实变函数论课件8、9 外测度和可测集(选讲)

证明: 第一步.若闭集 F E,则 I \ F I \ E,由命题 2 及


m* Ei m*Ei
i 1
i 1
在上式中令En1 En2 ... , 得
令 0,得
n
n
m* Ei m*Ei .
i 1
i 1
8
(iv)（a）证隔距有限可加性.为此设 d ( A, B) 0,
来证
m* ( A B) m* A m*B.
n1
n1


|
n1
In
|

2

m*E
.
证毕
14
有界Lebesgue 可测集
有界可测集的定义 有界开、闭集的可测性
定义1 设 E 是有界点集,若存在开区间I E,使 m*E m* (I \ E) | I |,
就称 E 是 Lebesgue可测的(简称可测）. 对于 Lebesgue可测的点集E, 称 E 的Lebesgue外测 度为 E 的 Lebesgue测度（. 简称E的测度）记作mE.
注 意 m G与m*G的区别;即测度与外侧度的区别 。
15
例1 开区间I 是可测的, 并且mI | I | .
注：RN 中的 Jordan可测集都是Lebesgue可测的, 并且 Jordan 可测集的Lebesgue 测度恰等于它的Jordan 测 度, 但是存在着某些点集是Lebesgue可测的但不是 Jordan可测的(如 第一节例1中的 E）.
i 1
i 1
外 测
n
n
m* Ei m*Ei ; (半有限可加性)
度
i 1
i 1
(iv) 若 A1, A2 ,...,An 两两距离大于0, 则
的
n
n
m* Ai m* Ai ;（隔距有限可加性）
基
i 1
i 1
本
若 A1, A2 ,...,An ,...两两距离大于0, 则
k
| J | | Jni |, i 1
k


| I | | J | | J ni | | J n | | I n |
i 1
n1
n1

令 0 得 | I | | I n |. n1
由于{I n}1 是覆盖 I 的任意半开区间串,由外测度的定义知
半开区间串
{I
}i
n n1
使

Eiห้องสมุดไป่ตู้
I
i n
,
n1

|
n1
I
i n
|

m* Ei


2i
.
因此


Ei



I
i n
n1
i1 n1
7

m* Ei
i 1

i 1

|
I
i n
n1
|

(m* Ei
i 1


) 2i

m* Ei
i 1

令 0, 得
,当u 0时; (iii) u () 0, 当u 0时;
,当u 0时.
(iv) 0 0; 但 u 0时 u 无意义.


1
2.1 外测度的定义区间的外测度
对于区间I ai ,bi ;i 1,2,...,N (其中 ai )
(1)
由 (iii) 知 m* ( A B) m* A m*B.
再证相反的不等式. 任给 0,由外测度的定义知存在
覆盖 A B 的半开区间{I n} 使

| In | m*(A B) .
n1
每个半开区间I n 都可以表成有限个两两无交的对角
线长小于 d
的半

n1
|
In
|

m*E


2
.
对每个 In ,显然可以作开区间Jn In ,使

| Jn || In | 2n1 .
13

令 G J n ,则 G 是开集, G E, 由外测度的
n1
半可列可加性及命题1 知


m*G m* J n | J n |
i 1
i 1
i 1
令n ,得


m* Ai m* Ai .
i 1
i 1


所以 m* Ai m* Ai .
i 1
i 1
注：当两个点集E1, E2 无交时,未必有 m* (E1 E2 ) m*E1 m*E2 .(从第五节可看出)
12
2.3 外测度的开集逼近
证明 G 有界,故存在着包含G 的开区间,设开区间 I G,由外测度的半有限可加性及P69命题1知 m*G m*(I \ G) m*I | I |
再证相反的不等式.设{In}是开集G 的一个半开区间
覆盖(不妨认为诸In ), 由外测度的定义知

m *G | In |. n1 17
10
k
由 A1 , A2 ,...,An 两 两 距 离 大 于0 知 ( Ai , Ak1 ) 0
i 1
(k 1,...,n 1). 逐次运用(1) 式便得到
n
n
m* Ai m* Ai .
i 1
n1
若 A1, A2 ,...,An ,...两 两 距 离 大 于0, 则
开区
间I
i n
之并
I
i n
(利用 R N
的边长
i
为 d / 2 N的半开区间分解, 这是容易做到的),并且这
时 | I n |
|
I
i n
|.
i
9
因此我们不妨设{I n}中的每个 I n 的对角线长都小于d. 这样的 I n 显然不能同时含有A 与 B 的点. 把 {I n}中的 所有半开区间分成两组: 凡是含有 A的点的归为一组,

| I | m * I m *[( In ) (I \ G)]
n1


m*[( Jn ) (I \ G)] m * Jn m *(I \ G)
n1
n1
P69命题1

| Jn | m*(I \ G) | In | m*(I \ G)
n1


m* Ai m* Ai（. 隔 距 可列 可 加 性）
i 1
n1
(b) 证隔距可列可加性. 由 (iii) 知


m* Ai m* Ai
i 1
n1
11
再证相反的不等式. 对任意自然数n,由外测度的单调
性及隔距有限可加性,

n
n
m* Ai m* Ai m* Ai
(这是可以做到的 ).
4
对每个自然数n, 取充分小的正数n ,
作 Jn {x | ai(n) xi bi(n) n , i 1,2,, N},
使
|
Jn
||
In
|


