实变函数论主要知识点
实变函数复习要点
第 7 页 共 12 页 山东农业大学 数学系 于瑞林
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《实变函数论》总复习
可测集与开集、闭集只相差一小测度集； 可测集可由 G 型集去掉一零集，或 F 型集添上一零集得 到． 三、重点 外测度和可测集的定义；可测集的基本性质（定义 2.1.2） ；可测集的极限性质（定理 2.1.5；定理 2.1.6） ．
第三章
可测函数
一、考核知识点 1. 可测函数的定义及其等价定义、 可测函数的性质和可测函 数与简单函数的关系； 2. 叶果洛夫定理； 3. 依测度收敛的定义、性质、Riesz 定理、勒贝格定理； 4. 鲁津定理． 二、考核要求 1. 可测函数及其性质 （1）简单应用： 可测函数的定义及其等价定义； （2）综合应用：可测函数的性质． 零集上的任何函数都是可测函数； 简单函数是可测函数； 可测集 E 上的连续函数 f(x)必为可测函数； 在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性，
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《实变函数论》总复习
析)就是建立在勒贝格积分的基础上的． 由于有了具有可列可 加性的测度和建立在这种测度基础上的积分，导致了与微积 分中函数序列的点点收敛和一致收敛不同的一些新的重要 收敛概念的产生，它们是几乎处处收敛、依测度收敛、积分 平均收敛等．依测度收敛在概率论中就是依概率收敛，且具 有特别重要的地位．积分平均收敛在一般分析学科中也是常 用的重要收敛．傅里叶级数理论以及一般的正交级数理论就 是以积分的平方平均收敛为基本的收敛概念． 《实变函数论》的三大定理 1、Lebesgue 控制收敛定理； 2、Levi 控制收敛定理； 3、Fatuo 引理． 这三个定理是‘实变函数’的核心成果，集中地体现了 Lebesgue 积分相对于 Reimann 积分的优越性， 因而这三个定 理是‘实变函数’中最重要的定理，三大定理之说法当之无 愧． 《实变函数论》的三大原理 1. Every measurable set is nearly a finite sum of intervals; 2. every function (of class Lp) is nearly continuous; 3. every convergent sequence of functions is nearly uniformly convergent.
实变函数课程主要内容提要
实变函数课程主要内容提要《实变函数》---- 课程主要内容提要学完一门课程，读者应该自己学会把握课程的重点。
学习永远是自己的大事，任何人无法代替。
但作为一种引导，现将本课程主要内容简要列出，供学习参考，互相交流！内容重要程度:*** > ** > * * 第一章集合论* 1. 集合族之交、并、补、差的运算；*** 2. 集合的分解；集合列的极限运算；特征函数；** 3. 集合的基数与可数、不可数集；* 4. 极限点(聚点)、孤立点、导集的性质；** 5. 闭集、闭包、开集、内点的概念以及闭集、开集的性质；** 6.Gδ集、Fσ集、σ-代数、Borel集、稠密集；*** 7. Cantor三分集的概念及其性质；* 8. 点集间距离的概念。
** 第二章 Lebesgue可测集与Lebesgue测度*** 1. Lebesgue外测度的概念及其性质:单调性、次可加性、距离外测度性质、可测分离可加性；** 2. Lebesgue可测集的概念及其性质：交、并、补、差的运算性质；*** 3. Lebesgue测度的基本性质：可数可加性；测度与极限运算的交换性；** 4. Lebesgue可测集与Borel集的关系；等测包与等测核的存在性；* 5. 不可测集的存在性。
*** 第三章可测函数*** 1. 可测函数的基本概念及其运算性质；** 2. 简单函数的概念；简单函数逼近定理；*** 3. 可测函数列处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、近一致收敛和依测度收敛的概念及其相互关系：Egoroff定理；Lebesgue定理；Riesz定理；* 4. 依测度Cauchy列的概念；*** 5. 可测函数与连续函数的关系：卢津(Lusin)定理及其推论；*** 第四章 Lebesgue积分* 1. 非负简单可测函数的Lebesgue积分：基本概念；积分与极限的交换性；** 2. 非负可测函数的Lebesgue积分：基本概念与简单性质；*** 3. 三大基本定理：Levi定理、Lebesgue基本定理和Fatou引理；对积分域的可数可加性；Chebyshev(契比雪夫)不等式；** 4. 一般可测函数的Lebesgue积分：基本概念与简单性质；积分的绝对连续性；*** 5. 控制收敛定理: Lebesgue控制收敛定理, 有界收敛定理，依测度型控制收敛定理；L1-收敛；** 6. 可积函数与连续函数的关系；积分的平均连续性；*** 7. Lebesgue积分与Riemann积分的关系；** 8. Fubini定理以及Lebesgue积分的几何意义；卷积与分布函数的概念。
实变函数论 华章
