实变函数论课件20 有界变差函数

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有界变差函数有界变差函数

i =1
称 V ( , f ) 为 f 关于分划 D 的变差。 D
若存在常数 M，使对一切分划 D ，都有
V ( , f ) £ M ，则称 f (x 为 [ , b 上的有 D ) a ]
界变差函数。令
V ( f ) = sup V ( , f ) D ，
D b a
。
将 D , D 2 合并起来得 [ , b 的一个分划 a ] 1
D1 : a = x < x <L x = y < y <L< y = b < n 0 1 0 1 m ，于是由 D f ) £ V b ( f ) 及 V ( , a V ( , f ) = V ( 1 , f ) + V ( 2 , f ) D D D c b b e 得 V ( f ) + V ( f ) - 2 £ V ( f ) ， a c a 由 e 的任意性立得 c b b V ( f ) + V ( f ) £ V ( f ) 。 a c a
e > 0
D1 : a = x < 1 ，可以找到分划 x < L < x = c 0 n 及分划 D2 : c = y < y < L < y = b ，使得 0 1 m
b V ( 1 , f ) ³ V c ( f ) - e ，V D , f ) ³V ( f ) -e D ( 2 a c
n
V ( , f ) = å f ( x ) - f ( x -1 ) | D | i i
i 1 = i 0
£ å f ( x ) - f ( x -1 ) | + | f ( ) - f ( i 0 ) | | i c x i

实变函数课件

E[ f a] E[a f a n] ,
n 1

所以 E [ f a ] 是可测集．
2018年8月8日9时18分
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推论设 f 在 E 上可测，则 E [ f = a ] 可测，不论
a 是有限实数或±∞ ．
证因为
E[ f a] E[ f a] E[ f a]
2 可测的充要条件定理1 设 f 是定义在可测集 E 上的实函数．下列
任一条件都是 f 在 E 上可测的充要条件：
⑴ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测； ⑵ 对任何实数 a , E [ f < a ] 都可测；
⑶ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测； ⑷ 对任何实数 a , b ( a < b ), E [ a f < b ] 都可测（充分性要假定 | f (x ) | < ）．证只需证明条件 ⑴ ， ⑷ 的充要性．
{ x [a, b] | f ( x ) c }
下午9时18分43秒
2018年8月8日9时18分
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2018年8月8日9时18分
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下午9时18分43秒
下午9时18分43秒
1 可测函数的定义
2 可测的充要条件 3 函数可测的充分条件 4 可测函数的四则运算 5 可测函数列的性质 6 可测函数与简单函数的关系 7 几乎处处问题
所以, m E[ f a] 0. 即E[ f a]为零测度集，从而可测。由函数可测的定义知， f ( x)在E上可测。
2018年8月8日9时18分
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《有界变差函数》课件

3
应用范围
讨论有界变差函数分解的应用范围和实际意义。
Jordan-Hahn分解定理
详细介绍Jordan-Hahn分解定理的数学原理、证明和应用。
有界变差函数的勒贝格分解
探讨有界变差函数的勒贝格分解，讨论勒贝格分解的性质和应用。
勒贝格分解的性质
性质1
介绍勒贝格分解的第一个重要性质。
性质2
介绍勒贝格分解的第二个重要性质。
示例
提供几个具体的有界函数的例子，以便更好地理解该概念。
性质
简要介绍有界函数的一些基本性质，例如函数图像的特点。
变差函数的定义及示例
定义
定义变差函数，它描述了函数在给定区间上的波动情况。
示例
通过具体的例子展示变差函数的计算和应用方法。
有界变差函数的定义
1 定义
给出有界变差函数的数学定义，它是有界函数和变差函数的结合。
典型的有界变差函数
正弦函数
探讨正弦函数作为典型的有界变差函数的特性。
阶梯函数
详细解释阶梯函数作为有界变差函数的具体用法和特点。
锯齿波
介绍锯齿波作为有界变差函数的一种典型形态。
阶梯函数的分类
1 分类方法
介绍不同类型阶梯函数的分类方法和区别。
2 示例
提供几个具体的阶梯函数的例子，以便更好地理解该概念。
介绍有界变差函数的恒等式和命题，以及它们在数学推理中的应用。
应用-函数逼近
讨论有界变差函数在函数逼近领域中的应用和作用。
应用-泛函分析
介绍有界变差函数在泛函分析中的应用和意义。
数学证明
给出绝对连续函数与有界变差函数之间关系的数学证明。
有界变差函数的傅里叶级数表示

