实变函数课件可测集

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实变函数课件

E[ f a] E[a f a n] ,
n 1

所以 E [ f a ] 是可测集．
2018年8月8日9时18分
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推论设 f 在 E 上可测，则 E [ f = a ] 可测，不论
a 是有限实数或±∞ ．
证因为
E[ f a] E[ f a] E[ f a]
2 可测的充要条件定理1 设 f 是定义在可测集 E 上的实函数．下列
任一条件都是 f 在 E 上可测的充要条件：
⑴ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测； ⑵ 对任何实数 a , E [ f < a ] 都可测；
⑶ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测； ⑷ 对任何实数 a , b ( a < b ), E [ a f < b ] 都可测（充分性要假定 | f (x ) | < ）．证只需证明条件 ⑴ ， ⑷ 的充要性．
{ x [a, b] | f ( x ) c }
下午9时18分43秒
2018年8月8日9时18分
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2018年8月8日9时18分
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1 可测函数的定义
2 可测的充要条件 3 函数可测的充分条件 4 可测函数的四则运算 5 可测函数列的性质 6 可测函数与简单函数的关系 7 几乎处处问题
所以, m E[ f a] 0. 即E[ f a]为零测度集，从而可测。由函数可测的定义知， f ( x)在E上可测。
2018年8月8日9时18分
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实变函数课件第四章可测函数 (2)

s
E Ei上,且f x在每个Ei上都可测,则f x在E上也可测.
i 1
定义3 设f x的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1，E2，，Es ，E Ei ,使f x在每个Ei上等于常数ci，
i 1
则称f x为简单函数.
定理4 设f x ,g x 在E上可测,则下列函数( 假定它们在
作业：13
定理2 设f (x)是E R上a.e.有限的可测函数,则对任意的 0, 存在闭集F E及整个R上的连续函数g(x)(F及g(x)依赖于 )，使得在F上g(x) f (x)，且m(E \ F) .此外还可要求
sup g(x) sup f (x) 及inf g(x) inf f (x).
注：一个函数在其定义域中的每一个孤立点都是连续的.
定理2 可测集E Rn上的连续函数都是可测函数.
例1 区间[a,b]上的连续函数和单调函数都是可测函数.
定理3 (1)设f x是可测集E上的可测函数,而E1 E为E的可测子集,则f x 看作定义在E1上的函数时,它是E1上的可
测函数;
(2)设f x定义在有限个可测集Ei(i 1, 2, , s)的并集
R
F
R
F
作业：P51,1，P52,2
第4节依测度收敛
定义设{ fn}是E Rq上的一列a.e.有限的可测函数，若有E上的a.e.有限的可测函数f (x)满足下列关系：
对任意
0,有lim mE[| n
fn
f
| ] 0，
则称函数列{ fn}以测度收敛于f ，或度量收敛于f ，
记为fn (x) f .
(4) 对任意有限实数a,b(a b), E[a f b] 都可测(但充要性要假定f (x)是有限函数).

实变43

实变432§3 可测函数的构造已知可测集上的连续函数一定是可测函数, 反之, 可测函数是“基本上”（指去掉一个测度可任意小的某点集外）连续的函数, 即下列定理：定理1（Lusin 定理）设)(x f 是E(不要求∞<mE )上..e a 有限的可测函数,则对,0>∀δ 存在闭子集,E E⊂δ使)(x f 在δE 上是连续函数, 且δδ<)\(EE m , 即在E上..e a 有限的可测函数是“基本上连续”的函数。

证明（1）设)(x f 是简单函数。

设,1Y ni iE E == 各iE 可测且互不相交,(),i if x c x E =∈。

>∀δ,由iE 可测, 知存在闭子集3,i i E F ⊂ 且(\)iim E F nδ<。

令Y ni iF E 1==δ, 则δE 为闭集, 且,E E⊂δ11(\)()n ni i i i m E E m E F δ===-U U111(())()nnni i i i i i i m E F m E F nδδ===≤-=-<=∑∑U(由于iiE F -互不相交,所以有限多个闭集之并仍为闭集)。

对01,nii x E F δ=∀∈=U0,i ∃ 使得 0000,()i i x F f x c ∈=。

因为iF 互不相交, 所以0,i i i x F ≠∉U 故0()i i i x C F ≠∈U （开集），所以0x ∃的一个邻域),()(0Y i i i F C x U ≠⊂ 故有=≠)()(00Y I i i i F x U ∅,4所以，0)()(00i F x U E x U I I =δ当0()x U x E δ∈I 时,，0)()(000=-=-i i c c x f x f故()f x 在E δ上连续。