实变函数论华章实变函数论是数学分析的一个分支，研究实数域上的实变函数。
实变函数论是数学分析中的重要内容之一，也是微积分和函数论的基础。
本文将介绍实变函数论的基本概念和性质，以及一些常见的实变函数的特点。
一、实变函数的基本概念实变函数是自变量和因变量都是实数的函数。
在实变函数论中，我们主要研究函数的定义域、值域、连续性、可导性等性质。
定义域是指函数自变量的取值范围，也就是函数所能接受的实数集合。
对于实变函数而言，定义域通常是实数集合的一个子集。
值域是函数所有可能取到的值的集合。
对于实变函数而言，值域是实数集合的一个子集。
连续性是指函数在定义域内的任意一点都存在极限，并且函数的极限等于函数在该点的函数值。
连续性是实变函数的重要性质之一，它决定了函数的很多性质。
可导性是指函数在某一点处存在切线的斜率，也就是导数。
可导性是实变函数的另一个重要性质，它决定了函数的变化率和极值点的存在性。
二、实变函数的特点在实变函数论中，有一些常见的实变函数具有特殊的性质。
1. 多项式函数：多项式函数是实变函数中最简单的一类函数。
它们具有良好的代数性质，可导性和连续性都成立。
2. 幂函数：幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a是任意实数。
幂函数的性质与指数的性质密切相关，可导性和连续性也与指数的奇偶性有关。
3. 指数函数：指数函数是指形如y=a^x的函数，其中a是任意正实数且不等于1。
指数函数的定义域是整个实数集，它具有良好的连续性和可导性。
4. 对数函数：对数函数是指形如y=loga(x)的函数，其中a是任意正实数且不等于1。
对数函数的定义域是正实数集，它具有良好的连续性和可导性。
5. 三角函数：三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数等函数。
它们具有周期性和奇偶性等特点，具有良好的连续性和可导性。
三、实变函数的应用实变函数在数学和物理学等领域有广泛的应用。
1. 在微积分中，实变函数论是微积分的基础。
通过研究实变函数的连续性和可导性，可以得到函数的导数和积分等重要结果。
实变函数知识归纳总结
定理 6 若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则 A ∪ B ～ A 由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射； 设 B = {b1 , b2 ,
} 为可数集， A ∩ B = ∅ ，由性质１知，Ａ存在可数子集
A1 = {a1 , a 2 ,
} ，作映射 f : A ∪ B → A
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
α ∈Λ
∩ ζ α 是 X 上的环（或代数） 。
, 有 ∩ En ∈ ζ ； n =1
, 有 lim En ∈ζ , lim En ∈ζ ； n→∞
n→∞
∞
(α ∈ Λ ) 为 X 上 σ
环（ σ 代数） ，则 ∩ ζα 是 X 上 σ 环（ σ
α∈Λ
代数） 。
定理 8 设 A 是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数，
−1
( ∩ B )= ∩T
α∈Λ α α∈Λ
−1 c
−1
( Bα )( Bα ⊂ Y,α ∈Λ) ;
c
−1
( B ) = (T ( B ) )
由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好 注解：①、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为
空集即可； ②、 一般T -1 (T ( A) ) ⊃ A，当T为单射时,有T -1 (T ( A) ) = A ③、 一般T T −1 ( B ) ⊂ B，当T为满射时,有T T −1 ( B ) = B 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 二、集合的势 定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称集合 A 与Ｂ对等， 记为 A~B 注解：①、对等关系是等价关系 ②、设 {
α∈Λ α∈Λ
实变函数论课件25讲
第25讲 有界变差函数