实变函数(程伟)

7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 11 11 11 11 13 13
第二章准备工作 2.1 集合论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.4
n
集合的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 映射·基数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第五章 Lp 空间 5.1 5.2 凸不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
第一章实变函数论综述第二章准备工作21集合论211集合的运算212映射基数22的拓扑23代数borel集baire定理24作为度量空间10第二章准备工作第三章抽象lebesgue积分31可测集可测函数测度32lebesgue积分33收敛的模式12第三章抽象lebesgue积分第四章上的lebesgue测度41lebesgue测度的构造42lebesgue测度的不变性43关于lebesgue测度的注记44可测函数的连续性45riemann积分与lebesgue积分的关系46上的fubini定理14第四章上的lebesgue测度第五章空间51凸不等式52空间521一般l空间522卷积52316第五章空间第六章微分61hardylittlewood极大方法611vitali覆盖定理的开覆盖我们引入vitaili覆盖定理是为了解决下面看似矛盾的因素

实变函数讲义

实变函数讲义
摘要：
一、实变函数的定义与背景
1.实变函数的定义
2.实变函数的背景与意义
二、实变函数的基本性质
1.连续性
2.可积性
3.可微性
三、实变函数的重要概念
1.实数集
2.实函数的极限
3.实函数的连续
四、实变函数的应用领域
1.数学分析
2.概率论与数理统计
3.工程与物理学
正文：
实变函数是数学中的一个重要分支，它主要研究实数集上的实函数的性质及其应用。

实变函数的定义是指，将实数集上的每一个实数映射到一个实数，满足某种性质的函数。

它的背景与意义在于，它是数学分析的基础，同时在概
率论、数理统计、工程和物理学等领域中都有着广泛的应用。

实变函数具有许多基本性质，包括连续性、可积性和可微性。

连续性是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值的变化是连续的。

可积性是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值在区间上的积分是有限的。

可微性是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值在区间上的微分是存在的。

实变函数中有一些重要的概念，包括实数集、实函数的极限和连续。

实数集是实变函数的基础，它包括了所有的实数。

实函数的极限是指，当自变量趋近某个值时，函数值的变化趋势。

连续是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值的变化是连续的。

实变函数的应用领域非常广泛，包括数学分析、概率论与数理统计、工程和物理学等。

在数学分析中，实变函数是分析的基础，它为微积分提供了理论基础。

在概率论与数理统计中，实变函数为概率分布和统计推断提供了理论基础。

有界变差函数空间

有界变差函数空间有界变差函数空间是泛函分析中的一个重要领域，它在数学和工程领域中有广泛的应用。

在本文中，我将介绍有界变差函数空间的定义、性质、应用以及相关的研究方向。

有界变差函数空间是定义在某个区间上的实值函数的集合，它是由有界变差函数组成的。

有界变差函数是指在给定的区间上，其波动幅度有界的函数。

具体地说，给定一个区间[a, b]，函数f称为有界变差函数，如果存在一个实数M，使得对于任意的分割[a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b]，有以下不等式成立：| f(x_i) - f(x_{i-1}) | ≤ M这里的|·|表示绝对值。

