×3，有 12 个因数。
A+B=96+4=100.
模块三、综合问题：
例 5．设六位数 abcdef 满足 fabcde f abcdef ，请写出这样的六位数。
解：设 abcde =x，则

知识竞赛题目精选全文

可编辑修改精选全文完整版知识竞赛题目一、选择题：1、红十字运动由______________三个部分组成。

（A）国际委员会国际联合会各国红会（B）国际大会代表会议常设委员会（C）国际委员会中央寻人局各国红会（D）国际大会代表会议中央寻人局2、红十字会协会创立于____________年，____________年改为___________。

（A）1863；1991 ；红十字国际委员会（B）1863；1991 ；红新月会国际联合会（C）1919；1991 ；伤兵救护委员会（D）1919；1991 ；红十字会与红新月会国际联合会3、开展救灾的__________，在自然灾害和突发事件中，对伤病人员和其他受害者进行救助，是红十字会的第一项职责。

（A）救助工作（B）急救工作（C）准备工作（D）赈济工作4、83、红十字标志的保护使用，是标示在武装冲突中必须受到尊重和保护的___________。

（A）人员和物资（B）物资和红十字人员（C）军队医护人员和红十字人员（D）人员和设备5、88、红十字会为开展___________工作，可以进行募捐活动。

（A）救护（B）救助（C）赈济（D）重建6、联合国把“国际志愿者日”定为__________。

（A）5月25日（B）10月13日（C）8月12日（D）12月5日7、我国从__________年开始在全国推行注册志愿者制度。

（A）2002（B）2003（C）2004（D）20058、一般的注册志愿者每年要提供__________小时的志愿支援服务。

（A）48（B）96（C）100（D）1689、共青团中央从2000年起，将“中国青年志愿者服务日” 确定为__________ （A）5月25日（B）5月13日（C）3月5日（D）3月25日10、中国青年志愿者帽子的颜色是___________（A）纯白色（B）宝石蓝色（C）鲜红色（D）翠绿色11、注册志愿者需要履行的义务有__________①履行志愿服务承诺②不得以志愿者身份从事任何以赢利为目的或违背社会公德的活动③自觉维护团组织、志愿者组织和志愿者的形象④相关法律法规及团组织、志愿者组织规定的其它义务⑤向志愿者组织提出建议和意见（A）②③⑤（B）①②③④（C）②③④⑤（D）①②③④⑤12、2009年是第几个国际志愿者日？（A）24（B）26（C）38（D）4313、二战时期志愿服务的宗旨是__________①和平②反战③人道主义④援外友谊（A）①②④（B）①③④（C）②③④（D）①②③14、“IAVE”是哪个组织的英文缩写？（A）国际助残服务队（B）中国志愿者协会（C）国际志愿者协会（D）国际环卫志愿服务队15、北京奥运会志愿者人数是__________（A）8万（B）10万（C）12万（D）20万16、自行车比赛分__________４项。

