chap5_经典设计法 [兼容模式]

2011/10/19
5.1.1 设计原理和步骤
• 实质是将数字控制器部分看成是一个整体，其输入和输出都是模拟量， 因而可等效为连续传递函数De(s)。

连续域连续域-离散化设计的步骤如下：
第1步：根据系统的性能，选择采样频率，并设计抗混叠前 置滤波器。

第2步：考虑ZOH的相位滞后，根据系统的性能指标和连续 域设计方法，设计数字控制算法等效传递函数Ddc(s)。

第3步：选择合适的离散化方法，将Ddc(s)离散化，获得脉 冲传递函数D(z)，使两者性能尽量等效。

第4步：检验计算机控制系统闭环性能。

若满足指标要求， 第4步：检验计算机控制系统闭环性能 若满足指标要求 进行下一步；否则，重新进行设计。

改进设计的途径有： – 选择更合适的离散化方法。

– 提高采样频率。

– 修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等。

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
连续域—离散化设计 数字PID控制器设计 控制系统z平面设计性能指标要求 z平面根轨迹设计 w’变换及频率域设计
图5-1计算机控制系统典型组成 A/D输出与输入关系：
R* ( jω ) =
系统低通且 1 ∑ R( jω + jnω s ) 采样频率较高 T n =−∞
∞
R *( jω ) ≈
1 R ( jω ) T
R *( jω ) / R ( jω ) ≈
计算机实现算法D(z)的计算表示：D (e D/A的频率特性： G ( jω ) = T 等效连续 传递函数
1
jωT
1 T
)
sin(ωT / 2) − jωT / 2 e ≈ Te − jωT / 2 ωT / 2
设计时常近似为：
1 De ( jω ) ≈ D (e jωT )Te − jωT / 2 = D (e jωT )e − jωT / 2 T
第5步：将D(z)变为数字算法，在计算机上编程实现。

e − sT / 2 ≈ 1 1 + sT / 22
De ( s ) = Ddc ( s )e − sT / 2
3
5.1.2 各种离散化方法
• 最常用的表征控制器特性的主要指标：
– – – – – – 零极点个数； 系统的频带； 稳态增益； 相位及增益裕度； 阶跃响应或脉冲响应形状； 频率响应特性。

1. 一阶向后差分法
(1)离散化公式
D( z ) = D( s)
s= 1− z T
−1
D ( s ) = U ( s ) / E ( s ) = 1/ s
1. 一阶向后差分法
(2)主要特性 ① s平面与z平面映射关系
– 当σ=0 （s平面虚轴），s平面虚 轴映射到z平面为该小圆的圆周。

– 当σ> 0（s右半平面），映射到z 平面为上述小圆的外部。

– 当σ< 0（s左半平面），映射到z 平面为上述小圆的内部。

du (t ) / dt = e(t )
s = σ + jω
实质：将连续域中的微分
D(s)
等效离散
D(z)
用一阶向后差分替换
du (t ) / dt = [u (kT ) − u[( k − 1)T ]] / T
做z变换，得
比较
• 数值积分法
一阶向后差法 一阶向前差法 双线性变换法及修正双线性变换法
D ( z ) = U ( z ) / E ( z ) = T /(1 − z )
s与z之间的变换关系
−1
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定 ③变换前后，稳态增益不变。

③变换前后 稳态增益不变 ④离散后控制器的时间响应与频率响 应，与连续控制器相比有相当大的 畸变。

D( s)
s =0
= D( z )
z =1
离散化方法
(3) 应用
由于这种变换的映射关 系畸变严重，变换精度较低。

所以，工程应用受到限制， 用得较少。

• 零极点匹配法 • 保持器等价法 • z变换法(脉冲响应不变法)
4
图5-3向后差分(矩形积分)法
图5-4 向后差分法的映射关系
6
5
2. 一阶向前差分 一阶向前差分法
(1)离散化公式
D( z ) = D( s )
s= z −1 T
D ( s ) = U ( s ) / E ( s ) = 1/ s
2.一阶向前差分 2.一阶向前差分法
(2)主要特性
① s平面与z平面映射关系
⇒ z = (1 + σT ) 2 + (ωT ) 2
2
3.双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法）
(1)离散化公式 D( z ) = D( s) 平移放大关系
s= 2 z −1 T z +1
du (t ) / dt = e(t )
D ( s ) = U ( s ) / E ( s ) = 1/ s
z = 1 + Ts
u (t ) = ∫ e(t )dt
0
t
实质：将连续域中的微分 用一阶向前差分替换 做z变换，得
du (t ) / dt = {u[(k + 1)T ] − u (kT )}/ T
z = sT + 1, 令s = σ + jω , 则z = (1 + σT ) + jωT 1 2 1 ) + ω 2 = ( )2 T T
实质：将梯形面积 u (k ) = u ( k − 1) + T [e( k ) + e( k − 1)] 近似代替积分 2 进行z变换，得
D ( z ) = U ( z ) / E ( z ) = T /( z − 1)
比较
令 z = 1 ⇒ (σ +
2
比较
s与z之间的变换关系
②若D(s)稳定，则D(z) 不一定稳定[改进方法是 适当减少采样周期T ]。

s与z之间的变换关系
z − 1 1 − z −1 s= = T Tz −1
图5-7 向前差分矩形积分法
(3) 应用
向前差分法的映射关系图
z = 1 + Ts
由于这种变换的映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定 稳定，或者如要保证稳定，要求采样周期较小，所以应用较少。

