8第八章空间解析几何答案
(完整版)高数期末复习题第八章空间解析几何与向量代数
第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ，则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3( 则： 且 b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面 平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是 平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是 （ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。
8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos ； B. αsin ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直，则 （ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ； D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则 （ C ）A. b a ϖϖ//；B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ；C. b a ϖϖ⊥ ；D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是 （ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴 ； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线 垂直的平面方程为 （ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示 （ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、 一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和，求这个平面。
空间解析几何及向量代数测试题及答案
军教院第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）___.1.四点,，，组成的四面体的体积是___162。
已知向量，,,则=__（—2，-1，0）____.3。
点到直线的距离是______________.4.点到平面的距离是_____________。
5。
曲线C：对xoy坐标面的射影柱面是_______,对yoz坐标面的射影柱面是___________,对xoz坐标面的射影柱面是______________。
6.曲线C：绕轴旋转后产生的曲面方程是_______，曲线C绕轴旋转后产生的曲面方程是__________________。
7。
椭球面的体积是_____40π____________。
二、计算题（共4题，第1题10分,第2题15分,第3题20分，第4题10分,共55分）1. 过点作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程。
这里是3个非零实数.解：设点在平面上的射影点为，在平面上的射影点为,在平面上的射影点为,则,于是,，所确定的平面方程是即 .2。
已知空间两条直线,.(1)证明和是异面直线;(2)求和间的距离;(3)求公垂线方程。
证明：（1) 的标准方程是，经过点，方向向量的标准方程是，经过点，方向向量，于是,所以和是异面直线。
（2）由于，和间的距离（3)公垂线方程是，即.3。
求曲线绕x轴旋转产生的曲面方面.解:设是母线上任意一点,则过的纬圆方程是,（1）又 ,（2)由（1）（2）消去得到。
4。
已知单叶双曲面,为腰椭圆上的点，（1）求经过点两条直母线方程及其夹角；(2)求这两条直母线所在的平面的方程及平面与腰椭圆所在平面的夹角。
解：（1）设单叶双曲面两直母线方程是与把点分别代入上面两方程组，求得代入直母线方程,得到过点的两条直母线与，即与两直母线的方向向量可分别取和，设两直母线的夹角是,则有，。
（2)两直母线所在平面的方程是，即显然平面与腰椭圆所在的平面的夹角是0。
大学知识第八节 空间解析几何
空间解析几何1. 在空间直角坐标系中，由参数方程sin 1cos 042sin 2x y z θπθθθ⎧⎪=⎪⎛⎫=-+≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩确定的曲线的一般方程是（ ）。
22220.20x y A y y z ⎧+=⎨++=⎩ 22220.20x y B y z z ⎧+=⎨++=⎩22220.20x y y C z y ⎧++=⎨+=⎩ 22220.20x y x C y z ⎧++=⎨+=⎩1.【答案】C【解析】联立x=sin θ,y=-1+cos θ消去θ得2220x y y ++=，可知选择C. 2. 设112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 为平面上不共线的三点，则三角形ABC 的面积为（） AB AC ⋅ B.12AB AC ⋅ D. AB AC ⋅ 2.【答案】B【解析】由行列式的定义展开计算可得。
3.直线L:12x -:2x y z τ++=A.平行 B.相交但不垂直 C 垂直 D.直线L 在平面上 3.【答案】B 。
【解析】由题意得:直线l 的方向向量为m =(2，-1，一3)， 平面τ法向量n =(1，1，1)，易知m 与n 不共线，且mn ≠0，而直线l 上的点(1，-1，2)在平面τ上，故两者相交但不垂直。
故选择B 。
4.方程2221x y z -+=-所确定的二次曲面是（ ）A. 椭球面B.旋转双曲面C. 旋转抛物面D. 圆柱面4.【答案】B5.方程22211694x y z -+=所确定的二次曲面是（ ）A. 椭球面 B 。
旋转双曲面 C. 旋转抛物面 D. 圆柱面5.【答案】B6.已知抛物面方程222=x y z +（1）求抛物面上在点(1,1,3)M 处的切平面方程；（2）当k 为何值时，所求的切平面与平面340x ky z +-=相互垂直。
6.【解析】（1）令22(,,)2F x y z x y z =+- 则4,2,1F F F x y x y z∂∂∂===-∂∂∂。
0808习题课2(空间解析几何部分)
习 题 课（二）
思考与练习
P51 题21 画出下列各曲面所围图形: (1) 抛物柱面 2 y 2 x , 平面 z 0 及 x y z 1; 4 2 2 ( 2) 抛物柱面 x 2 1 z , 平面 y 0, z 0 及 x y 1;
化简得:
25x 10 y 14z 23 0.
x 1 y 2 z 2 四. 求 通 过 直 线 且垂直于平面 2 3 2 3 x 2 y z 5 0的 平 面 方 程 .
解: L : s ( 2,3,2), 平面 : n1 ( 3,2,1), 取所求平面: n s n1 ( 1,8,13),
所求平面为 x 20 y 7 z 12 0, 或 x z 4 0.
8(p49)
x4 y3 z 求过点 ( 3,1,2)且 通 过 直 线 的平面方程 . 5 2 1
解法（一）
设已知点 M的坐标为 (3,1,2)，且直线 L过点N (4,3,0).
