函数极限理论的归纳与解题方法的总结

目录

引言 (1)

一、基本概念与基本理论 (2)

(一)函数极限 (2)

(二)重要极限 (9)

(三)函数的上极限与下极限 (10)

(四)Stolz定理的推广定理 (11)

二、习题类型与其解题方法归纳 (11)

(一) 根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。 (12)

(二)根据定义与极限性质证题的方法 (14)

(三)求函数极限方法 (15)

(四)判断函数极限存在与不存在的方法 (20)

参考文献： (24)

函数极限理论的归纳与解题方法的总结

薛昌涛

(渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国)

摘要：宇宙中的任何事物都是不断运动变化、相互联系、相互制约的。“函数”的产生正是为了满足刻划这种关系的需要，函数极限理论可谓函数理论重中之重。极限定义24个，性质60个，习题更是千变万化，看上去似乎很繁杂，但经过深入浅出的分析就会很明了。本文旨在化繁为简、总结规律，启示方法。

关键词：函数、极限、方法

The Conclusion of Theory of Function Limit and Methods

Summary

（Department of math bohai university liaoning jinzhou 121000）

Xue Changtao

Abstract: Everything in the universe is always moving, varying, intergrating or restricting each other. Function emerged for the need of describing this relation. The thory of function limit plays a key role in function theory. There are Twenty – four definitions to limit, sixty qualties, and the exercises are ever changing. It seems complex very much, but it will be clear after delicate analysis. This text aim at changing complex to simple, suming up the regulars, enlightening the methods.

Key words: Function Limit Method

引 言

“函数”一词是微积分的创始人之一莱布尼兹(Leibniz)最先使用的，并且把x 的函数记为)(),(x x f 等，但是，直到19世纪初，人们还是把函数理解为“变量和常数组成的解析表达式”。直到1834年，狄里克莱(Dirichlet)指出，函数y 与变量x 的关系不但不必用统一的法则在全区间上给出，而且不必用解析式给出。至此，函数才被赋予了单值对应的意义。

在整个宇宙中，我们找不出不在运动变化的事物，但各个事物的变化，又绝非彼此孤立隔绝，而是相互联的，相互制约的。“函数”无论在理论研究还是现实的科学探索，都发挥着举足轻重的作用，而极限问题可谓函数问题之重点，所以搞清函数极限的相关问题是尤为重要的。

一、基本概念与基本理论

（一）函数极限

1．函数正常极限与非正常极限定义共2464=⨯个，它们的形式是： A A x x x x x x x x x (lim 000∞

∞-∞+-∞→+∞→∞→→→→=-+为有限数) 可见函数正常极数定义共6个，非正常极数定义共18个，比数列正常极限定义1个、非正常极限定义3个(两者总共4个)多了20个定义，而此24个定义是整部数学分析的基础。对它们的理解与记忆按下述程序进行：先理解与记忆4个基本定义，再推及其它而总观24个定义。

(1)四个基本定义

定义1 (M -ε定义) 设f 是定义在),[+∞a 上的函数，A 是一个确定的数，若0>∀ε，0>∃M ，当M x >时，有ε<-A x f )(，则称函数f 当+∞→x 时以A 为极限，记作A x f x =+∞

→)(lim ，或)()(+∞→→x A x f ，或A f =+∞)(。

此时也称A 为f 在正无穷远处的极限。

注1 此M -ε定义，是数列极限a x n n =∞

→lim 之N -ε定义的推广，只需将N -ε定义中之n 换为x ，N 换为M 即可，这是由于，数列是以自然数集为定义域的函数，故N n ,均为自然数集的成员，而函数)(x f 的定义

域为实数集，因而改为R 中之x ，m 来描述。

注2 定义1是在正无穷远点处函数的极限，现将正无穷远点改为有限点0x 处，其函数极限即为下述定义2，即只要将正无穷远邻域的描述

M x >改为0x 的空心邻域的描述δ<-<00x x 即可，因变量刻划相同。

定义 2 (双侧极限δε-定义)设函数f 在点0x 的某个空心邻域

),(00δ'x U 内有定义，A 是一个确定的数。若)(,0,0δδδε'<>∃>∀，当

δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(，则称f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0

，或)()(0x x A x f →→。 问题1 在A x f x x =→)(lim 0

的定义中，为什么限定00>-x x (即0x x ≠)？如果把此条件去掉，写作“当δ<-0x x 时，有ε<-A x f )(”是否可以？［3］

答：不可以，极限A x f x x =→)(lim 0

的意义是：当自变量x 趋于0x 时，对应的函数值)(x f 无限接近常数A 。)(x f 在0x 的情况，包括)(x f 在0x 是否有定义，有定义时，)(0x f 等于什么都不影响0x x →时，)(x f 的变化趋势，故应把0x x =这一点排除在外。如果把此条件去掉，把A x f x x =→)(lim 0

的定义写作“0>∀ε，0>∃δ，当δ<-0x x 时，有ε<-A x f )(”，则当0x x =时，也有ε<-A x f )(，由ε的任意性，要使此不等式成立，必定有A x f =)(，这个条件显然与0x x →时，)(x f 的变化趋势是不相干的。

定义3 (单侧极限δε-定义)设函数f 在()δ'+00,x x ［或()00,x x δ'-］内有定义，A 是一个确定的数，若)(0,0δδδε'<>∃>∀，使当δ<-<00x x (或)00δ<-