四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第六讲等差数列竞赛篇(解析版)全国通用

第六讲等差数列编写说明关于等差数列的求和问题，我们奥数网的课程安排是在三年级的春季进行了系统的知识梳理，在整个小学四年级阶段我们没有进行过相关的系统讲解. 我们这节课的主体以等差数列的提高和应用为主，但考虑到许多学生没有系统接触过“等差数列”的知识，有些接触过的同学经过较长的时间，遗忘的已经比较多了！所以我们希望教师在相关公式的复习时能够系统得讲解一下！内容概述许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得这么快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们回顾加强有关等差数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.你还记得吗【复习1】你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？呵呵！快快举手，多多赢得小印章！分析：以下答案仅供参考！（1）先介绍一下一些定义和表示方法：定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.譬如：2、5、8、11、14、17、20、……从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、……从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列（2）首项：一个数列的第一项，通常用a 1表示；末项：一个数列的最后一项，通常用a n 表示，它也可表示数列的第n 项. 每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变得差，通常用d 来表示；和：一个数列的某些项的和，常用S n 来表示 .（3）三个重要的公式：① 通项公式：末项=首项＋(项数-1)×公差1(1)n a a n d =+-⨯回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：(),()n m a a n m d n m -=-⨯f② 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1（其实此公式是由①推导出来的，教师也可以帮助同学推导，可以为以后的解方程做好铺垫）由通项公式可以得到： 1()1n n a a d =-÷+ （1n a a f 若）；1n ()1n a a d =-÷+（1n a a f 若）.找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、……、40、43、46 ，分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是 3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组. 当然，我们还可以有其他的配组方法.③ 求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷21()2n n s a a n =+⨯÷对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手：（思路1）1＋2＋3＋…＋98+99+100＝101×50=5050（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050（4）中项定理对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.譬如：（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×9÷2=20×9=180 ，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9 ；（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×33÷2=33×33=1089 ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33 .如果是一个项数为偶数的等差数列，我们该如何运用这个公式呢？其实我们可以将其去掉一项，变成奇数项，求和之后再加上去掉的那一项 .中项定理也可用在速算与巧算中.譬如：计算：124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68分析：这是一列等差数列，项数是奇数，中间数是524.68，所以可以用5×524.68=2623.4 .等差数列是小学奥数的一个重要知识，无论是竞赛还是小升初都是一个考核的重点.一部分题目是直接考数列，但更多的是结合到找规律、周期等问题进行考核.复习题目的重点就是让学生熟练掌握等差数列的求和、末项和项数的求解.不能让学生去单纯的背公式，而应该把原理讲透.【复习2】小明从1月1日开始写大字. 第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月（总共31天）共写了589个大字，问：小明每天比前一天多写多少个字?分析：数列末项为：589×2÷31－4=34，所以公差为(34－4)÷30=1，小明每天比前一天多写1个大字．【复习3】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？分析：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，…容易知道，是一个等差数列. 2106是第n=（2106-2）÷4+1=527层，中间一层是第（527+1）÷2=264层，那么中间一层有：2+（264-1）×4=1054块，这堆砖共有：1054×527=555458（块）.例题精讲【例1】计算：（1）61+692+6993+69994+699995+6999996 （2）0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.9＋0.10＋0.11＋…＋0.98＋0.99 （3）（04陈省身杯数学邀请赛）计算：（10-455×1）+（9-455×2）+（8-455×3）+…+（2-455×9）+（1-455×10）= .（4）计算：1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70；分析:（1）原式=(70-9)+(700-8) +(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000-4)=7777770-(9+8+7+6+5+4)=7777731（2）分析：仔细观察发现这串数并不是一个等差数列，但是我们可以分为0.1至0.9和0.10至0.99两部分，这样就变成等差数列了，然后再求和.第一部分：0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.9=4.5；第二部分：0.10＋0.11＋…＋0.98＋0.99=（0.1＋0.99）×90÷2=49.05；因此总和等于：49.05＋4.5=53.55 .（3）原式=(10+9+8+…+1)- 455×(1+2+3+…+10)=55-455×55=51（4）可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+9+13+…+67+70和3+6+9+12+…+66+69，对他们分别求和：（1+70）×24÷2+（3+69）×23÷2=1680.【巩固】（1）计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.1l+0.13+0.15+0.17+…+0.97+0.99；（2）计算72+793+7994+79995+799996= ；（3）2+4+8+10+14+16+20+22+…+92+94+98+100.分析：（1）原式=（0.1+0.3+0.5+0.7+0.9）+（0.11+0.13+0.15+0.17+…+O.97+0.99）=（0.1+0.9）×5÷2+（0.11+0.99）×45÷2=27.25．（2）原式=(80-8)+(800-7)+(8000-6)+(80000-5)+(800000-4)=888880-(8+7+6+5+4)=888850（3）拆分为2+8+14+20+…+92+98和4+10+16+22+…+94+100：(2+98)×17÷2+(4+100)×17÷2=1734 .【例2】（走进美妙数学花园）如右图，25个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形，在图中每个结点处都标上一个数，使得图中每条直线上所标的数都顺次成等差数列．已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100，200，800．求所有结点上数的总和.分析：如右下图，各结点上放置的数如图所示．从100到300这条直线上的各数的平均数是200，平行于这条直线的每条直线上的各数的平均数都是200．所以21个数的平均数是200，总和为200×21=4200．【例3】（全国华罗庚金杯）如右图，有码放整齐的一堆球，从上往下看，这堆球共有多少个?分析：最上层有1个球；第二层有1+2+3+4+5=15(个)；第三层有15+6=21(个)；第四层有21+7=28(个)；七层共有球1+15+21+28+36+45+55=201(个)．【例4】在1～200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少?分析：先求出能被4整除的自然数和，再求出能被11整除的自然数和，将二者相加，但是此时得到的不是题目需要的和，因为44，88等数在两个数列中都存在，也就是说能被44整除的数列被计算了两次，所以我们还应该减去能被44整除的数列和.(4+8+12+…+200)+(11+22+33+…+198)-(44+88+132+176)=(4+200)×50÷2+(11+198)×18÷2-(44+176)×4÷2=6541．【前铺】在1～100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？分析：我们先计算l～100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和了．1+2+…+100=(1+100)×100÷2=5050，9+18+27+…+99=(9+99)×11÷2=594，所有不能被9整除的自然数和：5050-594=4456．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以我们先计算所有1～100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了．【前铺】100到200之间不能被3整除的数之和是多少？分析:考虑能被3整除的各数之和102＋１05＋…＋198 ;然后（100＋101＋102＋…＋200）—（102＋105＋…＋198）＝10200.【例5】已知有一个数列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4……，试问：（1）15是这样的数列中的第几个到第几个数？（2）这个数列中第100个数是几？（3）这个数列前100个数的和是多少？分析：分析可得下表：数：1 2 3 4 5 6 7 …14 15 16……个数：2 4 6 8 10 12 14 … 28 30 32……（1）2＋4＋6＋…＋28=210，所以15是第211个到240个（2）在这个数列中前9组的个数是：2＋4＋6＋…＋18=90个这个数列前10组的个数是：2＋4＋6＋…＋20=110而90〈100〈110，所以第100个数是第10组中数，是10（3）这个数列中前100个数的和是：1×2＋2×4＋3×6＋…＋9×18＋10×10=670【例6】已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问:这个数列中第2000个数是多少?第2003个数是多少?分析:奇数项的排列规律是：2、4、6、8，…偶数项的排列规律是：3、6、9、12，…先求出这两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷2=1000个数，第2003个数在奇数项等差数列中是第（2003+1）÷2=1002个数，所以第2000个数是3000，第2003个数是2004 .【拓展】求出原题中的前100项和，并判断出100、111、120分别是数列中的第几项。