（2）设,mE <∞()f x 为可测函数。

由)(x f 可测知, 存在一列简单函数{()},n x ϕ使得)(lim )(x x f n n ϕ∞→=。

实变函数(程伟)

7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 11 11 11 11 13 13
第二章准备工作 2.1 集合论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.4
n
集合的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 映射·基数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第五章 Lp 空间 5.1 5.2 凸不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
第一章实变函数论综述第二章准备工作21集合论211集合的运算212映射基数22的拓扑23代数borel集baire定理24作为度量空间10第二章准备工作第三章抽象lebesgue积分31可测集可测函数测度32lebesgue积分33收敛的模式12第三章抽象lebesgue积分第四章上的lebesgue测度41lebesgue测度的构造42lebesgue测度的不变性43关于lebesgue测度的注记44可测函数的连续性45riemann积分与lebesgue积分的关系46上的fubini定理14第四章上的lebesgue测度第五章空间51凸不等式52空间521一般l空间522卷积52316第五章空间第六章微分61hardylittlewood极大方法611vitali覆盖定理的开覆盖我们引入vitaili覆盖定理是为了解决下面看似矛盾的因素

实变函数第二章,第二节

* c i 1 i 1
(*)
m (T ( Ai )) m (T ( Ai ) c )
* i 1 i 1

另外显然有 m T m (T ( Ai )) m (T ( Ai )c )
* i 1 i 1

从而m T m (T ( Ai )) m (T ( Ai )c )
* i 1 i 1
从而 Ai可测,
i 1

* c m ( T A ) m ( T ( A ) ) i i i 1 i 1

n
并用T Ai 代
i 1

入（*）式，即得结论
从而m T m (T Ai ) m (T ( Ai ) )
m( Ai ) m A i
i 1 i 1

下面证明若A i 两两不交，则 m( Ai )
i 1

mA
i 1 i

证明：T R ，有
n
n n i 1 n i 1
mT m (T ( Ai ) m* (T ( Ai ) c ) m (T ( Ai ) m (T ( Ai ) c )
例：零集E必为可测集
证明： T R

n
* c
有m T m (T E ) m (T E ) m ( E ) m (T ) m (T )
* *
从而m T m (T E) m (T E )
* c

即E为可测集。
2.Lebesgue可测集的性质
第二章可测集与可测函数

实变函数与泛函分析基础课件4-3

即可。下面只需将f(x)延拓为上的连续函数延拓为R上的连续函数g(x)即可。即可延拓为上的连续函数
由于F 上的开集，上开集构造，由于 C为R上的开集，根据上开集构造，上的开集根据R上开集构造 FC可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并 F 的并：开区间的并： c = ∪(ai , bi ) 。
引理：引理：
设E = ∪ Ei , {Ei }两两不交的闭集族.若f k : Ek → R为连续函数，
i =1
n
令f ( x) = f k ( x) : x ∈ Ek，则f ( x)： Ek → R上的连续函数。 ∪
k =1
n
证明：取x0 ∈ ∪ Ek , ∀ε > 0,
k =1
n
由于∃k0 ∈ N , 使得：x0 ∈ k0，而f k0 在Ek 0上为连续的， ⇒ 对此ε，∃δ1 > 0, 使得：∀x ∈ U ( x0 , δ1） Ek 0，必有 | f k 0 ( x) − f ( x0 ) |< ε . ∩ 又令δ 2 = min{d( x0 , Ek ) : k ≠ k0 }, 则，δ 2 > 0. 令δ = min{δ1 , δ 2 }. 则∀x ∈ U ( x0 , δ） E ⊆ U ( x0 , δ1） Ek 0， ∩ ∩ 必有 | f ( x) − f ( x0 ) |=| f k 0 ( x) − f ( x0 ) |< ε . 故，f ( x)在x0处连续。注1：另证：由于x0 ∉ ∪ Ek , ⇒ x0为开集( ∪ Ek ) c 的内点，
1 1 证明： ε = , 则∃闭集Fn ⊆ F , 使得： (E − Fn ) < , f ( x)在Fn上连续（可测函数）， ∀ m n n 令F = ∪ Fn , 则f ( x)为F上可测函数 .

