实变函数论课件2 基数(势)的定义

g 由于 B A0, 11
结合（ 2 ）便知

f 故B f ( B ), f ( B ) C . 即 B 与 C 的一个子集
f ( B )对等 . 又 C B , C 当然与 B 的一个子集 C 对 等 . 由定理 1 便知 B ~ C . 从而 A ~ B ~ C . (3)
特征不同，但作为集合，它们含相同个数 的元素，十块砖头与九块砖头虽然有相同 的属性，但其元素个数不同，而是两个不 同的集合。由此可见，集合所含元素的个 数也是集合的一个重要的特征。
一．势的定义 问题1：回忆有限集是如何计数的？ 问题2：有限集的计数方法如何移植到无限 集情形？
设想有一堆石子，我们要知道它有多少个， 当我们拿起第一粒石子时， 心里默数着 1，拿起第二粒石子时，心里 默数着2，拿起最后一粒石子时，我们心 里默数的最后一个数字就是石子的个数。 在这个过程中，我们不知不觉间将每粒石 子都编了号，第一粒石子就是一号，不妨 记作 e ，第二粒石子就是二号，不妨记 1 作 e 2 ,... ，如果有n个石子，则最后一粒 石子就是第n号，记作 e ，于是这堆石子
f
A3 B3
g
而 A1 A \ A0 , 故 A1、 A2 无交. 从而 A1、 A2 在 f 下的象集 B1、 B2 无交 ,
B
B2
B0
从而 B1、 B2 在 f 下的象集 A2、 A3 无交 , 由 A2、 A3 均包含于 A0 知 A1 与 A2、 A3 均无交 , 故 A1、 A2、 A3 两两无交 , 从而 A1、 A2、 A3 在 f 下的象集 B1、 B2、 B3 两两无交 , 这样一直递推下去, 便知 A1、 A2、 A3， 两两无交 , 并且 B1、 B2、 B3， 也两两无交.


系1 若 A B C, A ~ C, 则 A ~ B ~ C.
证明 A ~ C ，故可找到
1 1 f f 使 A C . 而 B A, 1 1
g g 另一方面 Bn An1 (n 1, 2, ), 从而 Bn An . (2) 11 n 1 11 n2
A B，或说B的势
2)若A ~ B1 B, 则称 A B； 相当于：A到B有一个单射，也相当于B到A有一个满射
命题 A B A 与 B 的某个子集对等.
A B。
3)若 A B, 且 A B，则称 A B 注：不能用A与B的一个真子集对等描述
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从合理性方面讲，任何两个集合 A和B 的势都应该是可以比较大小的，即下面三种 情况必有且仅有一种情况出现： （i） A B （ii） A B （iii） A B ； ； 。


R1上至少有一个单位长度的区间不含
r1 ，
以 I 2 表示这个区间，将 I 2 三等分，其 左、右两个区间中至少有一个区间不 含 r3 ，记为 I 3 ，依此类推，可得一串 闭区间 I n ，满足：
I1 I 2 I 3 ，且 I n 的长度趋 （1） 于0
不妨设此间 I 1 [ 0 ,1 ], 将 [ 0 ,1 ] 分为三等 1 1 分，则 [ 0 , ], [ , 1 ] 中至少不含 r2 ，
g B \ Bn A 0 \ An A \ An n 1 11 n2 n 1 g A \ An B \ Bn. n 1 11 n 1
1
于是

Bernstein 定理及系 1 是证明集合对等的有力 工具 . 例如, 根据系 1, 可从例 3 立即推出例 4 所述的结论 .
记作 f ( E ).
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设 f 是 A 到 B 的一一映射, 则对每个 y B 有唯一 x A 使 f ( x) y, 定义 g ( y) x ( 当f ( x) y 时） , 则 g 是 B 到 A 的一一映射 , 我们称 g 是f 的逆映射 , 记作 f 1. A ~ B
2n n n 1,2, 作对应关系 : 2n 1 n n 0,1,2, 则 是 N 与 Z 之间的一一对应。
结论：N ~ N 奇数 ~ N 偶数 ~ Z
例 3 (0， 1) ~ [0， 1].
1 1 1 1 1 证明 设 A , 2 , 3 , 4 , n ,, 10 10 10 10 10 1 1 1 B 0,1, , 2 ,, n 2 ,. 作 A 到 B 的 10 10 10 1 1 映射 f , 使 f ( ) 0, f ( 2 ) 1, 10 10 1 1 f ( n ) n 2 , n 3,4,5,. 10 10
例2 设 N 1,2, , n, , Ne 2,4, ,2 n, , 则 N ~ Ne.
例1 N ~ Z
证明 定义 f ( n) 2n ( n N ), 显然 f 是 N 到 Ne 的一一映射 . 例 1、 2 揭示出了一个极其重要的事实，就是无限集是 有可能与它的真子集对等的，我们还将证 明任何一个无限集必然与它的一个真子集对等，这 对于有限集来说，显然是永远办不到的。
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映射
定义 1 设 A, B是两个集合， A 非空集. 若依照规则 f , 对于 A 中的每个元 x，在 B 中都有唯一确定的元 y 与之对应 , 就称 f 是 A 到 B 的映射 ,
f 记作 f : A B 或 A B,
而与 x 对应的元 y 称为 （在映射 x f 下）的象 , 记作 f ( x ). 集合 A 称为映射 f 的定义域 , 集合 f ( x ) | x A 称为映射 f 的值域. 集合
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目的：掌握势的定义，熟悉势的性质， 了解势的比较。 重点与难点：势的定义及比较。
现实生活中，当我们谈到一组对象时， 很自然的会涉及到这一组对象的个数。集 合论也是这样. 假如我们不考虑某个集合中元素的具 体特性时，该集合含多少个元素则是一个 最基本的概念，比如 10个人组成的集合与 十块砖头组成的集合，虽然
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个数，我们其实不必将这两堆石子的 个数 一一数出来，而只需每次各从两堆石子中 拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，则它 们的个数就是一样的，否则就不同。这说 明，我们想知道两个集合是否有相同数量 的元素，只需看能否在这两个集合之间建 立一种一一对应关系，只要能建立这种关 系，我们就有理由认为，它们有相同的数 量，这种方法对无穷集也适用。
3 3
（2） rn I n , n 1, 2 , 3 , 。
由闭区间套定理知 I n ，但对任意
m, rm I n ，换言之， I 不在R1中， n n 1
n 1