直线的方向向量 s （ 5,2， 1 ） , 平面的法向量 n MN s ,
x 1 4t . y t z 2 3t
六. 在 平 面 x y z 1 0内, 求 作 一 直 线 ,使它通过 y z 1 0 直 线L : 与平面的交点 , 且 与L垂 直. x 2z 0
x y z 1 0 得交点 (0,1,0), 解: 解 y z 1 0 x 2z 0 L : s (0,1,1) (1,0,2) ( 2,1,1), 平面 : n (1,1,1), 取所求直线的方向向量: s1 s n ( 2,3,1),
张志让 刘启宽 线性代数与空间解析几何 (二版)第八章习题解答
−
1
2⎟ 1 ⎟⎟
⎝2 ⎠
正定
⎜⎛ 3 2 − 3 ⎟⎞
⎜
2⎟
⑵ ⎜ 2 −2 −1⎟
⎜
2⎟
⎜ ⎜ ⎝
−
3 2
−1 2
⎟ 2⎟
⎠
不定
2
2．
⑴
⎜⎛ 1 ⎜t
t −1⎟⎞ 1 2 ⎟=A
⎜⎝ −1 2 5 ⎟⎠
⎛1 t ⎞ A' = ⎜⎜⎝t 1⎟⎟⎠
| A |= −5t 2 − 4t , | A'|= 1− t 2
对于λ1=2 ，
求
（λI-A）x=0,
得
⎛1⎞ x= ⎜⎜⎝1⎟⎟⎠
,
单位化为
⎜⎛1/ ⎜⎝1/
2 2
⎟⎞ ⎟⎠
；
对于λ1=4
，
求
（λI-
A）x=0,
得
x=
⎛ ⎜⎜⎝
1⎞ − 1⎟⎟⎠
,
单位化为
⎜⎜⎝⎛
1/ −1/
2 2
⎟⎟⎠⎞
，
⎛1 1 ⎞
故
⎛ ⎜⎜ ⎝
x y
⎞ ⎟⎟ ⎠
=
⎜
⎜
⎜ ⎜⎝
2 1
2
−
2 1
f
(x1 ,
x2 )
=
x12
−
x1 x2
+
x22 =
x12
−
x1 x2
+
1 4
x22
+
3 4
x
2 2
=(
x1
−
1 2
x2 )2
+
3 4
x
2 2
高等数学(经济类)课后习题及答案第八章空间解析几何答案
习题8-1（A ）1．求空间两点(1,2,2)A 与(1,0,1)B -之间的距离．解：3AB ==．2．写出点()456A -，，的对称点坐标：（1）分别关于xOy 、yOz 、xOz 平面的对称点坐标；（2）分别关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点坐标；（3）关于原点的对称点坐标．答案：（1）(4,5,6)--；(4,5,6)--；(4,5,6)．（2）(4,5,6)-；(4,5,6)---；(4,5,6)-．（3）(4,5,6)--．3．判断由()123A ，，，()315B ，，，()243C ，，三点构成的三角形的形状．解：因为3AB ==，AC ==BC ==， 进一步，计算可得222AB AC BC +=，所以ABC ∆为直角三角形．4．求点(,,)M x y z 到各个坐标轴之间的距离．答案：M 点到x 轴的距离x d =M 点到y 轴的距离y d =，M 点到z 轴的距离z d =5．在x 轴上求一点M ，使它到点()321A -，，和()314B ，，的距离相等．解：由题意设点(,0,0)M x ，且满足MA MB ==，解得1x =，所以(1,0,0)M ．6．一动点(,,)M x y z 与定点0000(,,)M x y z 的距离为R (0)R >，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意0MM R =R =，即2222000()()()x x y y z z R -+-+-=． 7． 一动点(,,)M x y z 与两定点(1,2,3)A 与(2,1,4)B -距离相等，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意MA MB == 整理得26270x y z -+-=．习题8-2（A ）1．设向量23u a b c =+-，32v a b c =-+，求2v u -．解：2(61)(22)(43)547v u a b c a b c -=-+--++=-+．2．已知点C 是线段AB 的中点，O 是线段AB 外一点，若OA a =，OB b =，求OC ．解：由题意知AB b a =-，122b a AC AB -==， 因此，22b a a b OC OA AC a -+=+=+=． 3．设点N M ,分别是四边形ABCD 两对角线BD 与AC 之中点，若AB a =， CDc =，求MN ．解：设BC 中点为E ，中位线1122EM CD c ==，中位线1122NE AB a ==， 所以在MNE ∆中，1()2MN ME EN a c =+=-+． 4．已知向量(1,2,3)a =-，求2a -以及与a 平行的单位向量e ．解：22(1,2,3)(2,4,6)a -=--=--，与a 平行的单位向量1e 2,3)14a a =±=±-． 5．若2a =，1b =，且向量a 与b 的夹角为π6，求： （1）a b ⋅； （2）(2)(3)a b ⋅-； （3）()(2)a b a b +⋅-； （4）a b ⨯； （5）(2)(3)a b ⨯-； （6）()(2)a b a b +⨯-．解：（1）cos 212a b a b θ⋅==⋅⋅= （2）(2)(3)663a b a b ⋅-=-⋅=-；（3）222222()(2)222212a b a b a ab b a ab b +⋅-=--=--=⋅=-；（4）1sin 2112a b a b θ⨯==⋅⋅=； （5）(2)(3)66a b a b ⨯-=⨯=；（6）()(2)22333a b a b a a a b b a b b a b a b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯=．6．已知向量(2,2,1)a =-、(1,2,3)b =，求a b ⋅ 、a b ⨯及Pr j a b ．解：21(2)2131a b ⋅=⋅+-⋅+⋅=； 221856(8,5,6)123i j ka b i j k ⨯=-=--+=--；3a =，14b =，由a b ⋅1=可知cos θ=，所以1Pr j cos 3a b b θ==． 7．设()1,2,3M ，(2,1,3N ，求向量MN 的方向角和方向余弦．解：(1,MN =-，2MN =，方向余弦 1cos 2α=，1cos 2β=-，cos γ= 方向角 3πα=， 23πβ=，4πγ=． 