实变函数论主要知识点

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实变函数复习要点

* n1 n 1
2. 可测集（1）了解：可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）；（2）分析：可测集的性质．可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭． 3. 可测集类（1）简单应用：零测度集以及区间、开集和闭集的可测性； Borel 集及其可测性； G 型集、 F 型集．零集、区间、开集、闭集、G 型集（可数个开集的交）、
第 8 页共 12 页山东农业大学数学系于瑞林
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《实变函数论》总复习
即：设 f(x)=g(x) a.e.于 E， f(x)在 E 上可测，则 g(x)在 E 上也可测；可测函数关于子集、并集的性质；可测函数类关于四则运算封闭；可测函数类关于确界运算和极限运算封闭． 2. 叶果洛夫定理了解：叶果洛夫定理．测度有限的集合上的可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛． 3. 依测度收敛（1）了解：依测度收敛的定义、性质．（2）综合应用：Riesz 定理、勒贝格定理．处处收敛和依测度收敛的关系；一致收敛和依测度收敛的关系．
f n f a.e.于 E
子列 Riesz定理
f n f于 E

实变函数论主要知识点.docx

实变函数论主要知识点

第一章集合

1、集合的并、交、差运算；余集和De Morgan公式；上极限和下极限；

练习：①证明（A-B）-C = A-（BUC）；

②证明E[f>a]=QE[f>a + -]；

«=i n

2、对等与基数的定义及性质；

练习：①证明（0,1）□口；

②证明（0,1）0 [0,1]；

3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合

的基数；

练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；

②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；

®Q =________ ；

④[0,1 ]中有理数集E的相关结论；

4、不可数集合、连续基数的定义及性质；

练习：®（0J）= _______ ；

②卩= ________ （P为Cantor集）；

第二章点集

1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念

度量空间(Metric Space),在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

n维欧氏空间：设V是实数域R上的线性空间(或称为向量空间)，若V上定义着正定对称双线性型g (g称为内积)，则V称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间)。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：

⑴ g(x,y)=g(y,x)；

(2) g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；

(3) g(kx,y)=kg(x,y)；

(4) g(x,x)>=0,而且g(x,x)=O当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。

实变函数论华章

实变函数论是数学分析的一个分支，研究实数域上的实变函数。实变函数论是数学分析中的重要内容之一，也是微积分和函数论的基础。本文将介绍实变函数论的基本概念和性质，以及一些常见的实变函数的特点。

一、实变函数的基本概念

实变函数是自变量和因变量都是实数的函数。在实变函数论中，我们主要研究函数的定义域、值域、连续性、可导性等性质。

定义域是指函数自变量的取值范围，也就是函数所能接受的实数集合。对于实变函数而言，定义域通常是实数集合的一个子集。

值域是函数所有可能取到的值的集合。对于实变函数而言，值域是实数集合的一个子集。

连续性是指函数在定义域内的任意一点都存在极限，并且函数的极限等于函数在该点的函数值。连续性是实变函数的重要性质之一，它决定了函数的很多性质。

可导性是指函数在某一点处存在切线的斜率，也就是导数。可导性是实变函数的另一个重要性质，它决定了函数的变化率和极值点的存在性。

二、实变函数的特点

在实变函数论中，有一些常见的实变函数具有特殊的性质。

1. 多项式函数：多项式函数是实变函数中最简单的一类函数。它们具有良好的代数性质，可导性和连续性都成立。

2. 幂函数：幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a是任意实数。幂函数的性质与指数的性质密切相关，可导性和连续性也与指数的奇偶性有关。

