极限思想在数学中的地位与作用及求极限的方法
极限的定义与计算
极限的定义与计算在数学中，极限是一种重要的概念，它在微积分和数学分析中扮演着重要的角色。
在这篇文章中，我们将讨论极限的定义和计算方法，以及应用极限的一些例子。
一、极限的定义在数学中，极限用来描述函数在某个点附近的行为。
通常情况下，我们用“lim”符号表示极限。
对于一个函数f(x)，当自变量x逼近某个特定的值a时，函数f(x)的极限可以用以下定义来表达：lim (x→a) f(x) = L这里，lim表示取极限的操作，x→a表示x趋向于a，f(x)表示函数f在x点处的取值，L表示极限的结果。
二、极限的计算计算极限的方法有很多种，下面我们介绍几种常见的方法。
1. 代入法当给定函数的极限时，最简单的方法就是直接将x的值代入函数中，然后计算函数的值。
例如，对于函数f(x) = x^2，当x趋向于2时，我们可以通过代入来计算极限：lim (x→2) x^2 = 2^2 = 42. 因式分解法当函数存在因式分解的形式时，我们可以尝试进行因式分解，然后利用分解后的形式来计算极限。
例如，对于函数f(x) = (x+2)(x-1)/(x-1)，当x趋向于1时，我们可以进行因式分解：f(x) = (x+2)(x-1)/(x-1) = x+2然后将因式分解后的形式代入极限的定义，计算极限：lim (x→1) f(x) = lim (x→1) (x+2) = 33. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的计算极限的方法，它基于一个重要的性质：如果一个函数f(x)在某个点附近被两个其他函数g(x)和h(x)夹住，并且这两个函数的极限相等，那么函数f(x)的极限也等于这个相等的极限。
例如，对于函数f(x) = sin(x)/x，当x趋向于0时，我们可以使用夹逼定理计算极限：-1 ≤ sin(x)/x ≤ 1由于-l ≤ sin(x)/x ≤ 1，根据夹逼定理，我们可以得到：lim (x→0) (sin(x)/x) = 1三、极限的应用极限在数学中有广泛的应用，下面我们介绍几个常见的例子。
极限的概念和求解方法
极限的概念和求解方法在数学中，极限是一个重要的概念。
它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将探讨极限的定义、特性以及求解方法。
一、极限的定义极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于一个确定的值。
通常用符号x→a来表示自变量x趋于a的极限。
如果当x无限接近a时，函数f(x)的取值无限接近某个值L，我们就说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L，记作lim_(x→a)f(x)=L。
二、极限的特性1. 唯一性特性：如果函数f(x)在x趋近于a时有极限L，那么极限L 是唯一确定的。
2. 保号性特性：如果函数f(x)在x趋近于a时的极限L大于0，那么在a的邻域内，函数f(x)的取值也大于0；同理，如果极限L小于0，那么在a的邻域内，函数f(x)的取值也小于0。
3. 夹逼定理：如果函数f(x)、g(x)与h(x)满足在x趋近于a的过程中，存在一点x_0使得当x靠近x_0时，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)h(x)=L，那么lim(x→a)g(x)=L。
三、求解极限的方法1. 代入法：当函数在某个点存在定义时，可以直接将自变量的值代入函数中计算。
例如，对于函数f(x)=2x+3，当x趋近于2时，可以将x=2代入函数中计算，得到极限值为7。
2. 分析法：利用函数的性质和极限特性，通过分析函数在极限点附近的取值趋势，来求解极限。
例如，对于函数f(x)=x^2+3x-1，当x趋近于2时，可以将函数化简为lim_(x→2)(x^2)+lim_(x→2)(3x)-lim_(x→2)(1)=6+6-1=11。
3. 套用已知极限：有时可以利用已知的一些常见极限来求解复杂函数的极限。
常见的一些极限包括sinx/x和e^x的极限值。
例如，对于函数f(x)=(e^x-1)/x，当x趋近于0时，可以套用已知的极限lim_(x→0)(e^x-1)/x=1。
4. L'Hôpital法则：对于一些特殊的函数形式，如0/0或∞/∞，可以使用L'Hôpital法则来求解极限。
极限思想与极限求解方法
极限思想与极限求解方法摘要】极限思想是近代数学的一种重要思想，是社会实践的产物.极限是高等数学中最根本的、最重要的概念，极限思想贯穿方法进行汇总.【关键词】无穷；极限；微积分；函数一、无穷小和悖论古希腊有一个哲学家叫芝诺，他提出了“两段法〞来否认人能从一个点到达另一点，理由是正在行走的人从A地出发走到B地，首先他必须通过标有中心的C点，这刚好是AB的中心点.然后，他又得经过路程的34的D点，这是BC的中心点.接着，从D点出发，在到B之前他仍要经过一个中心点，即路程78的E点.从E点出发，他仍然得经过EB的中心点F……由此类推下去，无论距离路程终点B有多么接近，他都得先经过剩下路的中心点.但是，这些中心点是无止境的，哪怕是微乎其微的距離，也总还有一个地方是这段距离的中心点，正因为中心点是走不完的，所以行走的人虽然离终点越来越近，但他始终无法到达终点.他还提出了“阿里斯基和乌龟赛跑〞悖论.阿里斯基是古希腊的半神英雄，是古希腊的第一勇士，以善跑著称.芝诺指出：让阿里斯基和乌龟赛跑，乌龟在阿里斯基前方1000米，假定阿里斯基的速度是乌龟速度的100倍，当比赛开始后，假设阿里斯基跑了1000米，用了t时间，此时，乌龟又已经跑了10米，当阿里斯基跑完下一个10米时，用的时间为t100，此时，乌龟仍然领先领先他，以此类推，阿里斯基只能无限接近而不能追上乌龟.这本来是荒谬的，但芝诺提出的理由又是那样的正当，以至于长久以来没有人能驳倒他.纵观历史，数学家和哲学家们也一直对无穷这一概念纠缠不清，希腊人也一次一次表现出对无穷及无穷小数的恐惧.特别是在微积分的定义中更是如此.【1】二、极限与微积分极限思想是近代数学的一种重要思想，是社会实践的产物.数学分析就是以极限为根底、极限理论为工具来研究函数性质的.在我国古代，数学家刘徽于公元263年建立了“割圆术〞，就是借助于在圆内的一串内接正多边形的周长数列来定义圆的周长【2】.同样在古代其他国家，很多哲学家和数学家也在实践过程中应用了极限思想.进入17世纪，数学家对曲线的长度问题、面积问题、几何体的体积问题的解决产生了需求，虽然当时对阿基米德的穷竭法已熟悉，但是对于希腊严格的标准失去耐心，一种粗糙的计算方法开始使用.