定义7 设 f (x)是 [a, b]上的有限函数，
对 [a, b]的任一分划
: a x0 x1 xn b，
记
V (, f ) | f ( xi ) f ( xi 1 ) |,
i 1
n
称 V (, f )为 f 关于分划 的变差。
证明：不妨设 f n (a) 0, (n 1,2,)，否 ~ ~ 则可令 f n ( x) f n ( x) f n (a)，对 f n 讨 论就行了。记 n S n ( x) f i ( x) ，
i 1
则 Sn ( x), f n ( x) 都是单调增加函数，故去
掉一个零测集 E 后，Fn' ( x)( n 1,2, )
| a | | f ( xi ) f ( xi 1 ) | | | | g ( xi ) g ( xi 1 ) |
| a | V (, f ) | | V (, g )
b a b a
i 1 i 1
i 1
n
n
| a | V ( f ) | | V ( g ) b b b 所以 Va (af g ) | a | Va ( f ) | | Va ( g )，证毕。
第25讲 有界变差函数
目的：进一步了解单调函数的性质， 熟悉有界变差函数的定义，掌握其 性质。
重点与难点：单调函数的性质，有界 变差函数的定义及其性质。
第25讲 有界变差函数
基本内容： 一．单调函数可导性的推论 问题1：如果 fn 是单调函数序列，且 . f n f a.e，不难看出f也是单调 的，从而也几乎处处有有限导数， fn 的导数与 f 的导数有什么关系？ 等式 f 'n f ' a. e. 是否成立？
实变函数论
实变函数论实变函数论是数学分析领域中非常重要的一个分支。
它主要研究实数域上的函数，涉及到微积分、拓扑、测度论等多个数学分支，具有广泛的应用和深刻的理论意义。
一、实变函数的连续性和一致连续性实变函数中，连续性和一致连续性是非常基础的概念。
在实变函数论中，我们经常需要用到这两个概念来描述函数的性质。
连续性是指函数在某一点处的极限等于函数在该点处的函数值。
更准确地说，设$f(x)$为定义域上的一函数，$x_0$为定义域上的一点，则$f(x)$在$x_0$处连续等价于满足以下条件：$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$而一致连续性则更为强，它指的是函数在整个定义域上均满足某一性质，即在整个定义域上均具有连续性。
形式化地，设$f(x)$为定义域上的一函数，则$f(x)$在定义域上一致连续等价于满足以下条件：$$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\text{s.t. }|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$$连续性和一致连续性是实数域上函数的最基本的性质，是很多其他性质和定理的前提条件。
二、实变函数的导数和微分微积分中，导数和微分是非常基础的概念。
在实变函数中，我们同样需要研究函数的导数和微分。
导数描述的是函数在某一点处的变化率，它是一个极限。
对于实变函数$f(x)$，在$x_0$处的导数定义为：$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$微分是一个线性近似，用直线去接近曲线。
对于实变函数$f(x)$，在$x_0$处的微分为：$$df(x_0)=f'(x_0)dx$$在实变函数中，导数和微分的性质有很多，比如说链式法则、洛必达法则等，这些性质在高等数学中都会有所涉及。
三、实变函数的积分积分是微积分中非常重要的一个概念，是研究实变函数的重要手段。
《实变函数论》
《实变函数论》实变函数论是数学的一个重要分支，可以用来分析数学中各种基本实变函数的性质。
它主要是研究如何利用导数、积分、最值和定积分来研究实变函数的性质。
它是求解不可逆微分方程的基础。
它也是研究复变函数性质的基础，把复变函数看作一种特殊的实变函数。
实变函数论包括实值变量函数的微分、积分、最值等，还包括复变量函数的性质。
它是数学分析中的重要分支，与特殊函数论、复变函数论有着密切的关系。
实变函数论中最基础的概念是数量级和极限。
数量级指的是极限的概念，表示随着实变量的变化，函数值的变化程度。
极限是指当实变量接近某个数值时，函数值在某一点处的极限值。
而对极限的深入研究，就是实变函数论的重要内容。
实变函数论几乎可以关注任何一个实变函数的性质，从最基础的极限研究，到有关积分的性质，以及利用实变函数来求解某个特殊的微分方程。
因此，实变函数论的研究对解决各种数学问题都有重要的意义。
实变函数论的重要技术有微分、积分、微分不变性、莱布尼茨定理等等。
它们在极限和积分研究中发挥着重要作用，也是研究复变函数性质的基础。
实变函数论的重要应用在于各种不可逆微分方程的求解。
它可以通过求解它们的极限和积分来解决。