实变函数论课件8、9 外测度和可测集(选讲)

例1 设 I (0,1;0,1], E为 I 中有理点的全体, 易知
m*J I | I | 1, m*J E 1, m*J (I \ E) 1; m*I | I | 1, m*E 0, m*(I \ E) 1
16
命题1 若 G 是有界开集,则 G 可测, 并且对任何包含G 的开区间I 恒有 m*G m* (I \ G) | I | .
任给 0, 对每个 In ,显然可以作闭区间Jn In , 使
| Jn || In | 2n . 闭区间 J1, J2 , J3,...两两无交, 每个闭区间Jn 与闭集 I \ G 无交而两个无交的非空有界闭集间的距离大
于 0,由第二节命题1以及外测度的隔距可列可加性
等性质

n1
|
In
|

m*E

2
.
对每个 In ,显然可以作开区间Jn In ,使

| Jn || In | 2n1 .
13

令 G J n ,则 G 是开集, G E, 由外测度的
n1
半可列可加性及命题1 知

m*G m* J n | J n |
i 1
i 1
i 1
令n ,得

m* Ai m* Ai .m* Ai .
i 1
i 1
注：当两个点集E1, E2 无交时,未必有 m* (E1 E2 ) m*E1 m*E2 .(从第五节可看出)
12
2.3 外测度的开集逼近
(1)
由 (iii) 知 m* ( A B) m* A m*B.
再证相反的不等式. 任给 0,由外测度的定义知存在

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证明：不妨设f单调增，对任意a∈R
令Ia inf{ x | f (x) a}
由f单调增知下面的集合为可测集
E { [ f a]
E [ I a ,) 当I a {x| f ( x)a} E ( I a ,) 当I a {x| f ( x)a}
a
1
/ I a x1 x2
10
⒊可测函数的等价描述
定理1：设f(x)是可测集E上的广义实函数，则 f(x)在E上可测
16
⑵可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,
则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)
仍为E上的可测函数。
a-g(x) r f(x)
证明：先证： a
R, E[
f
ga]
E[ f
可测，
a g ]
猜想：E[ f ag] rQ(E[ f r] E[agr] )。
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
对 f (x) a, x 0, 使得f (O(x,x ) E) O( f (x), ) (a,)
即O( x,x ) E E[ f a]
令G O xE[ f a] ( x,x )
1 ， n
）
E[ f
为可测集。
]
12
注：重要方法：将集合分解为某些集合
的并、交、差等，从而利用已知条件。
如：用分解法证明：
f , g均为E上可测函数，则E[ f g]为E上可测集。
事实上，E[
f
g]
(
rQ
E[

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VS
牛顿-莱布尼兹公式
对于任何给定的连续函数，在区间上的定积分都可以通过求和的方式计算，该求和公式称为牛顿-莱布尼兹公式。
微分与积分的应用举例
微分的应用
积分的应用
在物理学中，微分被广泛应用于计算速度、加速度、位移等物理量；在经济学中，微分被用于计算边际成本、边际收益等经济指标。
在物理学中，积分被广泛应用于计算面积、体积、能量等物理量；在经济学中，积分被用于计算总成本、总收入等经济指标。
实数集合R在通常的度量下是连续的，即任意两个不同的实数之间都存在其他实数。
在实数集合R中，任意两个不同的实数之间都存在无限多的其他实数。
实数的运算性质
加法性质
实数的加法满足交换律和结合律，即对任意实数x、y和z，有x+y=y+x、(x+y)+z=x+(y+z)。
01
乘法性质
实数的乘法满足结合律，即对任意实数 x、y和z，有(x*y)*z=x*(y*z)。
有限覆盖定理
如果E是一个闭区间，{[a(n),b(n)}是一个开区间族，且E被 {[a(n),b(n)}覆盖，那么存在一个有限的子集族 {[a(n_i),b(n_i)}使得E被它覆盖。
03
集合论基础
集合的定义与性质
总结词
集合的基本概念和性质
详细描述
集合是由某些确定的元素所组成的，具有明确的概念和性质。集合可以通过列举法或描述法进行定义，并具有确定性、互异性和无序性等基本性质。
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目录
• 引言 • 实数理论 • 集合论基础 • 测度论基础 • 可测函数与积分理论 • 微分与积分定理 • 实变函数论的应用