7 8
图5-9 梯形积分法
9
1


2011/10/19
3.双线性变换法
(2)主要特性
z=
① s平面与z平面映射关系
– 当σ=0（s平面虚轴)映射为z平面 的单位圆周。

– 当σ> 0（s右半平面），映射到z 平面单位圆外 。

– 当σ< 0（s左半平面），映射到z 平面单位圆内 。

ωT ⎛ T ⎞ T s ⎜1 + σ ⎟ + j 2 2 =⎝ 2 ⎠ T ωT T 1 − s ⎛1 − σ ⎞ − j ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 2 ⎠
1+
z域角频率为ωD
s域角频率
s=
2 ( z − 1) T ( z + 1)
3.双线性变换法
ωA = ω T 2 tan D 2 T
(2)主要特性 ③频率畸变：双线性变换的一对一映
射，保证了离散频率特性不产生频 率混叠现象，但产生了频率畸变。

ωA =
ω T 2 tan D 2 T
ω DT
足够小
s = σ + jω
⎛ T ⎞ ⎛ ωT ⎞ ⎜1 + σ ⎟ + ⎜ ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ z =⎝ 2 2 ⎛ T ⎞ ⎛ ωT ⎞ ⎜1 − σ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2 2
当采样频率较高
jω A =
=
2 1 − e− jω DT 2 e jω DT / 2 − e − jω DT / 2 = ω T 1 + e− jω DT T e jω DT / 2 + e− j D T / 2
2 2 j sin(ω DT / 2) 2 ω T = j tan D T 2 cos(ω DT / 2) T 2
2 ω DT ωA ≅ = ωD T 2
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定
图5-10 双线性变换映射关系
图5-12双线性变换的频率关系
10 11
图5-11双线性变换的频率关系
12
3. 双线性变换法
(2)主要特性
④变换前后，稳态增益不变。

⑤双线性变换后D(z)的阶次不变， 且分子、分母具有相同的阶次。

并有下式成立：
4. 修正双线性变换
解决“双线性变换产生频率轴非线性畸变 ”问题的方法。

D( s)
s =0
= D( z )
z =1
修正：
Ω* T 2 ω1* = arctan T T 2
(1)离散化方法
D( z ) = D( s)
s=
ω1 z −1 tan(ω1T / 2) z +1
ω1是设计者选定的
特征角频率
D(e
(3) 应用
jω T
)
ω=
ωs
2
=0
A C B
Ω* = ω1 T
ω1* =
2 ωT arctan 1 T 2
依据连续域与双线性变换后频率的非线性关系，首先修 正原连续域传递函数，然后再进行双线性变换的结果。

(2) 主要特性
– 该方法本质上仍为双线性变换法，因此具有双线性变换法的各种特 性。

但由于采用了频率预修正，故可以保证在处连续频率特性与离 散后频率特性相等，即满足
① 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的 特性，工程上应用较为普遍。

② 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用于 低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。

13
D (e jω1T ) = D ( jω1 )
(3) 应用
ΩT 1
Ω* T
– 由于该方法的上述特性，所以主要用于原连续控制器在某些特征频 率处要求离散后频率特性保持不变的场合。

15
5. 零极点匹配法
(1)离散化方法
5. 零极点匹配法
(2)主要特性
① 零极点匹配法要求对D(s)分解为极零点形式，且需 要进行稳态增益匹配，因此工程上应用不够方便。

6. 其他离散方法
(1) z变换法（脉冲响应不变法） D( z ) = Z [ D( s ) ]
这种方法可以保证连续与离散环节脉冲响应相同，但由 于z变换比较麻烦，多个环节串联时无法单独变换以及产生 频率混叠和其他特性变化较大，所以应用较少。

特点：
– 零、极点分别按 z = e 匹配 – 若分子阶次 小于分母阶次 若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加 离散变换时 在D( )分子上加 (z+1)n-m因子 – 确定D(z)的增益k1的方法： D( s ) s =0 = D( z ) z =1 • 按右式来匹配 • 若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即
sT
( ) ② 由于该变换是基于z变换进行的，所以可以保证D(s) 稳定，D(z)一定稳定。

稳定 定稳定 ③ 当D(s)分子阶次比分母低时，在D(z)分子上匹配有 (z+1)因子，可获得双线性变换的效果，即可防止频 率混叠。

D(s)
s =∞
= D( z )
z =−1
• 也可选择某关键频率处的幅频相等，即
D ( jω1 ) = D (e jω1T )
16
17
18
2


2011/10/19
(2) 带保持器的z变换 ①带零阶保持器z变换法（阶跃响应不变法）
⎡1 − e − sT ⎤ D( z ) = Z ⎢ D( s) ⎥ ⎣ s ⎦
5.2 数字PID控制器设计 数字PID控制器设计
5.1 5.2 52 5.3 5.4 5.5 • 根据偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D) 进行控制(简称PID控制)，是控制系统中 应用最为广泛的一种控制规律。

