极限思想的由来
极限思想
极限思想极限的思想极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
1.极限思想的产生与发展（1）极限思想的由来.与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
?（2）极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
?起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS／Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。
极限思想的开启
极限思想起源的探讨新余市第四中学数学组 刘告根【摘要】极限思想的起源始于我国魏晋数学家刘徽,其应用刘徽也应属第一人,他对极限论所作贡献是不可磨灭的,这是我们民族的骄傲.【关键词】极限思想,穷竭法,割圆术,二分过程1、极限思想的开启关于极限思想的起源,应追溯到公元前490年的芝诺,由芝诺提出的两悖论:二分法及阿里斯追不上乌龟,这是极限思想的萌芽。
在我国极限的观念,早在刘徽之前的春秋战国时代就已产生了。
春秋战国时期，由于各种学说创形成了一个百家争鸣的局面，不止有唯心主义学说，也有朴素的唯物主义学说，还有不少关于逻辑学，物理学，天文发及数学的片断记载。
在《庄子·天下篇》里就记载着惠施关于数学的一些论说，如：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”用现代数学符号表示为，设棰为1，那么S n n lim +∞→=⋯⋯+⋯⋯+++2221112132n =1此外，在《墨经》里也有些极限观念的学说“非半弗卓斮 则不动，说在端。
”《经说下》里解释为：非 斮半，进前取也前，则中无为半，犹端也。
前后取，则端中也。
斮必半。
毋与非半。
不可斮 也。
大意是，如果一半一半地取棰势必取到不可再分割的端，如按“进前取”的方式取棰，“端”就在棰的端；如按“前后取”的方式取棰“端”就在棰的中间，可见，在春秋战国时代，由生产实践逐渐形成了一些片断的极限观念学说。
但是极限思想的开端是什么时候呢？在西方有些学者认为始于古希腊数学大师阿基米德的“穷竭法”，其实“穷竭法”中既没有序列用其逼近度的计算，也没有无限过程的思考，它的基础是所谓的阿基米德预备定理（阿基米德把他归为欧多克斯）：已知两个不等于0的量“如从较大的量减去大于其一半的量，再从余下的量减去大于其一半量，这样一直继续下去，总可使某一余下的量小于已知的较小量”这个原理使此后的希腊几何学所有论证都排斥了无穷小量，比如圆内接正多边形可以接近于圆，要多接近就有多接近，可是，永远不能成圆。
极限思想的产生与发展
极限思想的产生与发展内容摘要：极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用无处不在，合理应用极限思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行探究。
关键词：极限思想产生发展概念目录第一章极限思想的产生与发展 (1)1.1极限思想的产生 (1)1.2极限思想的发展 (1)1.3极限思想的完善 (4)1.4 极限的概念 (4)1.5极限思想的思维功能 (5)结论 (19)参考文献 ................................................. 致谢 (21)极限思想的产生与发展1、极限思想的产生极限思想的产生，是社会发展，科学进步的客观需求。
是人在探索改造自然过程中逐渐形成的一新的思想方法。
极限的思想可以追溯到古代，在《庄子·天下篇》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。
这样一直进行下去,留下来的木棒越来越短,可以再分的部分越来越小,一直到无穷小不可以再切割,但永远不会消失。
公元前5世纪，有关无穷小的概念就已经作为希腊人关于什么是世界的设想而进入了数学思潮，而希腊数学家所普遍接受的观点则是阿拿萨哥拉提出的：“在小的当中不存在最小的，但总有更小的”。
对于以严密著称的古希腊来说，古希腊学者观念上不能摆脱对无限的恐惧，而是借助于其它的方法来完成有关的证明。
刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。
”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的。
极限思想的产生和发展
极限思想的产生和发展微积分的建立跟极限思想的发展有着十分密切的联系。
自进入16世纪之后，欧洲就处于资本主义的萌芽时期，极大地发展了自身的生产力。
于是，在生产以及科学技术等方面均出现了许多诸如变力做功问题、最值问题、曲线的切线问题、力学中的速度问题等关于变量的问题。
这些问题已经不再是初等数学能够解决的，解决它们所需要的是全新的数学思想、数学方式方法等，必须要成功突破传统的常量研究范围，开发出可以用于对运用以及变化过程进行研究描述的新工具。
同时，这些问题的出现为发展极限思想提供了良好契机。
一、产生极限思想所有科学的思想方法均是源自人们对于社会实践的体验以及总结，极限思想也不例外。
极限思想的产生可以追根溯源到古代，在我国，极限思想于春秋战国时期就已萌芽，然而纵观史料，极限思想被局限于哲学的领域，并没有被运用到数学当中去，于是应用极限的方法对数学问题进行研究就更是无从谈起。
一直到后来的公元3世纪，我国魏晋时期的著名数学家刘徽对《九章算术》进行注释，并在其中创设出了“割圆术”。
刘徽的极限思想是这样表述的：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失”。
因此，刘徽是在数学领域运用极限思想的第一人。
这种关于无限接近的思想正是后来极限概念得以建立的重要基础。
刘徽所创设的“割圆术”是对原始极限思想的一种有效运用。
