实变函数PPT

D x, y y1 x y y2 x,a x b连续，且 y1 x ，y2 x 在a,b 连续，
则
D
f x, ydxdy
b a
y2x f
y1 x
x, y dx
问题 2 怎样推广积分的定义使其类似于上述的定理在条
件更弱的情况下有同样的结论？
本课程将通过引入 Lebesuge 积分来解决上述各问题。
收敛于函数 f x ，则 f x 在a,b 可积，并且
第一讲
b a
f xdx lim n
b a
fn xdx
即 b a
lnim
fn
xdx
lim
n
b a
fn
xdx
（1） 在《微积分》和《数学分析》中，化重积分为
累次积分的条件也很强：
化．重．积．分．为．累．次．积．分．定．理． 若 f x, y 在
n1
Leabharlann Baidu
An
n 1
第一讲
例 3(p.6)
设 An
x
1 n
x
1 n
，
n
1,
2,
,
求
lim
n
An
。
解： ， An An1
lim
n
An
An 0
n1
例 4(p.6)
设
An
x
1
1 n
x
1
1 n
，
n
1.2
,
求
lim
n
An
。
解：
An An1
lim
n
An
An 1,1
n1
第一讲
1.2 数列的上、下极限。 定义1 实数 称为是数列an的上确界，如果下列两条 件被满足： (1) n , an ；
❖ 3.实变函数的特点与学习方法
❖ 1）实变函数论是数学本科各专业的重要专业基础课程。 ❖ 2）实变函数论是本科难度最高的数学课程。 ❖ 特点：高度抽象，逻辑严密。
❖ 学习方法：
❖ a.课前必须认真预习（怎样预习？）。 ❖ b.课后要抓紧时间做作业。 ❖ 教学方法：“画龙点睛”
❖ 4.本课程希望解决的一些问题
❖
（1）《微积分》或《数学分析》中讨论的函数都是比较好的函数，即
没有太多的间断点，基本上是连续函数，这些函数都有很好的可微性与可
积性，但在实际应用（理论与工程应用）中的函数一般都没有这样好的性
质。例如著名的Dirichlet函数。
D
x
1, 0,
x是0，1中的有理数 x是0，1中的无理数
在《数学分析》中，这个函数在0，1 的每一点不可微，在0，1
2.为什么要学习实变函数论 实变函数论是数学的一个重要分支。它在现代数学的许多分支有重 要应用，也在许多应用基础研究中有重要应用。数学与工程中的许多问 题需要《实变函数》。
第一讲
实变函数
非
稳
泛
程积
线
定
函
分
性
性
分
方
分
理
析
析
论
神经网络理论
生物工程
计算机工程
数 论遍 析小
理
历
波
方
性
分
程
理
论概 率
图像处理与图像传输
实变函数
第一讲
❖ 教学内容： ❖ （1）课程简介 ❖ （2）第1章 集合
第一讲
一、实变函数课程简介
1.什么是实变函数 定义：（1）实变函数：定义域为实数集合的函数。即，自变量为实 数变量的函数。 （2）实变函数论：研究实变函数的性质、特征的理论。即，关于实 变函数的一系列定义、命题及其逻辑框架结构。
第一讲
一． 言归正传
第1章 集合
§1.1 集合的运算
一． 集合的定义及其运算
1. 集合运算的定义
m
(1) 并： A B ， An ， An ， A
n 1
n 1
(2) 交： A B ， m ， An An ， A
n 1
n 1
(3) 差： A B
(4) 补：设 A S ，则 Cs A : S A
x
An
如果
lximAn
lim
n
An
，则称集合序列
An
有极限，或称集合序
列
An
收敛，并将
lim
n
An
称为
An
的极限，记为
lim
n
An
。
命题 1
(a1)
lim
n
An
x
x
属于无穷多个
An
(a2)
lim An
n
x n0
, n n0 x An
第一讲
问题 3，怎样的集合列一定存在极限？
定义 1’ (b1)集合序列An 称为是单调上升（单调递增）的， 如果 n ， An An1 .
(b2) 集合序列An 称为单调下降（单调递减）的，如果 n ，
. An An1
定理 2 (c1)若An 是单调上升的集列，则
中
lnimAn
n1 mn
Am
lim
n
An
An
n1
Am
m1
Am
mn
(c2) 若An 是单调下降的集列，则
lim An
Am
n
n1 mn
lim
n
An
An
(9’)
S
A
S A
(10’)
S
A
S A
第一讲
一． 集合序列的上、下限集
定义 1.
假设An 是一列集合，称集合
Am
为序列
An
的
n1 mn
上限集，记作
lim
x
An
或
lim
x
sup
An
；称集合
n 1
mn
Am
为
An
的下限集，记
作 或者 。 lim An n
lim inf
第一讲
1. 集合运算的基本性质 定理 1 (1) A A A , A A A (2) A A, A A, A A (3) A B B A, A B B A
(4) A B C A B C , A B C A B C
(5) A B C A B A C (6) A B C A C B C
(2) 0, n ,使得 a 。 an
这时，我们记 supan n
定义1 实数 称为是数列an的下确界，如果下列两条
件被满足：
(1) n ，n ； (2) 0, n ,使得 an 。
这时，我们记
inf
n
an
。
第一讲
定义 2
假设
an
是一个数列，我们称
inf
n
sup
mn
am
为数列
(7) C A B C AUB (8) A B A B A B ，其中 A B A B B A
第一讲
(9) AB C A B AC (10) AB C A B AC
(11) 若 B A S ，则 Cs A Cs B
(12) 若 B A ，则 B A B ， A B A De Morgan 定律 设 S 是一个集合，A 是一族集合， 则有
an
的上极限，记作
lim
x
an
不可积。
问题 1.怎样推广导数的概念和可积得概念，使诸如 Dirichlet 之类的函数具有相应的运算性质？
（2）在《微积分》或《数学分析》中，积分与极限交换顺序 定理条件很强。
积分与极限交换定理 若每个函数 fn xn 1,2,3, 在区间a,b 可积，
且函数列 fn x 在区间a,b 一直收敛于函数 f x ，则 f x 在a,b 一致