-奥林匹克数学竞赛内容与方法选讲

-奥林匹克数学竞赛内容与方法选讲奥林匹克数学竞赛内容与方法选讲一、标题分析（1）奥林匹克——一种精神（2）数学——一种科学哲学（3）竞赛——一种生存方式（4）内容——一种意义生成过程（5）方法——一种思维的简化形式（6）选讲——一种最普遍的交流方式二、主题确定（1）身、心、思、题、方、践（2）解读•人生就是一场竞赛，身体最终决定成败•三分养身七分修心，和谐身心美满一生•思维是生存的先锋，智慧是成功的法宝•问题是实践的使者，善问是智慧的源泉•方法是解题的利斧，策略会赐予你机遇•思而无为方略枉然，践行思想始见英雄三、专题研究（1）身心健康问题•如何监测身体健康状况？•如何锻炼身体？•如何保持修心养性？• 如何防病、治病？（2）学习思维问题 • 如何认识学习的分类？从实践中学，从符号中学，从反思中学 • 如何认识思维的分类？逻辑思维，发散思维，直觉思维 • 如何学习？• 如何思考？（3）出题解题问题• 如何发现问题？——决定了一个人的发展潜能 • 如何确定问题？——问题的科学化、数学化过程 • 如何解决问题？——知识的系统化、理论化过程• 如何验证问题？——结果的正确性、有效性评价（4）方法策略问题• 如何认识思想、策略与方法的关系与作用？• 数学主要有哪些思想？• 数学有哪些主要方法？• 解决数学问题的一般策略是什么？（5）实践操作问题• 如何认识心、言、行的一致性？• 如何增加计划的可行性？• 数学解题过程的表述与规范？• 如何认识社会实践、操作实践、科学实践的关系？国际奥林匹克数学竞赛（IMO ）的发展奥林匹克数学的历史（必讲）解决奥林匹克数学问题的主要思想（选讲）每年十月举行，每次出三题，限4小时完成，允许使用任何参考书，试题常有高等数学的内容，而解法却完全是初等的。