比如，必经微分方程，可以用它的极限和积分来解决；简单自变量微分方程，也可以用它的导数来解决。
由于实变函数论的应用十分广泛，它也与其他学科有着良好的交流和联系。
总之，实变函数论是数学分析中的重要分支，有着重要的研究和实际应用价值，其中涉及到复变函数、微分、积分、最值、极限和定积分等数学基础概念，也与其他学科有着密切的关系。
学习实变函数论不仅有利于研究基础数学，而且可以运用到工程学和其他许多科学中。
《实变函数论》课件
共轭内积和正交函数系
1
内积的概念和性质
实内积空间的定义和内积的基本性质。
2
共轭内积和正交函数
共轭内积的作用和正交函数的性质。
3
正交函数系的判定
判断一组函数是否为正交函数系的条件。
度量空间和完备空间的概念和定理
度量空间的概念
距离、度量、度量空间的 基本概念和性质。
完备空间的定义
完备空间的定义和完备空 间的常见例子。
完备空间的性质
完备空间的性质和完备性 的判定方法。
巴拿赫空间及其应用
巴拿赫空间的定义
泛函分析的应用
巴拿赫空间的定义和典型例子。
泛函分析在数学和物理领域中 的应用。
范数空间和巴拿赫空间
范数空间、巴拿赫空间之间的 关系和性质。
实变函数论
一、实变函数的概念和基本性质
连续函数及其性质
连续函数定义
函数连续的必要条件与充分条 件。
连续函数的常见性质
一致连续函数
闭区间上的连续函数一致连续， 最值和介值定理。
一致连续函数的定义和主要性 质。
变量的极限和连续性
1
函数的连续性
2
间断点的分类和连续函数的性质。
3
函数的极限
点极限、上极限、下极限的定义和性 质。
反常极限
无穷极限、无穷小量的定义和应用。
可积函数的概念和定理
可积函数的定义
黎曼可积函数与可积性的条件。
黎曼积分的性质
可积函数的性质，可积函数与连续函数的关系。
积分中值定理
黎曼积分中值定理的证明和应用。
点集上的函数
连通集与间断点
闭集与开集
连通集的性质和间断点的判定。 闭集、开集的定义和性质。
实变函数课件
实变函数在物理学中的应用
描述电磁场
通过实变函数，可以精确地描述电磁场的 分布和变化，为电磁学的研究提供数学工
具。
解决偏微分方程
实变函数可用于解决物理学中的偏微分方 程，如波动方程、热传导方程等，从而揭 示物理现象的数学规律。
量子力学
在量子力学中，实变函数被用于描述粒子 的波函数，揭示微观粒子的运动规律。
微观经济学
实变函数可用于描述消费者的 效用函数和生产者的成本函数 ，揭示微观经济行为的数学规
律。
宏观经济学
通过实变函数，可以建立宏观 经济模型，分析经济增长、通 货膨胀等宏观经济现象的数学
机制。
金融数学
实变函数在金融数学中有广泛 应用，如期权定价、投资组合 优化等，为金融市场的分析和
决策提供支持。
谢谢
积分的不等式与估计
介绍积分不等式和估计的基本方法，如Holder不等式、 Minkowski不等式、Chebyshev不等式等，并举例说明其应用。
05 实变函数的微分学
CHAPTER
导数与微分的概念
导数定义
详细阐述实变函数导数的定义及其几 何意义，包括左导数、右导数和导函
数等概念。
可导性判定
介绍判断函数在某点是否可导的方法 ，包括利用定义、导函数连续性等。
与连续性的区别
一致连续性是函数在整个区间上的性质，而连续性是函数在一点或一些点上的性质。一致连续的函数在整个区间上具 有“均匀”的连续性，即函数值的变化不会太快或太慢。
性质
一致连续的函数具有有界性、可积性等性质。
04 可测函数与积分
CHAPTER
可测函数的概念与性质
可测函数的定义
详细解释可测函数的定义，包括在给定集合上 的函数及其相关性质。
实变函数第三版复习要点及习题
第一章集合
集合的运算（尤其集合列的交集与并集的运算；
集合列极限的计算；
基数（或势）的概念；
可数集的概念、性质及判别方法（会证明），常见的可数集；
不可数集（具有连续基数）的概念、性质，常见的具有连续基数的集合。
课后习题：7,9,10,11,12,13,15,17
第二章点集
◆集合间的距离；
◆几种特殊的点及其之间的关系、求法：聚点、内点、界
点、孤立点；
◆几种特殊的点集的概念、性质及计算：开核、边界、导
集、闭包；
◆开集、闭集、完备集的概念、性质，会证明一个集合是
开集或闭集；
◆直线上开集构造定理；
◆康托集（Cantor）的概念、性质；
◆课后习题：1,2,3,4,5,6,7,8,11
第三章测度论
●外测度的概念及性质；
●测度的概念及性质；
●常见的可测集类；
●可测集与开集、闭集、型集和型集的关系
●可测集相关理论的证明
●一些特殊可测集测度的计算
●课后习题：1,2,5,6,8
第四章可测函数
⏹可测函数的定义及性质
⏹常见的可测函数
⏹可测函数与简单函数、连续函数的关系
⏹三大收敛及其之间的关系
⏹可测函数相关理论的证明
⏹课后习题：1,4,6,7,8,9,10,11
第五章积分论
勒贝格积分的背景、定义方法
勒贝格积分的性质：注意条件和结论
