实变函数论主要知识点
实变函数期末总结高中
实变函数期末总结高中一、实变函数的定义及基本性质1. 实变函数的定义实变函数是指定义域和值域都是实数的函数。
一般情况下，实变函数可以用解析式表示，例如：y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
关于实变函数的定义，我们需要注意以下几点：（1）实变函数的定义域是指函数自变量能取到的所有实数的集合。
（2）实变函数的值域是指函数因变量能取到的所有实数的集合。
（3）在实变函数中，自变量和因变量之间存在着一种确定的对应关系。
2. 实变函数的性质（1）有界性：实变函数的定义域上，函数值是否有上界或下界。
（2）单调性：实变函数的增减趋势是递增还是递减。
（3）奇偶性：实变函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴对称，或者具有某种周期性。
（4）周期性：实变函数在某一区间上是否有重复的特点。
（5）连续性：实变函数在定义域上是否连续。
（6）可导性：实变函数在某一点处是否存在导数。
二、实变函数的常见类型及特点1. 基本初等函数（1）常数函数：f(x) = c，其中c为常数。
常数函数的图像是一条水平直线。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数。
当n为偶数时，函数图像关于y轴对称；当n为奇数时，函数图像关于原点对称，同时具有单调增或单调减的特点。
（3）指数函数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。
指数函数的图像呈现出递增或递减的特点。
（4）对数函数：f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1。
对数函数的图像关于y=x对称，并且图像从左下到右上递增。
（5）三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的图像具有周期性。
2. 变量变换实变函数的研究常常需要通过变量变换来简化表达式或改变函数的性质。
（1）平移变换：对于函数y=f(x)，平移变换的一般形式为y=f(x-h)+k，其中h表示x轴上的平移量，k表示y轴上的平移量。
平移变换可以改变函数图像的位置。
（2）伸缩变换：对于函数y=f(x)，伸缩变换的一般形式为y=af(bx)+c，其中a表示y轴上的伸缩因子，b表示x轴上的伸缩因子，c表示y轴上的平移量。
实变函数知识点简要总结
实变函数知识点简要总结实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。
本文将对实变函数的相关知识点进行简要总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、实变函数的定义与性质1. 实变函数的定义：实变函数是定义在实数集上的函数，即自变量和函数值都是实数。
2. 实变函数的性质：实变函数可以进行加法、乘法、求和、求积等运算，并具有可加性、可乘性、可积性等性质。
二、实变函数的连续性1. 实变函数的连续性：一个实变函数在某点连续，意味着当自变量趋近于该点时，函数值也趋近于该点的函数值。
2. 实变函数的间断点：如果一个实变函数在某点不连续，那么该点就是函数的间断点。
常见的间断点类型包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
三、实变函数的导数与微分1. 实变函数的导数：实变函数的导数描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义是函数在该点的极限值。
2. 实变函数的微分：实变函数的微分是函数在某一点附近的近似线性变化。
微分可以用来估计函数值的变化。
四、实变函数的极限1. 实变函数的极限：实变函数的极限描述了函数在自变量趋近于某一点时的趋势。
常见的极限类型包括左极限、右极限和无穷极限。
2. 实变函数的无穷大与无穷小：当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于无穷大或无穷小，可以用来描述函数在该点的特性。
五、实变函数的积分1. 实变函数的不定积分：实变函数的不定积分描述了函数在某一区间内的累积变化量。
不定积分可以用来求解定积分和求函数的原函数。
2. 实变函数的定积分：实变函数的定积分描述了函数在某一区间上的平均值或累积值。
定积分可以用来计算曲线下的面积或求解物理、经济等问题。
六、实变函数的应用实变函数在自然科学、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，实变函数可以描述质点的运动轨迹；在经济学中，实变函数可以描述市场需求函数；在工程学中，实变函数可以描述电路中电流和电压之间的关系。
实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。
实变函数论 华章
实变函数论华章实变函数论是数学分析的一个分支，研究实数域上的实变函数。
实变函数论是数学分析中的重要内容之一，也是微积分和函数论的基础。
本文将介绍实变函数论的基本概念和性质，以及一些常见的实变函数的特点。
一、实变函数的基本概念实变函数是自变量和因变量都是实数的函数。
在实变函数论中，我们主要研究函数的定义域、值域、连续性、可导性等性质。
定义域是指函数自变量的取值范围，也就是函数所能接受的实数集合。
对于实变函数而言，定义域通常是实数集合的一个子集。
值域是函数所有可能取到的值的集合。
对于实变函数而言，值域是实数集合的一个子集。
连续性是指函数在定义域内的任意一点都存在极限，并且函数的极限等于函数在该点的函数值。
连续性是实变函数的重要性质之一，它决定了函数的很多性质。
可导性是指函数在某一点处存在切线的斜率，也就是导数。
可导性是实变函数的另一个重要性质，它决定了函数的变化率和极值点的存在性。
二、实变函数的特点在实变函数论中，有一些常见的实变函数具有特殊的性质。
1. 多项式函数：多项式函数是实变函数中最简单的一类函数。
它们具有良好的代数性质，可导性和连续性都成立。
2. 幂函数：幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a是任意实数。
幂函数的性质与指数的性质密切相关，可导性和连续性也与指数的奇偶性有关。
3. 指数函数：指数函数是指形如y=a^x的函数，其中a是任意正实数且不等于1。
指数函数的定义域是整个实数集，它具有良好的连续性和可导性。
4. 对数函数：对数函数是指形如y=loga(x)的函数，其中a是任意正实数且不等于1。
对数函数的定义域是正实数集，它具有良好的连续性和可导性。
5. 三角函数：三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数等函数。
它们具有周期性和奇偶性等特点，具有良好的连续性和可导性。
三、实变函数的应用实变函数在数学和物理学等领域有广泛的应用。
1. 在微积分中，实变函数论是微积分的基础。
通过研究实变函数的连续性和可导性，可以得到函数的导数和积分等重要结果。
实变函数知识点总结
实变函数知识点总结
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。
以下是实变函数的一些重要知识点总结：
1. 定义域和值域
实变函数的定义域是实数集，即函数可以接受任何实数作为自变量。
而函数的值域则是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
2. 极限
极限是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
当自变量趋近于某一点时，函数的输出值也会趋近于一个特定的值，这个值就是函数在该点的极限。
3. 连续性
连续性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的连续程度。
如果函数在某一点处的极限等于该点的函数值，那么该函数在该点处是连续的。
4. 导数
导数是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数可以用来求函数的最大值、最小值以及函数的凸凹性等。
5. 积分
积分是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一区间内的面积或体积。
积分可以用来求函数的平均值、总和以及函数的变化趋势等。
6. 奇偶性
奇偶性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的对称性。
如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。
7. 周期性
周期性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的重复性。