• 优点：
– 原理简单 – 通用性强
注意，这里的零阶保持器是假想的，并没有物理的零阶保持 器。

这种方法可以保证连续与离散环节阶跃响应相同，但要进行 z变换，同样具有z变换法的一系列缺点，所以应用亦较少。

连续域—离散化设计 数字PID控制器设计 控制系统z平面设计性能指标要求 z平面根轨迹设计 w’变换及频率域设计
② 一阶保持器z变换法（斜坡响应不变法）
由于和零阶保持器z变换法类似的原因，这种方法应用得较少。

19 20 21
5.2.1 数字PID基本算法 数字PID基本算法
1．模拟PID控制算法的离散化
模拟PID控制器的基本规律：
⎛ ⎞ U (s) 1 = K p ⎜1 + + TD s ⎟ E ( s) ⎝ TI s ⎠
2．PID的增量式算法 PID的增量式算法
仅对应执行机构（如阀门）位置的改变量
u (t ) = K p [ e (t ) +
1 TI
∫
t 0
e(t )dt + TD de(t ) / dt ]
D(s) =
Δu ( k ) = u ( k ) − u ( k − 1)
离散化
t ≈ kT (k = 0,1, 2,L)
k k j =0 j =0
e(t ) ≈ e( kT )
de(t) e(kT ) − e[(k − 1)T ] ≈ dt T
= K P [e(k ) − e(k − 1)] + K I e(k ) + K D [e(k ) − 2e(k − 1) + e(k − 2)]
算法优点： （1）较为安全。

因为一旦计算机出现故障，输出控制指令 为零时，执行机构的位置（如阀门的开度）仍可保持前一步 的位置，不会给被控对象带来较大的扰动。

（2）计算时不需进行累加，仅需最近几次误差的采样值。

主要问题：执行机构的实际位置也就是控制指令全量的累 加需要用计算机外的其他的硬件(如步进电机)实现。

∫ e(t )dt ≈ ∑ e( jT )T = T ∑ e( jT )
kT均用k简化表示
图5-21 PID计算机控制系统
= K p e(k ) + K I ∑ e( j ) + K D [e(k ) − e(k − 1)]
j =0
k
22
23
24
5.2.2 数字PID控制算法改进 数字PID控制算法改进
1. 抗积分饱和算法
(1)积分饱和的原因及影响
– 因长时间出现偏差或偏差较大，计算出的控制量有很 大，超出D/A转换器所能表示的数值范围。

这时的执 行机构已到极限位置，仍不能消除偏差，且由于积分 作用，尽管计算PID差分方程式所得的运算结果继续 增大或减小，但执行机构已无相应的动作，这就称为 积分饱和。

– 当控制量达到饱和后，闭环控制系统相当于被断开。

1.抗积分饱和算法 1.抗积分饱和算法 ①积分分离法：
(2) 积分饱和抑制
– 系统加入积分控制的主要作用——提高稳态精度，减 少或消除误差。

– 积分分离法的基本控制思想：
u (k ) = K P e(k ) + α K I ∑ e( j ) + K D [e(k ) − e(k − 1)]
j =0 k
无积分分离 的响应曲线 有积分分离 的响应曲线
小信号控制下， 积分器没有饱和的 响应曲线。

控制饱和值不变， 但系统给定值加大， 使控制作用出现饱和 时的仿真曲线
在同样给定值时， 控制作用没有饱和限 制时的仿真曲线。

• 某个规定的门限值ε ; • 当e(k)>ε，α=0 （即取消积分）； • 当误差e(k)<=ε，α=1 （即引入积分）
图5-23 积分分离法
25 26 27
3


2011/10/19
(2) 积分饱和抑制
(2) 积分饱和抑制
(2) 积分饱和抑制
②遇限削弱积分法 ：
– 基本思想： • 当控制量进入饱和区后，只执行削弱积分项的累加， 不进行增大积分项的累加。

即系统在计算u(k)时， 先判断u(k-1)是否超过门限值。

若超过某个方向 门限值时，积分只累加反方向的e(k)值。

若 u (k
③饱和停止积分法 ：
– 基本思想： • 当控制作用达到饱和时，停止积分器积分，而控制 器输出未饱和时，积分器仍正常积分。

– 特点： • 简单易行，但不如上一种方法容易使系统退出饱和
若 u ( k − 1) ≥ umax 不进行积分运算；
④反馈抑制积分饱和法：
– 基本思想： • 测量执行机构的输入与输出，并形成误差es，将该信号经过 增益1/Tt反馈至积分器输入端，降低积分器输出。

