实变函数论主要知识点

实变函数论主要知识点

第一章集合

1、集合的并、交、差运算；余集和 De Morgan公式；上极限和下极限；

练习：①证明A B C A BUC ；

1

②证明E[f a] U E[f a -]；

n 1n

2、对等与基数的定义及性质；

练习：①证明（0,1） : ?；

②证明（0,1） : [0,1]；

3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集

合的基数；

练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；

②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；

③Q ______ ；

④[0,1]中有理数集E的相关结论；

4、不可数集合、连续基数的定义及性质；

练习：①丽______________ ；

② P _________ （ P 为 Cantor 集）；

占

八、、

1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念

度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

n维欧氏空间：设v是实数域R上的线性空间(或称为向量空间)，若v上定义着正定对称双线性型 g( g称为内积)，则v称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当v是有限维时，才称为欧几里德空间) 。具体来说，g是v上的二元实值函数，满足

如下关系：

(1)g(x,y)=g(y,x)；

(2)g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；

(3)g(kx,y)=kg(x,y)；

(4)g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。

2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定(求法) ；开核，导集，闭包的概念、性质及判

定(求法)；

聚点:有点集E，若在复平面上的一点 z的任意邻域都有 E的无穷多个点，贝U 称z为E的聚点。

内点:如果存在点P的某个邻域U(P) € E，则称P为E的内点。

3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造;

4、Cantor集的构造和性质；

o _

5、练习：① P ________ , P _________ , P _________

1 1

② 1,-, L ,—丄= ；

2 n

第三章测度论

- 外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；

2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算

封闭）；可数可加性（注意条件）；

3、零测度集的例子和性质；

4、可测集的例子和性质；

练习：①mQ _________ ，mP _____ ；

②零测度集的任何子集仍为零测度集；

③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；

④［0,1］中有理数集E的相关结论；

5、存在不可测集合；

第四章可测函数

1、可测函数的定义，不可测函数的例子；

练习：①第四章习题3 ；

2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；

3、叶果洛夫定理及其逆定理；

练习：①第四章习题7 ；

4、依测度收敛的定义、简单的证明；

5、具体函数列依测度收敛的验证；

6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子;

第五章积分论

1非负简单函数L积分的定义；

练习：①Direchlet函数在? 1上的L积分

2、可测函数L积分的定义(积分确定；可积)；基本性质(§ 5.4定理1和定理2诸条)；

3、Lebesgue控制收敛定理的内容和简单应用；

4、 L积分的绝对连续性和可数可加性(了解) ；

5、Riemann可积的充要条件；

练习：①［0,1］上的Direchlet函数不是R-可积的；

6、 Lebesgue可积的充要条件：若f是可测集合E上的有界函数，则f在E上L-可积

在E上可测；

练习：①［0,1］上的Direchlet函数是L-可积的；

- x3,x为无理数

②设f(x) 亠，则f(x)在0,1上是否R 可积，是否L 可积,

10,x为有理数

若可积，求出积分值。

例1、求由曲线2sin ,

解：两曲线的交点上2 -

2 ,6 ,

1 —2

S 2 06 2 sin d

02

6(1 cos2 )d

1 .

sin

2 2 cos2

1cos2

2

所围图形公共部分的面积

cos2

1si n2

2

例2.边长为a和b(a>b)的矩形薄片斜置欲液体中，薄片长边a与液面平行位于深为h处，而

薄片与液面成角，已知液体的密度为，求薄片所受的压力

解：取x为积分变量，变化区间为［h,h+bsin ］从中取［x,x+dx］知道面积元素dS

压力兀素dP xa

h b sin

dx

P xa

h sin

dx

-,则

sin

1 h bsin

a - - xdx

sin h

ab (h bsin )

2

dx

a

sin