实变函数课件

CHAPTER
实变函数在物理学中的应用
描述电磁场
通过实变函数，可以精确地描述电磁场的分布和变化，为电磁学的研究提供数学工
具。
解决偏微分方程
实变函数可用于解决物理学中的偏微分方程，如波动方程、热传导方程等，从而揭示物理现象的数学规律。
量子力学
在量子力学中，实变函数被用于描述粒子的波函数，揭示微观粒子的运动规律。
微观经济学
实变函数可用于描述消费者的效用函数和生产者的成本函数，揭示微观经济行为的数学规
律。
宏观经济学
通过实变函数，可以建立宏观经济模型，分析经济增长、通货膨胀等宏观经济现象的数学
机制。
金融数学
实变函数在金融数学中有广泛应用，如期权定价、投资组合优化等，为金融市场的分析和
决策提供支持。
谢谢
积分的不等式与估计
介绍积分不等式和估计的基本方法，如Holder不等式、 Minkowski不等式、Chebyshev不等式等，并举例说明其应用。
05 实变函数的微分学
CHAPTER
导数与微分的概念
导数定义
详细阐述实变函数导数的定义及其几何意义，包括左导数、右导数和导函
数等概念。
可导性判定
介绍判断函数在某点是否可导的方法，包括利用定义、导函数连续性等。
与连续性的区别
一致连续性是函数在整个区间上的性质，而连续性是函数在一点或一些点上的性质。一致连续的函数在整个区间上具有“均匀”的连续性，即函数值的变化不会太快或太慢。
性质
一致连续的函数具有有界性、可积性等性质。
04 可测函数与积分
CHAPTER
可测函数的概念与性质
可测函数的定义
详细解释可测函数的定义，包括在给定集合上的函数及其相关性质。

《实变函数》第四章可测函数

第四章可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.§1 可测函数及其性质教学目的本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.本节难点可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时——————————————————————————————1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质2 简单函数是可测函数若1ni i E E ==⋃ (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0i iE i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续0lim ()()x x f x f x →=若000,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知，对(),0,x f x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a O E E δ>⋂⊂.令[](,)x f a x x E G O δ>∈=⋃则G 为开集，当然为可测集，且另外[][](,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈⋂=⋃⋂=⋃⋂⊂所以[][](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈⊂⋃⋂=⋂，故[]f a E G E >=⋂为可测集性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。

实变函数3.3

故m(O − E) = 0
例：设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一 [0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E 零测度集的 Gδ 型集或 Fσ 型集。
O ∩ Gδ 型集： = n =1( ∪1( ri − i=
∞
∞
2
1 n i +1
, ri +
2
1 n i +1
))
Fσ 型集：空集
证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知
∀ ε > 0 , ∃ 开区间列 { I i }, 使得 E ⊂ ∪ I i 且 m * E ≤
i =1 ∞
∑
i =1
∞
| Ii | ≤ m*E + ε
令G = ∪ I i , 则G为开集，E ⊂ G，且
i =1
∞
mE ≤ mG ≤ ∑ mI i ≤ ∑ | I i | < mE + ε
取F=G c，则F为闭集 F ⊂ E
且m( E − F ) = m( E ∩ F c ) = m(( E c ) c ∩ F c ) = m( F c − E c ) = m(G − E c ) < ε
(1).若 (1).若E可测，则 ∀ε
> 0, ∃开集G，使得E ⊂ G且m(G − E ) < ε
i =1 i =1Fra bibliotek∞∞
从而（这里用到mE<+∞ ）
m(G − E ) = mG − mE < ε
(2)当mE=+∞时，这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：
E = ∪ E i ( mE i < +∞ )
i =1 ∞

(完整版)《实变函数》第四章可测函数

第四章可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构。

§1 可测函数及其性质教学目的本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数，并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近，这是可测函数的构造性特征。

本节难点可测函数与简单函数的关系。

授课时数 4学时———---—-——-——-—-—--——-——————-—1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数（可取±∞）,若[],f a a R E>∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数。

2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质2 简单函数是可测函数若1nii E E ==⋃ （iE 可测且两两不交），()f x 在每个iE 上取常值ic ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0ii E i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f OE Oδεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续lim ()()x x f x f x →=若0,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x x Of x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x f OOδεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续）证明:任取[]x E f a ∈>，则()f x a >,由连续性假设知，对(),0,xf x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f OE Oa δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a OE Eδ>⋂⊂。