• 当执行机构未饱和时，es=0； • 当执行机构饱和时，附加反馈通道使误差信号es趋于零，使 控制器输出处于饱和极限。

− 1) ≥ umax
且 若
e( k ) ≥ 0 不进行积分累加；
e(k ) < 0
方案要求：
• 系统可以测量执行机构的输出。

• 若无法测量执行机构的输出，可 以在执行机构之前加入执行机构 带饱和限幅的静态数学模型，利 用该模型形成误差es，并构成附 加反馈通道。

进行积分累加。

具体算式为：
若 u (k − 1) ≤ umin 且 若
具体算式为：
e( k ) ≤ 0 不进行积分累加；
e( k ) > 0 进行积分累加。

28
若
u (k − 1) < umax
进行积分运算。

*注意和积分分离的区别。

29
图5-24反馈抑制积分饱和法
30
2. 防积分整量化误差的方法
• 当采样周期较小而积分时间常数较大时，积分项的数值 很小，有可能使微型机二进制数字最低位无法表示，产 生整量化误差，发生积分项丢失的现象。

• 为了防止积分项由于数的整量化误差所导致的丢失现象， 在控制算法及编程方面应采取一定的改进措施：
– 在积分项运算法时，可以将其结果用双字长单元存贮，若积分项小于单 字长时，其积分结果存放在低字节单元中，经过若干次累加后，当其值 字长时 其积分结果存放在低字节单元中 经过若干次累加后 当其值 超过低字节表示时，则在高字节最低位加1，从而消除了有限字长造成 的量化截尾误差。

3. 微分算法的改进
(1)不完全微分的PID算式
（采用带惯性环节的实际微分器）
引入微分改善了系统的动 态特性，但由于微分放大噪声 的作用也极易引进高频干扰。

不完全微分PID 与基本PID控制作用比较 不完全微分PID 与基本PID控制作用比较 • 在e(k)发生阶跃突变时，
– 完全微分作用仅在控制作用发生的一个周期内起作用； – 不完全微分作用则是按指数规律逐渐衰减到零，可以 延续几个周期，且第一个周期的微分作用减弱。

⎛ K /T K T s ⎞ U ( s) = ⎜ K P + P I + P D ⎟ E ( s) = U P ( s) + U I ( s) + U D ( s) s 1 + Tf s ⎠ ⎝
U D ( s) = K PTD s E (s) 1 + Tf s
Tf
duD (t ) de(t ) + uD (t ) = K PTD dt dt
uD ( k ) =
积分项
Tf KT T uD (k − 1) + P D [e(k ) − e(k − 1)] T + Tf T T + Tf
不完全微分 PID位置算法 图5-25双字节积分累加
31
uD (k ) = α uD (k − 1) +
K PTD (1 − α )[e(k ) − e(k − 1)] T
k j =0
u ( k ) = K P e( k ) + K I ∑ e( j ) + u D ( k )
图5-26 不完全微分的阶跃响应
32 33
3. 微分算法的改进
(2)微分先行PID
4. 带非灵敏区的PID控制 带非灵敏区的PID控制
• 控制算法
– 非灵敏区设置值ε
若 若
5. 自动与手动无扰转换的PI算法 自动与手动无扰转换的PI算法
• 工业上通过PID控制的被控对象常常有手动与自动两种控 制方式，转换时要求实现无扰转换。

e(k ) > ε
，则 ，则
e1 (k ) = e(k )
e(k ) < ε
e1 (k ) = 0
图5-29 自动与手动无扰转换 系统处于自动状态时
u (k ) = 1−
kp
图5-27 微分先行结构图
适用于给定值频繁 升降的场合，可以 避免因输入变动而 在输出上产生跃变 图5-28带非灵敏区的PID控制
34 35
PI控制 开关处于手动位置时
α z −1 1 − (1 − α ) z −1
e(k ) = k p (1 +
α z −1 ) e( k ) 1 − z −1
α z −1 = z −1 1 − (1 − α ) z − 1
u ( k ) = u ( k − 1)
36
实现从自动到手动的无扰切换
4


2011/10/19
5.2.3 PID调节参数的整定 PID调节参数的整定
1．扩充临界比例度法
2．扩充阶跃响应曲线法
表5-1 扩充临界比例度法整定参数
控制度 控制规律 1.05 1.20 1.50 PI PID PI PID PI PID PI PID T/Tk 0.03 0.014 0.05 0 05 0.043 0.14 0.09 0.22 0.16 KPKk 0.53 0.63 0.49 0 49 0.47 0.42 0.34 0.36 0.27 TI/Rk 0.88 0.49 0.91 0 91 0.47 0.99 0.43 1.05 0.40 TD/Tk — 0.14 — 0.16 — 0.20 — 0.22
图5-31 对象的响应曲线
37 38 39
• 用扩充响应曲线法整定T和KP、TI、TD的步骤如下:
(1)选择一个足够短的采样周期T，通常可选择采样周期为被控对象纯滞 后时间的1/10。

(2)用选定的T使系统工作。

这时，去掉数字控制器的积分作用和微分作 用，只保留比例作用。

然后逐渐减小比例度δ(=1/KP)，直到系统发 生持续等幅振荡。

记下此时的临界比例度δk及系统的临界振荡周期Tk (即振荡波形的两个波峰之间的时间) 。

(1)数字控制器不接入系统，将被控对象的被控制量调到给定值附 近，并使其稳定下来，然后测出对象的单位阶跃响应曲线 。

(2)在对象响应曲线的拐点处作一切线，求出纯滞后时间τ和时间常 数Tm以及它们的比值Tm/τ 。

(3)选择控制度 (4)查表5-2，即可求得数字控制器的KP、TI、TD及采样周期T。

(3)选择控制度
控制度=
∫ ∫
∞
0 ∞ 0
[e2 (t )dt ]DDC [e2 (t )dt ]模拟
图5-30等幅振荡曲线
(4)根据选定的控制度，查表5-1 ， 求得T、KP、TI、TD的值。