在古希腊有着一种穷竭法，这其中也包含了极限的思想，但是希腊人对于极限是相当恐惧的，所以他们并不会明显地去求极限，而是依据归谬法这一间接的证明法完成对极限相关思想的论证。
直到16世纪荷兰的数学家斯泰文在对三角形的重心这一问题进行研究时对古希腊人的穷竭法做出改进，他思考问题所采用的是几何直观，并合理运用极限思想，撇开了对归谬法的运用。
因此，极限在斯泰文的研究之下演变成了一个实用的概念。
二、发展极限思想微积分的建立对极限思想的深层次发展起到了一定程度的促进作用。
最初，莱布尼茨、牛顿建立微积分所依据的是无穷小这一概念，但是后面遭遇了逻辑难题，因而在他们研究的晚期，他们都对极限思想有一定程度的接受。
极限的起源 概念
极限的起源概念极限的概念起源于数学领域，它指的是在无限逼近过程中的临界值或极点。
极限的理念最初由古希腊数学家发展而来，如阿基米德、欧几里得和阿波罗尼奥斯等人。
其中，阿基米德对于正实数的数学无穷小概念的运用影响了后来对于极限的发展。
在欧几里得的《几何原本》中，也可见到对无限小数列和连续性的描述。
然而，真正对极限概念进行系统探索和发展的是17世纪的数学家斯帕诺（Johann Spahn），他从无穷数列的观点出发，研究了数列的逼近和趋势，提出了极限这一概念，并进一步发展了在解析几何和微积分中的应用。
随着数学发展的进程，极限的概念逐渐被引入到函数的研究中。
17世纪末至18世纪初，牛顿和莱布尼茨分别独立地发展了微积分学，并将极限作为微积分的基本概念之一。
微积分学的推广与应用为解析几何学和物理学的发展奠定了坚实基础。
为了系统地处理极限问题，数学家们提出了一系列与极限相关的数学方法和工具，如极限运算法则、级数展开和泰勒级数等。
这些方法和工具使得极限的概念得到更加深入和广泛的应用，为解决各种数学和科学问题提供了有力工具。
从数学的角度来看，极限是数学的一项基本概念，它运用于数学的各个分支，如数列极限、函数极限和无穷级数等。
极限的概念不仅在纯粹数学中具有重要意义，也在应用数学和其他学科中发挥着重要作用。
除了数学，极限的思想也渗透到其他学科领域。
在物理学中，极限概念被广泛应用于描述物理量的变化和趋势，如速度的极限、能量的极限等。
在工程学中，极限分析方法被用于结构和材料的设计与评估。
在经济学和社会科学领域，极限概念用于描述市场的饱和度和消费者的需求弹性等。
总结起来，极限的概念起源于数学，但其理念和方法已经渗透到许多学科领域。
它不仅是数学研究的基础，也是解决实际问题的重要工具。
通过对极限概念的深入研究和应用，我们可以更好地理解事物的发展和变化规律，为科学研究和工程实践提供理论支持和指导。
极限发展史
2.1 最早的极限思想公元前770——前221年，在《庄子》“天下篇”中记录：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
这句话的意思是:有一根一尺长的木棍，如果一个人每天取它剩下的一半，那么他永远也取不完。
庄子这句话充分体现出了古人对极限的一种思考，也形象的描述出了“无穷小量”的实际范例。
迄今为止，微积分中也常常用这个例子来进行教学的导入。
2.2极限的早期使用公元前3世纪，古希腊数学家安提丰（antiphon,约公元前430年）提出了“穷截法”，即在求解圆面积时提出用成倍扩大圆内接正多边形边数，通过求正多边形的面积来近似代替圆的面积。
但安提丰的做法却让许多的希腊数学家产生了“有关无限的困惑”，因为在当时谁也不能保证无限扩大的正多边形能与圆周重合。
通过多边形边数的加倍来产生无限接近的过程，从而出现“差”被“穷竭”的说法虽然不合适，但在现在看来，这个所谓的“差”却构造出了一个“无穷小量”，因此也被认为是人类最早使用极限思想解决数学问题的方法。
在中国公元3世纪，刘徽（约225——295）在《九章算术注》中创立了“割圆术”。
用现代的语言来描述他的方法即是:假设一个圆的半径为一尺，在圆中内接一个正六边形，在此后每次将正多边形的边数增加一倍，从而用勾股定理算出内接的正十二边、二十四边、四十八边等多边形的面积。
这样就会出现一个现象，当边数越多时，这个多边形的面积就越与圆面积接近。
刘徽运用这个相当于极限的思想求出了圆周率，并且由于与现在的极限理论的思想很接近，从而他也被誉为在中国史上第一个将极限思想用于数学计算的的人。
2.3极限定义的产生直到17世纪为止，安提丰制造的“极限恐慌论”都阻挡了极限的发展。
到了17世纪，牛顿（Newton,1642-1727）、莱布尼茨（Leibniz,1646-1716）利用极限的方法创立了微积分，但在那个时候，他们的极限理论还不是十分的严密清楚。
经过十八世纪到十九世纪初，微积分的理论和主要内容基本上已经建立起来了，但几乎它所有的概念都是建立在物理和几何原型上的，带有很大程度上的经验性和直观性。
极限思想的辩证思考以及诠释
极限思维与创造
极限思维激发了人们的创新意识 和创造力。通过对极限问题的探 讨和研究，人们不断提出新的理 论和观点，推动了科学技术的发 展和创新。
极限思维与哲学思考
极限思维引发了人们对哲学问题 的思考和探讨。例如，关于无穷 小、连续性等问题的研究促使人 们对绝对与相对、有限与无限等 哲学问题进行深入思考，为哲学 的发展提供了新的思路和方法。
极限思想的应用领域
在数学领域，极限思想被广泛应 用于微积分、实数理论、概率论 等领域。
在工程学领域，极限思想被用于 优化设计、可靠性分析、控制系 统等领域。
极限思想在数学、物理学、工程 学、经济学等多个领域都有广泛 的应用。
在物理学领域，极限思想被用于 研究质点运动、弹性力学、流体 力学等问题。
在经济学领域，极限思想被用于 研究市场均衡、经济增长、风险 管理等问题。
极限思想与连续性原则
极限思想是连续性原则的延伸
连续性原则是指事物的发展是连续不断的，而极限思想则是 对这种连续性进行深入探讨的工具。通过极限思想，我们可 以更好地理解事物的变化趋势、行为的极限以及这些极限附 近的行为特性。
极限思想在连续性中的应用