根据这个性质，我们可以说有界变差函数的变化是有限的，其波动幅度受到上界M的限制。

有界变差函数空间在实际问题中有许多应用。

例如，在信号处理中，有界变差函数空间可以用来描述信号的平滑性和波动性。

它在图像处理、音频处理和视频处理等领域中都有广泛的应用。

此外，有界变差函数空间也在数学分析的研究中起着重要的作用，例如在傅里叶级数的收敛性以及函数逼近理论的研究中。

有界变差函数空间具有许多重要的性质。

首先，它是一个向量空间，对于任意的有界变差函数f和g，以及任意的实数a和b，我们有af+bg仍然是一个有界变差函数。

此外，有界变差函数空间是一个完备空间，也就是说，任何收敛序列在这个空间中都有极限。

这使得有界变差函数空间成为研究动态系统和非线性泛函分析的有用工具。

另一个重要的性质是有界变差函数空间与L^p空间的关系。

对于1≤p<∞，有界变差函数空间包含在L^p空间中，并且这两个空间之间存在嵌入关系。

特别地，当p=1时，有界变差函数空间就是L^1空间。

这个结果表明有界变差函数空间在测度论和函数空间的研究中具有一定的联系。

在研究有界变差函数空间时，人们关注的一个重要问题是函数的逼近性质。

给定一个函数f，我们希望通过有界变差函数来逼近它。

这个问题在函数逼近理论中有广泛的研究，涉及到泛函分析、小波分析、数值逼近等领域。

实变函数论PPT课件

VS
牛顿-莱布尼兹公式
对于任何给定的连续函数，在区间上的定积分都可以通过求和的方式计算，该求和公式称为牛顿-莱布尼兹公式。
微分与积分的应用举例
微分的应用
积分的应用
在物理学中，微分被广泛应用于计算速度、加速度、位移等物理量；在经济学中，微分被用于计算边际成本、边际收益等经济指标。
在物理学中，积分被广泛应用于计算面积、体积、能量等物理量；在经济学中，积分被用于计算总成本、总收入等经济指标。
实数集合R在通常的度量下是连续的，即任意两个不同的实数之间都存在其他实数。
在实数集合R中，任意两个不同的实数之间都存在无限多的其他实数。
实数的运算性质
加法性质
实数的加法满足交换律和结合律，即对任意实数x、y和z，有x+y=y+x、(x+y)+z=x+(y+z)。
01
乘法性质
实数的乘法满足结合律，即对任意实数 x、y和z，有(x*y)*z=x*(y*z)。
有限覆盖定理
如果E是一个闭区间，{[a(n),b(n)}是一个开区间族，且E被 {[a(n),b(n)}覆盖，那么存在一个有限的子集族 {[a(n_i),b(n_i)}使得E被它覆盖。
03
集合论基础
集合的定义与性质
总结词
集合的基本概念和性质
详细描述
集合是由某些确定的元素所组成的，具有明确的概念和性质。集合可以通过列举法或描述法进行定义，并具有确定性、互异性和无序性等基本性质。
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目录
• 引言 • 实数理论 • 集合论基础 • 测度论基础 • 可测函数与积分理论 • 微分与积分定理 • 实变函数论的应用

实变函数课件

CHAPTER
实变函数在物理学中的应用
描述电磁场
通过实变函数，可以精确地描述电磁场的分布和变化，为电磁学的研究提供数学工
具。
解决偏微分方程
实变函数可用于解决物理学中的偏微分方程，如波动方程、热传导方程等，从而揭示物理现象的数学规律。
量子力学
在量子力学中，实变函数被用于描述粒子的波函数，揭示微观粒子的运动规律。
微观经济学
实变函数可用于描述消费者的效用函数和生产者的成本函数，揭示微观经济行为的数学规
律。
宏观经济学
通过实变函数，可以建立宏观经济模型，分析经济增长、通货膨胀等宏观经济现象的数学
机制。
金融数学
实变函数在金融数学中有广泛应用，如期权定价、投资组合优化等，为金融市场的分析和
决策提供支持。
谢谢
积分的不等式与估计
介绍积分不等式和估计的基本方法，如Holder不等式、 Minkowski不等式、Chebyshev不等式等，并举例说明其应用。
05 实变函数的微分学
CHAPTER
导数与微分的概念
导数定义
详细阐述实变函数导数的定义及其几何意义，包括左导数、右导数和导函
数等概念。
可导性判定
介绍判断函数在某点是否可导的方法，包括利用定义、导函数连续性等。
与连续性的区别
一致连续性是函数在整个区间上的性质，而连续性是函数在一点或一些点上的性质。一致连续的函数在整个区间上具有“均匀”的连续性，即函数值的变化不会太快或太慢。
性质
一致连续的函数具有有界性、可积性等性质。
04 可测函数与积分
CHAPTER
可测函数的概念与性质
可测函数的定义
详细解释可测函数的定义，包括在给定集合上的函数及其相关性质。