如果函数满足f(x+T)=f(x)，那么该函数是周期函数，其中T 为函数的周期。
以上是实变函数的一些重要知识点总结，掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用实变函数。
实变函数 讲义
实变函数讲义【最新版】目录1.实变函数的定义和基本概念2.实变函数的性质和特点3.实变函数的分类和应用4.实变函数的典型例子和解析5.实变函数的数学工具和方法正文实变函数是数学中的一个重要分支，主要研究实数的变化规律和特性。
实变函数的定义是指以实数为自变量，以实数或实数集合为函数值的函数。
下面，我们将详细介绍实变函数的相关内容。
首先，实变函数具有以下性质和特点：1) 实变函数的值域为实数集或实数集合。
2) 实变函数可以是单射、满射或双射。
3) 实变函数可以具有连续性、可导性和积分性等性质。
其次，实变函数可以分为不同的类型和应用领域，如：1) 实数域上的实变函数，主要研究实数的变化规律；2) 复数域上的实变函数，主要研究复数的变化规律；3) 高维空间上的实变函数，主要研究高维空间的变化规律；4) 实变函数在物理学、工程学和经济学等领域具有广泛的应用。
接下来，我们来看实变函数的典型例子和解析：1) 指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)，它是一个在实数域上的实变函数，具有连续性、可导性和正态分布等特点。
2) 对数函数：y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)，它也是一个在实数域上的实变函数，具有单调性、可导性和反函数等特点。
3) 三角函数：y = sin(x)、y = cos(x)、y = tan(x)，它们是在实数域上的周期函数，具有周期性、连续性和可导性等特点。
最后，研究实变函数需要运用一些数学工具和方法，如：1) 微积分：求导、积分和微分方程等；2) 级数：级数收敛性和级数求和等；3) 拓扑：极限、连续性和紧致性等；4) 实分析：实数的完备性、实数的连续性和实数的可微性等。
总之，实变函数作为数学中的一个重要分支，具有广泛的应用和深远的影响。
实变函数知识归纳总结
定理 6 若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则 A ∪ B ～ A 由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射； 设 B = {b1 , b2 ,
} 为可数集， A ∩ B = ∅ ，由性质１知，Ａ存在可数子集
A1 = {a1 , a 2 ,
} ，作映射 f : A ∪ B → A
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
α ∈Λ
∩ ζ α 是 X 上的环（或代数） 。
, 有 ∩ En ∈ ζ ； n =1
, 有 lim En ∈ζ , lim En ∈ζ ； n→∞
n→∞
∞
(α ∈ Λ ) 为 X 上 σ
环（ σ 代数） ，则 ∩ ζα 是 X 上 σ 环（ σ
α∈Λ
代数） 。
定理 8 设 A 是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数，
−1
( ∩ B )= ∩T
α∈Λ α α∈Λ
−1 c
−1
( Bα )( Bα ⊂ Y,α ∈Λ) ;
c
−1
( B ) = (T ( B ) )
由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好 注解：①、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为
空集即可； ②、 一般T -1 (T ( A) ) ⊃ A，当T为单射时,有T -1 (T ( A) ) = A ③、 一般T T −1 ( B ) ⊂ B，当T为满射时,有T T −1 ( B ) = B 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 二、集合的势 定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称集合 A 与Ｂ对等， 记为 A~B 注解：①、对等关系是等价关系 ②、设 {
α∈Λ α∈Λ
实变函数论
实变函数论实变函数论是数学分析领域中非常重要的一个分支。
它主要研究实数域上的函数，涉及到微积分、拓扑、测度论等多个数学分支，具有广泛的应用和深刻的理论意义。
一、实变函数的连续性和一致连续性实变函数中，连续性和一致连续性是非常基础的概念。
在实变函数论中，我们经常需要用到这两个概念来描述函数的性质。
连续性是指函数在某一点处的极限等于函数在该点处的函数值。
更准确地说，设$f(x)$为定义域上的一函数，$x_0$为定义域上的一点，则$f(x)$在$x_0$处连续等价于满足以下条件：$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$而一致连续性则更为强，它指的是函数在整个定义域上均满足某一性质，即在整个定义域上均具有连续性。
形式化地，设$f(x)$为定义域上的一函数，则$f(x)$在定义域上一致连续等价于满足以下条件：$$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\text{s.t. }|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$$连续性和一致连续性是实数域上函数的最基本的性质，是很多其他性质和定理的前提条件。
二、实变函数的导数和微分微积分中，导数和微分是非常基础的概念。
在实变函数中，我们同样需要研究函数的导数和微分。
导数描述的是函数在某一点处的变化率，它是一个极限。
对于实变函数$f(x)$，在$x_0$处的导数定义为：$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$微分是一个线性近似，用直线去接近曲线。
对于实变函数$f(x)$，在$x_0$处的微分为：$$df(x_0)=f'(x_0)dx$$在实变函数中，导数和微分的性质有很多，比如说链式法则、洛必达法则等，这些性质在高等数学中都会有所涉及。
三、实变函数的积分积分是微积分中非常重要的一个概念，是研究实变函数的重要手段。
《实变函数论》
《实变函数论》实变函数论是数学的一个重要分支，可以用来分析数学中各种基本实变函数的性质。
它主要是研究如何利用导数、积分、最值和定积分来研究实变函数的性质。
它是求解不可逆微分方程的基础。
它也是研究复变函数性质的基础，把复变函数看作一种特殊的实变函数。
实变函数论包括实值变量函数的微分、积分、最值等，还包括复变量函数的性质。
它是数学分析中的重要分支，与特殊函数论、复变函数论有着密切的关系。
实变函数论中最基础的概念是数量级和极限。
数量级指的是极限的概念，表示随着实变量的变化，函数值的变化程度。
极限是指当实变量接近某个数值时，函数值在某一点处的极限值。
而对极限的深入研究，就是实变函数论的重要内容。
实变函数论几乎可以关注任何一个实变函数的性质，从最基础的极限研究，到有关积分的性质，以及利用实变函数来求解某个特殊的微分方程。
因此，实变函数论的研究对解决各种数学问题都有重要的意义。
实变函数论的重要技术有微分、积分、微分不变性、莱布尼茨定理等等。
它们在极限和积分研究中发挥着重要作用，也是研究复变函数性质的基础。
实变函数论的重要应用在于各种不可逆微分方程的求解。
它可以通过求解它们的极限和积分来解决。
比如，必经微分方程，可以用它的极限和积分来解决；简单自变量微分方程，也可以用它的导数来解决。
由于实变函数论的应用十分广泛，它也与其他学科有着良好的交流和联系。
总之，实变函数论是数学分析中的重要分支，有着重要的研究和实际应用价值，其中涉及到复变函数、微分、积分、最值、极限和定积分等数学基础概念，也与其他学科有着密切的关系。
学习实变函数论不仅有利于研究基础数学，而且可以运用到工程学和其他许多科学中。
数学的实变函数
数学的实变函数实变函数是数学中一个重要的概念，它在分析学、微积分和数学分析等领域具有广泛的应用。
本文将介绍实变函数的基本概念、性质以及与其他数学概念的关系。
一、实变函数的定义实变函数是指定义在实数集上的函数，即其定义域为实数集，值域可以是实数集或实数集的子集。
一般用符号y=f(x)表示，其中x为自变量，y为因变量。
二、实变函数的基本性质1. 连续性：实变函数可以分为连续函数和不连续函数两种情况。
连续函数在其定义域上处处连续，即函数图像没有突变或跳跃的现象；不连续函数在其定义域上存在断点，函数图像存在间断。
2. 导数：对于实变函数，我们可以定义其导数。
导数描述了函数在某一点处的变化率，是刻画函数局部性质的一个重要指标。
导数的存在与函数的连续性密切相关。
3. 积分：实变函数的积分是对函数曲线下某一区间上的面积进行求解。
积分与导数是密切联系的，通过积分我们可以求得导函数，反之亦然。
