实变函数论课件20 有界变差函数

(ii) f (x) 在[a,b] 上几乎处处可微, 并且 f (x) 是[a,b] 上的可积函数，且
b
b
| f '(x) | dx V ( f ).
a
a
证明 (i)由定理 3 : f ,, 单调不减函数, 及单调函数的连续性质:只可能有第一类不连续点或可去不连续点, 并且不连续点至多 为可列个. 立即得证. (ii)由定理 3: f ,, 单调不减函数, 及第一节定理 3、4 , 几乎处处可微且, 可积 f ' ' '可积.
i 1
max
n
(ti ) (ti1) ,
n
(ti
)
(ti
1
)
(T )
n
(ti ) (ti1) (ti ) (ti1) ,
i1
i 1
i 1
所以曲线 C 可求长的充要条件是数集
n
(ti ) (ti1) 、
n
(ti ) (ti1) 均有界.
i1
i1
1
定义 2 设 f (x) 是 [a, b] 上的有限函数, 作[a, b]的划分 T : a x0 x1 xn1 xn b.
n
我们把非负实数
f (xi ) f (xi1) 称为 f (x) 相应于划分 T 的变差, 记作V ( f ;T ) 或
i 1
V ( f ; x0 , x1,, xn ).
把非负数
supV (
f
;T) |T
为 [a, b]的划分
称为
f
b
(x) 在[a,b]的全变差, 记作V (
f
).
a
b
若V ( f ) ，换句话说, 若 f (x)的一切变差所组成的数集 a V ( f ;T ) |T 为[a,b]的划分
同理,当 x x(x、x[a,b]) 时
x
x
x
x
x
f (x) f (x) f (x) f (x) V ( f ; x, x) V ( f ) V ( f ) V ( f ) V ( f ) f (x) V ( f ) f (x).
x
a
a
a
a
所以 (x) 单调不减.
注 把一个有界变差函数表示成两个单调不减函数的差, 表示法不是唯一的.
V
x1
(
f
)
V
(
f
;
x0
,
x1,,
xn
)
2
V
(
f
;
x1,,
xn
)
f (x1)
f ( ) , 2
所以当 x ( , x1) 时
x
x
x1
V( f )V( f ) V( f ) V( f ) .
x
即 是V ( f )的右方连续点.
a
a
a
x
同理可证 f (x)的左方连续点必是V ( f )的左方连续点.
这是因为相应于任意T : a x0 x1 xn1 xn b,
n
V ( f ;T ) f (xi ) f (xi1) f (b) f (a) . i 1
注 [a,b]上满足lipschitz条件的函数 f (x) 是有界变差函数.
注 有界变差函数未必是连续函数.
例2
闭区间上的连续函数不一定是有界变差函数. 例如
证明 (i)对任意 x (a,b), 故
x
x
b
b
f (x) f (a) V ( f ;a, x) V ( f ) V ( f ) V ( f ) V ( f )
a
a
x
a
b
f (x) f (a) f (x) f (a) f (a) V ( f ) a
所以 f (x) 在[a,b] 上有界.
6
a
定理 3 (Jordan分解定理)若 f (x) 是[a,b]上的有界变差函数, 则 f (x) 可表为两个单调不减函数 (x) 与 (x) 之差.
证明 作[a,b] 上的函数 显然 f (x) (x) (x).
(x)
1 2
Vax (
f
)
f
( x),
( x)
1 2
Vax (
f
)
f
( x).
(3)
由定理 2 证明中的（2）知,当 x x(x、x[a,b]) 时
x
x
x
x
x
f (x) f (x) f (x) f (x) V ( f , x, x) V ( f ) V ( f ) V ( f ) V ( f ) f (x) V ( f ) f (x).
x
a
a
a
a
ຫໍສະໝຸດ Baidu
所以 ( x)单调不减.
有界,就称 f (x) 是 [a,b] 上的有界变差函数.
由前面的分析立即知
命题1 设 C 为参数方程x (t) , ( t )表示的连续曲线, y (t)
则 C 可求长 (x) 与 (x) 都是 [， ] 上的有界变差函数.
2
b
例1 [a,b] 上的单调函数 f (x) 是有界变差函数, 并且 V ( f ) f (b) f (a) . a
8
设 [a,b) 是 f (x) 右连续点, 则对 0, 0 b , 当 x ( , ) 时, f (x) f ( ) . 2
作[ , ]的划分 x0 x1 xn1 xn , 使
V
(
f
;
x0
,
x1
,,
xn
)
V
(
f
)
2
.
由于
x1
V
(
f
)
V
(
f
)
第20讲 有界变差函数
21 可求长曲线有界变差函数的定义
设C
是参数方程xy
(t) , (
(t)
t
)表示的连续曲线,
其中(t)
与
(t)
是 [，
] 上的连续函数
作[， ]的划分
T : t0 t1 tn1 tn .