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21
第27讲 Lp-空间简介
| f (x) g(x) || f (x) | | g(x) | a.e.[E]
这意味着 f (x) 与 g (x) 的符号在E上几乎处处
1
相同，从而由 | f (x) | c p | g(x) | a.e.[E] 得
1
1
f (x) c p g (x) a.e.[E] 所以 f (x) c p g(x) a.e.[E] ，
由上面的讨论，显见对任意 f , g Lp (E，) 有
0 ( f , g)
7
第27讲 Lp-空间简介
即是Lp (E) Lp (E) 上非负的有限函数。它是不是Lp (E) 上的距离呢？为此，设 ( f , g) 0 ，则得
1
[ | f (x) g(x) |p dx] p 0 ， E
则显然有 [ f ] [g] 。这样，作为 Lp (E) Lp (E)
上的函数的确满足距离定义中的（i），至于（ii）则是
显而易见的，所以只需验证它是否满足（iii）。
10
第27讲 Lp-空间简介
为方便起见，以后也用 f 记 [ f ]，只要说f Lp (E)
则指的就是与 f 几乎处处相等的函数类[ f ] ，若
证毕。
由定理2不难看到 Lp (E) Lp (E上) 的函数
满足三角不等式，即对任意 f , g, h Lp (E) ，
22
第27讲 Lp-空间简介
有 ( f , g) ( f , h) (h, g) 。 1
事实上， ( f , g) [ |f (x) g(x) |p dx] p 1
|f g |p dx 0 ，且
p 1
，注意到
p

实变函数课件有界变差函数5

x1
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习题选讲（p178）
b
而对于[x1,b]的分划0：x1 b,有 | f (b) f (x1) | V ( f ) M
x1
| f (x1) || f (b) | M
n
| f (xi ) f (xi1) | | f (b) | M | f (a) | M i 1 b
n
V(,g ) |g(xi ) g(xi 1) |
i 1 n
lim
k
|
i 1
g k(xi )
g k(xi 1) |
lim
k
Vab(g
k
)
M
所以Vab(g ) supVab(g k ) ，证毕。 k
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三. 有界变差函数的类型
f
类型1：有界闭区间上的有限单调函数都是有界变差函数。
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二. 有界变差函数的性质
性质6 设 f 是[a,b]上的有界变差函数，c 是(a,b )内任一数，则(p150Th2(1))
Vab(f ) Vdc(f ) Vcb(f ) 。
证明：由全变差定义，对任意 0，可以找到分划 1 : a x0 x1 xn c 及分划 2 : c y 0 y1 y m b ，
f (x) g(x) h(x)。由Lebesgue定理( p143)知增函数g(x)和h(x)存在导数
g ' (x)和h' (x) a.e. 于[a,b]
所以f ' (x) [g ' (x) h' (x)] 存在 a.e. 于[a,b]。
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实变函数论西南辅导课程十五至十八PPT课件

