实变函数论课件5 开集、闭集、完备集

1 n
i 1
i
定义 3 设M 是度量空间X中一集合，是X中任一覆盖了M 则称M 为X中的紧集。
定义4 如果点集 E 的每个点都是它的聚点 ( E E ), 称 E 是自密的. i.e., 没有孤立点的集合就是自密集。
定义5 设 E 是 R N 中的点集, 若 E E , 就称 E 是完备集。
E
O( x ', ')
( E ' )' E '
命题 3 （ii）E 是闭Байду номын сангаас。
利用 ( E )' ( E E ' )' E ' ( E ' )' E ' E ' E ' E 可得 E为闭集
E
命题 3 （i）E 是闭集。（ ii）E 是闭集。
证明
（i）设 x0 ( E ), 则对 0, 点 x1 U ( x0 , ) s.t. x1 E . 由第一节命题 3 知, 0 , 使U ( x1, ) U ( x0, ). 又由 x1 E 知, U ( x1 , ) 中有无 限多个属于 E 的点, 从而 U ( x0 , ) 中存在异于 x0 而属于 E 的 点 . 因此, x0 是 E 的聚点, x0 E . 由 x0 是 ( E ) 中任 意的点知 ( E ) E , 所以 E 是闭集.
故 x 0 是G1 G 2 的内点, 所以 G1 G 2 是开集.
（iii）设 x0 G , 则存在 0 I 使 x0 G 0 .由 G 0 是
I
开集知存在 0 使 U ( x0 , ) G 0 , 从而 U ( x0 , )
I
G , 故 x0 是 G 的内点. 所以 G 是开集.
I I
注 无限多个开集的交集的 交可能不是开集 . 例如, 1 1 R 中 G n ( ,1 ) ( n 1,2, ) 是开集 , n n
1
但 G n [0,1] 不是开集 .
n 1

定理 4 （i）点集 R N 及 都是闭集. （ii）有限个闭集 Fi 的并 Fi 仍是闭集.
的开集，如果必可从中选出有限个开集仍然覆盖M，
因此,
完备集就是自密的闭集 (E E , E E ).
i.e., 没有孤立点的闭集就是完备集。
命题 3 （i）E 是闭集。
( E ' )' E '
O( x , ) O( x ', ')
x ( E ' )'
E
0 , 有 O ( x , ) ( E ' { x })
取x ' O( x , ) ( E ' {x})，由x ' E '
知 ' 0, 有O( x ', ') ( E {x '}) (当 ' min{ d ( x , x '), d ( x , x ')}时,有 x O( x ', ') O( x , )）
（ii）设 x0 ( E )。由命题 1 知 xn E s.t. xn x0 且 xn x0。 若 x1 , x2 , x3 中有无限多个项属于 E， 则由命题 1 知 x0 E 。 若 x1 , x2 , x3 中仅有有限多个项属于E , 则其余的无限多个项 属于 E ,由命题 1 知 x0 ( E )，从而由（i）知 x0 E . 无论何种情况均有 x0 E E E , 由 x0 是 ( E ) 中任意的点知 ( E ) E , 所以 E 是闭集。
O( x , )
知 ' 0, 有 O ( x ', ') ( E { x '}) (当 ' min{ d ( x , x '), d ( x , x ')}时,有 x O ( x ', ') O ( x , )）
O( x , ) ( E {x})
i 1 i 1
n
n
（ iii ） F ( F ) ( F ).由定理 1 及第
I I I
二节定理 1 知 F 是闭集 .
I
注 无限多个闭集的并可能 不是闭集 . 例如, R 1 中
1 1 Fn [ ,2 ] ( n 1,2, ) 是闭集. 但 Fn (0,2) n 1 n n 不是闭集 .
i 1 n
（iii）任意多个开集 G , I 的并 G 仍是开集.
I
证明 （i）由开集的定义立即得证.
（ii） 只须证两个开集 G1、G 2 的交 G1 G 2 是开集. 设x 0 G1 G 2 , 则 x 0 G1 且 x 0 G 2 , 从而存在正数 1、
三．Borel有限覆盖定理
问题4：回忆数学分析中的有限覆盖定理及 其证明，该证明对Rn中的有界闭集 是否也适用？
定理5（Borel有限覆盖定理）设F是有界闭 集，F {G | A}是一簇开集， G F，则 一定存在F中有限个开集 G , , G ，使得 n G F。
（ii）设 F 是闭集, 来证F 是开集： 设 x0 F , 则 x0 F . 由 F F 知 x0 F , x0 不是 F 的聚点, 根据聚点的定义（并注 意到 x0 不属于 F ）知 0 使 U ( x0 , ) 中没有 F 的点, 于是 U ( x0 , ) F , 从而x0 是F 的内点,F 的点都是 F 的内点, 故F 是开集.
E
O( x , )
定义2
2
若 E E ，则称 E 为闭集。
2 例 2 R 中点集 ( x1 , x 2 ) | x1 x 2 1 是闭集, 3