在许多实际问题的解决中，如物理学中的运动问题、工程学 中的优化问题等，极限思想都发挥了重要的作用。在这些领 域中，极限常常被用来描述变量在特定条件下趋近于某个值 时的行为特性。
要点二
极限思想的基本概念
极限思想是一种通过考察变量在某一 趋势下的行为，并对其取值进行估计 或逼近的思想方法。它提供了研究函 数性质、进行近似计算、推导极限定 理等的重要工具。
要点三
极限思想的应用
极限思想广泛应用于数学、物理学、 工程学、生物学等众多领域。它不仅 用于解决实际问题，还对理论物理、 化学、生物学等学科的发展起到了重 要的推动作用。
浅谈高等数学中极限思想及其应用
浅谈高等数学中极限思想及其应用
高等数学中的极限思想是解决很多数学问题的基础，它直接或间接地影响着数学研究中各
个领域的发展，对数学的发展起到了非常重要的作用。
极限的概念源于古希腊数学家坎伯乐，他研究函数时发现函数可以趋于一个固定值，当函
数满足某些条件时，就收敛到一个值，这个值就是函数的极限，从而发展出了极限的概念。
古希腊数学家特拉法尼希将坎伯乐的极限思想进行了进一步发展，把概念化，形成了极限
的定义，推导出了极限的几何学定理，奠定了极限法在数学发展中的地位。
极限的应用主要集中在微分、积分、几何和微分方程中，现代数学发展的离不开极限的思想，几乎所有数学问题的解法中都有极限的踪迹。
比如微分学中，著名的微积分方程及其
解法，正是利用极限思想得出的。
物理学的新发展与极限思想也息息相关：物理量的变化
可以简单地用极限知识来分析和推导，从而取得重要的结论。
总之，极限思想是高等数学中不可或缺的一部分，它是解决复杂数学问题的重要方法，它也在许多学科领域得到了广泛的应用，发挥着不可替代的作用。
极限思想毕业论文
极限思想毕业论文目录摘要 (I)Abstract (II)第1章极限思想的形成与发展 (1)1.1 极限思想的萌芽 (1)1.2 极限思想的发展 (1)1.3 极限思想的形成 (2)1.4 极限思想的完善 (3)第2章极限思想在数学分析中的应用 (3)2.1 极限思想在概念里的渗透 (3)2.2极限思想在导数中的应用 (4)2.3 极限思想在积分中的应用 (5)第3章证明极限存在以及求极限的方法 (6)3.1 极限的四则运算法则和简单求极限技巧 (6)3.2 用迫敛性准则求极限 (7)3.3 用泰勒公式求极限 (7)3.4 用等价无穷小求极限 (8)3.5 用洛必达法则求极限 (8)3.6 用微分中值定理和积分中值定理求极限 (9)第4章总结 (10)参考文献 (11)致谢 (12)第1章 极限思想的形成与发展极限思想作为一种重要的数学思想，在整个数学发展史上占有重要地位，是研究数学、应用数学、推动数学发展必不可少的有力工具.本文通过论述极限思想的发展过程以及它在诸多数学分支中的应用来说明极限在数学中的重要地位.按照极限思想的萌芽、发展、形成与完善过程，可将它分为4个阶段.1.1极限思想的萌芽古希腊时代欧多克斯提出的“穷竭法”和芝诺的“二分法”可以说是极限理论的雏形.在我国，极限思想的萌芽最早可以追溯到战国末期，在哲学著作《庄子.天下篇》中就引进了惠施的著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，它可以写成一个无穷等比递减数列： ，，211⋯⋯，，，，n 32212121当n 无限增大（n=1,2,3，……）时， ……可取无限的小数，它的极限为零，这样借助实物，极限的概念便被形象的表达出来了.然而在我国最早创立极限概念，并用它来解决实际问题的却是数学家刘徽.他指出：“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”并最终利用这极限思想求得了圆周率的近似值，独立的创造出了“割圆术”.然而当时人们在直观上对极限概念有了清楚的理解，但由于没有无穷小的概念，因此也就不可能用数学语言准确的描述出极限概念，并且极限思想也没有作为单独的研究对象真正独立出来.这在某种程度上是由于当时的经济状况和生产力水平对数学的要求只停留在对度量和计量有用的范围内决定的.1.2极限思想的发展17世纪以天文学、力学及航海为中心的一系列问题导致了微积分的产生.微积分尽管在实践中非常成功，但它的思想基础——无穷小量在逻辑上却有很多缺陷，被称为“失去了量的鬼魂”，并由此直接导致了第二次数学危机.为了消除危机，许多数学家便主张利用极限的方法为微积分提供论证和说明的工具.于是，他们对极限思想进行了深入研究，其阶段性的主要成绩如下.（1）达朗贝尔“理性的”极限概念达朗贝尔脱下了“微分学神秘的外衣”（马克思语），首次尝试将微分学建立在“理性的”极限观念基础上.他认为“一个量永远不会重合，但它总是无限的接近它的极限，并且与极限的差要有多小有多小”，这样达朗贝尔给出了极限的描述性定义，但这个定义比较模糊，缺乏严密性.（2）罗伊里埃用极限奠定的微积分基础数学家罗伊里埃用极限思想对古希腊的“穷竭法”做了修改，并用极限定义导数，进而由导数来定义微分，排除了无穷小量和00等有神秘色彩的概念和符号.表明极限思想作为微积分基础的正确思想，然而他的缺点是只有单侧极限的概念.（3）柯西的变量极限概念19世纪大数学家柯西抛弃了物理和几何直观，通过变量首次给出了建立在数和函数上的极限定义：“当一个变量逐次所取的值无限趋向于某一数值，最终使变量的值与该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有 其他值得极限”.柯西的变量极限概念的提出，标志着极限概念向“算术话”迈出了决定性的一步，是数学史上的重大创新之一.此外，柯西还把无穷小定义为一个极限为零的变量，从而把极限原理和无穷小量有机的联系在一起.在此基础上，柯西又给出了函数的连续性、导数和微分的概念，特别是他首先给出了定积分作为和式极限的定义.然而，虽然柯西把纷乱的极限概念理出了头绪，为精确极限定义的产生做出了开拓性的工作，但他的工作任然不够严格、精确.