8．一向量的终点为)7,1,2(-B 且它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4，4-和7，求这个向量的起点A 的坐标．解：由题意可知(4,4,7)AB =-，设A 点坐标为000(,,)x y z ，则024x -=，014y --=-，077z -=，解得02x =-，03y =，00z =，所有A 点坐标为(2,3,0)-．9．若向量(,2,1)a k =-与向量(,2,3)b k k =-垂直，求k 值．解：2430a b k k ⋅=--=，解得1k =-或4k =．10．求与向量(2,2,1)a =、(4,5,3)b =都垂直的单位向量． 解：由题意22122(1,2,2)453i j kc a b i j k =⨯==-+=-，且3c =，故所求单位向量为1(1,2,2)3±-．11.已知点()1,1,1M ，()2,2,1A ，()2,1,2B ，求AMB ∠．解：因为()1,1,0MA =，()1,0,1MB =，所以111cos2MA MBAMB MA MB ⋅⋅∠===⋅，因此3AMB π∠=． 12．若a 与b 垂直且都是单位向量，求以u a b =+，v a b =-为邻边的平行四边形面积． 答案：2．解析：由题意1a b ==，由向量积的几何意义可知该平行四边形的面积为： ()()22S u v a b a b a a a b b a b b a b a b =⨯=+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯2sin 21112a b θ==⋅⋅⋅=．习题8-2（B ）1．证明向量()()b c a a c b ⋅-⋅与向量c 垂直．证：()()()()()()()()b c a a c b c b c a c a c b c b c a c a c b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅⎣⎦， 因为()()()()b c a c a c b c ⋅⋅=⋅⋅，故，所以()()b c a a c b c ⎡⎤⋅-⋅⊥⎣⎦． 2．用向量证明三角不等式+AC BC AB <． 证：设AB c =，AC b =，BC a =，则a c b +=，两边平方得22()a c b +=，即2222a c ac b ++=．又因22a a =，22c c =，22b b =， 又2222cos b a c a c B =++，所以即2222b a c a c <++，故+AC BC AB <．3．已知向量,a b 满足5a =，6b =，15a b ⨯=，求a b ⋅．解：sin 30sin 15a b a b θθ⨯===，1sin 2θ=，cos 2θ=±，所以cos a b a b θ⋅==±． 4．已知向量,a b 满足a b ⊥，且3a =，4b =，求()()a b a b +⨯-．解：()()a b a b a a a b b a b b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯，因为0a a ⨯=，0b b ⨯=，a b b a ⨯=-⨯，则()()222sin a b a b a b a b a b θ+⨯-=-⨯=⨯=，又因a b ⊥，sin 1θ=，所以()()2sin 24a b a b a b θ+⨯-==． 5．已知向量a 、b 、c 两两垂直，且1a =、2b =、3c =，设s a b c =++，求s 以及s 与a 的夹角．解：22222()22214914s a b c a b c ab bc ac =++=+++++=++=，所以14s =.又因2()1s a a b c a a ⋅=++⋅==，所以=cos 1s a s a θθ⋅==，故 s 与a 的夹角θ=． 6．两个非零向量a 和b 满足如下条件：向量3a b +与75a b -垂直，并且向量4a b -与72a b -垂直，求向量a ，b 的夹角．解：设向量a 与b 的夹角为θ，由(3)(75)a b a b +⊥-，有 220(3)(75)7151671516cos a b a b a a b b a b a b a b θ=+⋅-=⋅-⋅+⋅=-+；由(4)(72)a b a b -⊥-，有 220(4)(72)78307830cos a b a b a a b b a b a b a b θ=-⋅-=⋅+⋅-⋅=+-， 上述两个方程联立，解得 21cos =θ，得π3θ=，所以向量a 与b 的夹角为π3．习题8-3（A ）1． 分别求满足下列各条件的平面方程：（1）过点(3,2,4)M --且垂直于x 轴；（2）过点(2,0,1)M -且平行于平面3753x y z -+=；（3）过点(2,9,6)M 且与线段OM 垂直，其中O 为坐标原点；（4）过三点(2,1,4)A -，(1,3,2)B --，(0,2,3)C ；（5）线段AB 的垂直平分面，其中(0,3,6)A ，(2,1,4)B -；（6）平行于xOz 平面且过点(2,4,3)M -；（7）过y 轴和点(1,4,1)M --；（8）过x 轴且垂直于平面03245=+-+z y x ；（9）过原点及点(6,3,2)M 且垂直平面8345=-+z y x ；（10）过点(2,1,1)M -且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和1．