2n
(这是可以做到的).
于是开区间族{J n}复盖闭集J.由有限复盖定理知可选
出有限个开区间J n1, J n2 ,, J nk 合起来复盖J.因此
称E的外测度), 记作 m*E.即
m*E

inf


| I n | 诸I n为半开区间,

In E
.
n1
n1

2
注 : (1) 任何点集都有外测度,它是非负实数或 . (2) RN中有界点集的Jordan外测度一定不小于 Lebes gue外测度, 而且, 确有某些点集, 其J ordan 外测度大于其Lebesgue 外测度.
如: I (0,1;0,1], E 为 I 中有理点的全体 m*J E 1, m* E 0.
3
命题1 任何区间 I 的外测度 m* I 都等于其容度 | I | .
这里仅就I为半开区间的情况给出证明, 其他情况的作练习.
证明 由外测度的定义立即知
m * I | I |
再证相反的不等式.为此, 设 I {x | ai xi bi ,i 1,2,, N},
例1 设 I (0,1;0,1], E为 I 中有理点的全体, 易知
m*J I | I | 1, m*J E 1, m*J (I \ E) 1; m*I | I | 1, m*E 0, m*(I \ E) 1
16
命题1 若 G 是有界开集,则 G 可测, 并且对任何包含G 的开区间I 恒有 m*G m* (I \ G) | I | .
定理 2 设 E 是任一（有界或无界）点集, 则所有包含E 的开集的外测度组成一个非空数集, 这个数集的 下确界恰等于E 的外测度.
证明：若开集G E,由外测度的单调性知m*G m*E.
下面来证: 对任 0, 存在开集G E,使 m*G m*E .
由外测度的定义知, 存在覆盖E的半开区间串{In}使
{In}1 为复盖 I 的的任意半开区间串, 其中

In {x | ai(n) xi bi(n) , i 1,2,, N},来证 | I | In. n1 0,取充分小的正数 ,作
J {x | ai xi bi ,i 1,2,, N}, 使 | J || I | -
Lebesgue 外测度
, 看成是两个固定的数, 称为无限数. R1 有限数.以后凡说到的数,均指 R1 {,}.
(i) a R1 时 a () ; () () ; 但 () () 无意义.
(ii) () () .
记作
{I
(1) i
},
其余的归为一组,
记作
{I
( j
2)
}.
显然
I
(1) i

A,
i
I
(2) j

B,
j
m* A m*B
|
I
(1) i
|
|
I
( j
2)
|
i
j

| I n | m* ( A B) . n1
令 0, 得 m* A m*B m* ( A B).所以(1)式成立.
N
称各边长的乘积 (bi ai ) 为它的容度(边长积), 记作| I | . i 1
定义1 设 E 是任一(有界或无界)点集. 对于 E 的每个可
列半开区间覆盖{I n}1 , 都求出其所有半开区间的容度

之和 | I n | (它是非负实数或 ), 一切这样得到的数 n1
组成一个数集, 其下确界称为 E 的 Lebesgue 外测度(简
| I | m * I. 所以 m * I | I | .
5
定理1 外测度有如下四条基本性质：
(i) 对任何点集E,有 m*E 0;(非负性)并且 m* 0.
(ii) 若 E1 E2 ,则 m*E1 m*E2 . (单调性)
2.2


(iii) m* Ei m*Ei ; (半可列可加性)
任给 0, 对每个 In ,显然可以作闭区间Jn In , 使
| Jn || In | 2n . 闭区间 J1, J2 , J3,...两两无交, 每个闭区间Jn 与闭集 I \ G 无交而两个无交的非空有界闭集间的距离大
于 0,由第二节命题1以及外测度的隔距可列可加性
等性质
证明：E 有界,故存在开区间I E. 若 G 是任一包含E 的开 集, 则G I 是包含 E 的有界开集, 并且 m*G m*(G I ). 据此,由第二节定理2 及本节命题1便知命题3 成立.
命题 4 设E是有界点集, 若开区间I E,则 sup{mF | F 是闭集. F E} | I | m* (I \ E).


性
m* Ai m* A（i . 隔距可列可加性）
i 1
i 1
质6
证明：(i)显然成立
(ii)若{I n }为覆盖 E2 的半开区间串,则{I n }也覆盖

E1, 故 m* E1 | I n |,由 m*E2 的定义即知 n1
m* E1 m* E2 .
(iii) 0, 对每个 Ei ,由外测度的定义知存在
证明 设开区间I F.令 G I \ F ,则G是含于I的开集, F I \ G.由命题1立即知命题2 成立.
19
3.2 有界点集的内测度 有界点集可测的充要条件
命题 3 设 E 是有界点集,则 inf{ mG | G 为有界开集, G E} m*E = inf{ m*G | G 为有界开集,G E}.
n1
m*G m*(I \ G).
18
令 0,得 | I | m *G m * (I \ G).
于是 | I | m *G m * (I \ G).G 可测.
命题 2 设 F 是有界闭集,则 F 可测,并且对任何包含F 的开区间I 恒有 m * F m * (I \ F ) | I | .