2
2 R 中的点集 ( x1 , x 2 , x3 ) | x1 x 2 1, x3 0


2

也是闭集. E 是 闭集 E E
二．开集与闭集 问题1：回忆直线上的开区间与闭区间，它们 有何异同？
定义1
若集合E的每一个点都它的内点，则 称 E 为开集。
例 1 R 2 中的点集 ( x1 , x 2 ) | x1 x 2 1 是开集 ,
2 2 ( x1 , x 2 , x 3 ) | x1 x 2 1, 3 但 R 中的点集 x3 0 不是开集 .
1 1 1 1 ( a , b ) [ a , b ], [ a , b ) ( a , b ) n n n n n 1 n 1
例：设F1，F2 是R1中两个互不相交的闭集. 则存在 R1中两个互不相交的开集G1，G2 ,使 G1 F1，G2 F2 .

2
2

E 是 开集 E E o , i.e., E E o
证明：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 U ( x , ) (a , b) 从而x是（a,b）的内点， 故(a,b)是开集。
a x b
,
说明：要证E是开集，只要证 E E (因为E E显然)
由定理 2 可知, 点集 E 为闭集 E 为开集. 因此, 当初如果定义“闭集即余集为开集的点集” 来开展闭集的讨论, 也未尝不可.
a. ( E ) c ( E c )
(E ) (E )
c
c
b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。
定理 3 （i）点集 R N 及 都是开集. （ii）有限个开集 Gi 的交 Gi 仍是开集.
命题 点集 E 的内部 E 是开集.

E (E )


xE

0, 使得O( x , ) E
' d ( x, y )
y O( x , )
则O( y , ') O( x , ) E
O( x , ) E x ( E ) 从而E ( E ) ，即E 为开集 O( y , ')
由命题 3 可知, 点集 E 是闭集 E E 。
若无特别说明 , 今后凡说点集 E 的余集 E 均指 R N \ E ,这里 R N 是 E 所在的空间。
定理 2 （i）开集的余集是闭集。 （ii）闭集的余集是开集。
证明
（ i ）设 G 是开集 , 来证 G 是闭集： 设 x 0 ( G ) , 则每个 U ( x 0 , ) 均含有 G 的点 , 即均含有不属于 G 的点 , 所以每个 U ( x 0 , ) 都 不包含于 G , 可见 x 0 不是 G 的内点 .由于开集 G 的点均为 G 的内点 , 故 x 0 G , 即 x 0 G . G 的聚点都属于 G , 故 G 是闭集。
i 1 n
（iii）任意多个闭集 F , I 的交 F 仍是闭集 .
I
证明 （ i）由闭集的定义立即得 证. （ ii） Fi ( Fi ) ( Fi ). Fi 是开集 ,由第
i 1 i 1 i 1 n n n
二节定理 1 知 Fi 是开集 , 故 Fi 是闭集 .
2 使 U ( x 0 , 1 ) G1、U ( x 0 , 2 ) G 2 . 由第一节命题 （ 3 iii） , 存在 0 使 U ( x 0 , ) U ( x 0 , i ) （i 1,2） , 从而U ( x 0 , ) G（ ） , U ( x 0 , ) G1 G 2 , i i 1, 2