如开普勒在计算求圆的面积时，把圆看成无数个小三角形，这种情况下圆周上的短弧成了三角形的底，半径是三角形的高，但实际上需要做到这一点时三角形要缩成一条线才可以，所以当时的方法粗糙不严谨.到17世纪中叶，牛顿提出使用时间无穷小瞬为计算根底的流数，从而发现并应用了微积分根本定理，?流数简论?标志着微积分算法的诞生，但是这个无限小增量“瞬〞被看成了静止的无穷小量，当略去带0的项时相当于直截了当地令其为零了，这种观点在概念上是模糊的，在逻辑上也是不严谨的.此后，以贝克莱为首的很多人对流数的表达“模糊不清〞进行了指责，最终导致了数学史上的第二次数学危机.【3】从18世纪开始，法国数学家达朗贝尔就提出把极限理论作为分析的根底，经过了一个多世纪，通过达朗贝尔、拉格朗日、卡诺、泰勒、贝努利家族、欧拉等几代科学家的努力，微积分获得了飞速开展，在18世纪到达了空前灿烂的程度.数学分析与代数、几何并列成为数学的三大学科，18世纪也被称为“分析时代〞.到了19世纪，波尔查诺、柯西和维尔斯特拉斯等数学家在极限根底上建立了严格的数学分析体系，通过澄清极限、函数、连续、导数等概念，彻底排除了在微积分过程中涌现出的各种争议，使分析到达了完美的程度.从此，建立在牢固的极限根底之上的微积分理论使第二次数学危机宣告解决.三、极限的求解方法极限思想贯穿了数学分析的整个过程，本文就极限的重要求解方法进行汇总举例.〔一〕利用函数极限的运算法那么对于大局部函数的极限，一般情况下首先想到的是，是否可用函数极限的运算法那么来计算，法那么本身简单易懂，而在使用的时候可以对原函数进行通分、分解、替换等方式进行恒等变换或化简，以使得新函数可以采用极限运算法那么进行计算.在数学分析求导的过程当中，我们主要对幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数和对数函数依据导数的定义来求导，而这几类函数大局部都是使用这两个重要极限来帮助计算的，尤其在推导三角函数和指数函数的导数过程当中起到了至关重要的作用，利用这些结果可通过函数运算法那么、复合函数的求导法那么来求出全部初等函数的导数.而积分又是微分的逆运算，依靠这些导数可以推出大量函数的积分.因此，这两个极限是微积分的根底，在整个微积分中起到了桥梁般的作用，所以解题过程中很多函数的极限可以用此方式来求解.洛必达法那么的好处就是在同一算式的计算当中，如果满足洛必达法那么的使用条件，那么在极限的求解过程中可屡次使用，同时在使用过程中要慎重考虑法那么条件中导数的存在性.在实际应用当中该法那么的使用频率也较高，是函数求极限的重要工具，上文中所讲的两个重要极限的求解也可以由该法那么来推导得出.四、小结方法，在解题过程中还有其他的方法可以使用，在此不再一一列举.而在函数的求解过程当中，解题的方法可能不止一个，我们可以选择适当的方式来处理极限的求解.在学习的过程中我们不能机械地照搬，需要不断地进行总结、分析，不断地完善知识的理论与结构，才能在解题的过程中有所发现，有所创新.【参考文献】【1】理查德·曼凯维奇，著.数学的故事[M].冯速，译.海口：海南出版社，2021：196.【2】刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2000：34.【3】韩雪涛.数学悖论和三次数学危机[M].长沙：湖南科学技术出版社，2021：154.。
极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法
极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法极限理论是数学分析的核心内容之一，是研究数列、函数序列的发展趋势的重要工具。
极限理论的发展为数学分析提供了有力的工具和方法，广泛应用于微积分、实分析、复分析等领域，并在物理学、工程学等应用科学中有重要的应用。
一、确定函数的发散趋势：极限理论可以帮助我们确定函数在一些特定点或趋向于一些特定值的发散趋势。
通过分析一个函数在其中一点或趋向于其中一点时的极限，可以判断函数在这一点的连续性、可导性等性质。
二、求函数的极限值：极限理论提供了一种有效的方法来求函数的极限值。
通过计算函数在其中一点或趋向于其中一点的极限，可以确定函数在这一点的极值，从而求得函数的最大值和最小值。
三、研究无穷小量与无穷大量：极限理论可以帮助我们研究无穷小量和无穷大量的性质。
在极限理论中，我们可以将无穷小量和无穷大量看作极限过程中的一种特殊情况，通过对它们的极限值的研究，可以得到它们的性质与特点。
四、构建数学分析的基础：极限理论是数学分析的基础，它使我们能够建立数学分析的一系列重要定理和方法。
在实分析中，极限理论被广泛应用于证明微积分的基本定理，如函数的连续性、可导性、积分等性质。
求极限的方法可以分为以下几种：一、直接代入法：对于一些简单的极限问题，可以直接将自变量的值代入函数中进行计算，得到函数在该点的极限值。
例如，对于函数f(x)=x^2，当x趋向于3时，可以直接将x=3代入函数中计算得到f(3)=9，即lim(x→3)f(x)=9二、夹逼定理：夹逼定理是极限理论中一个常用的方法。
当一个函数夹在另外两个函数之间，并且这两个函数的极限值相等时，可以利用夹逼定理求出被夹函数的极限。
例如，对于函数f(x)=x^2和g(x)=x+1，当x 趋向于0时，可以发现f(x)≤x^2+1≤g(x)，且lim(x→0)f(x)=lim(x→0)g(x)=1，根据夹逼定理可得lim(x→0)x^2+1=1三、分子分母去零法：对于一些函数极限存在形如0/0或∞/∞的情况时，可以利用分子分母去零法计算极限。
极限及几种求极限重要方法的探究
极限及几种求极限重要方法的探究王龙科西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州 730070摘要：极限理论是高等数学的理论基石，也是研究高等数学的重要方法。
高等数学中的微分和积分理论都是建立在极限理论基础之上的，这说明理清极限理论和重要极限求法是非常有必要的。
本文主要分两大部分作以探究，第一部分介绍极限理论；第二部分列举求极限的常见方法，并配有相关例题加以说明。
关键词：极限；高等数学；求极限的方法一、引言极限是高等数学中最重要得概念之一，是研究积分和微分的重要工具。
极限思想也是研究高等数学的重要思想，掌握极限思想是学习微分和积分的基础。
极限是描述数列和函数在无限变换过程中的变化趋势的概念，它是人们从有限认识到无限、从近似认识到精确、从量变认识到质变的一种数学方法。
极限理论的出现是微积分发展历史上的一个历程碑，它使微积分理论更加蓬勃法展起来。