勒贝格可积的条件
三大极限定理：Levi定理；Fatou引理；
Lebesgue控制收敛定理
三大极限定理的应用
Lebesgue积分的几何意义及Fubini定理
习题：2,3,5,6,7,11,12,20
计算题。
《实变函数论》范文
《实变函数论》范文《实变函数论》是数学分析的重要领域之一，主要研究实变函数的性质和性质之间的相互关系。
实变函数是自变量和函数值都是实数的函数，是数学中的基础概念之一、实变函数论的研究对象包括实变函数的连续性、可导性、积分性质、收敛性以及函数的极限等方面。
通过对实变函数的系统研究，可以深入理解数学分析的基本概念，为后续研究提供重要的基础。
实变函数的基本性质是连续性。
连续性是指函数在其中一点处的函数值和该点的邻域中的函数值之间的关系。
实变函数的连续性可分为点连续和区间连续两种情况。
点连续是指函数在其中一点处连续，而区间连续是指函数在其中一区间上连续。
连续函数有许多重要性质，如介值定理、零点定理等。
实变函数的另一个重要性质是可导性。
可导性是指函数在其中一点处存在导数。
导数是函数在其中一点处的变化率，可以理解为函数在该点处的斜率。
可导函数具有许多重要的性质，如极值点的判定、求函数的最大值和最小值等。
实变函数的积分性质也是实变函数论的重要内容。
积分是求函数在其中一区间上的面积，是函数与坐标轴之间的关系。
实变函数的积分分为不定积分和定积分两种情况。
不定积分是求函数的原函数，而定积分是求函数在其中一区间上的面积。
积分也具有许多重要的性质，如积分中值定理、换元积分法等。
实变函数的极限是实变函数论的核心概念之一、极限是指函数在其中一点无限接近一些数的趋势。
实变函数的极限有两个方向，即正向极限和负向极限。
极限具有包含关系，即正向极限等于负向极限等于极限的值。
实变函数的收敛性是指函数序列或函数列在其中一点趋于一些数的性质。
实变函数的收敛性有点收敛和一致收敛两种情况。
点收敛是指函数在其中一点处收敛，而一致收敛是指函数在整个区间上收敛。
收敛性是实变函数论的重要内容，对于理解函数的性质和应用具有重要作用。
总结来说，《实变函数论》是研究实变函数的性质和性质之间的相互关系的数学分析的重要领域。
通过对实变函数的连续性、可导性、积分性质、收敛性以及函数的极限等方面的研究，可以深入理解数学分析的基本概念，为后续研究提供重要的基础。
实变函数 讲义
实变函数讲义
摘要：
1.实变函数的定义与性质
2.实变函数的例子
3.实变函数的运算与求导
4.实变函数的应用
正文：
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。
与复变函数不同，实变函数的自变量和因变量都是实数。
实变函数具有很多重要的性质，这些性质使它在数学分析中有着广泛的应用。
首先，让我们来看一下实变函数的定义与性质。
实变函数是指定义在实数集上的函数，它可以接受实数作为自变量，并输出实数作为因变量。
实变函数具有很多重要的性质，比如连续性、可导性、极限等。
这些性质是实变函数研究的基础，也是实变函数分析的关键。
接下来，我们来看一些实变函数的例子。
最简单的实变函数就是常函数，它的函数图像是一条水平直线。
另外，幂函数、指数函数、对数函数等也是实变函数的例子。
这些函数在实数集上都有定义，并且具有不同的性质。
实变函数的运算与求导是实变函数分析的重要内容。
实变函数的运算包括加法、减法、乘法、除法等。
实变函数的求导则是研究函数在某一点处的变化率。
求导是实变函数分析的重要工具，它可以帮助我们理解函数的性质，并且可以用来求解实际问题。
最后，我们来看一下实变函数的应用。
实变函数在数学中有着广泛的应用，比如在微积分、实分析、概率论等领域都有重要的应用。
实变函数的性质和运算规律可以帮助我们解决实际问题，并且可以用来证明数学定理。
总的来说，实变函数是数学中的一个重要概念，它具有很多重要的性质和运算规律，并且在实际应用中有着广泛的应用。
实变函数论课件3 可数集和不可数集
P0 ~ Z Pn ~ ( Z {0}) Z Z Z （有限个可数集作卡氏积） (n个Z 相乘)为可数集(n 1)
定义 不是可列集的无限集称为不可列集或不可数集。
P Pn为可数集（可数个可数集的并）
n 0
[ 0
][ 1/3
][ 2/3
1
]
由区间套定理，存在唯 一点 x 0 I n [0,1],
n 1
{x1 , x2 , , xn , } 将[0， 1]三等分，取其中一个不含点x1的闭区间，记为I1 , 再将I1三等分，取其中一个不含点x2的闭区间，记为I 2 , 这样继续下去得到一个 闭区间套： [0,1] I1 I 2 I n | I n | 1 , xn I n , ( n 1,2, ) 3n
1 2
, a , a , a , a
1 3
, a
1 4
， ，
说明: •与Hilbert 旅馆问题比较 ; •如何把无限集分解成无 限个无限集合的并 ?