在埃沃斯的领导下，这一数学竞赛对匈牙利的数学发展起了很大的作用，许多卓有成就的数学家、科学家是历届埃沃斯竞赛的优胜者，如1897年弗叶尔、1898年冯卡门等。

高等数学竞赛练题推荐教材

高等数学竞赛练题推荐教材高等数学竞赛是对学生高等数学知识的综合应用能力的考察，其中练习题的选择对于备战竞赛尤为重要。

本文将推荐几本适合高等数学竞赛练习的教材，以帮助读者更好地备战竞赛。

一、《高等数学竞赛教程》《高等数学竞赛教程》是由多位数学竞赛经验丰富的教师合作编写的一本教材。

该教材选题广泛，涵盖了微积分、线性代数、概率统计等多个高等数学领域的知识点，题目设计灵活多样，既有基础题目，也有拓展题目，适合不同层次的学生练习。

此外，教材还对每个知识点进行了详细的讲解，为学生提供了解题思路和解题方法，帮助学生更好地理解高等数学的概念和应用。

二、《高等数学竞赛真题选讲》《高等数学竞赛真题选讲》是一本将历年来高等数学竞赛真题进行分类整理的教材。

该教材按照竞赛题型和知识点进行归类，涵盖了微积分、线性代数、概率统计等多个领域的真题。

每个知识点的真题选讲中，教材都会给出详细的解题思路和解题方法，帮助学生理解和掌握解题技巧。

此外，教材还会给出一些常见错误的解题思路和解题方法，帮助学生避免在竞赛中常见的错误。

三、《高等数学竞赛全真模拟试题集》《高等数学竞赛全真模拟试题集》是一本模拟竞赛试题集合，包含了大量的高等数学竞赛模拟试题。

模拟试题的设计和真题相似度高，题目难度也与实际竞赛接近，适合学生进行模拟考试和训练。

此外，教材还附有详细的解答和解析，供学生对照答案进行自主评估和学习。

通过进行模拟考试，学生可以提高对高等数学竞赛的应试能力和应变能力。

四、《高等数学竞赛辅导教材》《高等数学竞赛辅导教材》是一本对高等数学竞赛各个知识点进行精讲精练的教材。

该教材以知识点为单位，结合竞赛题型，对每个知识点进行了详细的讲解和练习。

教材中的练习题目难度适中，层次分明，帮助学生逐步提高解题能力。

此外，教材还包含了大量的例题和习题，供学生自主练习和巩固知识。

通过系统学习和实践练习，学生能够更好地解决高等数学竞赛中的问题。

综上所述，高等数学竞赛练题推荐教材涵盖了不同领域的高等数学知识点，丰富的题目设计和详细的讲解为学生备战竞赛提供了有力的帮助。

小学数学竞赛六思维专题十较复杂的百分数应用题

晟嘉2008年秋季六年级数学思维训练专题十较复杂的百分数一、例题选讲例1．学校将110棵的植树任务分给五、六年级的学生，已知五年级分到任务的80％与六年级分到任务的75％一共是85棵。

问：两个年级各要植树多少棵？例2．甲、乙两个仓库存放一批化肥，甲仓库比乙仓库多120袋，如果从乙仓库搬出25袋放进甲仓库，乙仓库的化肥的袋数就是甲仓库的60％。

甲、乙两仓库原来各有化肥多少袋？例3．甲、乙两个运输队要向灾区运送一批救灾物资，甲队每天能运送64.4吨，比乙队每天多运75％。

如果甲、乙两队同时运送，当甲队运了全部救灾物资的12时，就比乙队多运了138吨。

这批救灾物资一共有多少吨？例4．某校参加英语兴趣小组的人数是参加数学兴趣小组人数的8０％，参加英语兴趣小组的女生人数是英语兴趣小组总人数的60％；参加数学兴趣小组的女生人数是数学兴趣小组总人数的42％。

问：两个兴趣小组中女生总人数是两个兴趣小组总人数的百分之几？例5．有红、绿、蓝三种颜色的同样大小纽扣两包，第一包纽扣颗数是第二包的1.5倍，第一包里的红纽扣占20％，第二包里的蓝纽扣占45％，第一包里绿纽扣所占百分数与第二包里绿纽扣所占百分数相同，现在将这两包纽扣混合在一起，红纽扣占26％，这时蓝纽扣占百分之几？二、练习及作业1.初三（1）班有学生60人,男生人数的55%和女生人数的80%,总计38人,求男、女生各多少人？2.有两筐苹果，已知第二筐是第一筐的80％。