例如，他在定义中提到的“无限趋近”和“要多小有多小”只是一种直观的定性语言，而不是一种精确的数学语言.1.3极限思想的形成在柯西关于变量极限的直观动态基础上，德国数学家维尔斯特拉斯从静态的观点出发，把变量解释成一个字母（该字母表示某区间的数），给出了严格定义的极限概念，即他本人在1856年首先提出的现今广泛采用的δε—极限定义：（1）N —ε的数列极限定义：{}是一个数列设n a ，a 是一个确定的数，若对于，,a ,,0εε<->∃>∀a N n N n 时，有当{}的极限为数列则称n a a .(2)δε-的函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心领域),(00δ'x u 内有定义，A 是一个确定的数，若对任给的ε，总存在某个正数)(δδ'<，使得当δ<-<00x x 时都有ε<-A x f )(，则称函数f 当x 趋向于0x 时极限存在，且以A 为极限.这样极限的δε-定义便用静态的有限量刻画了动态的无限量，不仅排除了无穷小这个有争议的概念，而且排除了柯西在定义函数的连续性中用到的“变为并且保持小于任意给定的量”这种说法的含糊性，这标志着清晰而明确的极限概念的真正建立.此外，维尔斯特拉斯还用这一方法定义了连续函数、函数的导数和积分的概念，使微积分的定义摆脱了几何直观所带来的含糊观念最终成了今天的形式.1.4极限思想的完善尽管用ε-语言定义的极限概念非常严密，并以占领微积分课堂100年之久，但他复杂的课堂逻辑结构却成为微积分入门难以理解和掌握的难点之一.近年来众多的专家学者在该研究领域取得了突破性的进展.特别是广州大学张景中院士提出了和ε-语言同样严格但易于被初学者所掌握的D-语言极限.(1)D-数列极限定义：若存在恒正递增无界数列{}n D ，使得对一切数列n ，总有nn D a a 1<-，则aa n n =∞→lim .(2)D-函数极限定义：设函数f(x)在0x 的空心领域)(00x u 有定义，A x f x x =→)(lim 0是指存在零的某右领域),0(δ内的恒正递增无界函数)(1h D ，使得当δ<-<00x x 时，总有)(1)(0x x D A x f -<-.从极限概念的“ε-语言”到“D-语言”的过程其实就是不断简化ε-语言的逻辑结构，化逻辑为运算的过程，他的基本思想是用简单的单调过程刻画一般的，复杂的极限过程，并且在刻画极限的过程中ε-语言与D-语言还具有实质的等价性.D-语言的提出，为数学分析课程的教学改革指出了一个新的方向，也为极限思想的进一步完善开辟了道路.第2章 极限思想在数学分析中的应用2.1极限思想在概念里的渗透极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限，在几乎所有的数学分析著作中都是先介绍函数理论和极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、极数的敛散性，重积分和曲线积分与曲面积分的概念.（1） 如以函数()y f x =在点0x 连续的定义.记0x x x ∆=-称为自变量x （在点0x ）的增量或改变量，设00()y f x =，相应的函数y （在点0x ）的增量记为0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-，可见，函数()y f x =在点0x 连续等价于0lim 0x y ∆→∆=，是当自变量x 得增量x ∆时，函数值得增量y ∆趋于零时的极限.（2）函数()y f x =在点0x 导数的定义.设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限000()()limx x f x f x x x →--存在，则称函数f 在点0x 处可导，令0x x x =+∆，00()()y f x x f x ∆=+∆-，则可写为0000()()limlim x x x f x x f x yx x→→+∆-∆==∆∆()0'f x ，所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比yx ∆∆的极限.（3） 函数()y f x =在区间[],a b 上的定积分的定义。
极限思想的起源以及它的大意
§1.0 序 论一、极限思想的起源以及它的大意极限是高等数学中一个起着基础作用的重要概念，整个高等数学的体系都建立在这一概念基础之上。
【例1】中国古代有句古语：一尺之槌，日截其半，永世不竭。
设原槌之长为一个单位长，用 n x 表示第 n 次截取之后所剩下的长度，则x n n =12。
显然，当n 无限地增大时，n x 趋近于零。
所谓“永世不竭”，意指它可以无限地接近于零，但总不会等于零。
对 n x 的这一变化趋势，我们一般采用记号0lim =x 来表示。
x -1，【例3】( 芝诺悖论 )龟兔相距一个单位长，设乌龟的爬行速度为1，而兔子的奔跑速度是乌龟速度的2倍，则兔子永远也追不上乌龟。
其理由是：当兔子追到乌龟的第一个出发点时，乌龟爬行了12的距离；当兔子追到乌龟的第二个起点时，乌龟又爬行了122距离，…，如此下去。
这一悖论十分地迷惑人，但如果是考虑龟兔赛跑的时间，不难发现这一悖论的错误。
最初龟兔之间的相距11=x第一段路程兔子所用时间为t 112=，龟兔之间还相距x 212= 第二段路程兔子所用时间为t 2212=，龟兔之间还相距x 3212=………第n 段路程兔子所用的时间为t n n =12，龟兔之间还相距x n n +=112前n 段路程兔子所用时间的总和为)(1211211212121212112n T n n n n 对任意的<-=--=+++=+显然，当n →∞时，1→n T ，这表明兔子追不上乌龟是指在单位时间内追不上，并非永远追不上。
在这一悖论中，正是由于存在着“龟兔之间的距离 x n n +=112无限地趋近于零，但总达不到零”这一认识上的难点，使得它容易迷惑人。
三、极限思想在数学史上所取得的成就在初等数学中，往往只研究变量的状态性质（静态的性质），而极限是研究变量变化过程中的一种变化趋势（动态的性质）。