(5)按计算所得参数投入在线运行，观察效果，如果性能不满意， 可根据经验和对P、I、D各控制项作用的理解，进一步调节参 数，直到满意为止。

2.0
3．试凑法确定PID参数 ．试凑法确定PID参数 表5-2 扩充阶跃响应曲线法PID参数 扩充阶跃响应曲线法PID参数
控制度 控制规律 1.05 1.20 1.50 2.0 PI PID PI PID PI PID PI PID T/τ 0.10 0.05 0.20 0 20 0.16 0.5 0.34 0.80 0.60 KP/ Tm/τ 0.84 1.15 0.78 0 78 1.0 0.68 0.85 0.57 0.60 TI/τ 3.4 2.0 3.6 36 1.9 3.9 1.62 4.2 1.50 TD/τ — 0.45 — 0.55 — 0.65 — 0.82
40
• 整定步骤：　
(1)首先只整定比例部分。

比例系数KP由小变大，观察 相应的系统响应，直到得到反应快，超调小的响应曲 线。

系统若无静差或静差已小到允许范围内，并且响 应效果良好，那么只须用比例调节器即可。

　
(2)若稳态误差不能满足设计要求，则需加入积分控制。

整定时先置积分时间TI为一较大值 并将经第1步整定 为一较大值，并将经第1步整定 得到的KP减小些，然后减小TI ，并使系统在保持良好 动态响应的情况下，消除稳态误差。

这种调整可根据 响应曲线的状态，反复改变KP及TI ，以期得到满意的 控制过程。

(3)若使用PI调节器消除了稳态误差，但动态过程仍不 能满意，则可加入微分环节。

在第2步整定的基础上， 逐步增大TD，同时相应地改变KP和TI，逐步试凑以获 得满意的调节效果。

41
由于多数计算机控制系统的被控对象是连续的，设计时 所给定的性能指标要求，基本上与连续系统设计时相同。

因 此，若在z平面上直接进行离散系统设计，需要考虑如何将连 续系统的性能指标转换为z平面的描述。

动态指标的求取
Φ( s) =
特征根为
5.3.1 时域性能指标要求
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 连续域—离散化设计 数字PID控制器设计 控制系统z平面设计性能指标要求 z平面根轨迹设计 w’变换及频率域设计
(1) 稳定性要求 (2) 系统稳态特性的要求：
– 主要以系统在 定指令信号及干扰信号作用下稳态误差的大小来 主要以系统在一定指令信号及干扰信号作用下稳态误差的大小来 衡量。

– 影响稳态误差的主要因素是系统的类型及开环放大系数。

ω n2 C (s) = 2 R ( s ) s 2 + 2ξω n s + ω n
0 <ξ <1
实部和虚部的绝对值
Re( s ) = ξω n
Im( s ) = ω n 1 − ξ 2
s1,2 = −ξωn ± jωn 1 − ξ 2
单位阶跃响应
c(t ) = 1 −
e −ξω nt 11 ξ2
sin(ω n 1 − ξ 2 t + arccos ξ )
1−ξ 2
• 动态指标如下：
– 超调量 – 上升时间 – 峰值时间
(3) 系统动态特性要求：
– 主要以系统单位阶跃响应的上升时间、峰值时间、超调量和调节 时间来表示。

– 任意高阶系统动态指标是由系统的零极点分布决定的，并且很难 计算。

但在很多情况下，高阶系统中都有一对主导极点，这时可 把高阶系统近似看作二阶系统来研究。

43 44
σ % = eπξ /
tr =
×100%
π − arccos ξ
tP =
π
Im( s )
Im( s )
ts ≈ 3.5 Re( s )
45
– 调节时间（5%误差带）
5


2011/10/19
5.3.2 频域性能指标要求
1. 开环频率特性低频段的形状：
• 低频段的形状及幅值大小充分反映了系统的稳态特性， 其结论与连续系统类似。

5.4.1 z平面根轨迹
系统闭环脉冲传函
Φ( z ) = C ( z) D ( z )G ( z ) = R ( z ) 1 + D( z )G ( z )
图5-33 离散控制系统 闭环系统特征方程
2. 开环频率特性中频段的形状：
– 主要反映系统动态特性要求。

通常以开环系统的截止 频率 相位稳定裕度 增 稳定裕度 以及在附近幅 频率、相位稳定裕度、增益稳定裕度h以及在附近幅 频特性的斜率要求来描述。

3. 开环频率特性高频段的形状：
– 主要反映系统抑制高频噪声的能力，通常要求开环频 率特性高频段幅值衰减要多、要快。

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
连续域—离散化设计 数字PID控制器设计 控制系统z平面设计性能指标要求 z平面根轨迹设计 w’变换及频率域设计
D(z)为数字控制器 G(z)为广义被控对象 T ⎡1 − e sT ⎤ G( z ) = Z ⎢ G( s) ⎥ ⎣ s ⎦
1 + D ( z )G ( z ) = 0
连续系统闭环特征方程
1 + D ( s )G ( s ) = 0
鉴于离散系统频率特性的特点(即，频率特性不是的有理函数) ，因此， 频率域设计时，并不直接利用z平面的频率特性，而是将其变换到其 他更有利的平面上进行，这时相关的性能要求也应进行变换。