《实变函数论》第二章可测集与可测函数

证明1):当F为闭集时 F Fn , 其中Fn F (n) ,所以F为Fσ集
n 1
构造Gn
{x | d (x, F )
1}为开集 n
则F= Gn为G 型集
n 1
通过取余将 Gδ型集与 Fσ型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）得开集也既是Gδ型集又是Fσ型集
可数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；可数集是Fσ集无理数集通过有理数集取余是Gδ集
故m(E F ) 0
“(3)=>(1)已” 知: F型集F0 E, m*(E F0 ) 0
从而(E F0 )可测,即E F0 (E F0 )为可测集
定理２.3.5：里外接近
(1)E可测
(2) 0, 闭集F,开集G满足F E G，m *(G F )
(3)F型集F0，G型集G0满足F0 E G0且m *(G0 F0 ) 0
取闭集 F Gc (EC )C E
m(E F) m(E F c ) m(F c E) m(G Ec)
“(2)=>(3)”,对任意的1/n，
闭集Fn，使得E
Fn且m (E

)
1 n
令F Fn，则F为F 型集，E F且
n 1
0
m ( E
F)
m (E
Fn
)
1 n
,n
1,
2, 3,
E
i 1
Ei
其中mEi
对每个Ei应用上述（a)的结果
开集Gi，使得Ei
Gi且m(Gi
Ei )
2i
令G
i1
Gi
,
则G为开集，E
G，且
m(G
E)
m( i1
Gi

实变函数第四章第一节

证明：利用（）），（2）证明：利用（1）与（4），（）与（3）互为余集，以及），（）互为余集，
E[ E[
f >a]
= ∪ E
n =1 ∞
∞
1 [ f ≥a+ ] n
E[
f ≥a]
= ( ∪ E [a≤
n =1
∞
f <a+n]
) ∪ E[
f <b]
f = +∞ ]
f ≥a]
= ∩ E
n =1
证明：首先上可测，证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意 ∈R 在上可测因为对任意a∈
E[ f 2 >a] = {
E E[ f >
a]
∪E[ f <−
a]
a<0 a≥0
再利用f(x)g(x) ={(f(x)+g(x))2 - (f(x) -g(x))2}/4即可再利用即可
作业：上的可测函数,则作业：若f(x),g(x)是E上的可测函数则f(x) -g(x) ,f(x)/g(x) 是上的可测函数为E上的可测函数上的可测函数
r∈Q
从而 E[ f > a − g ] = ∪ ( E[ f > r ] ∩ E[ g > a − r ] )可测
r∈Q
类似可证：上可测函数，为可测集。类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 E[ f > g ] 为可测集是上可测函数
若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) g(x)仍为E上的可测函数。 f(x),g(x)是上的可测函数, g(x)仍为仍为E
n =1 n =1
∞
( a-1/n

实变函数课件可测集5

尼氏体 Nissl body
H-E染色
镀银染色上一页下一页主页返回退出
不同形态
小块状的尼氏体
细颗粒样的尼氏体
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突触粗面内质网
核蛋白体脂褐素微管
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尼氏体(Nissl body)：又称为嗜染质（chromophil substance), 是分布于胞质或树突内的小块状或颗粒状的嗜碱性物质。电镜下，尼氏体为发达的粗面内质网和游离核蛋白体，是蛋白质合成的场所。
细胞膜Membrane 胞体 Cell body 细胞质Cytoplasm
细胞核 Nucleus 胞体的直径相差很大，4-150μm，
细胞体是神经元营养、代谢的中心。
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细胞膜cell membrane:大部分为典型的单位膜结构，有接受刺激、产生和传导神经冲动的功能。膜的性质取决于膜蛋白，有些是离子通道，如Na＋通道和K＋通道，有些膜蛋白是受体。
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Nissl bodies: The cytoplasm shows the presence of a granular material that stains intensely with basic dyes; this material is the Nissl substance (also called Nissl bodies or granules).
S1 S2 Sn ,
则
m(
Si )
lim
n
mS
n
.
i 1
即
m(lim n
Sn