因此，极限思想帮助我们解决了许多初等数学无法解决的问题，获得了一些令人激动不已的结果，使数学进入了一个辉煌的时期。
极限思想资料
• 通过热力学平衡条件求解极限
05
极限思想在生物学中的应用
生物种群增长与极限
生物种群增长的数学模型
• Logistic模型：描述种群增长与饱和
• Gompertz模型：描述种群增长与衰老
• 其他生物种群增长模型
生物种群增长的极限研究
• 极限增长速率：种群最大增长率
• 极限种群密度：种群最大承载量
• 资源利用的极限：资源可持续利用
• 环境承载力的极限：环境可持续发展
• 社会公平的极限：社会可持续发展
可持续发展中的极限应对策略
• 资源合理利用：节约资源、循环利用
• 保护生态环境：减少污染、保护生物多样性
• 促进社会公平：消除贫困、提高教育水平
谢谢观看
Docs
• 极限增长时间：种群达到最大密度所需时间
生物分子扩散与极限
生物分子扩散的数学模型
生物分子扩散的极限研究
• Fick定律：描述分子扩散通量与浓度梯度
• 极限扩散速率：分子最大扩散速率
• Diffusion-limited aggregation模型：描述分子聚集过
• 极限扩散距离：分子最大扩散范围
⌛️
古希腊时期的局限性
• 缺乏严格的数学语言和符号
• 无法解决一些涉及无穷的问题
牛顿与莱布尼茨的微积分发展
牛顿与莱布尼茨的微积分理论对比
• 符号表示不同
• 计算方法略有差异
• 理论框架基本一致
牛顿的微积分理论
• 引入微积分符号：dx、dy
• 提出微分法则：导数概念
• 研究曲线与切线：曲率概念
莱布尼茨的微积分理论
• 数列极限实例：数列{1/n}
• 极限的ε-δ定义
古今中外极限思想的发展历程
古今中外极限思想的发展历程1、中国古代极限思想早在春秋战国时期（公元前770——前221），古人就对极限有了思考。
道家的庄子在《庄子》“天下篇”中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。
意思是说，把一尺长的木棒，每天取下前一天所剩的一半，如此下去，永远也取不完。
也就是说，剩余部分会逐渐趋于零，但是永远不会是零。
而墨家有不同的观点，提出一个“非半”的命题，墨子说“非半弗，则不动，说在端”。
意思是说将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。
道家是“无限分割”的思想，而墨家则是无限分割最后会达到一个“不可分”的思想。
公元３世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”，他创造性地将极限思想应用到数学领域。
他设圆的半径为一尺，从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，用勾股定理算得圆内接正十二、二十四、四十八…边形的面积，内接正多边形的边数越多，内接多边形的面积就与圆面积越接近，正如刘徽所说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。
这已经运用了极限论的思想来解决求圆周率的实际问题了，“以至不可割，则与圆周合体”，这一思想是墨家“不可分”思想的实际应用。
祖暅之《缀术》有云：“缘幂势既同，则积不容异。
”祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算，得出“幂势既同，则积不容异”的结论。
意思是界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。
这正是“不可分”思想的延续。
1.2 古希腊极限思想公元三世纪，古希脂诡辩学家安提丰（Antiphon，约公元前430年）在求圆面积时曾提出了用成倍扩大圆内接正多边形边数，通过内接正多边形的面积来表示圆面积的方法，即“穷竭法”。
他先作圆内接正方形，然后将边数加倍，得到圆内接正八边形，再加倍得内接正十六边形，依次继续下去，以为这样圆与内接正多边形的差将被“穷竭”。
高数数学极限总结
函数极限总结一．极限的产生极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。
极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。
但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。
从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。
[1]二．极限知识点总结1. 极限定义函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式时，对应的函数值 都满足不等式：那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作。
[2]单侧极限：✍.左极限：或 ✍.右极限：或 定理：函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相δ<<|x -x |00ε<-|)(|A x f Ax f xx =→)(lim 0A x f xx =-→)(lim )()(左→→x A x f A x f xx =+→)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==⇔=+-→)()()(lim 0)(x f 0x x →等 即。
2. 极限概念函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。
时的极限。
函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。
论极限的思想方法
论极限的思想方法
极限思想是今天科学研究和实践的重要理论方法，它成为现代分析几何、数学物理、复变函数分析以及微积分的重要工具。
它可以用来证明函数的收敛性、微分的存在性以及诸多其他运算的正确性。