n 1


例4 说明，两个无限集的确可能有不 同的势，既然势可以不同，如何对其进行 比较呢？下面的定义给出了比较的方法。 2 势的比较
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由（）及（ 1 3）便知
A~ B
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定理
若 A B,
B C,
则 A C.
f 11
证明 A B 故存在 f 及 B0 使 A B0 B. B C , 故存在 g 及 C 0 使 B C 0 C , 从而 B0 g ( B0 ) C.
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令 A \ A0 A1 g( B1 ) A2 g( B2 ) A3
f ( A1 ) B1 , f ( A2 ) B2 , f ( A3 ) B3 ,
.
f f 显然 An Bn (n 1, 2, ), 从而 An Bn . (1) 11 n 1 11 n 1
结论： (0,1) ~ [0,1] ~ ( , ) ~ (a ,b ) ~ a ,b
[0,1] \ B. 由命题 2 便知 (0,1) ~ [0,1].
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例4 N与R1不对等，即 N R 1 。 若不然，存在 N与R1的一个一一对应 ， 将与N中n对应的元素 (n) 记为 r n ，则
A
遗憾的是，至今尚无法证明或否认这是 真的。Zermelo 给集合论加上了一条公理， 即Zermelo 选择公理，依据这条公理便可证 明（i）、（ii）、（iii）有且仅且一种情形发 生。
B0
B
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A0
f
由 g ( B ) A0 知 A2 g ( B1 ) A0 ,
A
源自文库
A1 B1
g
f g
A2
f 显然 A B. 又 (0,1) \ A [0,1] \ B, 故 (0， 1) \ A ~ 11
例 (0， 1) ~ (a，b ).
证明 定义 f ( x) a ( b a) x .
例 (0， 1) ~ R .
证明 定义 f ( x) tan( x ) . 2
定理 1 （Bernstein 定理）设 A 与 B 的子集 B0 对等, 且 B 与 A 的子集 A0 对等, 则 A 与 B 对等.
f 证明 由 A ~ B0 知可找到一个 f 使 A B0 . 11 g 由 B ~ A0 知可找到一个 g 使 B A0 . 11
A0
f g
n
可记作 {e1, e2...,en} 。这个过程实际上建立 了石子与自然数 1到n之间的一个一一对 应关系。如果我们想知道两堆石子是否有 相同个数，我们其实不必将这两堆石子的 个数一一数出来，而只需每次各从两堆石 子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子， 则它们的个数就是一样的，否则就不同。 这说明，我们想知道两个集合是否有相同
定义 2
若映射 f : A B 的值域 f ( A) 恰等于 B, 就说 f 是满射的. i.e.,y B, 存在x A, 使得f ( x ) y.
f 若映射 A B 使每个 y f ( A) 仅有唯一的 x A
f ( x ) | x E 称为 E
在映射 f 下）的象集 ,
满足 f ( x ) y , 就说 f 是单射的. i.e.,x, y A, 若f ( x ) f ( y ), 则x y. 若映射 f : A B 既是满射的又是单射的, 就称 f 是 A 到 B 的一一映射, “一一映射”有时还 ( 说成“一一对应” ),
f 记作 f : A B 或 A B. 11 11
~
注：称与 A对等的集合为与 A有相同的势（基数）， 记作
A
势是对有限集元素个数概念的推广 .
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命题 2 设 A1 , A2 , , An , 是两两无交的一列集 ,
命题 1 对等关系有如下性质： （i） A ~ A； （ii） 若 A ~ B , 则 B ~ A； （反身性） （对称性）
An ~ B n ( m 1, 2, ).;
n 1
n 1
证 明 An ~ B n , 故 存 在 一 一 映 射 f n : An B n . 作 映 射 f : 对 每 个 x An , 令 f ( x ) f n ( x ), n 1, 2, .
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B1 , B 2 , , B n , 是两两无交的一列集 . 若 An ~ B n ( n 1, 2, ), 则 A1 A2 B1 B 2 ; An ~ B n ,
n 1 n 1 m m
（iii）若 A ~ B , B ~ C , 则 A ~ C . （传递性）
这是不可能的。这一矛盾说明， N与R1 不可能对等。
定义3
假设A与B对等,则说A的势等于B的势， 记作 A B
1)若A ~ B, 则称 A B；
命题 A B A B .
定义4 假设A、B是两个集合，若 A与B 的某个真子集B*对等，但不与B对等，则说 A的势小于B的势，记作 大于A的势，记作