实变函数课件可测集

称为Caratheodory条件
则称 E 为勒贝格( Lebesgue)可测集，简称为 L 可测集． 这时 E 的 L 外测度 m E 称为 E 的 L 测度，记为 mE .
*
T EC T E
T
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E
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2 集合可测的充要条件 Caratheodory条件有一个等价的叙述方式，即 定理1 集合 E 可测的充要条件是 对任何 A E , B E C , 总有
C 可测． S 所以集合 S 可测的充要条件是
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3 可测集的性质(并集性质）
定理 3 设集合 S1 , S2 都可测，则 S1 S2 也可测．
并且当 S1 S2 = Ø 时，对任意集合 T 总有
m*[T ( S1 S2 )] m* (T S1 ) m* (T S2 ) .
推论 1 设 Si ( i = 1, 2, . . . , n ) 都可测， 则
S
i 1
n
i
也可测，并且当 Si Sj = Ø ( i ≠j ) 时, 对任何集合 T 有
m* [T ( Si )] m* (T Si )
i 1 i 1
n
n
特别当 Si Sj = Ø ( i ≠j ) 时, 有 即
1 集合的勒贝格( Lebesgue)可测的定义
2 集合可测的充要条件 3 可测集的性质(并、交、差、补、单调性质）
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1 集合的勒贝格( Lebesgue)可测的定义 定义1 设 E Rn , 若对任何点集 T 都有
m*T m* (T E ) m* (T E C ) ,
n n
m ( S i ) m S i
* * i 1 i 1
n
n
m( Si ) mSi .
i 1 i 1
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3 可测集的性质(交集性质） 定理 4 设集合 S1 , S2 都可测，则 S1 S2 也可测． 证 因为 S1 S2 = ( (S1 S2 )C )C = (S1C S2C )C
* * * C
因 S1 可测，则对任何 T 有
S2
C 1
m (T ) m (T S1 ) m (T S ) .
* * *
S1
T
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又因 S2 可测，则对集合 T S1C ，有
m (T S ) m [(T S ) S2 ] m [(T S ) S2 ] .
* * C
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C 1
C
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因 S1 可测，故由定理 1，有
m (T S1 ) m [(T S ) S2 ]
* *
C 1
m [(T S1 ) ((T S ) S2 )]
*
C 1
m [T ( S1 ( S S2 )]
* * *
C 1
C 1
C 1
C
代入上一个表达式，得
m (T ) m (T S1 ) m (T S )
* * *
C 1
m * (T S1 ) m [(T S1 ) S 2 ] m [(T S1 ) S 2 ]
* * C C C
由德摩根公式，
m [(T S ) S2 ] m [T ( S1 S2 ) ]
所以集合 E 可测．
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C S 定理 2 集合 S 可测的充要条件是 可测．
证
因为对任意的集 T ，有
m*T m* (T S ) m* (T S C ) m* (T ( S C )C ) m* (T S C )
所以由定理 2 与定理 3 知， S1 S2 可测． 推论 2 设 Si ( i = 1, 2, . . . , n ) 都可测， 则
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Hale Waihona Puke Baidu
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因 S1 可测，由定理 1，有
m*[T ( S1 S2 )] m*[(T S1 ) (T S2 )] m* (T S1 ) m* (T S2 ) .
证毕．
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*
C 1
所以 m* (T ) m*[T ( S1 S2 )] m*[T ( S1 S2 )C ] . 从而 S1 S2 可测．
m*[T ( S1 S2 )]
其次证明：当 S1 S2 = Ø 时，对任意集合 T 总有
m*[T ( S1 S2 )] m* (T S1 ) m* (T S2 ) .
m* A m* B .
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充分性：对任意集合 T , 取 A = T E ,
B = T EC ，则 A E , B EC , A B = T ,
于是
m*T m* ( A B)
m A m B
* *
m* (T E ) m* (T E C ) .
m* ( A B) m* A m* B .
证 必要性：设集合 E 可测，对任何 A E , B EC , 取 T = A B , 则 T E = A , T EC = B , 所以
m* ( A B) m*T m* (T E ) m* (T E C )
特别当 S1 S2 = Ø 时，有
m* ( S1 S2 ) m* S1 m* S2 .
即
m( S1 S2 ) mS1 mS2 .
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证 首先证明 S1 S2 的可测性，即要证：
对任何 T 有
m (T ) m [T ( S1 S2 )] m [T ( S1 S2 ) ] .