极限思想的起源要追溯到古希腊的得失法，在十七世纪，笛卡尔引入了初等分析学来建立可计算的极限运算。
从古至今，极限思想已经极大地改变了数学和科学研究的方法。
极限思想是用来研究变量在不断变化时其可能出现的极大值、极小值或特殊值的一种数学分析方法。
它首先要求对一组数值等距离的重复绘制图像，然后研究其形变趋势，从而得到数学关系的极限值，从而得出最终的结果。
它尤其适用于复杂而多变的实际情况，这些情况很难用其他方法求解。
极限思想不但用于分析，而且可以应用在许多现实问题中，如物理模型中的流体动力学、社会学中的人口动态和社会趋势以及其他生物勘查等领域。
在计算机科学中，极限思想可用于解决机器学习、图灵机和数据科学中的抽象问题，从而更好的理解自动化系统的性能。
总之，极限思想自古至今可以说是非常有用与实际的，无论是在分析上还是建模和计算机解决实际问题上，都可以派上用场。
正是极限思想发展下来的数学分析，用以计算机科学的发展才得以急剧提升，并且广泛应用于现今社会，提升了生活的质量，极大地帮助了各个领域的发展。
极限概念的产生与发展
极限概念的形成经历了漫长的岁月。 极限概念的形成经历了漫长的岁月。 早在两千多年前， 我国的惠施就在庄子的《 天下篇》 早在两千多年前，我国的惠施就在庄子的《天下篇》中有 一句著名的话： 一尺之棰， 日取其半，万世不竭” 一句著名的话： 一尺之棰，日取其半，万世不竭” 惠施提出 “ ， 了无限变小的过程，这是我国古代极限思想的萌芽。 了无限变小的过程，这是我国古代极限思想的萌芽。 我国三国时期的大数学家刘徽（ 我国三国时期的大数学家刘徽（约 225 年～295 年）的割 圆术， 通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆周， 圆术，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆周，刘徽 边形的面积和周长， 计算了圆内接正 3072 边形的面积和周长，从而推得 <3.142704。 3.141024<π <3.142704。在国外一千多年以后欧洲人安托尼兹 "π" 才算到同样精确度的小数。 才算到同样精确度的小数。 这扇窗口闪烁着我国古代数学家 的数学水平和才能的光辉。 的数学水平和才能的光辉。 世纪前后， 欧洲资本主义的萌芽和文艺复兴运动促进了 16 世纪前后， 生产力和自然科学的发展。 世纪， 生产力和自然科学的发展。 世纪， 牛顿 Newton） （ 和莱布尼 17 在总结前人经验的基础上，创立了微积分。 兹（Leibniz）在总结前人经验的基础上，创立了微积分。
x→x0
ห้องสมุดไป่ตู้
的 义 严 ， 今 被 有 积 的 科 （ 少 样 定 是 格的 至 还 所 微 分 教 书 至 是 在本质上）普遍采用。 在本质上）普遍采用 。 立， 极 理 的 立， 思想 限 论 建 在 方法 深 影 了 代 学 上 刻 响 近 数 的 发展。 发展。 一 数 概 的 个 学 念 形成 经历 这 漫 的 月 大 仅 了 样 长 岁 ， 家 从 这一点就可以想像 这一点就可以想像 出极限概念在微 积分这门 科中显得多 学 么重要了。 么重要了 。
极限
极限一、前言1、数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果。
”2、极限思想的历史源远流长，一直可以上溯到2000多年前。
二、发展过程1、萌芽阶段（1）概观：1）人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际问题，但是还不能够对极限思想得出一个抽象的、精准的概念。
2）也就是说，这时的极限思想建立在一种直观的原始基础上（物理直观），还是一种模糊的概念，没有上升到理论层面，人们还不能够系统而清晰地利用极限思想解释现实问题。
（2）代表人物：极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺，中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。
（3）历程：1）提到极限思想，就不得不提到著名的阿基里斯悖论——一个困扰了数学界十几个世纪的问题。
阿基里斯悖论是由古希腊的著名哲学家芝诺提出的，他的话援引如下：“阿基里斯（希腊的神学太保，以跑步快而闻名）不能追上一只逃跑的乌龟，因为在他到达乌龟所在的地方所花的那段时间里，乌龟能够走开。
然而即使它等着他，阿基里斯也必须首先到达他们之间一半路程的目标，并且，为了他能到达这个中点，他必须首先到达距离这个中点一半路程的目标，这样无限继续下去。
从概念上，面临这样一个倒退，他甚至不可能开始，因此运动是不可能的。
”就是这样一个从直觉与现实两个角度都不可能的问题困扰了世人十几个世纪，直至十七世纪随着微积分的发展，极限的概念得到进一步的完善，人们对“阿基里斯”悖论造成的困惑才得以解除。
2）无独有偶，我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭。
”也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝，竿会越来越短，长度越来越趋近于零，但又永远不会等于零。
这更是从直观上体现了极限思想。
我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用。
所谓“割圆术”，就是用半径为R的圆的内接正多边形的边数n一倍一倍地增多，多边形的面积An就越来越接近于圆的面积πR2。