相应与划分 T 得到 C 的一组分点 Pi ((ti ), (ti )), i 0,1,, n 1, n. 依次连接 C 上相邻分点得到 C
B f (xi ) f (xi1) A g(xi ) g(xi1) ,
b
b
所以 V ( fg;T ) B V ( f ;T ) AV (g;T ) B V ( f ) AV (g) .
a
a
可见 f (x) g(x) 是有界变差函数.
5
定理 2 设 f (x) 是[a,b] 上的有界变差函数, 则
a
a
可见 f (x) g(x) 是有界变差函数.
由(ii)知存在实数 A、B 使在[a,b] 上 f (x) A, g(x) B. 由于
f (xi )g(xi ) f (xi1)g(xi1) f (xi )g(xi ) f (xi1)g(xi ) f (xi1)g(xi ) f (xi1)g(xi1)
b
(ii) 由于
V(
f
; a,
y1,,
yn1, c)
V(
f
; c,
z1,,
zm1, b)
V(
f
; a,
y1,,
yn1, c, z1,,
zm1, b)
V(
a
f
)
c
b
b
所以 V ( f ) V ( f ) V ( f ).
(1)
a
c
a
4
对 [a, b]的任意划分 a x0 x1 xn1 xn b, 必存在 i 使 xi c xi1. 由于
f (xi1) f (xi ) f (xi1) f (c) f (c) f (xi ) ,
c
b
所以
V(
f
; a, x1,, xi , xi1,, xn1, b) V (
f
; a, x1,, xi , c) V (
f
;
c,
xi
1
,,
xn1
,
b)
V
a
(
f
)
V(
c
f
).
b
c
b
因此
V ( f ) V ( f ) V ( f ).
f
( x)
x
cos
2x
,
x
(0,1]
时，
0，
x 0时
是 [0，1] 上的连续函数, 相应于每个 n N, 作[0，1]的划分
Tn
:
0
1 2n
1 2n 1
1 3
1 2
1,
易知
x cos 2x
x 1 0, 2k 1
x cos 2x
x 1 2k
1, 2k
2n
i 1
f (xi )
f
( xi 1 )
(2)
a
a
c
由(1)(2)即知可加性成立.
(iii)设 T : a x0 x1 xn1 xn b.由于
[ f (xi ) g(xi )] [ f (xi1) g(xi1)] f (xi ) f (xi1) g(xi ) g(xi1) ,
b
b
所以 V ( f g;T ) V ( f ;T ) V (g;T ) V ( f ) V (g) .
注：有界变差函数至多有可数个不连续点.
x
x
x
(ii)若 x、x[a,b], x x, 则 f (x) f (x) V ( f ; x, x) V ( f ) V ( f ) V ( f ), （2）
x
a
a
x
可见V ( f )的右（左）方连续点必是 f (x)的右（左）方连续点. 事实上， a
2n i 1
1 2i
由调和级数发散知 V ( f ;T ) .所以 f (x) 不是 [0，1] 上的有界变差函数.
3
2 2 有界变差函数的性质
定理1 (i) 若 f (x) 是 [a,b] 上的有界变差函数, 则 f (x)在[a,b] 上有界. (ii)设 a c b.则 f (x) 在[a,b] 上有界变差 f (x) 分别在[a, c]、[c,b] 上有界变差；且
b
c
b
V ( f ) V ( f ) V ( f （ ). 可加性）
a
a
c
(iii)若 f (x)、g(x) 都是 [a,b] 上的有界变差函数, 则 f (x) g(x), f (x) g(x)也是 [a,b] 上
的有界变差函数.
注：f (x) 在[a,b]上有界变差，则f (x) 在任意子区间[c, d] [a,b]上有界变差.
例如,把（3）式所定义的(x)与 (x) 分别加上 (x) 得
x
(x) V ( f ), a
x
v(x) V ( f ) f (x). a
显然 (x) 与 v(x) 单调不减, f (x) (x) v(x).
7
定理 4 设 f (x) 是 [a,b] 上的有界变差函数, 则
(i) f (x) 在[a,b] 上只可能有第一类不连续点或可去不连续点, 并且不连续点至多为可列个；
x
a
(i) (x) V ( f ) 是[a,b] 上的非负单调不减函数(我们规定V ( f ) 0)；
a
a
x
(ii) V ( f ) 与 f (x) 有相同的右(左)连续点,从而有相同的连续点. a
(i)设x1
x2，则
(x2 )
x2
V(
a
f
)
x1
V(
a
f
)
x2
V(
x1
f
)
x1
V(
a
f
)
(x1).
的内节折线 C(T ).记 C(T )的长为 (T ).
定义1 设 C 为上述参数方程表示的连续曲线,若数集 (T ) | T 为[ , ]的划分 有界,
就称 C 是可求长曲线, 并称
l sup(T ) | T 为[, ]的划分
为曲线 C 的长.
则 由于
n
(T )
[(ti ) (ti1)]2 [ (ti ) (ti1)]2 ,