解：（1）由于所求平面垂直于x 轴，故所求平面平行于yOz 平面，所以所求平面的方程为3x =；（2）设所求平面为375x y z k -+=，又因为其过点(2,0,1)M -，代入得1k =，所以所求平面方程为3751x y z -+=；（3）向量(2,9,6)OM =即为所求平面的法向量，又平面过点(2,9,6)M ，所以所求平面方程为2(2)9(9)6(6)0x y z -+-+-=，即296121x y z ++=；（4）所求平面的法向量为(3,4,6)(2,3,1)(14,9,1)n AB AC =⨯=--⨯--=-，代入点(2,1,4)A -，得到所求平面方程为14(2)9(1)(4)0x y z -++--=，即14915x y z +-=；（5）(2,4,2)AB =--即为所求平面的法向量，且过线段AB 的中点(1,1,5)，所以所求平面方程为2(1)4(1)2(5)0x y z -----=，即260x y z --+=；（6）由题意所求平面垂直于y 轴，且过点(2,4,3)M -，所以所求平面方程为4y =-；（7）设所求平面方程为0Ax Cz +=，代入点(1,4,1)M --得A C =，所以所求平面方程为0x z +=；（8）所求平面的法向量为1(1,0,0)(5,4,2)(0,2,4)n i n =⨯=⨯-=，且过原点，所以所求平面方程为20y z +=；（9）所求平面的法向量为1(6,3,2)(5,4,3)(17,28,9)n OM n =⨯=⨯-=-，所以所求平面方程为172890x y z -++=；（10）由题意设所求平面的截距式方程为121x y z c++=，其中c 为平面在z 轴上的截距， 代入点(2,1,1)M -，解得1c =，所以所求平面为1211x y z ++=． 2． 指出下列各平面的特殊位置，并作平面的草图：（1）0=z ； （2）012=-x ；（3）1=+y x ； （4）02=-z x ；（5）0=++z y x ； （6）1432=+-z y x ． 答案：（1）xOy 平面；（2）垂直于x 轴的平面；（3）平行于z 轴的平面；（4）平行于y 轴的平面；（5）在x 轴、y 轴和z 轴上截距全为1的平面；（6）在x 轴、y 轴和z 轴上截距分别为2、3-和4的平面；3． 求平面072=-+-z y x 与平面0112=-++z y x 的夹角．解：1(2,1,1)n =-，2(1,1,2)n =， 11111cos 24n n n n θ⋅===， 所以两平面夹角π3θ=． 4． 一平面过点(5,4,3)M 且在各坐标轴上的截距相等，求该平面方程．解：由题意设所求平面方程为1()1x y z a++=，代入(5,4,3)M 得12a =， 所以所求平面为12x y z ++=．5． 一平面过点(3,1,5)M --，且与平面3227x y z -+=-和5431x y z -+=-都垂直，求该平面方程．解：由题意知所求平面的法向12(3,2,2)(5,4,3)(2,1,2)n n n =⨯=-⨯-=-，又知其过点(3,1,5)M --，所以得到所求平面方程为2(3)(1)2(5)0x y z -++-+=，即2215x y z +-=．6． 求点(4,2,3)M -到平面25x y z +-=的距离．解：由点到平面的距离公式可得d ===习题8-3（B ）1．一平面过两点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B ,且在三个坐标轴上的截距之和为零，求该平面方程． 解：设所求平面方程为1x y z a b c++=，且0a b c ++=，将点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B 代入平面方程中，联立方程组解得3,6,9a b c ===-，或3,2,1a b c ==-=-， 所以所求平面方程为1369x y z ++=-或1321x y z ++=--． 2．一动点(,,)M x y z 与平面1=+y x 的距离等于它到z 轴的距离，求动点M 的轨迹．解：由题意点M 到z轴的距离为，点M 到平面1=+y x，所以=，解得2222210x y xy x y +-++-=，即为动点M 的轨迹． 3．设平面π位于平面0221=-+-z y x ：π与平面0622=-+-z y x ：π之间，且将此两平面的距离分为1︰3，求平面π的方程．解：平面1π与2π之间的距离为641)2(126222=+-++-．设所求平面方程为02=++-D z y x ：π，则π与1π的距离应为611=d ，π与2π的距离应为632=d ，而666221+=+=D d D d 、，于是3612=+=+D D 、，得3-=D ，所以所求平面方程为032=-+-z y x ：π．4．一平面与平面632120x y z +++=平行，若点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，求该平面的方程．解：依题意设所求平面方程为6320x y z D +++=，又点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，则=，即164D =+，得20D =-，12D =（舍），所以所求平面方程为632200x y z ++-=．5．求过x 轴且与点)5,0,2(M 的距离为5的平面方程．解：由π过x 轴，设所求平面方程为0=+Cz By ，由点)5,0,2(M 到π的距离为，有5522=+C B C，即2225C B C +=，得C B 2±= ，所求方程为02=+±Cz Cy ，即02=±z y ． 6．求平行于平面2250x y z +++=且与三坐标平面所构成的四面体的体积为1个单位的平面的方程．解：设所求平面的方程为220x y z D +++=，即122x y z D D D ++=---， 由题意 11622D D V D =-⋅-⋅-=，解得D =±220x y z ++±=．习题8-4（A ）1． 分别求满足下列各条件的直线方程：（1） 过点)1,2,1(-M 且与直线43121zy x =--=+平行； （2） 过原点垂直于平面03=-++z y x ； （3） 过两点)1,2,3(-A ，)2,0,1(-B ；（4） 过点)4,2,0(M 且与两平面12=+z x 及23=-z y 都平行；（5） 过点)1,2,1(-M 且与直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩，平行．答案：（1）121234x y z --+==-；（2）x y z ==； （3）321421x y z -+-==-（或12421x y z +-==-）；（4）24231x y z --==-； （5）121311x y z +--==-． 2． 