（2）设 f x 在 E 上 L 可积，则f x
在E 上几乎处处有限，即 mE| f | 0 ；
第42页/共97页
（3）设 f x 在 E 上积分确定，则 f x 在 E 的任何可测子集 A 上也积分确定，并且区域可加性成立。即如果 E A B ，A 与B 皆可测且 A B ，则
第23页/共97页
第三节勒贝格积分的性质本节在前一节定义的基础上，重点讨论勒贝格积分的性质，这些性质与黎曼积分的性质十分相似。通过本节的学习，我们要掌握勒贝格积分的性质。
第24页/共97页
在下面的定理中， E 是测度有限的可测集， f x等是定义在 E 上的有界函数， L可积就简称可积。
第2页/共97页
第一节黎曼积分本节简要回顾黎曼积分的定义及可积条件，用测度的观念给出了函数黎曼可积的一个充要条件。通过本节的学习，我们要知道一个非常重要的结论：函数黎曼可积的充要条件是函数几乎处处连续。
第3页/共97页
定义 1 设 f x 在a,b有界，T
表示 a, b 的任一分划
bmE sD, f SD, f BmE 。
（2）设分划 D/ 比 D 细，则
sD, f s D/ , f ， SD, f S D/ , f 。
第15页/共97页
（3）对于任两个分划 D/ 比 D
总有 sD, f SD / , f ，
（4）sup sD, f inf SD, f ，这
分，f x 0 且 E f xdx 0，则 f x 0 在 E 上几乎处处成立。
（2）设 f x在 E 上可积分，则对
任何可测集 A E ，有
lim
mA 0
A
f
xdx
0

实变函数有界变差函数_OK

，则
特别地，也[f c是, d ]上的有[a界,变b差]函数。
Vab ( f ) Vcd ( f )
[c, d]
31
第四节有界变差函数
证明：任取的一个分划
[，c, d ] 对应到 :的c一个分x0划 x，1 于是 xn d ，进而
，[证a毕,。b] ~ : a ~x0 ~x1 x0 ~x2 ~xn1 xn ~xn2 b
10
第四节有界变差函数
[a, b] 定理5 设 f 是上的单调增加有限函数，那么是
Lebesgue可积函数，且
上的
。 f ' [a,b]
f '(x)dx f (b) f (a)
[ a ,b ]
11
第四节有界变差函数
证明：将 f 扩充到上，对任[意a, b 1]
，令
，并令
x (a, b 1] f (x) f (b)
所以 Vab (af g) | a |Vab ( f ) | |Vab (g)，证毕。
27
第四节有界变差函数
性质3 设
f , g [a, b] 是上的有界变差函数，则也是有界变差函数。 fg
证明：由性质1知存在 M，使得，
设| f为(x)的| 任一M分划： , | g(x) | M
定义6 设 f 是上的有限函数，若在上
，且 f 不恒
为常数，则称 f 为上的奇异函数。
[a, b]
[a, b] f (x) 0 a. e.
[a, b]
17
第四节有界变差函数
三．有界变差函数的定义
问题4：[a,b]上单调函数除了跳跃度总和不超过
，其任一
分划所对应分点的函数值之差的总和是否必有限？

§5.2 有界变差函数

因此
x2
x1
V ( f ) + f ( x1 ) ≤ V ( f ) + f ( x 2 ). a a
这表明 g ( x1 ) ≤ g ( x 2 ). 即 g 是单调增加的.类似可证 h 也是单调增加的.■ 推论 4 设 f 是 [a, b] 上的有界变差函数. 则 (1) (2) (3)
x1
x2
0
x0 +δ
(7)
由于 {t i }i =1 是区间 [t1 , x0 + δ ] 的一个分割, 因此
n
∑
i =2
n
f (t i ) − f (t i −1 ) ≤ V ( f ).
t1
x0 + δ
(8)
利用(7),(8)两式, 我们有
V (f)= V (f)− V (f) x x
0 0
t1
x0 +δ
x ∈ ( x0 , x0 + δ ) 时 ,
f ( x) − f ( x0 ) < ε .
n
取区间 [ x0 , x0 + δ ] 的一个分割
x0 = t 0 < t1 < " < t n = x0 + δ , 使得
∑
i =1
f (t i ) − f (t i −1 ) > V ( f ) − ε. x
i =1
n
≤ ∑ f ( xi ) − f ( xi −1 ) + ∑ g ( xi ) − g ( xi −1 ) ≤V ( f ) +V ( g ). a a
因此 f + g 是 [a, b] 上的有界变差函数, 并且(1)式成立. 故 (iii) 得证. 往证 ( v) 成立. 对 [a, c] 的任一分割 {xi }i =0 和 [c, b] 的任一分割 {xi′}i =0 , 将它们合并后