46 47
结论：离散系统与连续系统的闭环特征 方程形式完全一样。

连续系统中根轨迹 的定义及绘制法则，在z域完全适用. Z平面根轨迹应相对于单位圆来分析
48
离散系统中根轨迹的绘制法则
开环传递函数
5.4.2 z平面根轨迹设计方法 z平面根轨迹设计方法
根轨迹法实质上是一种闭环极点的配置技术，即通过反复试凑，设计控 制器的结构和参数，使整个闭环系统的主导极点配置在期望的位置上。

采用一阶控制器的设计流程：
D ( z )G ( z ) =
K ∏ ( z − zi )
m
∏ (z − p )
i =1 i
n
i =1 n
根轨迹方程
K ∏ ( z − zi )
m
D ( z )G ( z ) = −1
∏ (z − p )
i =1 i
n
i =1 n
= −1
1. 设计步骤
(1)根据给定的时域指标，在z平面画出期望极点的允许 范围。

⎡1 − e − sT ⎤ (2)设计数字控制器D(z)。

G( z) = Z G( s)
先求出广义对象脉冲传递函数
⎢ ⎣ s ⎥ ⎦
K=
∏ z− p ∏ z−z
i =1 i =1 m
i
∑ ∠( z − z ) − ∑ ∠( z − p ) = (2k + 1)π
i =1 i i −1 1
m
i
k = 0, ±1, ±2,L
• z平面根轨迹的特殊性：
然后确定控制器D(z)的结构形式
常用控制器有一阶相 位超前及相位滞后环节：
(1) z平面极点的密集度很高，在用根轨迹分析系统性能时，要求 根轨迹的计算精度较高。

(2) z平面的临界放大系数由根轨迹与单位圆的交点求得。

(3) 离散系统脉冲传递函数的零点多于相应的连续系统，只考虑闭 环极点位置对系统动态性能的影响是不够的，还需考虑零点对动 态响应的影响。

49
D( z ) = Kc
z − zc z − pc
Kc = 1 − pc 1 − zc
若要求数字控制器不影响系统的稳态性能，则要求：
D( z )
z =1
=1
(3)进行数字仿真研究，检验闭环系统的动态响应。

(4)在计算机上编程实现D(z)算法。

50
51
2. 设计举例 ——天线伺服系统离散域根轨迹设计。

——天线伺服系统离散域根轨迹设计。

系统设计指标（设采样周期T=0.1s ）
– 超调量 σ% =15%； – 上升时间 tr ≤ 0.55s； – 调节时间 ts≤1s； – 静态速度误差 Kv≥5。

(2) 设计数字控制器D(z) 设计数字控制器D
被控对象的脉冲传递函数
Matlab指令
num=[20]; den=[1 10 0]; [n,d]=c2dm(num,den,0.1,'zoh')
改进控制器D(z)的设计
采用零极对消法，选用 D ( z ) =
k ( z − 0.3679) 得到： z
( z + 0.7174) ( z + 0.7174) =K z ( z − 1) z ( z − 1)
D ( z )G ( z ) = 0.0736k
n=[ 0 0.0736 0.0528] d=[1.0000 -1.3679 0.3679]
利用Matlab指令 [K,pole]=rlocfind(num, den)， 可在选定极点位置后自动计算得：
希望极点： 根轨迹增益
(1)设计指标与z平面期望极点位置
根据设计指标计算得：
z域同心圆半径r ≤ 0.5 z域射线 θ ≥ T Im( s ) = 22o
0.3485 ± j0.3096
K =0.3030 0 3030
kd = K 0 . 0736 = 4 .2
ξ > 0.517
先可取控制器为纯比例环节 D( z ) = kd 绘制系统的根轨迹
结论:根轨迹没有进入期望极点范围
52 53
控制器增益 控制器传函 系统静态速度 误差系数
D( z) =
4.2( z − 0.3679) z
图5-36 理想的 z平面极点范围
1 kv = lim( z − 1) D ( z )G ( z ) T z →1 1 0.3030( z + 0.7174) = = 5.2 > 5 ( z − 1) 0.1 ( z − 1) z
系统的根轨迹
满足性能指标要求
54
6


2011/10/19
(3)系统时域仿真
• 结论：
– 该系统较好地满 足了给定的时域 动态性能要求。

⊙W'变换及频率域设计（直接设计法）
思路：将Z域中 z = e ST 的非有理式变换变成有理分式，利用伯德图进 行分析设计。

1、 W'变换的定义
T 1 + w' 2 z −1 2 , 双线性变换 ⇒ z = T T z +1 1 − w' 2
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
图5-39 单位阶跃响应曲线
连续域—离散化设计 数字 数字PID控制器设计 控制器设计 控制系统z平面设计性能指标要求 z平面根轨迹设计 w’变换及频率域设计
w' =
*双线性变换的逆运算形式，只是变量代换，仍为离散域，而不是回到 连续域。