分别求满足下列各条件的平面方程：（1） 过点)1,1,2(M 且垂直于直线20210x y z x y z +-=⎧⎨+-+=⎩，；（2） 过点)2,1,3(-M 及直线12354zy x =+=-； （3） 过z 轴，且平行于直线L ：102340x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩，；（4） 过两平行直线13121-=+=-z y x 与 11322--=-=z y x ． 答案：（1）36x y z ++=；（2）892259x y z --=；（3）40x y +=；（4）697x y z -+=．3． 用对称式方程及参数方程表示直线123 4.x y z x y z -+=-⎧⎨-+=-⎩，解：先在直线上找一点，令1x =，解方程组236z y y z -=-⎧⎨-=⎩，得0,2y z ==-.故点(1,0,2)-在直线上．再求直线的方向向量s ，由题意可知12(2,1,1)s n n =⨯=--，所以对称式方程为12211x y z -+==--，从而参数式方程为122.x t y t z t =-⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩，， 4． 求两直线113:141x y z L -+==-与220:20x y L x z ++=⎧⎨+=⎩ 的夹角． 解：由已知，有直线2L 的方向向量为(1,4,1)-，直线2L 的方向向量为(2,2,1)--，由夹角公式可得cos 2θ==，所以π4θ=． 5． 求直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面02=+-z y x 的夹角ϕ．解：直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩的方向向量113(242)2(121)111ijks ==-=---，，，，，平面02=+-z y x 的法线向量(112)n =-，，，由直线与平面的夹角公式，有1πarcsinarcsin26s n s nϕ⋅====⋅． 6．试确定下列各组中的直线与平面的位置关系：（1）37423zy x =-+=-+和3224=--z y x ； （2）723z y x =-=和8723=+-z y x ；（3）431232--=+=-z y x 和3x y z ++=； （4）310220x y z x y +-+=⎧⎨--=⎩和253x y z ++=．答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行；（4）垂直．7． 求直线11321x y z+-==- 与平面010=-+-z y x 的交点． 解：将直线11321x y z+-==-改写为参数方程t z t y t x =+-=-=、、1213，将其代入到平面方程010=-+-z y x 之中，有0101213=-+-+-t t t ，即0126=-t ，得2=t ，再将2=t 代到直线的参数方程之中，得235=-==z y x 、、，所以直线与平面的交点为(532)-，，．8．设直线1:112y L x z -==+，222:102x z L y +-=-=-，求同时平行于12,L L 且与它们等距的平面方程．解：所求平面的法向量12(5,2,1)n l l =⨯=---，则其方程为520x y z D +++=，下面求D ． 在1L 上取点1(1,0,1)M -，在2L 上取点2(2,1,2)M -，利用点到平面距离相等可得：=，解得1D =.因此，所求平面为5210x y z +++=． 9．求点(1,2,0)M -在平面点012=+-+z y x 上的投影．解：做过点(1,2,0)M -且垂直于平面012=+-+z y x 的直线方程为12121x y z+-==-，该直线与平面的交点522,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭即为所求的投影点．习题8-4（B ）1．求点(2,1,3)A 关于直线11:321x y zL +-==-的对称点M 的坐标． 解：设000(,,)M x y z ，过(2,1,3)A 做平面L ∏⊥，则的方程为∏325x y z +-=，求得直线L 与平面∏的交点为2133,,777B ⎛⎫-⎪⎝⎭，则点B 是线段AM 的中点，因此由中点公式得101927,,777M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．2．求原点关于平面6291210x y z +--=的对称点.解：过原点做该平面的垂线629x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，代入平面方程解得1t =，得直线与平面的交点为(6,2,9)-．设所求对称点为(,,)x y z ，则有0006,2,9222x y z +++===-，所以(,,)(12,4,18)x y z =-． 3．求点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离． 解：过点()1,1,4M 作一个垂直于直线234112x y z ---==的平面，方程为(1)(1)2(4)0x y z -+-+-=，即2100x y z ++-=将直线234112x y z ---==的参数方程2324x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入到平面方程中，得12t =- 所以直线与平面的交点坐标为35,,322⎛⎫⎪⎝⎭，所以 点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离为点()1,1,4M 与交点35,,322⎛⎫⎪⎝⎭的距离，即所求4．设直线L 在yOz 平面上的投影方程为231y z x -=⎧⎨=⎩，在zOx 平面上的投影方程为20x z y +=⎧⎨=⎩，求直线L 在xOy 平面上的投影方程．解：设过直线L 的平面束方程为231(2)0y z x z λ--++-=， 即2(3)120x y z λλλ++---=，若该平面与z 轴平行，则有3λ=，所以L 在xOy 平面上的投影方程为327x y z +=⎧⎨=⎩．5．若直线131:23x y z L m --==-与2243:340x y z L +--==-相交，求m 的值及其交点的坐标． 