本文接下来将就极限理论思想和求极限的重要方法进行探究。
二、极限理论1、数列极限定义1若函数f的定义域为全体正整数集合N⁺，则称f: N⁺→R 或f(n),n∈N⁺为数列.因为正整数集N⁺的元素可按由小到大的顺序排列,故数列f(n)也可写作a1，a2，…，a n…，或简单地记作{a n}，其中a n称为该数列的通项。
定义2设a n为数列，a为定数。
若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有︱a n-a︱<ε,则称数列{a n}收敛于定数a，定数a称为数列{a n}的极限，并记作lim n→∞a n=a，或a n→a(a→∞)。
若数列{a n}不收敛，或称{a n}为发散数列。
定理1若数列{a n}收敛，则它只有一个极限。
定理2若数列收敛，则{a n}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n 有︱a n︱≤M。
定理3若lim n→∞a n=a>0，则对任何a´∈(0,a)，存在正数N，使得当n>N时有a n> a ´。
极限思想在数学导数中的应用
极限思想在数学导数中的应用极限思想在数学导数中占据着重要的地位，它能够消除坐标系变量而将极限带入计算，使数学计算变得更加有效和统一，为研究和定理的归纳提供了巨大的好处。
极限思想在计算数学导数方面是比较重要的，当一个变量不断接近某个数，我们就说这个变量接近极限。
这个空间的连续的概念就是极限，它是一种概念，可以构成我们熟悉的连续体。
极限可以帮助我们判断函数是否存在，函数是否连续，求函数的局部最大最小值，以及其它运算表达式的极限等等。
在极限和导数方面，数学家们利用变量接近极限的概念来计算函数的导数，这就是定义求导法则的出发点，也就是使用变量x慢慢接近d，而dx则会快速收敛接近0，此时df/dx就会逐步收敛到函数f的导数的值。
因此极限的概念正是进一步定义函数f函数的导数的基础。
另外，极限思想在用于求导数的特殊方法中也扮演着核心作用。
例如，我们在求取已知函数y = f（x）的某一特定值点x0处的梯度时，借助极限思想，我们可以可以将x0作为h到有限小的极限，这样我们就可以求出f（x0）的导数，并且可以获得一个更准确的梯度求解，从而更准确地得出对对应函数的曲线的分析结果。
极限思想为计算函数有效性和定义各项数学公式提供了基础。
在微积分中，极限思想也为开发和应用各项函数提供了指导思想。
在我们定义函数走势时，尤其是复杂函数，利用极限思想与定义将变量慢慢收缩到极限，从而制定函数走势，就成为了一种常用的技术。
极限思想的出现为若干的问题的研究和分析以及定义提供了基础和方法，使数学变得更加完整，有效，统一和严谨，它是构成现代数学的重要部分，广泛并无处不在地应用于从中学到研究阶段的诸多数学方面。
总而言之，极限思想在数学导数中占据着重要的地位，在构建数学理论与求解问题中都有重要作用，充分显示了极限思想与不确定性问题解决有着重要的作用。
只有利用极限思想和极限现象，才能获得更准确和更可靠的数学计算结果。
求极限的常用方法
摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理，这显示出极限在高等数学中的重要地位。
同时，极限的计算本身也是一个重要内容。
关键词 极限；计算方法初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。
极限方法就是研究变量的一种基本方法。
极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。
1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →-解 1lim(21)2111x x →-=⋅-=2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim41--→x x x解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)411x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim 323+-∞→x x x x解3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 0110114．分子(母)有理化求极限 例4 求极限)13(lim 22+-++∞→x x x解13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x132lim22=+++=+∞→x x x例5求极限x →解01)2x x x →→→===5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim0=→x xx 和1lim(1)x x ex →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。
例6 求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim 解 2221212112111lim 121lim 11lim ex x x x x x x xx xx =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→6．用等价无穷小量的代换求极限这可以称之为求极限最简便的方法。
极限思想在高中数学中的应用
n n
x cos x − sin x ≤0 x2
在
π x ∈ 0, 2
n
∑
i =2
n
n
图1 证 明： 如 图 1， 在 单 位 圆 圆 O 中， 设 = OD = cos x ，则 ∠AOB = x ， CB = sin x ， OC
ni
∑ i! ∏
i =2
其中每一项均为正值，当 n 增加时，不 但对应的项数增多，而且括号内的数值也增
1 + k > 2 时， 大，所以数列 n 单调递增。又当 k −1 1 1 1 1 1 1− <1 < 1 + < 2 + ∑ = 2 + 1 − < 3 ，所以 ， ，所以 n 2 k! 2 n 2 1 1 + 有 n 上界。 记 1 n 。
lim
0
n =0 n →∞ 2 n