2 1
2 2
2 3
, a , a , a
2 4
•有限集与可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 •可数个可数集的并仍为可数集
3 1
2016-9-16
一．可数集合 目的：熟悉常见的两类集合的势，掌握其 基本性质。 重点与难点：可数集合的性质，连续势的 性质。 定义 凡是与自然数对等的集称为可数集 或可列集，凡与 R1对等的集称为具有连续势。
显然一个集是可列集当 且仅当它的所有元素可 排列 成一个无穷序列。
可列集当然是无限集。
1、空集 的基数记作 0, 2、具有 n ( n 为自然数)个元素的集的基数就记作 n, 3、可列集的基数通常记作 0，还往往用a 表示. 4、与实数集 R1 对等的集的基数又称为连续基数或连续势, 通常记作, 还往往用 c 表示. 注：诸无限集所具有的基数远非仅仅 a 与 c.
实变函数知识点简要总结
实变函数知识点简要总结实变函数是数学分析中的一个重要概念。
它是指定义在实数集上的函数，其定义域和值域都是实数集。
实变函数在数学科学中有着广泛的应用，并且在实际问题中也扮演着重要的角色。
本文将从实变函数的定义、性质和应用等方面进行阐述。
实变函数的定义是指定义在实数集上的函数。
在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
实变函数的自变量和因变量都是实数，而不是其他类型的数值。
实变函数通常用符号表示，比如f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
实变函数具有一些特性和性质。
首先是定义域和值域。
实变函数的定义域是所有自变量的取值范围，而值域是所有因变量的取值范围。
其次是奇偶性。
实变函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
再次是单调性。
实变函数可以是递增函数或递减函数，也可以是常数函数。
最后是极限和连续性。
实变函数可以有极限和连续性，这是分析实变函数性质的重要工具。
实变函数在数学科学中有着广泛的应用。
首先是在微积分中的应用。
微积分是研究变化的数学分支，实变函数是微积分研究的基础。
微分学研究实变函数的导数和微分，积分学研究实变函数的积分。
实变函数的微分和积分是求解实际问题中的关键步骤。
其次是在概率论和统计学中的应用。
概率论和统计学是研究随机现象的数学分支，实变函数在概率论和统计学中起到了重要的作用。
实变函数的分布函数、概率密度函数和特征函数等在概率论和统计学中有着广泛的应用。
此外，实变函数还应用于物理学、工程学、经济学等领域。
实变函数是数学分析中的一个重要概念。
它是定义在实数集上的函数，具有一些特性和性质。
实变函数在数学科学中有着广泛的应用，并且在实际问题中也扮演着重要的角色。
通过对实变函数的研究和应用，我们可以更好地理解和分析数学和自然界中的现象。
《实变函数论》课件
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SUMMAR Y
06
应用实例
在概率论中的应用
01
实变函数论为概率论提供了数学基础，使得概率论中的概念和定理得 以严谨地证明。
02
实变函数论中的测度理论为概率测度提供了数学表达，使得概率论中 的积分运算得以顺利进行。
03
实变函数论中的可测函数理论为随机过程和随机函数的定义和性质提 供了数学工具。
可积性的性质
可积函数的性质包括但不限于，如果函数在某个区间上可积，那么它的积分值是一个实数。此外，如果函数在两个区 间上的积分相等，那么这两个区间具有相同的长度或面积。
可积性的应用
在物理学和工程学中，可积性是一个重要的概念，因为它允许我们计算物理量（如质量、电荷、能量等 ）的分布对时间或空间的影响。
在信号处理和控制系统等领域中，连 续性是一个重要的概念，因为它允许 我们分析和预测系统的行为和性能。
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03
测度理论
测度的定义与性质
测度的定义
测度是一种数学工具，用于量化集合 的“大小”。在实变函数论中，测度 是定义在集合上的非负数值，表示该 集合中元素个数的“大小”。
测度的性质
测度具有可数可加性、对称性、平移 不变性和正则性等性质。这些性质使 得测度在数学分析和概率论等领域中 具有广泛的应用。
可测集的性质
可测集的定义
如果集合上的每个元素都属于某个集合，则该集合称为可测集。
可测集的性质
可测集具有互补性、可数可加性、平移不变性和正则性等性质。这些性质使得可测集在概率论和实变函数论等领 域中具有广泛的应用。
实变函数 讲义
实变函数是指定义在实数集上的函数。
常见的实变函数有常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面简要讲述一下实变函数的一些基本概念和性质。
一、基本概念
1. 距离：定义在实数集上的一种度量，两点x1和x2之间的距离为|x1 - x2|。
2. 邻域：以某点为中心、半径为ε的区间称为该点的ε-邻域。
3. 称函数f在x0处有极限L，若当自变量x趋近于x0时，函数值f(x)趋近于L（如果这个L不存在，则说f在x0处无极限）。