积分对于实变函数的研究具有重要意义。
4. 极限：实变函数的极限是指函数在某一点处的趋近值。
极限是函数性质研究的基础，通过对极限的探讨，我们可以研究函数在无穷远处的行为以及函数的收敛性。
三、实变函数与其他数学概念的关系1. 实数与实变函数：实数是实变函数的定义域，实变函数的取值是实数。
实数与实变函数密切相关，在数学分析中一个重要的研究方向就是实数与实变函数的关系。
2. 多元函数与实变函数：实变函数是多元函数的一种特殊情况，多元函数是指定义在多元实数空间上的函数。
实变函数可以看作是只有一个自变量的多元函数。
3. 函数的极限与实变函数：实变函数的极限是刻画函数局部行为的重要概念。
函数的极限是不仅限于实变函数，也适用于其他类型的函数。
四、实变函数的应用实变函数的应用广泛，涉及到物理学、工程学、经济学等多个领域。
例如，在物理学中，实变函数可以用来描述物体的运动轨迹；在经济学中，实变函数可以用来分析市场需求与供给的关系。
总结：实变函数作为数学中的一个重要概念，具有广泛的应用价值。
实变函数论中的基本概念及性质分析
实变函数论中的基本概念及性质分析实变函数论是数学分析中的重要内容，主要研究实变函数的基本概念和性质。
实变函数是指定义域和值域都是实数的函数，在实际问题中具有广泛应用。
本文将从实变函数的基本概念、连续性、可导性、极限以及函数的性质等方面对实变函数进行分析。
一、实变函数的基本概念实变函数是数学中最基本的概念之一，它与虚变函数相对应，是指定义域和值域都是实数的函数。
实变函数可以表示为f：D→R，其中D为定义域，R为值域。
实变函数的定义域可以是一个区间、多个区间的并或交，甚至是整个实数集。
实变函数的定义有一些特点，首先是唯一性，同一个定义域和值域的实变函数只能有一个。
其次是有定义性，即每个值域中的元素都有相应的定义域中的元素与之对应。
此外，实变函数还具有有界性、单调性、周期性等多种性质。
二、实变函数的连续性和可导性连续性和可导性是实变函数的重要性质，对于函数的性质和应用具有重要意义。
连续性是指在定义域上函数的变化没有突变，没有间断点。
实变函数在某一点x=c处连续的充分必要条件是：函数在x=c处的极限存在且等于函数在x=c处的值。
如果函数在定义域的每一点处都连续，则称函数在该定义域上连续。
可导性是指函数在某一点处的导数存在。
实变函数f(x)在点x=c处可导的充分必要条件是：函数在点x=c处的两侧导数存在且相等。
如果函数在定义域的每一点处都可导，则称函数在该定义域上可导。
三、实变函数的极限极限是实变函数论中的重要概念，用于描述数列或函数在某一点处的逼近情况。
对于实变函数f(x)，当x无限靠近a时，f(x)无限靠近L，我们称L是函数f(x)在点x=a处的极限。
实变函数的极限有一些基本性质，如保号性、四则运算、夹逼准则等。
利用这些性质，我们可以求解实变函数的极限，帮助我们更好地理解和分析函数的行为。
四、实变函数的性质分析实变函数的性质分析是数学分析中的重要内容，可以帮助我们更深入地研究函数的特点和应用。
实变函数的性质有很多，如有界性、单调性、周期性、奇偶性等。
实变函数知识点总结
第一章 集 合1 集合的运算一、集合的概念定义1 设有两个集合A，B。
若x A ∈，必有x B ∈，则称A 是B 的子集或B 包含A，记为A B B A ⊂⊃或。
若A B ⊂，且存在x B ∈满足x A ∉，则称A 是B 的真子集。
若A B B A ⊂⊂且，则称A 与B 相等或相同。
定义2 设Λ是一个非空集合，对于每个α∈Λ，指定一个集合A α，于是得到许多集合，它们的总体称为集合族，记为{}|A αα∈Λ或{}A αα∈Λ。
二、集合的运算定义3 设A，B 是两个集合。
（1） 称集合{}|A B x x A x B ∪=∈∈或为A 与B 的并集，即由A 与B 的全部元素构成的集合；（2） 称集合{}|A B x x A x B ∩=∈∈且为A 与B 的交集，即由A 与B 的公共元素构成的集合；定理1（1）交换律 A B B A ∪=∪，A B B A ∩=∩；（2）结合律 ()()A B C A B C ∩∩=∩∩,()()A B C A B C ∩∩=∩∩; （3）分配律()()()A B C A B A C ∩∪=∩∪∩()()()A B C A B A C ∪∩=∪∩∪。
更一般地有 （4）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∪∩=∩∪；（5）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∩∪=∪∩；（6）设{}n A 和{}n B 为两集列，有()111n n n n n n n A B A B ∞∞∞===⎛⎞⎛⎞∪∪=∪∪∪⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠。
定义4 设A，B 是两个集合，称集合{}\|A B x x A x B =∈∉且是A 和B 的差集，即在集合中而不在集合B 中的一切元素构成的集合。
如果B A ⊂，则称\A B 为B 相对于A 的补集或余集。
定理2 （1）(),,,,cccc c c A A X A A AA X X ∪=∩=∅==∅∅=；（1）A ζ⊂；（2）任何包含A 的环（或代数，或σ环或σ代数）*ζ，必有*ζζ⊂。
实变函数知识点总结
引言：实变函数是数学分析中的重要概念，是研究函数性质的基础。
在这篇文章中，我们将总结实变函数的相关知识点，为读者提供一个全面且详细的了解实变函数的资料。
本文将从函数的极限、连续性、导数、积分和级数等五个大点进行阐述，每个大点都包含5-9个小点的详细内容。
概述：实变函数是实数集到实数集的映射，研究实变函数的性质时，我们主要关注函数的极限、连续性、导数、积分和级数。
下面将详细介绍这些知识点。
正文：一、函数的极限1. 函数的极限概念：介绍函数极限的定义和图形解释。
2. 极限的性质：极限的唯一性、界限定理和保号性等。
3. 极限运算法则：介绍极限的四则运算法则和复合函数的极限。
4. 无穷大与无穷小：定义无穷大和无穷小，并介绍无穷大与极限的关系。
5. 函数极限存在的条件：介绍连续函数、单调有界函数和有界变差函数等存在极限的条件。
二、函数的连续性1. 连续函数的定义：介绍连续函数的定义和连续函数的图像特征。
2. 连续函数的性质：介绍连续函数的保号性、介值性和有界性。
3. 连续函数的运算法则：介绍连续函数的四则运算法则和复合函数的连续性。
4. 列举函数的连续与不连续性：介绍一些特殊函数的连续性，如分段函数和有间断点的函数。
5. 连续函数的特例：介绍单调函数、递增函数和递减函数的连续性。
三、函数的导数1. 导数的定义：介绍导数的定义和导数的图形解释。
2. 导数的性质：介绍导数的可加性、可乘性和零点定理等。
3. 常见函数的导数：介绍常数函数、幂函数、指数函数和对数函数的导数。
4. 高阶导数与导数的递推关系：介绍高阶导数的定义和与导数的递推关系。
5. 隐函数与参数方程的导数：介绍隐函数和参数方程的导数计算方法和相关性质。
四、函数的积分1. 定积分的定义：介绍定积分的定义和定积分的几何意义。
2. 定积分的计算方法：介绍定积分的基本计算方法和积分的运算法则。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：介绍牛顿-莱布尼茨公式的定义和应用。
4. 微积分基本定理：介绍微积分基本定理的两种形式和相关性质。
实变函数 讲义
实变函数讲义
摘要：
1.实变函数的定义与性质
2.实变函数的例子
3.实变函数的运算与求导
4.实变函数的应用
正文：
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。
与复变函数不同，实变函数的自变量和因变量都是实数。
实变函数具有很多重要的性质，这些性质使它在数学分析中有着广泛的应用。
首先，让我们来看一下实变函数的定义与性质。
实变函数是指定义在实数集上的函数，它可以接受实数作为自变量，并输出实数作为因变量。
实变函数具有很多重要的性质，比如连续性、可导性、极限等。
这些性质是实变函数研究的基础，也是实变函数分析的关键。
接下来，我们来看一些实变函数的例子。
最简单的实变函数就是常函数，它的函数图像是一条水平直线。
另外，幂函数、指数函数、对数函数等也是实变函数的例子。
这些函数在实数集上都有定义，并且具有不同的性质。
实变函数的运算与求导是实变函数分析的重要内容。
实变函数的运算包括加法、减法、乘法、除法等。
实变函数的求导则是研究函数在某一点处的变化率。
求导是实变函数分析的重要工具，它可以帮助我们理解函数的性质，并且可以用来求解实际问题。
最后，我们来看一下实变函数的应用。
实变函数在数学中有着广泛的应用，比如在微积分、实分析、概率论等领域都有重要的应用。
实变函数的性质和运算规律可以帮助我们解决实际问题，并且可以用来证明数学定理。
总的来说，实变函数是数学中的一个重要概念，它具有很多重要的性质和运算规律，并且在实际应用中有着广泛的应用。
实变函数知识点