，从而 sin x sin x cos 2 x = 1 ，所以 lim = 1。 cos x < < 1 ，又因为 lim x → 0 x x 基 于 这 个 证 明， 我 们 可 以 知 道， 尽 管 sin x f ( x) = x 在 x = 0 处没有定义，但在非常接近 0 sin x 的位置， x → 1 。 π f ( x) = x cos x − sin x, x ∈ 0, 例 4。已知函数 2 。 （1）求证： f ( x) ≤ 0 。 sin x π （2）若 a < x < b 在 x ∈ 0, 2 上恒成立，求的 a 最大值与 b 的最小值。 解：（1） 由 f ( x) = x cos x − sin x 得： π 0, f ' ( x) = − x sin x < 0 ，所以 f ( x) 在 2 上单调递减， 从而 f ( x) ≤ f (0) = 0 。 sin x （2）当 x > 0 时， a < x < b ⇔ sin x > ax且 sin x < bx 。 ( x) sin x − cx ， 则 g ' ( x) = cos x − c ， 故 令 g= 当 c ≤ 0 时， g ( x) > 0 对任意 x ∈ 0, π 2 恒成立。 π 当 c ≥ 1 时， 因 为 对 任 意 x ∈ 0, 2 ， π ' 0, 上单调递 g ( x) = cos x − c < 0 ，所以 g ( x) 在区间 2 减，从而 g ( x) ≤ g (0) = 0 对任意 x ∈ 0, π2 恒成立。 π 0, ， 当 0 < c < 1 时， 存 在 唯 一 的 x ∈ 2 ' g ( x0 ) = cos x0 −' c = 0 。 x) 0, π2 上的情况如下： g ( x) 与 g (在区间
极限思想在数学中的地位与作用及求极限的方法
高等数学解题方法探究极限――极限思想在高等数学中的地位和应用引言：数学研究的对象可以是特殊的或一般的，可以是具体的或抽象的，可以是静止的或运动的，可以是有限的或无限的，它们之间都是矛盾的对立统一.正是由于对象之间的对立统一，为我们解决这些对立统一事物提供了研究的方法. 有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可循，并积累了一定的经验.而对于无限个对象的研究，却往往不知如何下手。
于是将对无限的研究就转化成对有限的研究？就成了解决无限问题的毕经之路•反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决. 这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想？极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论（包括级数）为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这个结果。
正文：一、极限理论在数学分析中的地位1. 建立概念的极限思想极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。
可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。
在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思1想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。
如：（1）函数在点连续的定义，是当自变量的增量时，函数值的增量趋于零的极限。
（2）函数在点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量之比，当时的极限。
（3）函数在上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。
2. 解决问题的极限思想极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。
微积分学中的极限思想及其应用
微积分学中的极限思想及其应用微积分学中的极限思想及其应用概述微积分学是数学领域的一大分支，它研究的是极其微小的变化。
微积分的基本思想是极限。
在微积分中，随着未知量趋近于某一特定值，函数在该值附近的行为可以通过求极限来研究。
万物皆有极限，人的生命也有极限，只有在极限的认知下，才能不断突破个人的“底线”。
极限的概念极限是一种数学概念，它通常表示函数在某一点处的变化趋势。
我们可以用一个简单的例子来解释极限的概念，假设我们要计算函数 f(x) = x²在 x=2 处的极限，我们可以通过构造一个序列来逼近这个极限值。
我们可以用一系列的数来逼近2，比如1.9、1.99、1.999、1.9999等等，这样，我们就可以得到相应的函数值，比如：f(1.9) = 3.61f(1.99) = 3.9601f(1.999) = 3.996001f(1.9999) = 3.99960001我们可以发现，当 x 无限接近于2时，f(x) 的值也无限接近于4。
这就是 f(x) 在 x=2 处的极限，我们可以用符号表示为：lim_{x->2} f(x) = 4这个函数的极限表示在“x 趋近2时，f(x) 趋近于4 ”。
如果在一个函数中，极限值并不会发散或形成奇点，那么我们就称它是连续的。
换言之，一个函数在某点 x_0 处是连续的，指的是其极限值与该点的函数值相等。
如果没有这一特性，那么函数在该点就不是连续的。
极限的应用1. 集合的测度在我们的日常生活中，我们会经常面对一些集合问题。
比如，我们会面对一个集合内元素的总数，还有每个元素在该集合中的占比等。
在这种情况下，极限概念非常有用。
通过这种方法，我们可以研究每个元素在该集合内所占的比例，即测度。
2. 最优化问题微积分中一个重要的研究领域是最优化问题。
最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找能够使某一指标最大或最小的量。
他是许多科学和工程领域的重要研究方向。
极限思想在最优化问题的求解过程中得到了广泛的应用。
归纳总结极限思想
归纳总结极限思想极限思想是数学中的重要概念，用于描述函数、数列等在某个特定点或趋于某个特定值时的行为。
它在数学许多领域中被广泛应用，如微积分、数值计算等。
通过归纳总结，我们可以深入理解极限思想的本质和应用。
首先，极限思想可以用于描述函数在某点的行为。
例如，我们可以通过函数的极限来判断函数在该点是否连续，是否可导等。
函数在某点x=a的极限表示当自变量x无限接近于a时，函数的值趋于的某个特定数值L。
如果函数在x=a的左右两侧的极限都存在且相等，那么该函数在x=a处连续。
如果函数在x=a的两侧的极限存在但不相等，那么该函数在x=a处发生跳跃。
通过研究函数的极限，我们能够深入理解函数的性质。