解：两直线相交即共面，有12120s s M M ⨯⋅=，12(12,9,83)s s m ⨯=----，12(5,3,3)M M =-，所以1m =．下面求交点：将直线方程改写为参数方程123:13x t L y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，232:443x k L y k z =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，1L 与2L 相交时，下列方程组应有解：233214433t k t k t +=-⎧⎪+=-+⎨⎪-=⎩，解得1,1t k =-=，代入参数方程得到交点坐标为(1,0,3)．6． 求过直线2821705810x y z x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩且与球面2221x y z ++=相切的平面方程．解：所求平面为28217(581)0x y z x y z λ+-+++-+=，即 (15)(288)(2)170x y z λλλλ+++-+++=，球心为原点，到平面的距离等于半径1，所以1d ==，分子分母平方相等化简得2894285000λλ++=，即(2)(89250)0λλ++=，解得25089λ=-或2λ=-，代入方程，得所求平面为38716424421x y z --=或345x y -=． 7．求过原点，且经过点(1,1,0)P -到直线3:24x z L y x =-⎧⎨=-⎩的垂线的平面方程．解：由已知得L 的方向向量(1,2,1)s =，过点P 做直线L 的垂直平面，其方程为(1)2(1)0x y z -+++=，即210x y z +++=. 设交点0000(,,)P x y z 为直线L 与此平面的交点，解得0002811,,333x y z ==-=. 由于所求平面过原点，可设其方程为0Ax By Cz ++=,将P 、0P 坐标代入平面方程得：028110333A B A B C -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， 解得116A B C ==. 故所求平面方程为111160x y z ++=．习题8-5（A ）1． 分别写出满足下列各条件的曲面方程：（1）以点0(1,2,3)M -为球心，2R =为半径的球面方程； （2）以点(1,1,2)M -为球心，且过原点的球面方程； （3）与两定点(1,2,1)A -和(3,1,4)B 等距的动点轨迹；（4）与原点O 及定点)4,3,2(A 的距离之比为1﹕2的动点轨迹． 答案：（1）222(1)(2)(3)4x y z -+-++=； （2）6)2()1()1(222=-+++-z y x ； （3）2510x y z -+=；（4）22224116(1)339x y z ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．求出下列球面方程的球心坐标及半径： （1）222230x y z z ++--=； （2）2222420x y z x y z ++-++=． 答案：（1）球心(0,0,1)，半径2；（2）球心(1,2,1)--． 3． 写出满足下列条件的旋转曲面方程： （1）yOz 面上抛物线2y z =绕z 轴旋转一周； （2）yOz 面上直线z y 2=绕y 轴旋转一周；（3）xOy 面上椭圆1322=+y x 分别绕x 及y 轴旋转一周； （4）xOy 面上双曲线1222=-y x 分别绕x 及y 轴旋转一周．答案：（1）22z x y =+； （2）y =± （3）绕x 轴：2223()1x y z ++=，绕y 轴：22231x z y ++=； （4）绕x 轴：2222()1x y z -+=；绕y 轴：22221x z y +-=．4．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称：（1）3x =； （2）221x y -=； （3）2222=+y x .答案：（1）在平面直角坐标系下表示一条直线，在空间直角坐标系下表示一个平面； （2）在平面直角坐标系下表示一条双曲线，在空间直角坐标系下表示一个双曲柱面； （3）在平面直角坐标系下表示一个椭圆，在空间直角坐标系下表示一个椭圆柱面；． 5．画出下列各方程所表示的曲面：（1）22(1)1x y -+=； （2）22194y x -= （3）22194x y +=； （4）22x z +=． 答案：略．习题8-5（B ）1． 一球面过原点和)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，求该球面的方程．解：设球面方程为222z 0x y z Dx Ey F +++++=，由于它过)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，因此164019301640D D E F +=⎧⎪+++=⎨⎪-=⎩，，解得424.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，， 因此，该球面的方程为2224240x y z x y z ++--+=． 2． 画出下列各曲面所围立体的图形:（1）0z =，3z =，x y =，x =，221x y +=（在第一卦限内）； （2）0x =，0y =，0z =，222x y R +=，222y z R +=（在第一卦限内）．答案：略．习题8-6（A ）1． 说出下列曲线的名称，指出曲线的特点并作出曲线的草图.（1）12x y =⎧⎨=⎩，； （2）221z x y z ⎧=+⎨=⎩，；（3）2228x y z z ⎧-=⎨=⎩，； （4）22282.x y z y ⎧-=⎨=-⎩，答案：（1）直线；（2）圆；（3）双曲线；（4）抛物线．2．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称．（1）5232;y x y x =+⎧⎨=-⎩， （2）22211.2x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，答案：（1）在平面直角坐标系下表示一个点，在空间直角坐标系下表示一条直线；（2）在平面直角坐标系下表示两个点，在空间直角坐标系下表示两条直线.3．求曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影．解：由1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，有221x y +=.因此，曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影为2210.x y z ⎧+=⎨=⎩，4． 求曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影． 解：由2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，，有223216x z +=. 因此，曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影为2232160.x z y ⎧+=⎨=⎩， 5． 画出下列空间区域Ω的草图．（1）Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面围成； （2）Ω由圆锥面22y x z +=及上半球面222y x z --=围成；（3）Ω由抛物面z x -=12，平面0=y ，0=z 及1=+y x 围成；（4）Ω是由不等式222R z x ≤+及222R z y ≤+确定的第一卦限的部分．答案：略．6．作出下列空间区域在xOy 面及xOz 面上的投影区域．（1）介于球面22224a z y x =++内的圆柱体222)(a y a x ≤+-； （2）Ω由圆锥面22y x z +=及抛物柱面x z 22=围成．答案：略．习题8-6（B ）1． 分别求母线平行于x 轴与y 轴且都通过曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程． 答案：平行于x 轴：22316y z -=；平行于y 轴：223216x z +=．2． 求曲线22229x y z y z⎧++=⎨=⎩的参数方程．答案：3cos ,(02π)x y z θθθθ=⎧⎪=≤<⎨⎪=⎩．总习题八一、填空题1．设向量a m n =+，2b m n =-，且2m =，1n =，m 与n 的夹角π3θ=，则向量a 与b 的数量积a b ⋅= ； 答案：1．解析：2222()(2)2cos 2a b m n m n m mn n m m n n θ⋅=+-=--=--142212=-⋅-=． 2．同时垂直于()1,2,1a =和()3,4,5b =的单位向量为 ； 答案：)6,2,2--． 解析：c a b =⨯=()1216,2,2345i j k=--，211c =所以)016,2,2211c c c==±--，即为所求单位向量． 3．设单位向量0a 的两个方向余弦为1cos 3α=，2cos 3β=，则向量0a 的坐标为 ；答案：0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭． 解析：设第三个方向角为γ，由222cos cos cos 1αβγ++=，得2cos 3γ=± 所以0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭． 4．过点(3,1,2)M -且平行于直线121:2329x y z L x y z ++=⎧⎨++=⎩，和直线223:34x y z L x y z --=-⎧⎨++=⎩，的平面方程是 ； 答案：32x y z ++=．解析：由题意可求得两直线的方向向量分别为1(1,2,1)(2,3,2)(1,0,1)s =⨯=-，2(2,1,1)(1,3,1)(2,3,7)s =--⨯=-，所以所求平面的法向量为12(3,9,3)n s s =⨯=---，又因为所求平面过点(3,1,2)M -，由点法式得平面方程为3(3)9(1)3(2)0x y z ---+--=，化简得32x y z ++=．5．过点()0,2,3M -且与平面23x z +=垂直的直线方程为 ； 答案：2302y z x -+==． 解析：因为所求直线与所给平面垂直，所以方向向量为()1,0,2n =由对称式得所求直线方程为2302y z x -+==． 6．过点)3,1,3(-且通过直线211132-=+=-z y x 的平面方程是 ； 答案：247x y z -++=-．解析：点)3,1,3(-与题中的直线共面，所以点)3,1,3(-和直线通过的点(2,1,1)-所形成的向量1(1,0,2)s =--，直线的方向向量为2(3,1,2)s =，所求平面的法向量为12n s s =⨯(2,4,1)=-，所求平面方程为247x y z -++=-．7．xOz 平面上的抛物线22x z =+绕x 轴旋转所形成的旋转曲面方程是 ，绕z 轴旋转所形成的旋转曲面方程是 ；答案：绕x 轴的旋转曲面方程是222()x y z =++，绕z 轴的旋转曲面方程是2222(2)x y z +=+．8．曲线2221x y z y x⎧+-=⎨=⎩在xOz 平面上的投影是 ；答案：22210x z y ⎧-=⎨=⎩．解析：曲线在xOz 坐标平面上的投影是xOz 坐标平面上的柱面与xOz 坐标平面的交线，xOz 坐标平面上的柱面方程是2221x z -=，xOz 坐标平面的0y =，故投影方程是2221x z y ⎧-=⎨=⎩．二、选择题：1．设向量a 与b 满足a b a b +=-，则a 与b 一定（ ）； (A) 平行 (B) 同向 (C) 反向 (D) 垂直 答案：C ．解析：当a 与b 反向时，a b a b +=-，故选C ． 2．设向量()()u b c a a c b =⋅-⋅，则有（ ）；.(A) u 与a 垂直 (B) u 与b 垂直 (C) u 与c 垂直 (D) u 与c 平行 答案：C ．解析：()()u b c a a c b =⋅-⋅两边乘以c ，则()()()()0u c b c a c a c b c ⋅=⋅⋅-⋅⋅=， 故u 与c 垂直.3. 