连续域 2、 W'变换的性质 ①映射关系：i)S域→Z域 ii)Z域→W'域
z = e ST S左半平面（主带+旁带）→Z单位圆
w' = 2 z −1 T z +1
Z单位圆 ⎯一一映射→ W ' 左半平面 ⎯⎯ ⎯
55
56
结论：S域和W’域，传函都是各自复变量的有理函数，且对应的 稳定区域相同，所以S平面的稳定性分析与设计方法都可以 在W’域中进行使用。

②S域与W’域的频率对应关系 i)推导： 验证： ②号点： S域： Z域： W'域： ③号点： ④号点：
s= j
s= j
ωS
1 2π π 1 = j ⋅ = j ⋅ 4 4 T 2 T
j
将z =
1+ 1−
z = e sT = e
w' =
π1
2T
⋅T
= e2 = j
π
j
⇒ e jωT
2 z −1 2 j −1 2 ⋅ = = j T z +1 T j +1 T
T w' 2 中以z = e jωt , w' = jν代入 T w' 2 T 1 + jν ωT 2 , 与θT = 2 arctan = 比较 T 2 1 − jν 2 Tν 2
ωs
2
⇒ ωT = 2tg
w' = ∞
w' = 2 0 −1 2 ⋅ =− T 0 +1 T
ii)特点：*在低频段：v≈ω *采样周期T越小，线性段越长
z = −1
s = −∞ + j
ωs
2
⇒ν =
z = e −∞ ⋅ e jπ = 0∠π
ωT 2 arctg T 2
T→0时,W′≈S，W′域可看作S域 证明： lim W ' = lim T →0 T →0
2 z −1 2 e ST − 1 = lim T z + 1 T →0 T e ST + 1 2 1 + ST − 1 2 ST 据泊松近似有： lim = = lim =S T → 0 T 1 + ST + 1 T →0 T 2 + ST
特点：* G (w ' ) 与 G (s ) 比较，多一个零点，双线性变化的必然结果。

*T→0时， G ( w ' ) = G ( s ) *典型环节对照表5-5 * G (w ' ) 与 G (s )的相似性是建立在广义对象上的 * G (w ' ) 的分子与分母是同阶次，否则，存在 w ' 项对消G(z)中z= -1的 零、极点。

零点： G ( z ) = ( z + 1) ⇒ G ( w ' ) = ( z + 1)
z=
T ⎤ ⑤W'传函可以体现ZOH的滞后特性。

⎡ ZOH 在 G ( w ' )中为（ 1 − w '） ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦
D(Z)的分子阶次低于分母阶次时，D(W’)中会出现 w ' = 零点。

该环节 (1 −
④S域传函与W'域传函具有相似性（带ZOH） 例： G ( S ) =
a 1− e ⇒ G(Z ) = Z [ S+a S =
ST
T w ' )的幅相频特性，产生明显的滞后作用。

2
2 T
的不稳定
G ( S )] =
1− e Z − e − aT
aT
⇒ G (W ') = G ( Z )
Z=
T 1+ W ' 2 T 1− W ' 2
2 1 − e aT ⋅ ⋅ T 1 + e − aT
T 1− W ' 2 2 1 − eaT W '+ T 1 + e − aT
1+ 1−
T w' 2 T w' 2
= 1−
z T w' 2
取a = 5, T = 0.1
⎧ ⎪ 5 G ( s) = ⎪ S +5 ⎪ 0.39 ⎪ ⇒⎨ G(Z ) = 2 − 0.6 ⎪ W' ⎪ 4.899(1 − ) ⎪ 20 ⎪G (W ') = W '+ 4.899 ⎩
极点： G ( z ) =
1 ⇒ G ( w' ) = z +1
1−
T w' 2 不稳定G(z) 2
⑥稳态增益不变
⎧i)G (s ) → G ( z ) : 带ZOH的Z变换，稳态增益不变 G ( s) → G ( w' ) : ⎨ ⎩ ii）G ( s) → G ( w' ) : 双线性变换，稳态增益不变 ∴ G ( s ) → G( w' )的稳态增益不变
∴当 D (w ' ) 的分子阶次高于分母时，=>Z平面D(z)中含有z=1的不 稳定极点。

即控制器本身不稳定，存在等幅振荡。

故 D (w ' ) 分母 的阶次应高于或等于分子阶次。

7


2011/10/19
T ⎤ ⑤W'传函可以体现ZOH的滞后特性。

⎡ ZOH 在 G ( w ' )中为（ 1 − w '） ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦
3、设计方法 ①步骤：i)建立广义对象： G( z) = (1 − z −1 ) Z [ ii)
G (w ') = G (z )
z=
*控制器的选择
D(Z)的分子阶次低于分母阶次时，D(W’)中会出现 w ' = 零点。