其次，极限思想被广泛应用于数列的理论中。
数列是一组按照特定顺序排列的数的集合。
极限可以描述数列随着项的增加而趋于无穷或某个特定值的行为。
例如，我们可以通过数列的极限来确定数列的收敛性和发散性。
如果一个数列的极限存在且有限，那么该数列是收敛的；如果数列的极限不存在或为无穷大，那么该数列是发散的。
通过研究数列的极限，我们能够深入理解数列的性质和行为。
此外，极限思想也在微积分中扮演着重要的角色。
微积分研究函数的变化率、面积、体积等概念，而极限思想为微积分提供了坚实的理论基础。
微积分中的导数和积分都可以通过极限的定义来进行计算。
例如，导数可以定义为函数在某点的极限，表示函数在该点的变化率。
而积分可以定义为无穷小区间上函数的极限和。
通过将微积分问题转化为极限问题，我们能够更加深入地理解微积分的概念和应用。
总结起来，极限思想是数学中一个非常重要的概念，在函数、数列和微积分等领域中都有广泛的应用。
通过研究极限，我们可以更深入地理解数学中的各种概念和问题。
无论是在学术研究中还是实际应用中，极限思想都发挥着关键的作用。
因此，对于学习和掌握极限思想，我们需要通过归纳总结和练习来加深理解，从而运用它来解决各种数学问题。
极限的概念和计算
极限的概念和计算极限是微积分中的重要概念，它用于描述函数在某个自变量趋近于某一点时的行为。
在数学中，我们常常用极限的概念来研究函数的性质和变化规律。
本文将介绍极限的概念和基本计算方法。
一、极限的定义在数学中，我们通常用函数的极限来描述自变量趋近于某一点时函数的变化情况。
设函数f(x)在点a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a| < δ时，有|f(x)-L| < ε成立，那么我们就说函数f(x)在自变量x趋近于a时极限为L，记作limx→a f(x) = L。
二、极限的计算方法1. 通过代入法对于一些简单的函数，我们可以通过代入法来计算其极限。
例如，对于常数函数f(x) = c（c为常数），无论x取什么值，f(x)始终等于c，因此其极限即为c，即limx→a c = c。
2. 利用基本性质极限具有一些基本性质，我们可以利用这些性质来计算更复杂的极限。
例如，（1）函数与常数的乘积：limx→a (cf(x)) = c·limx→a f(x)；（2）函数与函数的和差：limx→a (f(x) ± g(x)) = limx→a f(x) ±limx→a g(x)；（3）函数与函数的乘积：limx→a (f(x)g(x)) = limx→a f(x) · limx→ag(x)；（4）函数与函数的商：limx→a (f(x)/g(x)) = limx→a f(x) / limx→ag(x)（前提是g(a) ≠ 0）。
3. 利用特殊函数的极限对于一些特殊函数，我们可以通过一些特殊技巧来计算它们的极限。
例如，（1）指数函数：limx→∞ e^x = ∞；（2）对数函数：limx→0+ ln(x) = -∞；（3）三角函数：limx→0 sin(x) / x = 1。
三、极限的应用1. 函数的连续性极限在研究函数的连续性时起到重要作用。
极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法
究函数的一门学科。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般 步骤可概括为：对于被考察的未知量。先设法构思·个与它有关的变量。确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知 量；最后用极限计算来得到这结果。
万方数据
总第４７期
鸟力吉：极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法
·５７·
极限理论也在随着科学技术的发展而发展，极限理 论为整个科学提供了一个强大工具。
参考文献
【１】中国科学技术大学之教学讲义．古今数学思想（２） ［２］谢时杰．极限思想在工程领域中的应用［Ｊ］．安徽工
业大学学报（自然科学版），２００６．３ ［３】 ｈｔｔｐ：ｌｌｗｗｗ．ｍａｔｈｓ４５６．ｎｅｔ／，《中国数学发展史＞ ［４］ ｈｔｔｐ：ｌｌｖａｖｗ．ｊｉｈｅｌ００．ｃｏｍ／ＡｒｔｉｅｌｄｋｔｄＮ２００５０３／７．ｈｔｍｌ＜数
由此直接得出极限为０，省去了大量证明和运 算。
（２）利用洛必达法则
洛必达法则适用于罟和詈两种形式。
例如求解下列极限：
蛳删ｓ篱ｌ茗ｎｘ＝棚ｌ删ｉｒＸａ堕笋棚＝姆掣１＝ｃ。８０＝ｌ（苦Ｕ 型）
ｌ—ｉｍ４菇［（学）。 川：ｌｒ删·０ ｉｒａ皇茗一 ≥
菇Ｉｎ—２—＋—；ｃ－ｏ—ｓ—ｘ
＝ｌｉｒａ—————彳——一
Ｓｌｎ菇
ｃｏｓ戈
菇＜＿￥Βιβλιοθήκη ｎｘｌ（２）因为当茗用一茗代暂时，ＣＯＳＸ与半都不变，
所以上面的不等式对于开区间（一要，０）内的一切
菇也是成立的。为了对（２）式应用夹逼定理，下面来 证ｌｉｍｃｏｓｘ＝ｌｏ
ｆ．０
浅谈高中数学中的极限思想
浅谈高中数学中的极限思想高中数学中的极限思想或称极限概念是数学中一个非常重要的概念，它扮演着桥梁和空间的作用，它贯穿于数学的各个方面，是数学研究的基础。
极限思想是数学证明和表达的重要方式，它给出了一种确定结果的有效途径，有助于我们更好地理解和掌握数学的规律和规律。
极限思想的本质是一种逼近论，那么其本质是什么呢？极限思想的本质是一个可以不断接近但永远无法获得绝对精确值的过程，也就是极限逼近。
这里说的极限逼近不仅仅是数值上的接近，而是一种概念上的接近。
比如，你可以想到某个结果，并把它视为永远无法到达的极限，但它却可以作为一种有意义的抽象概念来使用。
极限思想在高中数学中的应用有很多，它不仅仅用于数学的计算和推理，还可以用于几何、微积分和抽象代数学等更多的数学领域，因为它的本质是一种逼近，它对数学的理解和掌握有很大的帮助。
在高中数学中，需要用到极限思想的最常见的情况是处理数学问题时，一般来说，需要用到极限思想的大多是涉及某种变量或数据无限增加或逼近某个极限时所产生的问题，例如：求某个函数的极限、求某条曲线的倾斜率。
对于求极限的问题，最常见的做法是用极限法，即将变量的某个值视为变量的极限，从而求得函数的极限值。
另外，极限也可以用于数学推理，例如，用极限法来证明一些定理，如泰勒定理，和维数定理等。
极限思想也可以应用于几何中，例如可以用极限思想来分析几何图形中的形状变化趋势，从而得出几何几何定理中的结论。
总而言之，极限思想是高中数学的重要概念，不仅仅是一种被广泛应用的概念，更是一种可以帮助我们更好地理解和掌握数学的重要方式。