3. 指数函数：指数函数是指形如y=a^x的函数，其中a是任意正实数且不等于1。指数函数的定义域是整个实数集，它具有良好的连续性和可导性。

4. 对数函数：对数函数是指形如y=loga(x)的函数，其中a是任意正实数且不等于1。对数函数的定义域是正实数集，它具有良好的连续性和可导性。

实变函数PPT

D x, y y1 x y y2 x,a x b连续，且 y1 x ，y2 x 在a,b 连续，
则
D
f x, ydxdy
b a
y2x f
y1 x
x, y dx
问题 2 怎样推广积分的定义使其类似于上述的定理在条
件更弱的情况下有同样的结论？
本课程将通过引入 Lebesuge 积分来解决上述各问题。
收敛于函数 f x ，则 f x 在a,b 可积，并且
第一讲
b a
f xdx lim n
b a
fn xdx
即 b a
lnim
fn
xdx
lim
n
b a
fn
xdx
（1）在《微积分》和《数学分析》中，化重积分为
累次积分的条件也很强：
化．重．积．分．为．累．次．积．分．定．理．若 f x, y 在
n1
Leabharlann Baidu
An
n 1
第一讲
例 3(p.6)
设 An
x
1 n
x
1 n
，
n
1,
2,
,
求
lim
n
An
。
解：， An An1
lim
n
An
An 0
n1
例 4(p.6)
设

《实变函数论》

实变函数论是数学的一个重要分支，可以用来分析数学中各种基本实变函数的性质。它主要是研究如何利用导数、积分、最值和定积分来研究实变函数的性质。它是求解不可逆微分方程的基础。它也是研究复变函数性质的基础，把复变函数看作一种特殊的实变函数。

实变函数论包括实值变量函数的微分、积分、最值等，还包括复变量函数的性质。它是数学分析中的重要分支，与特殊函数论、复变函数论有着密切的关系。

实变函数论中最基础的概念是数量级和极限。数量级指的是极限的概念，表示随着实变量的变化，函数值的变化程度。极限是指当实变量接近某个数值时，函数值在某一点处的极限值。而对极限的深入研究，就是实变函数论的重要内容。

实变函数论几乎可以关注任何一个实变函数的性质，从最基础的极限研究，到有关积分的性质，以及利用实变函数来求解某个特殊的微分方程。因此，实变函数论的研究对解决各种数学问题都有重要的意义。

实变函数论的重要技术有微分、积分、微分不变性、莱布尼茨定理等等。它们在极限和积分研究中发挥着重要作用，也是研究复变函数性质的基础。

实变函数论的重要应用在于各种不可逆微分方程的求解。它可以通过求解它们的极限和积分来解决。比如，必经微分方程，可以用它的极限和积分来解决；简单自变量微分方程，也可以用它的导数来解

决。由于实变函数论的应用十分广泛，它也与其他学科有着良好的交流和联系。

总之，实变函数论是数学分析中的重要分支，有着重要的研究和实际应用价值，其中涉及到复变函数、微分、积分、最值、极限和定积分等数学基础概念，也与其他学科有着密切的关系。学习实变函数论不仅有利于研究基础数学，而且可以运用到工程学和其他许多科学中。