若从第一筐中拿出5千克放入第二筐，则两筐苹果的重量相等。

这两筐苹果共有多少千克？3.某校选出一些同学参加数学竞赛，其中男生比女生多10人，比赛结果，男生40％获奖，女生50％获奖，获奖的总共31人。

问：共有多少人参加数学竞赛？［点击思路：设女生x人参加数学竞赛，则男生是x＋10人参加数学竞赛，根据“共有31人获奖”列方程解答。

］4.甲、乙两班共有70人参加学校篮球队训练，甲班参加人数的40％比乙班参加人数的50％多1人，甲、乙两班各有多少人参加篮球队训练？5.有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放入16块水果糖后，奶糖就只占25％，那么这堆糖果中有奶糖多少块？6.在一次数学竞赛中，所有竞赛学生的平均分数是70分，其中75％的人及格，他们的平均分数是80分，不及格的平均分是多少？［点击思路：用设数代入法，设有100人参赛。

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第六讲数学竞赛题选讲（一）例题一、选择题1、某工件的形状如图所示，圆弧BC ⌒的度数为60°，AB =6，点B 与点C 的距离等于AB ，∠BAC =30°，则此工件的面积为．2、设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（） A 、5 B 、7 C 、9 D 、113、实数a ，b ，c ，d 满足：a ＋b ＋c ＋d ＝1001，ac ＝bd ＝4，则))()()((a d d c c b b a ++++= ( )A 、1001B 、2002C 、2003D 、20044、在△ABC 中，∠A ＞∠B ＞∠C ，∠A ≠90°，画直线使它把 △ABC 分成两部份，且使其中一部分与△ABC相似，这样的互不平行的直线有( )条A 、3B 、4C 、5D 、65、已知二次函数y=ax 2+c ,且当x ＝1时，－4≤y ≤－1，当x ＝2时,－1≤y ≤5，则当x ＝3时，y 的取值范围是( ) A 、－1 ≤y ≤20 B 、－4 ≤ y ≤15 C 、7 ≤y ≤26 D 、328-≤ y ≤3356、n 是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为a ，当n 分别乘以3，5，7，9后得到四个乘积，如果其每个乘积的各位数的数字之和仍为a ，那么这样的两位数有( )个。

A 、3B 、5C 、7D 、9二、填空题：7．如图，正方形ABCD 的边长为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .8、利用公式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)=(ac ＋bd )2＋(bc －ad )2 或其它方法找出一组正整数填空：(22＋92×32)(42＋92×52)=( ) 2+92×( ) 2。

9、如图，梯形ABCD 的面积为34cm 2，AE =BF ，CE 与DF 相交于O ，△OCD的面积为11cm 2，则阴影部分的面积为 _ cm 2。

10、在表达式S =4321x x x x -+-中， x 1、x 2、x 3、x 4 是1、2、3、4的一种排列（即：x 1、x 2、x 3、x 4取1、2、3、4中的某一个数，且x 1、x 2、x 3、x 4 互不相同）。

则使S 为实数的不同排列的种数有种。

三、解答题11、某同学买某种铅笔，当他买了x 支，付了y 元（x 、y 都是整数）时，营业员说：“你要再多买10支，我就总共收你2元钱，这样相当于每买30支，你可节省2元钱”。

求x ，y 。

12、如图：菱形PQRS 内接于矩形ABCD ，使得P 、Q 、R 、S 为AB 、BC 、CD 、DA 上的内点。

已知PB =15、BQ =20、PR =30、QS =40、若既约分数nm为矩形ABCD 的周长，求m ＋n 。

13、（1）试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形(分得的正方形大小可以不相同)；又问如何把正方形按上要求分成31个正方形？（2）试设计一种方法，把一个立方体分割成55个立方体(要求：不重复不遗漏，分得的立方体大小可以不相同)。

C14、已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时，求a 的最小值.15、求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，，　，，满足12201x x x <<< ，且122012122012n x x x +++= .练习一.选择题1、下列各式的计算结果中，与2010最接近的是：A ．12(20082012)⨯ B ．1000π C ．5842⨯ D ． 2248.328.348.38.3-⨯⨯+ 2、下面四个命题:①分解因式256(2)(3)x x x x-+--等于;②=③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;④同时抛掷两枚硬币，两枚硬币都正面朝上的概率是13。