因此，理解和掌握极限思想的原理和应用是非常必要的，它有助于我们更好地理解数学的原理和技巧，并提高学习数学的能力。
极限思想在中学数学教学中的应用
极限思想在中学数学教学中的应用极限思想是一种重要的数学思想方法，在中学数学教学中运用极限思想，有助于学生对数列、定积分等复杂问题的理解，提高學生解决相关数学问题的能力。
如何引导学生掌握和应用极限思想，是中学数学教学中要认真思考的问题。
文章简单介绍了极限思想的内涵及在中学数学中的意义，并举出具体例子说明其在实际问题中的应用，以期提高学生的数学思维和解题能力。
标签：极限思想；中学数学教学；应用一、极限思想概述极限思想考察当变量按某种方式变化，譬如变量趋于无穷大或者趋于某一定值时，研究对象最终的变化趋势和趋向的唯一数值；是通过极限的概念，对研究对象从有限拓展到无限，从对常量的研究逐渐转化为对变量的研究，来分析和解决问题的一种思想方法。
二、极限思想在中学数学中的作用1.有利于提高数学思维能力新课标强调对学生数学思维能力和数学素养的培养。
教师通过极限思想教学的渗透，可让学生的思维从有限发散到无限，理解无限逼近的意义，掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的思想方法，学会将极限思想应用到其他数学问题的学习和解决当中。
2.有利于解决复杂数学问题教学中灵活渗透极限思想，能降低问题难度，理顺解题思路，提高解题的效率和质量。
例如，求曲边梯形的面积，首先插入分点分割曲边梯形，每个小曲边梯形可近似看成小矩形，这些小矩形的面积和近似等于曲边梯形的面积，分划不同，得到的矩形面积和也不同，当分划足够细时求出极限从而得到曲边梯形面积。
利用这种极限思想，还能解决众多数学问题，如平面曲线的弧长问题。
3.有利于和大学数学知识衔接高等数学的许多概念和方法与极限密切相关，中学教学中让学生掌握极限思想方法，能促进中学与大学数学知识的衔接，为高等数学学习奠定基础。
三、极限思想在中学数学教学中的应用1.极限思想在函数中的应用函数是中学数学教学中的重要内容，贯穿于中学数学的始终，是变量数学的基础。
解决函数问题，可以充分利用极限思想。
通常可以用反函数的方法进行解答，答案为D，由于是选择题，也可以采用极限思想，迅速判断出大致范围，提高解题效率。
极限与趋势思想在高中数学中的应用情形归纳
极限与趋势思想在高中数学中的应用情形归纳极限与趋势思想是一种在高中数学中广泛应用的数学工具和概念。
它们可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
本文将总结几个在高中数学中常见的应用情形，并探讨极限与趋势思想在这些情况下的具体应用方式。
1. 函数的极限在高中数学中，极限是一个重要的概念。
当讨论函数在某一点的性质时，我们通常会利用极限的概念。
比如，我们可以通过计算函数在某一点的极限来确定函数的连续性、变化趋势等。
极限思想可以帮助我们理解函数在不同点的行为，并通过计算极限来解决相关的问题。
2. 数列的极限数列也是高中数学中常见的概念。
在研究数列的性质和行为时，极限思想可以提供有力的工具。
比如，我们可以通过计算数列的极限来判断数列的敛散性，以及数列的增长趋势和收敛速度等。
极限思想可以帮助我们深入理解数列的性质，并解决与数列相关的各种问题。
3. 函数的渐近线函数的渐近线是指函数在无穷大或某个特定点处趋近于的直线。
在高中数学中，我们经常需要探讨函数的渐近线及其性质。
学生可以运用极限与趋势思想来研究函数的渐近线。
通过研究函数在无穷大或某特定点的极限，我们可以确定函数的渐近线的斜率和截距，并进一步推导出函数在不同情况下的渐近线方程。
4. 求解极值问题在高中数学中，求解函数的极值问题是一个常见的任务。
极大值和极小值问题需要运用极限与趋势思想来解决。
通过计算函数在特定区间内的极限，我们可以确定函数的极值点，并求得相应的最大值或最小值。
极限与趋势思想可以帮助我们解决各种与极值相关的问题，并提供有效的解决方法。
综上所述，极限与趋势思想在高中数学中扮演着重要的角色。
通过运用极限与趋势思想，我们能够更深入地理解数学问题，并解决与之相关的各种情况。
在教学实践中，我们应注意培养学生的极限思维和趋势感知能力，以帮助他们更好地应用这些概念和工具解决实际问题。
极限思想及其在数学中的应用
极限思想及其在数学中的应用摘要：高等数学中极限教学作为重要内容，是高等数学计算分析的基础，也是高等数学问题分析的难题，极限的基本思考都是围绕高等数学计算分析开展的，高等数学中微积分、级数等基础概念和思想都是基于极限思想提出的，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。
许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。
本文首先阐述极限的定义；接着从数列极限和函数极限两方面分析极限的求解方法；最后指出极限的应用状况，通过这些应用使我们对极限有一个更系统立体的了解。
关键词：极限；求解方法；应用状况Limit thought and its application inmathematicsAbstract：Limits in higher mathematics teaching as an important content, is the foundation of higher mathematics calculation and analysis, is also a difficult problem in higher mathematics problem analysis, limit the basic thinking about higher mathematics calculation and analysis, calculus of higher mathematics, series, and other basic concepts and ideas are put forward based on the limit state, in order to limit as a tool to solve and deal with the mathematics problem is a very important method. Many students find it difficult to learn the limit of the sequence because the concept of the limit is abstract and computationally difficult. Firstly, the definition