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n n
m ( S i ) m S i
* * i 1 i 1
n
n
m( Si ) mSi .
i 1 i 1
2018年8月9日10时25 分
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3 可测集的性质(交集性质）定理 4 设集合 S1 , S2 都可测，则 S1 S2 也可测．证因为 S1 S2 = ( (S1 S2 )C )C = (S1C S2C )C
* * *
C 1
C 1
C 1
C
代入上一个表达式，得
m (T ) m (T S1 ) m (T S )
* * *
C 1
m * (T S1 ) m [(T S1 ) S 2 ] m [(T S1 ) S 2 ]
* * C C C
由德摩根公式，
m [(T S ) S2 ] m [T ( S1 S2 ) ]
* * C
2018年8月9日10时25 分
C 1
C
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因 S1 可测，故由定理 1，有
m (T S1 ) m [(T S ) S2 ]
* *
C 1
m [(T S1 ) ((T S ) S2 )]
*
C 1
m [T ( S1 ( S S2 )]
称为Caratheodory条件
则称 E 为勒贝格( Lebesgue)可测集，简称为 L 可测集．这时 E 的 L 外测度 m E 称为 E 的 L 测度，记为 mE .
*
T EC T E
T
2018年8月9日10时25 分
E
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2 集合可测的充要条件 Caratheodory条件有一个等价的叙述方式，即定理1 集合 E 可测的充要条件是对任何 A E , B E C , 总有
C 可测． S 所以集合 S 可测的充要条件是
2018年8月9日10时25 分
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3 可测集的性质(并集性质）
定理 3 设集合 S1 , S2 都可测，则 S1 S2 也可测．
并且当 S1 S2 = Ø 时，对任意集合 T 总有
m*[T ( S1 S2 )] m* (T S1 ) m* (T S2 ) .
* * * C
因 S1 可测，则对任何 T 有
S2
C 1
m (T ) m (T S1 ) m (T S ) .
* * *
S1
T
2018年8月9日10时25 分
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又因 S2 可测，则对集合 T S1C ，有
m (T S ) m [(T S ) S2 ] m [(T S ) S2 ] .
所以由定理 2 与定理 3 知， S1 S2 可测．推论 2 设 Si ( i = 1, 2, . . . , n ) 都可测，则
2018年8月9日10时25 分
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因 S1 可测，由定理 1，有
m*[T ( S1 S2 )] m*[(T S1 ) (T S2 )] m* (T S1 ) m* (T S2 ) .
证毕．
2018年8月9日10时25 分
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特别当 S1 S2 = Ø 时，有
m* ( S1 S2 ) m* S1 m* S2 .
即
m( S1 S2 ) mS1 mS2 .
2018年8月9日10时25 分
Байду номын сангаас
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证首先证明 S1 S2 的可测性，即要证：
对任何 T 有
m (T ) m [T ( S1 S2 )] m [T ( S1 S2 ) ] .
所以集合 E 可测．
2018年8月9日10时25 分
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C S 定理 2 集合 S 可测的充要条件是可测．
证
因为对任意的集 T ，有
m*T m* (T S ) m* (T S C ) m* (T ( S C )C ) m* (T S C )
推论 1 设 Si ( i = 1, 2, . . . , n ) 都可测，则
S
i 1
n
i
也可测，并且当 Si Sj = Ø ( i ≠j ) 时, 对任何集合 T 有
m* [T ( Si )] m* (T Si )
i 1 i 1
n
n
特别当 Si Sj = Ø ( i ≠j ) 时, 有即
m* ( A B) m* A m* B .
证必要性：设集合 E 可测，对任何 A E , B EC , 取 T = A B , 则 T E = A , T EC = B , 所以
m* ( A B) m*T m* (T E ) m* (T E C )
m* A m* B .
2018年8月9日10时25 分
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充分性：对任意集合 T , 取 A = T E ,
B = T EC ，则 A E , B EC , A B = T ,
于是
m*T m* ( A B)
m A m B
* *
m* (T E ) m* (T E C ) .
1 集合的勒贝格( Lebesgue)可测的定义
2 集合可测的充要条件 3 可测集的性质(并、交、差、补、单调性质）
2018年8月9日10时25 分
2018年8月9日10时25 分
1 集合的勒贝格( Lebesgue)可测的定义定义1 设 E Rn , 若对任何点集 T 都有
m*T m* (T E ) m* (T E C ) ,
*
C 1
所以 m* (T ) m*[T ( S1 S2 )] m*[T ( S1 S2 )C ] . 从而 S1 S2 可测．
m*[T ( S1 S2 )]
其次证明：当 S1 S2 = Ø 时，对任意集合 T 总有
m*[T ( S1 S2 )] m* (T S1 ) m* (T S2 ) .

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