其中正确的命题的个数为: A ．0 个 B ．1 个 C ．２个 D ．３个 3、已知：三个数a b c 、、的积为负数，和为正数，且a b c ab ac bcx a b c ab ac bc=+++++，则x 的值为 A ． 1 B ．-1 C ．0 D ．与a,b,c 的值有关4、如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,△DEF 的面积等于2,则此正方形ABCD 的面积等于 A ．6 B ． 12 C ．16 D ． 205、如图，等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒CAB DE E AC=4AD AB ∠⊥为的平分线，于，,则BDE ∆的周长为A.4B.6C.D.6、某校初三运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋。

已知该队伍有20名同学，统计表如下表：由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到。

（第5题图）（第4题图）下列说法中正确的是A．这组数据的中位数一定是40，众数是39 B．这组数据的中位数与众数一定相等C．这组数据的平均数比39大，比40小D．以上说法都不对7、某个游泳池有2个进水口和一个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图1所示，出水口的出水量与时间的关系如图2所示，某天早上5点到10点，该游泳池的蓄水量与时间的关系如图3所示．在下面的论断中：①5点到6点，打开全部进水口，关闭出水口；②6点到8点，同时关闭两个进水口和一个出水口；③8点到9点，关闭两个进水口，打开出水口；④10点到11点，同时打开两个进水口和一个出水口．正确的是A．①③B．①④C．②③D．②④8、如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2012次，点P依次落在点12342012P P P P P，，，，，的位置，则20122012P x=的横坐标A．2012 B．2011 C．2010 D．2009二、填空题（每题5分，共30分，请将答案填在表格内）9、已知，1,2,___________________b aab a ba b=--=+则式子＝。

10、若一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为____________________________。

11、如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则∠1= 度．图1 图2 图3（第11题图）（第12题图）（第8题图）213513O12、如图为Rt ABC ∆的硬纸片，BAC=90,AB=3,BC=5∠︒,AD 为BC 上的高，从这张硬纸片上剪下一个如图示正方形EFGH ，则正方形EFGH 的边长为_________________；若把四个顶点都在ABC ∆的三边上（包括顶点）的正方形叫ABC ∆的内接正方形，则该Rt ABC ∆的最大内接正方形的边长是__________________________。

13、学生王芳、李聪、张涛三人竞选学校的学生会主席，选举时收到有效选票1500张，统计其中1000张选票的结果如图（方框上方数字表示得票数），则李聪在剩下的500张选票中只要再得 ______________票,就可确保以得票最多当选该校的学生会主席.14、六个面上分别标有1,1，2,3，3,5六个数字的均匀立方体的表面如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标。

按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内的一个点的坐标。

已知小明前再次掷得的两个点能确定一条直线l ，且这条直线l 经过点P （4,7），那么他第三次掷得的点也在直线l 上的概率是__________________。

三、解答题15、已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．16、小刚和小强在一条由西向东的公路上行走，出发时间相同，小强从 A 出发，小刚从A 往东的B 处出发，两人到达C 地后都停止。

设两人行走x 分钟后，小强、小刚离B 的距离分别为1y 、2y （m ），1y 、2y 与x 的函数关系如图所示：（1）根据图像可得：A 、C 两地间的距离为 m ；a =_________________。

（2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）由于有雾，两人的距离不超过50m 时才能够相互望见，求小强过了B 地后至小刚到达C 地前，小强可以望见小刚时x 的取值范围．（第14题图）17、如图：在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C 。

（1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB ＝7，BC =5, BE =DE , DE >EC ,求BF 长。

18、某班进行一次智力竞赛，共a ,b ,c 三题，每题或者得满分或者得0分，其中题a 满分 20分，题b 题c 满分均为40分，竞赛结果，每个学生至少答对一题，三题全对有3人，答对其中两题的有14人，答对题a 的人数与答对题b 的人数之和为45，答对题a 的人数与答对题c 的人数之和为35人，答对题b 的人数与答对题c 的人数之和为40人，问该班共有多少人，平均成绩是多少?19、边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程2(2)40x k x k -++=的两根，求k 的值并确定直角三角形三边之长．第26题图 FE D C B A。