4. 称函数f在(x0 - δ, x0 + δ)上连续，若对于任意ε > 0，都存在δ > 0，使当|x - x0| < δ时，|f(x) - f(x0)| < ε。
二、性质
1. 有界性：若f(x)在E上有界，则称函数f(x)在E上有界。
2. 单调性：若函数f(x)在E上单调递增，则称f(x)在E上单调递增。
类似地，可定义单调递减。
3. 零点定理：若f(x)为在区间[a, b]（a, b均为实数）上的可连续函数，则若f(a)f(b) < 0，则在(a, b)之间至少存在一个零点。
4. 最大值和最小值定理：若函数f(x)在区间[a, b]（a, b均为实数）上连续，则f(x)在[a, b]上必有最大值和最小值。
5. 介值定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对于任意介于f(a)和f(b)之间的数f(x0)，至少存在一个数x0∈(a, b)，使得f(x0) = f(x)。
实变函数是数学中非常重要的概念，对于其背后的理论和应用需要深入学习和研究。
实变函数论课件24讲
04
实变函数的微分
实变函数的微分定义
实变函数的微分概念 微分的基本性质 微分与导数的关系 微分的应用
实变函数的微分性质
实变函数的微分定义 微分性质：可加性、可数性、可交换性 微分与导数的关系 微分在函数逼近中的应用
物理学：实变函数论在物理学中也有着重要的应用，例如在量子力学、热力学等领域 中，实变函数论可以用来描述一些物理现象。
工程学：实变函数论在工程学中也有着广泛的应用，例如在电气工程、机械工程等领 域中，实变函数论可以用来解决一些实际问题。
经济学：实变函数论在经济学中也有着重要的应用，例如在金融工程、计量经济 学等领域中，实变函数论可以用来描述一些经济现象和解决一些实际问题。
投资组合优化：实变函数论可以用于优化投资组合，提高投资收益并降低风险。
信用评级：实变函数论可以用于评估借款人的信用等级，帮助金融机构做出更明智的贷款 决策。
金融衍生品定价：实变函数论可以用于定价金融衍生品，如期权、期货等，为金融机构提 供更准确的定价模型。
在其他领域的应用
数学分析：实变函数论是数学分析的重要分支，在数学分析中有着广泛的应用。
实变函数在复分析中的应用
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实变函数在概率论中的应用
添加标题
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实变函数在微分方程中的应用
在工程中的应用
实变函数在工程力学中的应用
实变函数在流体力学中的应用
实变函数在电气工程中的应用
实变函数在计算机科学中的应 用
在金融中的应用
风险度量和管理：实变函数论提供了一种量化风险的方法，帮助金融机构更好地管理风险。
实变函数论
实变函数论引言实变函数论是数学中一个重要的分支，研究的是定义在实数集上的函数的性质和性质之间的联系。
通过对实变函数的研究，我们可以深入了解函数的连续性、可导性和积分性质等。
本文将介绍实变函数论的基本概念和一些重要的定理。
实变函数的定义实变函数是指定义在实数集上的函数。
具体来说，给定实数集$\\mathbb{R}$，一个函数$f: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R}$就是一个实变函数。
实变函数可以用解析式、图表或者其他形式来表示。
例如，f(f)=f2就是一个实变函数。
实变函数的连续性实变函数的连续性是实变函数论中的一个重要概念。
一个函数在定义域上连续，意味着函数在该区间内没有跳跃、断裂或者间断的现象。
如果一个函数在任何一点的邻域内都连续，那么我们称该函数在整个定义域上连续。
连续函数有一些重要的性质，包括介值定理、魏尔斯特拉斯逼近定理等。
介值定理指出，如果一个函数在一个闭区间上连续，并且取到了区间的两个端点值，那么在该区间内，函数还会取到介于这两个值之间的任意值。
魏尔斯特拉斯逼近定理则说明，连续函数可以被多项式逼近，也就是说在一个闭区间上，我们可以找到多项式函数，它与给定的连续函数的差足够小。
实变函数的可导性可导性是实变函数的另一个重要概念。
一个函数在某个点可导，意味着该点处函数的变化率有一个确定的极限。
如果一个函数在定义域的每个点都可导，那么我们称该函数在整个定义域上可导。
可导函数有一些重要的性质，如导函数的连续性、链式法则和拉格朗日中值定理等。
导函数的连续性指出，如果一个函数在某一点可导，那么它在该点的导函数也连续。
链式法则则描述了复合函数求导的规律。
拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它说明在一个闭区间上，一个可导函数在区间内的某个点处一定存在与两个端点的切线斜率相等的点。
实变函数的积分性质实变函数的积分性质是实变函数论中的又一个重要内容。
积分是对函数的一种求和操作，可以用来计算图形下方的面积或者弧长等。
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实变函数论主要知识点
第一章集合
1、 集合的并、交、差运算；余集和 De Morgan公式；上极限和下极限；
练习：①证明 A B C A BUC ；
1
②证明 E[f a] U E[f a -]；