实变函数直播课程课件

设X是一个无限集取，x1, x2 ,L,
xn ,L X是互不相同的元素。
令X 0 {x1 , x2 ,L, xn ,L}。作映射 f : X X \ {x1}，
f
(
x)

xn1 x,
,
当x x（n n 1,2,3,L）时，
当x

X
3,L, xn x,则x A A A' A。：设x A',则存在xn A, n 1,2, 3,L, xn x，从而x A, 因此 A' A,故A是闭集。
第三章测度论
主要内容外测度及其性质。 Lebesgue 可测集及其性质。
3 理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。
4 理解直线上开集、闭集、完备集的构造。
5 理解康托集的构造、特性。
例1
已知某一平面点集E，其所有相异两点的距离的下确界是正的，则E没有极限点。
设r inf{d( x, y) | x y, x, y E} 0。
直播课程二
例4：
设A为平面上以有理点为中心，以有理数为半径的圆组成的集合。则A为可数集。
O A,O O(a,b, r)
{ } ( x, y) R2 | ( x a)2 ( y b)2 r 2
其中a,b, r Q。
十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没导数，这个证明使许多数学家大为吃惊。

实值有界变差函数的一些性质

数! 再设
! ! % 0 $ % M J O L !!!$&M+" ! M $ % 9 M @/ 1!!!$ M@$ !! 则
% % ! % 0 $ % ! M J O L h J O L L G 9 !$&M+" % ! M ! M ! M $ % H M @ 9 / 1!!!!$ M@$ 所以* $ % ! 因此在 " ! # 上满足E H M *+!h $" G T % P 9 9
收稿日期 ! ! $ $ % $ " " , 作者简介 ! 董立华 " ! 女! 山东平原人 ! 学士 ! 教授 ! 主要从事函数论方面的研究 * " + % #
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董立华 ) 实值有界变差函数的一些性质 " " " " R$ % 1R$ $% @"h h h ’ h ! 3 ! / 3 因而得到 N $ R% @hq /
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$ %设 3#J 且M- $ & ! 则 G $! " 3# " !$ % $ % ! % L G 9 +M+ & & L LM @ M 3 M 1 M 3 ! ! $ %若 M- " & # ! 则 G G " 3! "
的全变差却是无穷大 ! 事实上 ! 在% & 中取分点 $! " $& " " " & & & ) " # ) 3 ! . 3 31" ! %h % % . %h % .

有界变差函数-北京师范大学数学科学学院

有界变差函数与不定积分
0.2 0.4 0.6 0.8 1
记号: x0 0, x1 1 x2 = 1
2n
，
1/6
1/2
-0.4
,...,x2 n 1 = 1 ,x2 n =1. 2n 1 2
2 n1 i1 n
则 V( f ,T) | f ( xi ) f ( xi1) | 2 1 i.
参数曲线 L：
x ( t ), y ( t ),
t [ a, b].
分划 T：a t0 t1
折线长 L b
2
1 2
{( (ti ) (ti 1 ) ( (ti ) (ti 1 ) }
i 1
| (ti ) (ti 1 ) |
i 1 i 1
n
2 有界变差函数
定义2.1.设 f(x) 是[a,b]上的有限函数，在[a,b]上任取一分点组 T
a x0 x1 xn b ,
称VT ( f ; a, b) | f ( xi ) f ( xi1) |
i 1 n
为 f(x) 对分点组T的变差.
a b
的有界变差函数 ( f BV [a, b] ).
例2.1. 闭区间上的单调函数一定是有界变差函数
[
]
分划P， V( f , P) | f ( xi ) f ( xi1) || f (b) f (a) | .
a i 1 b n
所以，V( f ) | f (b) f (a) | .
n
和 | (ti ) (ti 1 ) | 都
i 1
n
{( (ti ) (ti 1 ) ( (ti ) (ti 1 ) }

实变函数论课件20 有界变差函数

有界变差函数 有界变差函数

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