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和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限 概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果 在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠 近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。 但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法 得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近 于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时a，n 无限地
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接近第一个量”，它接近于极限的正确定义；然而，这些 人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此 ，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几 何量的概念上面的。
首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波 尔查诺，他把函数f（x）的导数定义为差商Δy／Δx的极限 f′（x），他强调指出f′（x）不是两个零的商。波尔查诺的 思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。
极限思想的由来
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就 是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来 研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问 题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概 括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的 变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量 ；最后用极限计算来得到这结果。
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恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证 法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的 过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆 地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此， 他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念 的方向”。
接近于常数A，那么就说 an 以A为极限”。
这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微
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积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定 量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论 证的逻辑基础。
正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到 人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学 史上所说的无穷小悖论。英国哲学家、大主教贝克莱对微 积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡
极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系 的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极
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大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方 法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而 提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是 促进极限发展、建立微积分的社会背景。
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辩”。 贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服
务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础， 连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明 ，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数 学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。
极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长 一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解 决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常 量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清
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楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对 有限和无限的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习 惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数 学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零 ”相互转化的辩证关系。
到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后 明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对 极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个 量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为
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到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上， 比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》 中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值， 最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就 叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（ 绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成 为无穷小”。
柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷 小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中， 它
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的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地 接近于零。
柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明 确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在 描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等， 因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密 化的程度。
为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出 了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。
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所谓 an A ，就是指：“如果对任何ε＞0，总存在自然数 N，使得当n＞N时，不等式｜an A｜＜ε恒成立”。
这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量 地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此， 这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍 在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅仅是数 及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经 摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。
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极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列 重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借 助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学 科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研 究函数的一门学科”。
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践 的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是 建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊 人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的