实变函数论课件基数势的定义

目的：掌握势的定义，熟悉势的性质， 了解势的比较。

重点与难点：势的定义及比较。

现实生活中，当我们谈到一组对象时，很自然的会涉及到这一组对象的个数。集合论也是这样.

假如我们不考虑某个集合中元素的具体特性时，该集合含多少个元素则是一个最基本的概念，比如10个人组成的集合与十块砖头组成的集合，虽然

特征不同，但作为集合，它们含相同个数的元素，十块砖头与九块砖头虽然有相同的属性，但其元素个数不同，而是两个不同的集合。由此可见，集合所含元素的个数也是集合的一个重要的特征。

一．势的定义

问题1：回忆有限集是如何计数的？问题2：有限集的计数方法如何移植到无限 集情形？

心里默数着1，拿起第二粒石子时，心里默数着2，拿起最后一粒石子时，我们心里默数的最后一个数字就是石子的个数。在这个过程中，我们不知不觉间将每粒石子都编了号，第一粒石子就是一号，不妨记作 ，第二粒石子就是二号，不妨记作 ，如果有n个石子，则最后一粒石子就是第n号，记作 ，于是这堆石子 ,...2e 1

e n

e

设想有一堆石子，我们要知道它有多少个，当我们拿起第一粒石子时，

可记作 。这个过程实际上建立

了石子与自然数1到n之间的一个一一对应关系。如果我们想知道两堆石子是否有相同个数，我们其实不必将这两堆石子的个数一一数出来，而只需每次各从两堆石子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，则它们的个数就是一样的，否则就不同。这说明，我们想知道两个集合是否有相同

}...,,{21n e e e

个数，我们其实不必将这两堆石子的个数一一数出来，而只需每次各从两堆石子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，则它们的个数就是一样的，否则就不同。这说明，我们想知道两个集合是否有相同数量的元素，只需看能否在这两个集合之间建立一种一一对应关系，只要能建立这种关系，我们就有理由认为，它们有相同的数量，这种方法对无穷集也适用。

8

映射

1 , . , , ,

: ,

f

A B A f A x B y f A B f A B A B →−−→定义设是两个集合，非空集若依照规则对于中的每个元，在中都有唯一确定的元与之对应就称是到的映射记作或9{}{} , ().

, ()| .

()| , ().

x y x f f x A f f x x A f f x x E E f f E ∈∈而与对应的元称为（在映射下）的象记作集合称为映射的定义域集合称为映射的值域集合称为在映射下）的象集记作10

2 : () , .

i.e.,,,().

()

(), .

i.e.,,,()(f f A B f A B f y B x A f x y A B y f A x A f x y f x y A f x f →∀∈∈=−−→∈∈=∀∈=定义若映射的值域恰等于就说是满射的存在使得若映射使每个仅有唯一的满足就说是单射的若11

11

),. : , , (),

: .f y x y f A B f A B f A B A B --=→−−→−−→则若映射既是满射的又是单射的就称是到的一一映射“一一映射”有时还说成“一一对应”记作或11

1 , (), () ( () , , , .

f A B y B x A f x y

g y x f x y g B A g f f -∈∈===设是到的一一映射则对每个有唯一使定义当时）则是到的一一映射我们称是的逆映射记作注：称与A 对等的集合为与A 有相同的势（基数）， 记作

势是对有限集元素个数概念的推广.

A

B

A ~Φ

Φ~

13

1 ~ ~, ~ ~, ~, ~. i A A ii A B B A iii A B B C A C 命题对等关系有如下性质：

（）； （反身性）（）若则 ； （对称性）（）若则 （传递性）

14

12121212n 1

n 1

n 1

n 1

2 ,,,, ,

,,,, . ~(1,2,), ; ~ (1,2,).;

~ ,

n n n n m

m

n n n n A A A B B B A B n A A B B A B m A B ==∞∞

==== 命题设是两两无交的一列集是两两无交的一列集若则

~, :. : , ()(),1,2,.

n n n n n n n A B f A B f x A f x f x n →∈== 证明故存在一一映射 作映射对每个令 例1 作对应关系

则 是 与 之间的一一对应。Z N ~⎩⎨

⎧=-→+=→

,2,1,012,2,12:n n n n n n φφN Z

{}{}.

~ ,,2,,4,2 ,,,,2,1 2 Ne N n Ne n N 则设例 ==.

),( 2)( 的一一映射到是显然定义证明Ne N f N n n n f ∈= 12 例、揭示出了一个极其重要的事实，就是无限集是有可能与它的真子集对等的，我们还将证明任何一个无限集必然与它的一个真子集对等，这对于有限集来说，显然是永远办不到的。

~~~N N N Z

奇数偶数结论：17

3 (01)~[01].

例，，.

,5,4,3 ,10

1

)101( ,

1)101

( ,0)101( , .,101,,101,101,1,0,

,101,101,101,101,101 2222432 ====⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧=--n f f f f B A B A n n n n 使映射的

到作设证明].

1,0[~)1,0( 2 .\]1,0[~

\)10( ,\]1,0[\)1,0( . 1

1便知由命题，故又显然B A B A B A f

=−→−-18

(01)~().

a b 例，， ()() .

f x a b a x =+-证明定义 (01)~.

R 例， ()tan() .

2

f x x π

π=-证明定义(0,1)~[0,1]~(,)~(,)~,a b a b -∞+∞<>

结论：