实变函数知识点实变函数知识点协议关键信息项：1、集合论基础集合的定义与表示集合的运算可数集与不可数集2、点集开集与闭集内点、外点与边界点完备集3、测度论勒贝格测度的定义与性质可测集的判定测度的可加性与可数可加性4、可测函数可测函数的定义与性质可测函数的运算依测度收敛5、勒贝格积分勒贝格积分的定义与性质勒贝格积分的计算勒贝格控制收敛定理11 集合论基础111 集合的定义与表示集合是具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的一个整体。
集合可以用列举法、描述法等方式进行表示。
112 集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集等。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所剩下的元素组成的集合。
113 可数集与不可数集可数集是指能够与自然数集建立一一对应的集合；不可数集则是不能与自然数集建立一一对应的集合。
例如，有理数集是可数集，而实数集是不可数集。
12 点集121 开集与闭集开集是指集合中的每一个点都是内点的集合；闭集是指包含其所有边界点的集合。
122 内点、外点与边界点内点是指存在一个以该点为中心的邻域完全包含在集合内；外点是指存在一个以该点为中心的邻域完全不在集合内；边界点则是既不是内点也不是外点的点。
123 完备集完备集是没有孤立点的闭集。
13 测度论131 勒贝格测度的定义与性质勒贝格测度是对集合的一种度量方式，具有非负性、单调性、可列可加性等性质。
132 可测集的判定通过一系列的条件和定理来判定一个集合是否为可测集。
133 测度的可加性与可数可加性可加性指有限个互不相交的可测集的并集的测度等于各集合测度之和；可数可加性指可数个互不相交的可测集的并集的测度等于各集合测度之和。
14 可测函数141 可测函数的定义与性质可测函数是指定义域上的可测集到实数集的函数，满足一定的条件。
具有可加性、单调性等性质。
142 可测函数的运算可测函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是可测函数。
实变函数论讲义
第1章集合与点集实变函数论作为现代分析数学的基础,其知识结构是建立在集合论之上的.集合论产生于19世纪70年代,由德国数学家康托尔（Cantor）创立,它是整个现代数学的开端及逻辑基础.作为本科教材,本章只介绍必需的集合论知识,而不涉及有关集合论公理的讨论.1.1 集合及相关概念大家在中学就认识了集合这个概念.所谓集合,是指具有某种特定性质的对象的全体.集合中的对象称为该集合的元素.集合通常用大写英文字母A,B,C,…表示；元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示.今后用一些特殊的记号表示特殊的集合：R表示全体实数形成的集合；C表示全体复数形成的集合；N,Z,Q分别表示自然数集、整数集和有理数集.另外,不含任何元素的集合称为空集,用记号表示.集合的具体表示方法一般有两种：一种是枚举法,如集合{1,2,3,4,5};一种是描述法,例如,大于20的自然数组成的集合,可写为{x|x>20,且x为自然数}.一般地,若A是具有某种性质P的元素组成的集合,通常记为A={x|x具有性质P}.对于给定的某集合A及某对象a,若a是A中的元素,就说a属于集合A,记为a∈A;否则,就说a不属于集合A,记为给定两个集合A和B,若A中的元素都属于B,则称A是B的子集,记为或进而,若同时有和，则A=B.对于任意的非空集合A,空集和A当然是A的子集,这两个子集称为平凡子集.除此之外的子集称为真子集.例1.1.1 写出{1,2,3}的所有子集,由此计算{1,2,…,n}的子集的个数,其中n∈N.{1,2,3}的所有子集是：,{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},第1章集合与点集1.1集合及相关概念共个.一般地,{1,2,…,n}的子集的个数是：C0n+C1n+…+C n n=2n,其中C k n=n!k!(n-k)! (k∈{0,1,…,n})为组合数公式.任给集合A,它的所有子集构成的集合称为它的幂集,记为1.1.1 集合的运算我们知道,数可以进行运算,并由此生成新的数.类似地,集合之间也可以进行运算,并由此生成新的集合.其中,最常用的运算有“并”、“交”、“差”三种.定义1.1.1任意给定集合A和B,集合{x|x∈A或x∈B}称为A与B的并集,并集也称为和集,记为A∪B,或A+B;集合{x|x∈A且x∈B}称为它们的交集,交集也称为积集,记为A∩B,或AB;推而广之,给定集合族∈Γ,其中Γ是指标集,则此集合族的并集与交集分别为∪α∈∈Γ,x∈Aα};(1.1)∩α∈∈Γ,x∈Aα}.(1.2)集合{x|x∈A且称为A与B的差集,又称补集，记为A\\B,或A-B.注意：一般来说(A-B)∪B未必等于A.如果已知则A-B称为B相对于A的余集,记为AB,特别地,如果我们在某一问题中所考虑的一切集合都是某一给定集合S的子集时,集合B相对于S的余集就简称为B的余集, SB简记为而集合(A-B)∪(B-A)称为A与B的对称差,记为A△B.例1.1.2 设-1+1i≤x≤1--1k<x<1k,k=1,2,…,则∪mi=1B i=x-1+1m≤x≤1-1m, -1p<x<1p. 其中n,m,p∈N.由此知∪-1<x<1},集合的并、交、差（补）运算满足下面的运算律：定理1.1.1 (1) 交换律A∪B=B∪A, A∩B=B∩A;特别地A∩A=A,A∪A=A, A∪=A,(2) 结合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪C, A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.(3) 分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);一般地A∩∪α∈∪α∈(4) 大小关系∪B).(5) 若∈Γ,则∪α∈∪α∈∩α∈∈特别地,若或∈Γ,则∪α∈∈证明下面仅证A∩∪α∈∪α∈任取x∈A∩∪α∈则x∈A且α0∈Γ,使得x∈Bα0,于是x∈∪α∈由x 的任意性得A∩∪α∈∪α∈反过来,任取x∈∪α∈α),则α0∈Γ,使得x∈即x∈A且x∈Bα0,从而x∈A且x∈∪α∈故x∈A∩∪α∈由x的任意性得∪α∈∪α∈综合起来,等式成立.□以下给出关于余集计算的部分性质. 定理1.1.2 (1) A-(2) 若则SA SB,B\\A=B∩A c;(3) 对偶律（德摩根（De）律）若则(A∪B)c=A c∩B c,∪B c.一般地∩α∈∪α∈∪α∈∈证明下面仅证对偶律：若则(A∪B)c=A c∩B c,其余结合相关定义类似可得.事实上,由补集定义, (A∪B)c={x|x∈X且∪B}={x|x∈X,x A且={x|x∈X,x∈A c且x∈B c}=A c∩B c.□德摩根律使我们通过余集的运算把并集变为交集,把交集变为并集.这种转化在集合的运算及论证中是很有用的.1.2 集合列的上极限和下极限众所周知,数列可以讨论极限.类似地,集合列也可以讨论极限.以下我们给出集合列及其极限的定义.定义1.1.2 一列集合(n=1,2,…）称为集合列,也可记为属于上述集合列中无限多个集的元素的全体所形成的集称为该集合列的上极限,或称为上限集,记为lim n→∞或lim n→∞sup A n;对于上述集合列,那些除了有限个下标外,属于该集合列中每个集合的元素的全体形成的集称为这个集合列的下极限,或称为下限集,记为lim n→∞A n或lim n→∞inf等价地,lim n→∞sup A n={x|对于任意的自然数n,存在k≥n,使得x∈A k}, lim n→∞inf存在∈N,当时,x∈A n}. 由此知,lim n→∞inf n→∞sup A n.进而,对于给定集合列若其上、下极限相等,则称集合列收敛,其极限即为它的上（或下）极限,记为lim n→∞A n.集合列的上（下）极限可以用“并”与“交”运算来表达. 定理1.1.3 给定集合列n},则lim n→∞∪lim n→∞inf∪证明利用lim n→∞∈N,k≥n,使得x∈A k}(1.3)来证明关于上极限的等式,关于下极限的情况可类似证得.记∪事实上,设x∈A,则对任意取定的n,存在m>n,使得x∈A m,即对任意n,总有x∈∪故x∈B,继而反之,设x∈B,则对任意的n>0,总有x∈∪即总存在m(m≥n),使得x∈A m,故x∈A,继而从而A=B,另一等式可同样证明.□若集合列满足：∈N,则称是单调增加集合列；若∈N,则称之为单调减少集合列.统称为单调集合列.由定理1.1.3易知,单调集合列是收敛的.具体地,若为单调增加集合列,则lim n→∞A n=∪若为单调减少集合列,则lim n→∞A n=∩∞n=1A n.例1.1.3 设是如下一列点集：A2m+1=0,2-12m+1〗,m=0,1,2,…, 〗, 我们来确定的上、下极限.因为闭区间\中的点属于每个而对于开区间(1,2)中的每个点x,必存在自然数N(x),使得当n>N(x)时,有1+12n<x≤2-12n+1,即当n>N(x)时但x∈A2n+1.