《实变函数论》范文

《实变函数论》是数学分析的重要领域之一，主要研究实变函数的性

质和性质之间的相互关系。实变函数是自变量和函数值都是实数的函数，

是数学中的基础概念之一、实变函数论的研究对象包括实变函数的连续性、可导性、积分性质、收敛性以及函数的极限等方面。通过对实变函数的系

统研究，可以深入理解数学分析的基本概念，为后续研究提供重要的基础。

实变函数的基本性质是连续性。连续性是指函数在其中一点处的函数

值和该点的邻域中的函数值之间的关系。实变函数的连续性可分为点连续

和区间连续两种情况。点连续是指函数在其中一点处连续，而区间连续是

指函数在其中一区间上连续。连续函数有许多重要性质，如介值定理、零

点定理等。

实变函数的另一个重要性质是可导性。可导性是指函数在其中一点处

存在导数。导数是函数在其中一点处的变化率，可以理解为函数在该点处

的斜率。可导函数具有许多重要的性质，如极值点的判定、求函数的最大

值和最小值等。

实变函数的积分性质也是实变函数论的重要内容。积分是求函数在其

中一区间上的面积，是函数与坐标轴之间的关系。实变函数的积分分为不

定积分和定积分两种情况。不定积分是求函数的原函数，而定积分是求函

数在其中一区间上的面积。积分也具有许多重要的性质，如积分中值定理、换元积分法等。

实变函数的极限是实变函数论的核心概念之一、极限是指函数在其中

一点无限接近一些数的趋势。实变函数的极限有两个方向，即正向极限和

负向极限。极限具有包含关系，即正向极限等于负向极限等于极限的值。

实变函数的收敛性是指函数序列或函数列在其中一点趋于一些数的性质。实变函数的收敛性有点收敛和一致收敛两种情况。点收敛是指函数在

实变函数课程基本信息

实变函数课程基本信息
目录
• 课程简介 • 实变函数的定义与性质 • 实变函数的积分与微分 • 实变函数的极限与连续性 • 实变函数的学习方法与建议
01
课程简介
课程背景
01
实变函数是数学专业的一门重要课程，是进一步学习泛函分析、概率论等课程的基础。
02
该课程主要介绍实变函数的定义、性质、积分、微分等基本概念和定理，以及其在数学分析中的应用。
连续的性质
连续函数具有局部有界性、局部保序性、介值定理和零点定理等性质。
实变函数极限与连续性的关系
1
极限与连续的关联
实变函数的极限和连续性是密切相关的概念。函数的连续性可以由其极限性质推导出来，而函数的极限性质也可以通过连续性来研究。
2
连续不一定有极限
虽然连续函数在其定义域内每一点都存在极限，但并不是所有函数都满足这一性质。例如，狄利克雷函数在某些点处不具有极限。
学习资源
教材
经典的实变函数教材如《实变函数论》（周民强）、《实变函数》（陈纪修）等都是很好的学习资源。
在线课程
各大在线教育平台如网易云课堂、中国大学MOOC等都提供了实变函数的在线课程，可以作为学习的辅助。
学术论文和期刊
对于想要更深入了解实变函数应用和最新研究进展的同学，可以阅读相关的学术论文和期刊。

实变函数论讲义

第1章集合与点集

实变函数论作为现代分析数学的基础,其知识结构是建立在集合论之上的.集合论产

生于19世纪70年代,由德国数学家康托尔（Cantor）创立,它是整个现代数学的开端及

逻辑基础.作为本科教材,本章只介绍必需的集合论知识,而不涉及有关集合论公理的

讨论.

1.1 集合及相关概念

大家在中学就认识了集合这个概念.所谓集合,是指具有某种特定性质的对象的全体.

集合中的对象称为该集合的元素.集合通常用大写英文字母A,B,C,…表示；元素通常

用小写英文字母a,b,c,…表示.今后用一些特殊的记号表示特殊的集合：

R表示全体实数形成的集合；C表示全体复数形成的集合；N,Z,Q分别表示自然数集、整数集和有理数集.另外,不含任何元素的集合称为空集,用记号

表示.

集合的具体表示方法一般有两种：一种是枚举法,如集合{1,2,3,4,5};

一种是描述法,例如,大于20的自然数组成的集合,可写为{x|x>20,且x为自然数}.一般

地,若A是具有某种性质P的元素组成的集合,通常记为A={x|x具有性质P}.对于给定

的某集合A及某对象a,若a是A中的元素,就说a属于集合A,记为a∈A;否则,就说a不属

于集合A,记为给定两个集合A和B,若A中的元素都属于B,则称A是B的子集,记

为

或进而,若同时有和，则A=B.对于任意的非空集合A,空集和A当然

是A的子集,这两个子集称为平凡子集.除此之外的子集称为真子集.

例1.1.1 写出{1,2,3}的所有子集,由此计算{1,2,…,n}的子集的个数,其中n∈N.

{1,2,3}的所有子集是：,{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},第1章集合与点集1.1

实变函数与泛函分析要点

实变函数与泛函分析概要之蔡仲巾千创作

第一章集合基本要求：

1、理解集合的包括、子集、相等的概念和包括的性质.