of limit is described. Then the solution method of limit is analyzed from the limit of sequence and the limit of function. Finally, the application of the limit is pointed out. Through these applications, we have a more systematic understanding of the limit.Key words:limit; Solution method; Application status目录一、引言 (1)（一）选题背景 (1)（二）研究目的和意义 (1)二、极限的概念 (1)（一）数列极限的定义 (1)（二）函数极限的定义 (2)1 一元函数极限的定义 (2)2 多元函数极限的定义 (3)三、极限的求法 (3)（一）数列极限的求法 (3)1 极限定义求法 (3)2 极限运算法则法 (6)3 夹逼准则求法 (6)4 单调有界定理求法 (7)5 定积分定义法 (8)6 级数法 (8)（二）函数极限的求法 (9)1 一元函数极限的求解方法 (9)2 多元函数极限的求解方法 (15)四、极限的应用 (18)（一）在计算面积中的应用 (18)（二）在求方程数值解中的应用 (18)五、结论 (20)致谢 (22)一、引言（一）选题背景随着对变量间函数关系的不断深化，微积分由此产生。
极限是一种思想方法
极限是一种思想方法
极限是一种思想方法，通常用于探索和理解某个事物或情况在极端情况下会发生什么。
极限思维经常用于数学、物理、工程等领域，也可以应用于个人成长和发展、解决问题和创新等方面。
在数学中，极限思维可以帮助我们研究函数或序列在接近某一点或趋于无穷大时的行为。
通过逼近极限，我们可以推导出一些重要的数学原理和定理，如极限的定义、连续性和微积分等理论。
在物理学中，极限思维可以帮助我们理解对象在高速运动或特殊条件下的行为，如相对论效应、量子力学等。
通过思考极限情况，我们能够预测和解释物质和能量的行为，从而推动科学的进步。
在工程领域中，极限思维可以帮助我们考虑和解决复杂问题，如在设计建筑物、交通系统或通信网络时，需要考虑极端条件下的安全性和可靠性。
此外，极限思维还可以用于个人成长和发展。
通过将自己推向极限，我们可以突破自我限制，挑战自己的潜力和能力，实现更大的成就和成功。
总之，极限思维是一种探索和理解事物在极端情况下会发生什么的思考方法，它在数学、物理、工程和个人成长等领域具有重要的应用价值。
极限是一种思想方法
极限是一种思想方法极限是一种思想方法，它在各个领域都有着非常重要的应用。
无论是在数学、物理、经济学等学科中，还是在生活中的决策制定和行动规划中，极限都扮演着重要的角色。
在数学中，极限是研究函数性质的一种重要工具，在物理中，极限可以帮助我们了解事物的发展趋势，在经济学中，极限则可以帮助我们进行市场预测和决策制定。
总之，极限思想方法的应用范围非常广泛，下面我将从多个角度来分析极限的思想方法。
首先，从数学角度来看，极限是数学中的一种重要概念。
在微积分中，极限是研究函数性质的基础。
我们可以通过极限来求解函数的导数和积分，进而研究函数在不同点的变化率和总变化量。
此外，极限还可以帮助我们研究函数的收敛性和发散性，判断一个函数是否无穷大，是否趋于某个特定的值。
通过研究极限，我们可以更深入地了解函数的性质，为我们进一步研究和应用数学奠定了坚实的基础。
其次，在物理学中，极限思想方法也有着重要的应用。
物理学研究物体运动、能量转化等自然现象，在这些研究中，我们往往需要对事物的变化趋势和发展情况有一定的认识。
通过极限思想方法，我们可以利用一点点的变化来预测未来的发展趋势。
比如，在研究物体运动时，我们通过无穷小时间间隔内的位移和速度变化来求解物体的加速度，从而预测物体未来的速度和位置。
再比如，在研究气候变化时，我们通过观察历史数据和现有趋势来预测未来的气温和降水情况。
通过极限思想方法，我们可以更准确地预测物理现象的发展趋势，为我们研究和应用物理学提供有力的支持。
此外，在经济学中，极限思想方法也有着非常重要的应用。
经济学研究资源分配、市场行为和经济增长等问题，在这些研究中，我们也需要了解事物的变化趋势和发展情况。
通过极限思想方法，我们可以利用一点点的变化来预测未来的市场需求和价格变动。
比如，在研究股票市场时，我们通过观察股票价格的变化速度，来预测股票未来的走势。
再比如，在研究经济增长时，我们通过观察GDP的增长率来预测未来的经济发展情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等数学解题方法探究极限——极限思想在高等数学中的地位和应用引言：数学研究的对象可以是特殊的或一般的，可以是具体的或抽象的，可以是静止的或运动的，可以是有限的或无限的，它们之间都是矛盾的对立统一．正是由于对象之间的对立统一，为我们解决这些对立统一事物提供了研究的方法．有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可循，并积累了一定的经验．而对于无限个对象的研究，却往往不知如何下手。
于是将对无限的研究就转化成对有限的研究就成了解决无限问题的毕经之路．反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决．这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这个结果。
正文：一、极限理论在数学分析中的地位1. 建立概念的极限思想极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。
可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。
在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思1想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。
如：（1）函数在点连续的定义，是当自变量的增量时，函数值的增量趋于零的极限。
（2）函数在点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量之比，当时的极限。
（3）函数在上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。