n 1
n
2、 对等与基数的定义及性质；
练习：①证明（0,1） : ?；
②证明（0,1） : [0,1]；
3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集
合的基数；
练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；
② 证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；
③ Q ______ ；
④ [0,1]中有理数集E的相关结论；
4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；
练习：①丽 ______________ ；
② P _________ （ P 为 Cantor 集）
；
占
八、、
1、度量空间，n
维欧氏空间中有关概念
度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的 距离是可
定义的。
n
维欧氏空间
：
设v是实数域R上的线性空间(或称为向量空间)，若v上定义着 正定对称双线
性型 g( g称为内积)，则v称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有 时仅当v是有限维时，才称
为欧几里德空间) 。具体来说，g是v上的二元实值函数，满足
如下关系：
(1) g(x,y)=g(y,x)；
(2) g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
(3) g(kx,y)=kg(x,y)；
(4) g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定(求法) ；开核，导集，闭包的概念、性质及判
定(求法)；
聚点:有点集E，若在复平面上的一点 z的任意邻域都有 E的无穷多个点，贝U 称z为E的 聚点。
内点:如果存在点P的某个邻域U(P) € E，则称P为E的内点。
3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造;
4、 Cantor集的构造和性质；
o _
5、 练习：① P ________ , P _________ , P _________
1 1
② 1,-, L ,—丄= ；
2 n
第三章测度论
- 外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性） ；
2、 可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算
封闭）；可数可加性（注意条件）；
3、 零测度集的例子和性质；
4、 可测集的例子和性质；
练习： ①mQ _________ ， mP _____ ；
② 零测度集的任何子集仍为零测度集；
③ 有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；
④ ［0,1］中有理数集E的相关结论；
5、 存在不可测集合；
第四章可测函数
1、 可测函数的定义，不可测函数的例子；
练习：①第四章习题3 ；
2、 可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理） ；
3、 叶果洛夫定理及其逆定理；
练习：①第四章习题7 ；
4、 依测度收敛的定义、简单的证明；
5、 具体函数列依测度收敛的验证；
6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子;
第五章积分论
1非负简单函数L积分的定义；
练习： ①Direchlet函数在? 1上的L积分
2、 可测函数L积分的定义(积分确定；可积)；基本性质(§ 5.4定理1和定理2诸条)；
3、 Lebesgue控制收敛定理的内容和简单应用；
4、 L积分的绝对连续性和可数可加性(了解) ；
5、 Riemann可积的充要条件；
练习： ①［0,1］上的Direchlet函数不是R-可积的；
6、 Lebesgue可积的充要条件：若f是可测集合E上的有界函数，则f在E上L-可积
在E上可测；
练习： ①［0,1］上的Direchlet函数是L-可积的；
- x3,x
为无理数
②设f(x) 亠 ，则f(x)在0,1上是否R 可积，是否L 可积,
10,x
为有理数
若可积，求出积分值。
例1、求由曲线
2sin ,
解：两曲线的交点 上
2
-
2 ,6 ,
1 — 2
S 2 06 2 sin d
0
2
0
6
(1 cos2 )d
1 .
sin
2
2
cos2
1
cos2
2
所围图形公共部分的面积
cos2
1
si n2
2
例2.边长为a和b(a>b)的矩形薄片斜置欲液体中，薄片长边a与液面平行位于深为 h处，而
薄片与液面成 角，已知液体的密度为 ，求薄片所受的压力
解：取x为积分变量，变化区间为［h,h+bsin ］从中取［x,x+dx］知道面积元素
dS
压力兀素
dP xa
h b sin
dx
P xa
h
sin
dx
-,
则
sin
1
h bsin
a - - xdx
sin
h
ab (h bsin )
2
dx
a
sin