2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质.

3、会求已知集合的并、交、差、余集.

4、了解对等的概念及性质.

5、掌握可数集合的概念和性质.

6、会判断己知集合是否是可数集.

7、理解基数、不成数集合、连续基数的概念.

8、了解半序集和Zorn引理.

第二章点集基本要求：

1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积

的概念.

2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念.掌

握聚点的性质.

3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质.

4、会求己知集合的开集和导集.

5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质, 掌握一批例子.

6、会判断一个集合是非是开（闭）集, 完备集.

7、了解Peano曲线概念.

主要知识点：一、基本结论：

1、聚点性质§2 中T1聚点原则：

P0是E的聚点⇔ P0的任一邻域内, 至少含有一个属于E而异于P0的点⇔存在E中互异的点列{Pn}, 使P n→P0 （n→∞）

2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3

T2：设A⊂B, 则A་⊂B་, ·

Ａ⊂·

Ｂ,

－

Ａ⊂

－

Ｂ.

T3：（A∪B）′=A′∪B′.

3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、

4、5）

T1：对任何E⊂Rⁿ, Ė是开集, E´和―Ｅ都是闭集.（Ė称为开核, ―Ｅ称为闭包的理由也在于此）

T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集, 则CE是闭集；设E是闭集, 则CE是开集.

T3：任意多个开集之和仍是开集, 有限多个开集之交仍是开集. T4：任意多个闭集之交仍是闭集, 有限个闭集之和仍是闭集.

实变函数论第四章可测函数

1．证明：上的两个简单函数的和与乘积都还是上的简单函数

证明：设，，这里互不相交，互不相交

令，

，

则易知

先注意：若，互不相交，则（可为无穷大）

（，使，，

，且，则）

且

同理：

这显然还是一个简单函数，因为

若，则，

（），（）

E E 1

()i n i E i f c x χ==

∑1

()i m

i F i g d x χ==∑{}1n i i E ={}1m

i i F =ij i j K E F =⋂1,1i n j m ≤≤≤≤ij i j a c d =+1,1i n j m ≤≤≤≤1

()()()()i

j i j n

m n m

i E j F i j E F i j i j f g c x d x c d x χ

χχ⋂====+=

+=+∑∑∑∑1

i K K

i K 1

()()i

K K i x x χχ

∑m x K ∀∈i ∃i x K ∈()1()i K K x x χχ==,()0K x K x χ∀∉=i ∀i x K ∉()0i K x χ=1

((

))(())()(())m m m m

i i j

j j j j E E F E F E F E F =====⋂⋃⋂=⋂⋃⋂ 1

()

((

))

((

))

()()()()()m

i c c i j i j i j j j j m

E E

F E F E F E F j x x x x x χχ

χχ

===⋂⋂⋂⋂==+=+∑

(

)

()()()m

j i j

j i i n

F E F F E i x x x χχ

(完整版)实变函数论主要知识点

实变函数论主要知识点

第一章集合

1、集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；

练习： ①证明()()A B C A B

C --=-； ②证明11[][]n E f a E f a n

∞=>=≥+；

2、对等与基数的定义及性质；

练习： ①证明(0,1)

； ②证明(0,1)[0,1]；

3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；

练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；

②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；

④[0,1]中有理数集E 的相关结论；

4、不可数集合、连续基数的定义及性质；

练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；

第二章点集

1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念

度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：

（1）g(x,y)=g(y,x)；

（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；

（3）g(kx,y)=kg(x,y)；

（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。

1实变函数论的内容

绪论 1.实变函数论的内容顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函只做一件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。何以说明现有的积分范围小了呢？因为

D(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧为有理数时为无理数时x x 1 0

这样形式极为简单的函数都不可积，所以我们认为积分范围狭窄。

如何改造积分定义来达到拓广积分范围的目的呢？让我们先剖析一下造成这一缺陷的根本原因在何处，只有先找准病根，然后才能对症下药。由数学分析知：对任意分划T ：a ＝x 0＜x 1＜x 2＜......＜x n =b ，由于任意一个正长度区间内既有有理数又有无理数，所以恒有：