换言之,对于开区间(1,2)中的x,具有充分大的奇数指标的集合都含有x,即中有无限多个集合含有x,而充分大的偶数指标的集合都不含有x,即中不含有x的集合不会是有限个.又区间\n→∞sup\n→∞inf\例1.1.4 设为：当n=2k时,k∈N;当n=2k+1时,k∈N. 则lim n→∞sup∪{(0,y)|y≥0};lim n→∞inf定义1.1.3设A,B是两个集合,称一切有序“元素对”(x,y)(其中x∈A,y∈B)形成的集合为A与B的直积集或笛卡儿（Descartes）积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},其中(x,y) =(x′,y′)是指x=x′,y=y′,X×X也记为例1.1.5 设A={1,2,3},B={4,5}，则A×B={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}.例1.1.6 \×\为平面上单位闭正方形.例1.1.7 Q×Q=Q Q2为平面上有理点集.习题习题1.3 试证：(1) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);(2) (A\\B)∪B=(A∩B)\\B的充要条件是(3) A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C).1.4 证明：(1) A△B=B△A;(2) (A△B)△C=A△(B△C);(3) A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C);(4) 对任意的A,B,存在C使得A△C=B.1.5 设是一集合列，作-∪n-1k=1A k,n=2,3,…,试证互不相交,且∪ni=1A i=∪nj=1B j,n=1,2,…,∞.1.6 设f(x),g(x)是点集E上定义的两个函数,a,k为任意实数,但k≠0.则(1) {x: f(x)≥a}=∩∞n=1x:f(x)>a-1n;(2) {x: |f(x)|>k}∪x: |g(x)|>ak.1.7 试证：(1) ∪∞i=1(A\\(2) ∩∞i=1(A\\∪i.1.8 设-求出集合列的上限集和下限集.1.9 设A n=E,n=2k-1,F,n=2k, 求集合列的上限集和下限集.1.10 设m为整数,n=1,2,…,试证lim n→∞sup n→∞inf1.11 设是\上的一列函数,且存在\使得lim n→∞f n(x)=1,x∈\\\E, 0, x∈E.令∈\: 求集合lim n→∞E n.1.12设以及f(x)是定义在R上的实值函数,则使不收敛于f(x)的一切点x所形成的集合为∪∞k=1∩∞N=1∪∞n=Nx:-11. 设(k=1,2,…)随着k→∞单调下降趋于(n=1,2,…）定义在E上∈E),试证：对任意的a有(1) E\=∪\;(2) E\\;(3) E\=∪\.注：E\={x∈E|f(x)>a}.1.1.2 映射、基数与可数集1.2 映射、基数与可数集我们都知道,实数是可以比较大小的,那么自然地联想一下,集合有没有大小的差别呢？直观地想,如果是有限集合,可能集合元素的个数多集合就大,那么对于含有无限个元素的集合,集合的大小该怎么比较呢？全体实数构成的集合就一定比全体正实数构成的集合大吗？在对集合的定义和基础运算有了一定的了解之后,我们接下来就介绍一下用以刻画集合大小的概念：基数.在此之前,我们要引入映射的概念,本节的最后,我们还将向大家介绍一种最常见的集合：可数集.1.2.1 映射大家都熟悉函数概念,下面要讲到的映射是函数概念的抽象化.定义1.2.1给定两个非空集合X,Y,若对于X中每个元素x在Y中都存在唯一的元素y与之对应,则称这个对应为映射.若用φ表示这种对应,则记为φ:并称φ是从X到Y的一个映射.此时,x∈X在Y中对应元y称为x在映射φ下的像, x称为y的一个原像,记为y=φ(x).进而,y的原像集为{x|y=φ(x),x∈X},记为-1(∈X}Y称为映射φ:X→Y的值域,而X为定义域.特别地,若φ(X)=Y，则称映射φ是满射,也称为到上的映射(X到Y上的映射)；若对于每个y∈φ(X)其原像集-1(y)是单点集,等价地,若x1,x2∈X,当时必有则称该映射是单射,也称为一一映射.注1.2.1 一一映射存在逆映射,即-1:-1(y)=x,当φ(x)=y时.进而,到上的一一映射称为双射,也称为一一对应.给定映射φ:X→Y,及则A的像集为∈A},B的原像集为-1(B)={x|φ(x)∈B}.综上易得下面关于映射与集合的并和交运算的关系式：φ∪α∈∪α∈φ∩α∈∈φ-1∪α∈∪α∈--1∩α∈∈-例1.2.1给定非空集合X,定义其非空子集A上的特征函数为χA(x)=1,x∈A,于是是从X的幂集到{0,1}上的映射.而且可以利用特征函数来反馈集合本身的特征：1.2.2 基数给定一个集合,若它只含有限个元素则称为有限集；否则,就称为无限集.对于有限集来说,若不考虑元素的具体特性,则所含元素的个数是一个基本而重要的量,因与元素个数有关的问题一般会涉及元素个数的比较.两个有限集是否含有相同数量的元素可用能否建立一一对应来衡量.受此启发,尽管对于无限集来说谈论个数没有实际意义,但比较两个无限集所含元素的多少，仍然可以用能否建立一一对应来度量.定义1.2.2 给定集合A,B,若存在从A到B的一一对应,则称集合A与B对等,记为A～B.对等关系有下述性质. 定理1.2.1 任给集合A,B,C,有(1) （自反性）A～A;(2) （对称性）若A～B,则B～A;(3) （传递性）若A～B,且B～C,则A～C.符合上述三条的关系称为等价关系.因此,集合之间的对等是一种等价关系.下面,我们描述性地给出集合基数的概念.定义1.2.3设A,B为给定两个集合,如果A～B,那么就称集合A与集合B的基数或者势相同.记为=.因此,对等的集合具有相同的基数（势）.特别地,当A是非空有限集时,则存在某自然数使得A与一一对应,而由唯一确定,于是可以认为=n 0.由此知,基数（势）的概念是通常元素个数的推广.以下给出一些常见的集合的例子.例1.2.2 (0,1)～R.事实上,令φ:-π2,则易知φ建立了(0,1)与R之间的一一对应.例1.2.3任意两个圆周上的点集具有相同的基数.事实上,不妨令任给的两个圆同圆心,于是让从圆心出发的同一条射线与两个圆的交点相互对应,则该对应是一一对应.有了集合大小的概念--基数,接下来,我们给出基数大小比较的法则.定义1.2.4给定两个集合A和B,若存在B的子集使得A～则称A的基数不大于B的基数, 记为≤;若≤,并且≠,此时称A的基数小于B的基数,记为<.自然数可以比较大小,类似地,基数也可以比较大小.即,对于任意给定的两个基数α,β,关系式α<β,α=β,α>β,这三者中有且仅有一式成立.证明要涉及集合论的公理系统,超出本教材范围,故略.对于自然数a,b,若a≤b且b≤a则a=b.对于基数也有类似的结论,也就是说集合的大小在某种意义下也是可以比较的. 定理1.2.2（伯恩斯坦（Bernstein）定理）给定集合A,B,若≤且≥,则=.证明由题设,存在双射φ:及双射ψ:下面用迭代法寻找及使得φ(A′)=B\\B′,同时ψ(B′)=A\\A′.为此,考虑下面的方程组：φ(A′)=B\\B′,ψ(B′)=A\\等价地A′=A\\ψ(B′),B′=B\\φ(A′).(1.4) 为了求解方程组(1.4),运用迭代法,逐次作A1=A\\ψ(B), \\\\\\\\-1),\\由上述构造知注意到ψ是一一映射,于是有再结合德摩根律,有∪∪∞i=1(A\\-1))=A∩∞-- 此处记类似地,可得\\∪从而,式(1.4)有解A′=∪定义映射Φ(x)=φ(x),x∈-1(x),x∈A\\A′. 由上述构造知,φ(A′)=B\\-1(A\\A′)=B′,于是Φ是满射.至于Φ的单射性由φ及ψ的单射性即得.因此,Φ是从A到B上的一一对应.从而,A～B.□推论1.2.1 设～C,则A～B,B～C.证明以A～B为例,设φ是A和C之间的一个一一对应,令x∈A,φ(x)∈B},则～B,取则自然有～A.于是由伯恩斯坦定理有A～B.1.13 可数集本小节我们给出最常见的一种无穷集合--可数集的定义,并研究其相关性质.定义1.2.5与自然数集对等的集合称为可数集,或称为可列集.于是任意的可数集A均可写成A={反之,这种形式的集合均为可数集.可数集的基数记为0.下面的定理表明,可数集的基数在无限集中是最小的. 定理1.2.3任意无限集均包含可数子集.证明设A是任意给定的无限集,任意取定∈A,因A\\仍然是无限集,再任意取定2∈A\\{a1},依次类推,在A\\中取出在A\\中取出照此继续,即得A的可数子集进一步,我们有下述定理.□定理1.2.4若X是一个无限集,Y是有限集或可数集,则X∪Y=.证明因X∪Y=X∪(Y\\X),故不妨设若Y是可数集,记由于X是无限集,由定理1.2.3知,X有可数子集于是有分解∪(X\\X1) .令φ:X∪Y→X,使得-1,n=1,2,…;φ(x)=x,x∈X\\X 1.由此构造知φ是X与X∪Y之间的一一对应;若Y为有限集,则对应的取为与Y有相同个数的X中的有限集,然后类似于上面的证明即得.