2. 解决问题的极限思想极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。
数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。
有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确定下来。
这就是运用了极限的思想方法。
二、极限理论在数学分析中的作用1. 导数是特殊的极限物体运动的瞬时速度、曲线在某点处的切线斜率、非恒稳电流强度以及化学反应速度等等，都可以归结为是函数 )(x f y =的改变量y ∆与自变量的改变量x ∆的比值当0→∆x 时的极限，而导数就是在这个基础上下定义的。
下面是`刘玉琏编著的《数学分析》第四版上册所给的定义：设函数y = )(x f 在)(0x U 有定义，在0x 自变数x 的改变量是x ∆，相应函数的改变量是)()(00x f x x f y -∆+=∆。
若极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(0000lim lim 存在，称函数)(x f 在0x 处可导，此极限称为函数)(x f 在0x 的导数，若此极限不存在则称函数)(x f 在0x 不可导。
从定义看出，有了极限才有导数，没有极限就没有导数。
2. 定积分是和的极限为了计算平面上任意形状封闭曲线围成区域的面积，我们可以将封闭区域分割成n 个相等的小矩形，用小矩形的面积之和近似代替封闭区域的面积。
每个小矩形的面积是已知的，当n 不断增大时，小矩形就会不断变小，小矩形的面积之和就越来越接近封闭区域的面积，当∞→n 时，每个小矩形的面积趋于零，所有小矩形的面积之和达到一个极限，这个极限就是封闭区域的面积。
同样，要计算物体非等速直线运动从时刻a 到时刻b 所经过的路程时，可以将这段时间分割成n 个时间段，物体在各个时间段里的运动看成是匀速运动，那么物体在n 段时间里所走的路程之和就可以近似地代替物体从时刻a 到b 的路程。
n 越大，这个路程之和就越精确。
当∞→n 时，路程之和也达到一个极限，这个极限就是物体从时刻a 到时刻b 所经过的路程。
这两个例子虽然实际意义不同，但从抽象的数量关系来看，它们都是函数在区间上具有特定结构的和的极限。
定积分的概念就是在“和的极限”这个基础上作出定义的。
数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分。
在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。
可以说，没有极限理论就没有微积分三、极限的定义和判别准则1、极限的定义在数学分析中极限有两个定义，一个是数列极限的定义另一个是函数极限的定义。
数列极限的定义是：设有数列{n a }，a 是常数。
若对任意ε＞0，总存在正数N ，对任意正数n ＞N ，有│a a n -│＜ε，则称数列{n a }的极限是a 。
用逻辑符号可表示如下：a na n =∞→lim ⇔∀ε＞0，+∈∃N N ，n ＞∀N ，有│aa n -│＜ε。
而函数极限的定义又要分两种情况：（1）当自变量∞→x 时，函数)(x f 极限的定义为：设函数)(x f 在区间（+∞,a ）有定义，b 是常数。
若∀ε＞0，0A ＞∃，x ∀＞A(＞a )，有│b x f -)(│＜ε，则称函数)(x f （当+∞→x 时）的极限为b 。
（2）当自变量a x →时，函数)(x f 极限的定义为：设函数)(x f 在邻域U ︒（a ）有定义，b 是常数若∀ε＞0，∃δ＞0，x ∀：0＜│a x -│＜δ（x ∈U ︒（δ,a ）），有 │b x f -)(│＜ε，则称函数)(x f 当a x →时的极限是b 。
2、极限存在的判别法① 极限存在 <=>左右极限存在且相等; ② 夹逼定理;③ 连续性定理: 单调有界数列必有极限; ④ 柯西准则；四、有关极限的定理这里给出函数极限A x f x x =→)(lim 0的情形，至于数列的极限和其它形式的函数极限也都有类似的结果。
（1） 唯一性 如果)(x f 在点0x 有极限，则极限是唯一的。
（2） 有界性 如果)(x f 在点0x 有极限，则存在正数δ和M 。
使当0＜│0x x -│＜δ时，有│)(x f │＜M 。
（3）保号性 如果存在A x f x x =→)(lim 0，并且A ＞0（或A ＜0)，则存在δ＞0，使得对一切满足0＜│0x x -│＜δ的x ，都有)(x f ＞0（)(x f ＜0 ）。
（4）两边夹定理 如果存在δ＞0，使当0＜│0x x -│＜δ时，)(x h ≤)(x f ≤)(x g ，并且Ax h x x =→)(lim 0，A x g x x =→)(lim 0，则A x f x x =→)(lim 0。
（5）运算法则 设A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，则B A x g x f x x ±=±→)]()([lim 0；B A x g x f x x ⋅=⋅→)]()([lim 0。
在B ≠0时，又有B Ax g x f x x =→)()(lim。
若0)(lim 0=→x f x x ，)(x g 在0x 的某个邻域内有界，则0)()(lim 0=→x g x f x x 。
五、应用极限思想的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 011011 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
主要考第二个重要极限。
例5：求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X1+，最后凑指数部分。
【解】2221212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→211lim ；(2)已知82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→xx a x a x ，求a 。
5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】(1)常见等价无穷小有：当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x-,()abx ax x x b~11,21~cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．。