S(T,D)－s(T,D)≡1－0=1

如果分划不是这样呆板，这样苛刻地要求一定要分成区间的话，还是有可能满足大小和之差任意小的。比如，只要允许将有理数分在一起，将无理数分在一起，那么大小和之差就等于零了。这就是问题的着眼点，首先让分化概念更加广泛，更加灵活，从而可将函数值接近的分在一起以保证大小和之差任意小。即 D:E ＝ n

i 1=E[y 1-i ≤f<y i ]，其中m ≤f<M ，m ＝y 0<y 1<...<y n =M 时，要

Ｓ(D,f)-s(D,f)=∑=n i 1[y i -y 1-i ]mE[y 1-i ≤f<y i ]≤n i ≤≤1max [y i -y 1-i ]mE ＜ε，只须n i ≤≤1max [y i -y 1-i ]＜ε，这里mE[y 1-i ≤f<y i ]相当于集合E[y 1-i ≤f<y i ]的长度。

实变函数

南京理工大学

实变函数（报告）

前言

如今，实变函数论已成为现代分析不可缺少的理论基础泛函分析的诞生，在一定程度上正是受到了实变函数的推动。实变函数论的概念、结论与方法，已广泛应用于微分方程与积分方程理论、fourier 分析、逼近论等学科。现代概率论已经完全建立在测度论与Lebesgue 积分论的基础上。在这个意义上甚至可以说，概率论是“概率测度空间中的实函数论”。实变函数论对于现代数学的重要性，于此可见一斑。所有数学类专业及某些理工科专业将“实变函数”作为一门重要基础课，是理所当然的。

然而不幸的是，这门课程的名声欠佳。尽管它为分析数学带来如此巨大的简化的理论，但是不少学过实变函数的学生包括我在内除了留下“抽象、晦涩”的印象之外，收获不多。下面主要对Lebesgue 测度与积分作个人短浅的叙述。第一部分测度与可测函数

本部分包含两项相关的内容：测度与可测函数，二者构成本书核心内容“积分论”的基础。引进测度有两个基本目的。其一是为定义积分做准备，这无疑是主要目的。正如对局域上的函数定义重积分需要区域的面积（或体积）概念一样，后者正是长度、面积与体积等几何度量概念的推广。其二是用来精确刻画函数的性质，例如，若A 是函数f 的不可微点之全体，则A 的测度定量地刻画了f 的可微性。测度论给函数的研究方法带来了革命性的变化，导致一系列深刻的结果。

1.1测度与可测集

定义1.1.1

设n R E ⊂.若{}k I 是n R 中的可数个开矩体，且有k I 1

k E ≥⊂Y ，则称{}k I 为E 的一个L 覆盖.我们称

实变函数与泛函分析的基本概念与定理

实变函数和泛函分析是数学中重要的分支，它们研究的是函数和函

数集合的性质与行为。本文将介绍实变函数和泛函分析的基本概念以

及相关的定理，帮助读者更好地理解这两个领域。

1. 实变函数的基本概念

实变函数是最基本的函数类型，也是我们平时学习和应用最为广泛

的函数。实变函数的定义域和值域都是实数集合，它们之间的关系由

一个映射关系决定。

实变函数的性质与行为可以通过各种数学工具和方法进行研究。常

用的实变函数包括多项式函数、指数函数、对数函数等。实变函数的

性质可以用极限、连续性、可导性等概念来描述和刻画。

2. 泛函分析的基本概念

泛函分析是研究函数集合的性质和行为的数学学科。在泛函分析中，函数不再是离散的对象，而是连续、光滑的对象。泛函分析可以看作

是实变函数理论的推广和拓展。

泛函是一种将函数映射到实数的数学工具。泛函分析的基本对象是

线性空间和线性算子，通过引入拓扑结构和度量空间的概念，可以更

深入地研究函数集合的性质和行为。

3. 实变函数与泛函分析的基本定理

在实变函数和泛函分析中，有一些基本的定理被广泛应用于理论和实践中。下面将介绍几个重要的定理：

3.1 极值定理

极值定理是实变函数中的一个重要定理，它表明在一定条件下，连续函数在闭区间上一定取得最大值和最小值。这个定理在实际问题中具有广泛的应用，可以帮助我们确定函数的最优解。