□众所周知,有限集不可能和它的任意真子集建立一一对应关系.无限集与有限集的本质区别就在于此,即下面的定理. 定理1.2.5集合X是无限集的充要条件是,存在X的真子集Y有Y～X.证明因若X是有限集时,X不可能与它的任意真子集对等,由此得证充分性；下证必要性：任取X的一个有限子集A,因X是无限集,故X\\A亦是无限集,利用定理1.2.4得,X\\A=(X \\A)∪A=,记Y=X\\A,得证.□下面一系列定理关心的是集合及其子集的可数性问题. 定理1.2.6可数集的子集如果不是有限集,则一定是可数集.证明设A是可数集是A的一个无限子集.首先,因故其次,因是无限集,由定理1.2.3可知于是由伯恩斯坦定理得即是可数集.□定理1.2.7 设A为可数集,B为有限或可数集,则A∪B为可数集.证明设或(1)先设由于可数集总可排成无穷序列,当B有限时,A∪B={b1,b2,…,b n,a；当B可数时,A∪B={a1,b1,a2,b2,…,a n,b n,…},可见A∪B总可以排成无穷序列，从而是可数集.(2) 一般情况下,此时令-A,则A∩B*=,A∪B*=A∪B.由于B至多可数,故作为B的子集,也至多可数（有限集或可数集）,由(1)的证明知,A∪B*可数,故A∪B也可数.□推论1.2.2设是有限集或可数集,则∪ni=1A i也是有限集或可数集,但如果至少有一个是可数集,则∪ni=1A i必为可数集. 定理1.2.8 可列个可数集的并集是可数集.证明设(n=1,2,…）是一列可数集.(1)先设因为都是可数集,于是可记A n={a n1,a n2,…,a nk,…},n,k=1,2,…,从而∪中元素可按下述方式排成一列：∪规则是：排第一位,当i+j>2时排在第j+∑i+j-2k=1k位因此∪是可数集（注：当部分是有限集时仍适用）.(2) 一般情况下,各可能相交,令-∪i-1j=1A j(i≥2),则且∪∪由可数易知都是有限集或可数集,如果只有有限个不为空集,则由推论1.2.2易知∪为可数集（因为至少为可数集）;如果有无限多个（必为可数个）不为空集,则由(1)知∪∪也是可数集,故在任何场合∪都是可数集.□推论1.2.3 (1) 有限集与可数集的并是一可数集;(2) 有限个可数集的并是一可数集;(3) 可数个互不相交的非空有限集的并是一可数集;(4) 可数个可数集的并是一可数集. 例1.2.4 整数集,有理数集均为可数集.事实上,整数集Z=N∪(-N),其中-为负自然数全体的集合. 因映射f:N→-N,f(n)=-n,建立了N与-之间的一一对应,故-N是可数集.于是由定理1.2.7知Z是可数集.对于有理数集,记Q+为正有理数全体的集；Q-为负有理数全体的集,于是Q=Q+∪Q-∪{0}.令A n=1n,2n,3n,…则(n∈N）是一列可数集,而Q+=∪从而由定理1.2.8知Q+亦可数；又Q-与Q+通过映射f(x)=-x (x∈Q+）建立了一一对应,于是Q-也可数.再利用定理1.2.7即得Q是可数集.由例1.2.4易得下面一些今后很有用的结论：有理系数多项式全体所构成的集合是可数集；R中无限个互不相交的开区间所形成的集是可数集.事实上,在每一个开区间中任意取定一个有理数,由题设可知开区间与取定的有理数是一一对应的.因此这些有理数形成Q的一个无限子集,记为Q 1,由定理1.2.6得Q1可数,从而得证.注1.2.2若A中每个元素可由n个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号跑遍一个可数集,即A={a x1,x2,…,x n|x k=x k(1),x k(2),x k(3),…;k=1,2,…,n},则A为可数集.例1.2.5元素是由k个正整数所组成的集合,其全体构成一可数集A={(n 1,n2,…,n k)|n i∈Z+}.例1.2.6 整系数多项式a0x n+a1x n- -的全体是一可数集.记a a0,a1,…,a n=a0x n+a1x n- -则整系数多项式的全体可记为∪，为可数集,其中代数数的全体是一个可数集（所谓代数数,就是整系数多项式的根）.事实上,整系数多项式的全体可数,而每一个整系数多项式只有有限个根,故代数数的全体是一个可数集.例1.2.7 N与R不对等,即N≠R.若不然,存在N与R的一个一一对应,将与N中n对应的元素(n)记为则R上至少有一个单位长度的区间不含不妨设此区间为\,将\分为三等分,则0,13〗,23,1〗中至少有一个不含以表示这个区间,将三等分,其左、右两个区间中至少有一个区间不含记为依此类推,可得一串闭区间},满足：(1) 且的长度趋于0; (2)由闭区间套定理知但对任意的换言之不在R中,这是不可能的.这一矛盾说明与R不可能对等.例1.2.8R上任一单调函数的不连续点全体的集至多可数,即或为空集,或为有限集,或为可数集.不妨设f(x)是单调递增函数.若f(x)在R上连续,则其不连续点集为空集；若存在间断点由柯西（Cauchy）收敛原理可知-0)与均存在,于是f(x1-0)=lim x→x1-表明对应开区间-对于两个不同间断点和由函数f(x)的单调性可得,开区间-与-互不相交.进而,由上面的分析知,f(x)的不连续点集与上述开区间形成的集合之间存在一一对应,于是,或为有限集,或为可数集.1.14 不可数集与连续基数对于一个无限集,若不是可数集,则称之为不可数集. 定理1.2.9开区间(0,1)是不可数集.证明用反证法：假若(0,1)是可数集,则可记而每个(i=1,2,…）均可按下述方式唯一表示成十进制纯小数：a(1)=0.a(1)1a2(1)a3(1)…,(2)…,(3)…,规定,上述各数不能从某位起全为0.令满足：当当由上述构造知∈(0,1),但这与假设矛盾.□由前面的例1.2.2及定理1.2.9得,实数集R是不可数集.今后用c表示实数集R的基数,称之为连续基数（势）.而且由定理1.2.9知例1.2.9 (a,b)=c,其中a,b∈R.事实上,令φ(x)=a+x(b-a),x∈(0,1),则φ建立了(0,1)与(a,b)之间的一一对应,于是(a,b)=(0,1)=c.类似地,可证(-∞,0)=(0,+∞)=\=(a,b\]=\=\=(0,1)=c.下面的定理关心的是连续基数的性质问题. 定理1.2.10设是一列互不相交的集合,它们均有连续基数,则并集∪n也有连续基数.证明注意到\及\故∪～∪∞n=1\即∪n有连续基数.□由定理1.2.10易知,平面R2有连续基数,即R2=c.类似地有R n=R∞=c,此处R∞是指可数个R的笛卡儿积.定理1.2.3告诉我们,可数集在无限集中间基数最小,那么有没有最大的基数呢？答案是否定的,即下面的结论. 定理1.2.11任给一个非空集合是其幂集,即由A的所有子集形成的集合.则证明假若A～则存在一一对应φ:于是对于每个a∈A,都唯一存在A的子集φ(a)与之对应.作A的子集∈A|xφ(x)}.根据假定,应有A中元素与对应.由此,若∈A0，则与的定义矛盾；若，则由的定义知又应该属于矛盾.于是A与不对等.进而,单点集全体形成的真子集,记为A ~,显然A~～A,因此例1.2.10其中记从自然数集N到两点集{0,1}的所有映射形成的集.事实上,对于任意的f∈{0,1}N,令φ:则φ是从到(0,1\]的一一映射,于是有0,1\];另一方面,每个x∈(0,1\]均可唯一表示(规定下面二进制表达式中必须出现无限多个1)为x=∑∞n=1x n2n,∈{0,1}.令∈N,则∈{0,1}N.进而,定义映射φ:∈(0,1\],则φ是从(0,1\]到的一一映射,于是有(0,1\再利用伯恩斯坦定理即得\]=c.注意到N=0,例1.2.10用记号表示,即既然没有最大的基数,那么限定在0与c之间情况又如何呢？集合论的奠基者康托尔于1878年提出下面的猜想：在0与c之间没有基数存在,即不存在集合X,使得0<<c.这个问题又被称为连续统假设问题.20世纪伟大的数学家希尔伯特（Hilbert）在1900年国际数学家大会上提出了23个重大数学问题,其中就包括连续统假设问题.而连续统假设问题直到1963年才由科恩（Korn）和哥德尔（Godel）解决：他们证明了,连续统假设与已有的集合论公理系统是相容的,既不能被证明也不能被否定. 习题习题1.15 设f: X→Y是一个满射,证明下列3个命题等价：(1) f是一一映射;(2) 对任意的有f(A∩B)=f(A)∩f(B);(3) 对任意的若则1.16 设f: X→Y,证明f是满射的充要条件是,对任意的有-1(A))=A.1.17 设映射f: ∈I(I为指标集),试证：(1) f∪α∈IAα=∪α∈If(Aα);(2) f∩α∈IAα∩α∈If(Aα);(3) 若则--∈I,i=1,2; (4) -1∪α∈IBα=∪α∈If-1(Bα);(5) -1∩α∈IBα=∩α∈If-1(Bα);(6) -1(Y--1(Y)--1.18 设E是X的子集,定义在X上的特征函数为χE(x)=1,x∈E, 0,x∈X-E.如果都是X的子集.证明：(1) ∪B(x)-(2) (3) --(4) n→∞sup sup(5) n→∞inf n→∞inf 5.设分别是到到的一一映射,问是否一定存在\\到\\的一一映射?1.1.3 试构造(0,1)与\7.