该环节 (1 −
T w ' )的幅相频特性，产生明显的滞后作用。

2
2 T
的不稳定
G( s ) ] s
D( w' ) = K c
1+ 1−
T w ' 2 T w ' 2
( w'+ z1 )(w'+ z1 ) ( w'+ p1 )(w'+ p 2 )
iii)设计 D (w ' ) ：伯德图，串联校正(PID),速度反馈 等连续设计方法 iv)w'反变换： i ) '反变换： D( z) = D(w' ) v)检验闭环系统的品质 vi)计算机实现D(z) ⑥稳态增益不变
⎧i)G (s ) → G ( z ) : 带ZOH的Z变换，稳态增益不变 G ( s) → G ( w' ) : ⎨ ⎩ ii）G ( s) → G ( w' ) : 双线性变换，稳态增益不变 ∴ G ( s ) → G( w' )的稳态增益不变
w' = 2 z −1 T z +1
②控制器的一般形式：一阶或二阶串联校正装置
D(w' ) =
KC(w'+z1)(w'+z2 ) (w'+ p1)(w'+ p2 )
p2 < z2 < z1 < p1
滞后超前
5.5.3 设计举例——天线转角 设计举例——天线转角 计算机伺服控制系统w 计算机伺服控制系统w'域设计
系统设计指标（设采样周期T=0.1s ）
– 超调量 σ% =15%； – 相稳定裕度γm≥ 50o，增益稳定裕度Lh≥6dB
(2) 在w'域设计数字控制器
系统开环放大系数设计
kd ≥ 2.5
数字控制器D 数字控制器D(w‘)设计
• 时域响应特性检查 • Simulink仿真结果 – 超调量大于给定要求， 调节时间虽满足要求， 但余量不大。

- 调节时间 ts≤1s； - 静态速度误差 Kv≥5
(1) 求被控 对象传函
⎡1 − e − sT 20 ⎤ ( z + 0.7174) G( z) = Z ⎢ ⎥ = 0.0736 ( z − 1)( z − 0.3679) ⎣ s s ( s + 10) ⎦
数字控制器D(w‘)设计 w‘平面的开环传递函数
在w‘域检查开环稳定裕度要求
先取 D( w′) = kd = 2.5
−0.0189(w′)2 − 1.9318w′ + 46.2117 (( w′)2 + 9.2526w′)
D (w′)G ( w′) =
Matlab指令
Matlab指令
numz=[0.0736 0.0528]; denz=[1 -1.3674 0.3674]; [nw dw]=d2cm(umz,denz, 0.1,'tustin')
( w′ + 20)( w′ − 121.5385) = −0.0076 w′( w′ + 9.2526)
nw=[-.0076 -0.7723 18.4876] dw=[1.000 9.2526 0.0000]
67
nw=[-0.0189 -1.9318 46.2117]; dw=[1.0000 9.2423 0]; figure(1);margin(nw,dw); grid
D( w′) = kd = 2.5
Lh = 13.6dB(γ g = 15.6rad / s)
γ m = 52.8deg(γ c = 4.5rad / s)
满足指标要求，但截止频率较低。

68
结论：不能满足要求，故需进一 步设计动态控制器，其目的是在 保证稳定裕度的条件下，进一步 增大开环截止频率。

闭环单位阶跃响应
69
数字控制器D 数字控制器D(w‘)设计
• 为了实现提高截止频率的目的，在正向通道引入超前迟后环节是合适的。

利用连续系统控制理论方法，依 据开环频率响应的特点，通过试凑，可以确定超前-迟 后环节的分子及分母的时间常数和增益。

通过2~3次 修正，最后取 0.2 w′ + 2
D ( w′) = 0.02 w′ + 1
(3) 获取z平面的控制器D(z) 获取z平面的控制器D
进行w'反变换 D1 ( z ) = D( w′)
Matlab指令 wdd=[0.02 1]; wdn=[0.2 2]; [zdn,zdd]=c2dm(wdn,wdd ,0.1,'tustin') zdn=[4.2857 -1.4286]; zdd=[1.0000 0.4286];
2 z −1 w′= T z +1
(4) 闭环系统仿真
=
4.2857 z − 1.4286 z + 0.4286
Matlab环节串联指令
dn=[0.2 2]; dd=[0.02 1]; nw=[-0.0189 -1.9318 46.2117]; dw=[1.0000 9.2423 0]; [dgn,dgd]=series(nw,dw,dn,dd)
在w‘域检查开环稳定裕度要求
控制器的稳态增益 静态设计时要求
D1 ( z )
z =1
=
4.2857 z − 1.4286 =2 z + 0.4286
图5-46系统单位阶跃响应
4.2857 z − 1.4286 z − 0.3333 = 5.36 z + 0.4286 z + 0.4286
71
γ m = 52.7 (γ c = 10.7 rad / s )
0
Lh = 8.11dB (γ g = 47.1rad / s )
kd = 2.5
图5-47 系统单位斜坡响应
满足要求
注意上述两个频率 均为虚拟频率。

70
dgn=[-0.0038 -0.4242 5.3787 92.4234]; dgd=[0.0200 1.1848 9.2423 0];
故最终z平面的控制器D(z) 应增大稳态增益1.25倍：
系统无超调， 调节时间小于0.6s。

稳态误差：
D ( z ) = 1.25
ess = 1/ kv = 1/ 5 = 0.2
均满足要求。

72
8

。