3.2 贝尔纲定理

贝尔纲定理是泛函分析中的一个重要定理，它给出了泛函的存在性和唯一性。贝尔纲定理的证明基于反证法和逼近法，通过构造逼近序列来证明泛函的极限存在。贝尔纲定理在泛函分析的研究中有着重要的地位。

实变函数课程教学大纲

《实变函数》课程教学大纲一、课程基本信息

二、课程目标及对毕业要求指标点的支撑

三、教学内容及进度安排

四、课程考核

注：各类考核评价的具体评分标准见《附录：各类考核评分标准表》

五、教材及参考资料

[1]程其襄, 张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础（第四版）[M]. 北京: 高等教育出版社,

2019, ISBN: 9787040508109

[2]夏道行等. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2010, ISBN:

9787040274318

[3]江泽坚,吴智泉，纪友清.实变函数论(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2007, ISBN:

9787040226430

[4]曹广福. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社, 2011, ISBN:

9787040316742

六、教学条件

需要多媒体教室，电脑要安装好Windows 7、Office 2010、MathType 6.9、Mathematica l1以上版本的正版软件。

附录：各类考核评分标准表

实变函数平时作业评分标准

实变函数设计评分标准

注：评分标准的分数段划分可以根据课程需要自行设计。

实变函数讲义(中文版)

n 2 n +1 k =1 n → +∞ → n 处处
UE
k
下的小
和 s(f, Tn )，即 ∫ fdx = lim mG (Φ n , E ) = lim s( f , Tn ) 。这与定义(R)积分的分割、求和、
E n→∞ n→∞
取极限三大步骤基本相似；区别仅在于(R)积分直接将定义域分成区间，(L)积分可能是通过将值域分成区间后反过来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。”不仅是达前后呼应的目的，更重要的是展示了数学新体系形成过程中的“提出问题、分析问题、克服障碍解决问题、最后完善方法、简化思路”数学创新过程。
有理数相对无理数而言是那样的微不足道，有他不多，无他不少。即无理数居然与实数一样多。二是“似非而是” 例２：有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，如果以前有人说自然数与有理数一样多的话，没人敢承认，而《实变函数论》通过严密论证该结论无可非议。理论性强是由于实变函数论的内容结构所决定的，因它只做一件事：恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。这就使得实变函数论的绝大部分篇幅都是在作理论上的准备，很少有应用、例题的原因。
D D i =1 n
n
(
i =1
))为积分值，定义并讨论新积分的性质(即第
五章内容)。以上所述，既是 Lebesgue 创立新积分的原始思路，也是传统教材介绍 Lebesgue 积分定义的普遍方法。鉴于人们在研究可测函数时发现：可测函数的本质特征是正、负部函数的下方图形均为可测集。结合 Riemann 积分的几何意义，使我们自然想到：与其说测度推广了定义域的长度（面积、体积）概念后使得我门作大、小和更加灵活多样，以达推广积分的目的，不如说由于定义域与实数域的乘积空间的面积（体积）概念的推广,使得大量的象 Dinichni 函数那样图形极其不规则的下方图形可以求面积（体积）了，从而拓宽了可积范围。于是我们在本教材中采取直接规定其测度之差为积分值（如果差存在的话）的办法，该定义简单、明了、直观。既有效地避免了分划、大（小）和、确界概念的繁琐，又成功地回避了先在测度有限，函数有界条件下讨论积分性质，然后推广到测度无限，函数无界的一般情形的重复、哆嗦。

实变函数论主要知识点

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