试构造出一个从无理数集Q c到实数集R之间的一一映射.1.2.2 试证：若集合A中每个元素由n个独立的记号决定，各记号跑遍一可数集B,即A={a x∈B,k=1,2,…,n},则A为可数集.1.19平面点集A中任意两点之间的距离都大于某一固定常数d,且d>0,则A至多为可数集.1.20 设A=B∪C,=c,则B与C中至少有一个集合的势为c.1.21 如果A=∪则至少有一个的势为c.1.22 试证：若且A～A∪C,则有B～B∪C.1.23 证明：\上的全体无理数作成的集合其基数是c.1.24 证明：若E是可列集,则E中存在可列个互不相交的真子集. 15.若f(x)是R上的实值函数,则集合A1={x|x∈R,f(x)在x处不连续,但右极限f( x+0)存在是可数集.1.1.4 证明\上的连续函数全体C\的势为c.1.1.5 若对任意有限个x:使得∑ni=1f(x)≤M成立,试证,能使f(x)≠0的x的集合至多为可数集.1.1.6 证明(a,b)上的凸函数在除一个至多可数集的点外都是可微的.1.3R n中的点集1.3 中的点集1.3.1 n维欧氏空间R是实数集,其几何表示即数轴；R2={(x,y)|x,y∈R}是有序实数对全体形成的集合,其几何表示即坐标平面.对于任意的∈R2, 定义两种线性运算：(1) 加法(2)数乘∈R.则R2关于这两种运算构成线性空间,(0,1),(1,0)是R2的一组基,因个数为两个,故R2称为二维线性空间.因平面上的点与从原点出发以该点为终点的向量一一对应,故R2又称为向量空间,其中的元素又称为向量.平面几何（欧几里得（Euclid）几何）及平面解析几何就是建立在R2基础之上的.推而广之,有下面的定义.定义1.3.1 n维欧氏空间为集合{x=(x1,x2,…,x n)|x i∈R,i=1,2,…,n(n∈N)},记为R n,或记为R×R×…×R,共n个R.类似地关于上述加法及数乘运算构成一个线性空间为R n的一组基.沿用二维线性空间的称谓也称为n维向量空间,其中的元素称为点或向量.对于任意的∈R n,定义d(x,y)=∑ni= -则d(x,y)有下述3条性质：(1) 正定性,d(x,y)≥0,且d(x,y)=(2) 对称性,d(x,y)=d(y,x);(3) 三角不等式,d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).这3条性质是距离的本质刻画,因此,上面定义的d(·)是R n上的一种距离,于是称为距离空间.性质(1), (2)由定义立得；性质(3)的证明要用到下述柯西-施瓦茨（Cauchy- Schwarz）不等式.引理1.3.1（柯西-施瓦茨不等式)。
实变函数知识点简要总结
实变函数知识点简要总结一、实变函数的定义实变函数是指自变量和函数值都是实数的函数。
它的定义域和值域都是实数集。
二、实变函数的分类1. 一元实变函数：自变量只有一个，函数的形式为y = f(x)。
例如：y = x²，y = sin(x)等。
2. 多元实变函数：自变量有多个，函数的形式为z = f(x₁, x₂, ..., xₙ)。
例如：z = x₁² + x₂²，z = sin(x₁) + cos(x₂)等。
三、实变函数的性质1. 定义域和值域：实变函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数的所有可能的输出值。
2. 连续性：实变函数在定义域内的每个点都有定义，并且在这些点上具有极限。
连续性可以用极限的概念来描述。
3. 导数和微分：实变函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线斜率。
微分则是导数的微小变化。
4. 极值和最值：实变函数在某些点上可能达到极大值或极小值，称为极值点，并且有可能在整个定义域上取得最大值或最小值。
5. 函数的图像：实变函数的图像是函数曲线在坐标系中的表示，可以通过画出函数的图像来对函数进行可视化。
6. 函数的变换：对实变函数进行平移、伸缩、翻转等操作，可以得到新的函数，这些操作可以改变函数的图像和性质。
四、实变函数的应用实变函数在数学和物理等领域有广泛的应用，例如：1. 数学分析：实变函数是数学分析的基础，通过研究实变函数的性质和性质，可以推导出许多数学定理和结论。
2. 物理学：实变函数可以用来描述物理量之间的关系，例如速度和时间的关系、力和位移的关系等。
3. 经济学：实变函数可以用来描述经济模型中的供求关系、成本和收益关系等。
4. 工程学：实变函数可以用来描述工程设计中的参数关系、系统响应等。
总结：实变函数是数学中重要的概念，它可以描述自变量和函数值之间的关系。
通过研究实变函数的性质和应用，可以深入理解数学和其他学科中的相关知识。
了解实变函数的定义、分类、性质和应用，有助于提高数学思维能力和问题解决能力。
(完整版)实变函数论主要知识点
实变函数论主要知识点第一章 集 合1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习： ①证明()()A B C A BC --=-； ②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+；2、 对等与基数的定义及性质；练习： ①证明(0,1)； ②证明(0,1)[0,1]；3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；第二章点集1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。
n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。
具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。
内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。
3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor集的构造和性质；5、练习：①P =，P'=，P=；②111,,,,2n'⎧⎫⎨⎬⎩⎭= ；第三章测度论1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、零测度集的例子和性质；4、可测集的例子和性质；练习：①mQ=，mP=；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E的相关结论；5、存在不可测集合；第四章可测函数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；第五章 积 分 论1、非负简单函数L 积分的定义；练习： ①Direchlet 函数在1上的L 积分2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；4、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、Riemann 可积的充要条件；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数不是R-可积的；6、Lebesgue 可积的充要条件：若f 是可测集合E 上的有界函数，则f 在E 上L-可积⇔f 在E 上可测；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数是L-可积的；②设3,()10,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。
实变函数(全)总结
2、 实数的加法运算+: R×R→R (群,环,域)
3、 集合的特征函数 A : X {0,1}
（集合A与特征函数互相决定）
称
A(x)
1 0
xA xA
为集A的特征函数，
注：模糊集： f : X [0,1]
参见：《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》，L.A.Zadeh
2 集合运算关于映射的性质（像集）
设 lim n
fn (x)
f
(x)，则{x :
f
(x) a}
{x
:
fn (x)
a
1 k
}
k 1 N 1n N
若x
{x
:
fn (x)
a
1 k
}，
k 1 N 1n N
则
1 k
1, N
1,n
N, 有fn (x)
a
1 k
两边关于n取极限，则f
(x)
a
1 k
a
a a+1/k f(x)
反之若x {x：f
i 1
3.集合的运算性质
De Morgan公式
( A )c Ac
( A )c Ac
注：通过取余集，使A与Ac，∪与∩互相转换
4.上、下极限集
设A1, A2 ,, An ,是一个集合序列
上极限集
limAn (或lim supAn )
n
n
{x : x属于无限多个集合An}
{x : 存在无限多个An，使x An}
A ~ B
A
fλ
B
Bernstein定理的证明
证明:
根据题设，存在A到B*上的一一映射f ,以及B到A* 上的一一映射g.
实变函数总结
实变函数总结实变函数是指函数的自变量和函数的值都是实数的函数。
实变函数是数学分析的一个重要内容，它在数学和应用数学中都有广泛的应用。
在该总结中，我将介绍实变函数的基本概念、性质和常见的实变函数。
实变函数的基本概念：1.自变量和函数值都是实数：实变函数的自变量属于实数集，函数的值也属于实数集。
2.定义域和值域：实变函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的范围。
实变函数的性质：1.连续性：实变函数可以是连续的或间断的。
连续函数是指在其定义域内，函数值随着自变量的变化而连续变化，没有跳跃或断裂。
间断点是指函数在其中一点上不连续的点。
2.单调性：函数在其定义域内的增减性质。
单调递增意味着函数随着自变量的增大而增大，单调递减意味着函数随着自变量的增大而减小。
3.有界性：实变函数可以是有界的或无界的。
有界函数是指函数在定义域内上下有限的函数，无界函数是指函数在定义域内上下无限的函数。
4.奇偶性：函数关于原点对称。
奇函数是指函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数是指函数满足f(-x)=f(x)。
5.可导性：实变函数可以是可导或不可导的。
可导函数是指函数在其定义域内具有切线的概念，导数是切线斜率的极限值。
不可导函数是指函数在一些点上没有切线。
常见的实变函数：1. 多项式函数：形式为f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0的函数，其中an、an-1、..、a0是常数，n是非负整数。
2. 指数函数：形式为f(x)=ax的函数，其中a是正数且不等于13. 对数函数：形式为f(x)=logax的函数，其中a是正数且不等于14.三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，表达周期性变化的函数。
5.反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等，表达三角函数的反函数。
6.绝对值函数：形式为f(x)=，x，的函数，表示自变量x的绝对值。
7. 双曲线函数：形式为f(x)=sinh(x)、cosh(x)、tanh(x)等，是与三角函数类似的函数。
实变函数知识点总结免费
实变函数知识点总结免费1. 函数的概念与性质函数是数学中一个非常基础的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
在实变函数中，函数通常表示为f: A→B，其中A和B分别是定义域和值域。
函数的性质包括单调性、有界性、周期性等，这些性质在后续的分析中都将扮演重要的角色。
2. 极限与连续性极限是实变函数理论中极为重要的概念之一。
它描述了函数在某一点附近的趋势，是理解函数性质的基础。
极限的定义、性质和计算是实变函数学习的重点内容，包括无穷极限、级数与收敛性等相关内容。
连续性是指函数在某一点的连续性，它与极限息息相关，是实变函数理论中另一个重要的概念。
3. 可导性与微分可导性描述的是函数在某一点的导数存在性，微分则是对函数的导数进行研究的一部分。
在实变函数中，可导性的概念包括了导数的存在与连续性、高阶导数及其性质等。
微分则包括了微分中值定理、泰勒公式、泰勒展开等重要内容。
4. 积分与微积分基本定理积分是实变函数理论中的另一个核心内容，包括定积分和不定积分。
微积分基本定理是积分理论的基础，它描述了积分与导数之间的关系，是理解积分性质的重要定理。
在实变函数中，积分的性质、计算方法以及应用都是学习的重点。
5. 序列与级数序列与级数是实变函数理论中的另一个重要概念，它描述了函数在无穷情况下的性质。
序列的极限、级数的收敛性和性质是实变函数学习的重点内容，也是分析理论的基础之一。
6. 函数空间与泛函分析函数空间与泛函分析是实变函数理论的高级内容，它描述了函数集合的结构和性质。
在这一部分中，将研究函数的收敛性、完备性、紧性等概念，探讨函数空间的结构和代数性质，这是实变函数理论的深入内容，也是数学分析的重要分支。
以上是实变函数理论的主要知识点总结，实变函数理论涉及范围广泛，内容丰富，需要学生在学习过程中多多练习和实践，加深对概念和理论的理解，提高数学建模和问题解决能力。
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实变函数论主要知识点
实变函数论主要知识点
第一章 集 合
1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；
练习： ①证明()()A B C A B C --=-U ； ②证明1
1[][]n E f a E f a n ∞=>=≥+U ； 2、 对等与基数的定义及性质；
练习： ①证明(0,1):?；
②证明(0,1)[0,1]:；
3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；
练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；
②证明平面上坐标为有理数的点的全体
所成的集合为一可数集； ③Q = ；
④[0,1]中有理数集E 的相关结论； 4、 不可数集合、连续基数的定义及性质； 练习： ①(0,1)= ；
②P = （P 为Cantor 集）；
第二章点集
1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念
度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。
n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。
具体来说，g是V 上的二元实值函数，满足如下关系：
（1）g(x,y)=g(y,x)；
（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
（3）g(kx,y)=kg(x,y)；
（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0
时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；
聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。
内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。
3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；
4、Cantor集的构造和性质；
5、练习：①P=o，P'=，P=；
②11
1,,,,
2n '
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
L L= ；
第三章测度论
1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；
2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数
并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；
3、零测度集的例子和性质；
4、可测集的例子和性质；
练习：①mQ=，mP=；
②零测度集的任何子集仍为零测度集；
③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；
④[0,1]中有理数集E的相关结论；
5、存在不可测集合；
第四章可测函数
1、可测函数的定义，不可测函数的例子；
练习：①第四章习题3；
2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；
3、叶果洛夫定理及其逆定理；
练习：①第四章习题7；
4、依测度收敛的定义、简单的证明；
5、具体函数列依测度收敛的验证；
6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；
第五章积分论
1、非负简单函数L积分的定义；
练习：①Direchlet函数在1¡上的L积分
2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；
3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；
4、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；
5、Riemann 可积的充要条件；
练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数不是R-可积的；
6、Lebesgue 可积的充要条件：若f 是可测集合E 上的有界函数，则f 在E 上L-可积⇔f 在E 上可测； 练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数是L-可积的；
②设
3,()10,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。
例1、求由曲线θ=γθ=γ2cos ,sin 22所围图形公共部分的面积 解：两曲线的交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π⎪⎪⎭⎫
⎝⎛π65,22,6,22 ()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡θθ+θθ=⎰⎰πππ
60462d 2cos 21d sin 2212S =θθ-⎰πd )2cos 1(60+⎰π
π
θθ4
6d 2cos
21362sin 212sin 214660--π=θ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ-θ=ππ
π
例2.边长为a 和b(a>b)的矩形薄片斜置欲液体
中,薄片长边a 与液面平行位于深为h 处,而薄片与液面成α角,已知液体的密度为ρ,求薄片所受的压力
解:取x 为积分变量,变化区间为[h,h+bsin α]从中取[x,x+dx]知道面积元素αsin dx
a dS = 压力元素αρsin dx
xa dP =,则
)sin 21(sin 1sin sin sin αραραρα
αb h ab xdx a dx xa P b h h b h h +===⎰⎰++。