已知向量a 的方向平行于向量(2,1,2)b =--和(7,4,4)c =--之间的角平分线，且56a =，则a =（ ）；(A) 5(1,7,2)3- (B) 2(1,7,2)3- (C) 5(1,7,2)2- (D) 2(1,7,2)3答案：A ．解析：由题意可知3,9b c ==，则01(2,1,2)3b =--，01(7,4,4)9c =--，于是可设0()(1,7,2)9a b c λλ=+=-，又因56a =，故=15λ=，所以a =5(1,7,2)3-，选A ． 4．设空间直线的方程为043x y z==-，则该直线必定（ ）；(A) 过原点且垂直于X 轴(B) 不过原点但垂直于X 轴(C) 过原点且垂直于Y 轴 (D) 不过原点但垂直于Y 轴答案：A ．解析：直线通过原点，且直线的方向向量为(0,4,3)s =-，X 轴的单位向量为(1,0,0)i =，所以0s i ⋅=，s i ⊥，选A ．5．已知平面π通过点(1,0,1)-，且垂直于直线30:240x y z L x y --+=⎧⎨-+=⎩，则平面π的方程是（ ）；(A) 21x y z -+= (B) 21x y z ++= (C) 22x y z -+= (D) 22x y z +-= 答案：B ．解析：由题意所求平面的法向量就是所给直线的方向向量，即(1,1,1)(1,2,0)(2,1,1)n s ==--⨯-=---，所以平面π的方程为210x y z ++-=，选B ．6．若直线121:110x y z L λ--==与直线2210:50x y L x z λ++=⎧⎨-+=⎩垂直，则=λ（ ）； (A) 4 (B) 2 (C) 2- (D) 2± 答案：2λ=±.解析：直线1L 的方向向量1(1,10,)s λ=，直线2L 的方向向量2(1,2,0)(,0,1)(2,1,2)s λλ=⨯-=--，由题意知12s s ⊥，故120s s ⋅=， 所以2λ=±.7．下列结论中错误的是（ ）；(A) 2230z x y ++=表示椭圆抛物面 (B) 222312x y z +=+表示双叶双曲面(C) 22220x y z +-=表示圆锥面 (D) 24y x =表示抛物柱面 答案：B.解析：双叶双曲面的方程为2222221x y z a b c--=，故选择B.8．曲线22z z x y⎧=⎪⎨=+⎪⎩xOy 坐标平面上的投影是（ ）；(A) 122=+y x (B) 222=+y x(C) 2210x y z ⎧+=⎨=⎩ (D) 222x y z ⎧+=⎨=⎩答案：C ．解析：联立两个曲面z =和22z x y =+，消去z 得到在xOy 坐标平面上的柱面方程为221x y +=，该柱面与xOy 坐标平面0z =的交线即为所求投影，故选C ．三、解答题.1．一单位向量e 与x 轴y 、轴的夹角相等，与z 轴夹角是前者的2倍，求向量e .解：设)2cos ,cos ,(cos ααα=e，由12cos cos cos 222=++ααα，有02sin cos 222=-αα，即0)sin 21(cos 22=-αα，所以2πα=或4πα=（43πα=舍去），于是)1,0,0(-=e 或)0,22,22(=e . 2．设非零向量,a b 满足Pr j 1a b =，计算极限0limx a xb ax→+-．解：原式222()()limlimlim()()x x x a xb aa xb aa xb a xb axx a xb a x a xb a →→→+-+-+⋅+-==++++22022limlimlimPr 1()a x x x a a xab x b b aa b xb b a b j b x a xb a a xb aa→→→⋅+⋅+⋅-⋅+⋅⋅=====++++．3．求平面3546x y z +-=与42x y z -+=的等分角平面方程． 解：设所求平面为3546(42)0x y z x y z λ+--+-+-=， 即 (3)(5)(44)620x y z λλλλ++-+---=， 依题意有 =解得53λ=±，代入所设方程有75414x y z ++=和582x y z +-=． 4．过点)3,2,1(M ，求垂直于直线z y x ==且与z 轴相交的直线方程.解：设所求直线方程为p z n y m x 321-=-=-，由与已知直线垂直，有0=++p n m ①；又设与z 轴交点为),0,0(0z ，有pz n m 3210-=-=-②，由①、②两式得m p m n 32-==、，所求直线方程是332211--=-=-z y x . 5．求与已知直线135:23x y L z +-==及2107:54x y L z -+==相交，且平行于直线321:387x y L z +-==-的直线方程．解：由题意可知所求直线L 的方向向量3(8,7,1)s s ==，以参数形式表示直线1L 和2L ，则L 与1L 和2L 的交点分别为1(23,35,)M t t t -+和2(510,47,)M λλλ+-，显然只需确定1M 和2M 之中的一点即可，因123//M M s ，故5213431287t t t λλλ-+--==-，即52138()43127()t t t t λλλλ-+=-⎧⎨--=-⎩，解得252t =-，从而知16525(28,,)22M ---， 所以所求直线方程经整理得282652258142x y z +++==． 6．指出下列方程所表示的曲面的名称，若是旋转面，指出它是什么曲线绕什么轴旋转而成的．（1）2221499x y z ++=； （2）22214y x z -+=； （3）2221x y z --=； （4）222099x y z +-=； （5）224x y z -=； （6）0z =．答案：（1）旋转椭球面．可看成椭圆221490x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成，或者椭圆221490x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成．（2）单叶旋转双曲面．可看成双曲线22140y x z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，绕y 轴旋转而成，或者双曲线221,40y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕y 轴旋转而成．（3）双叶旋转双曲面．可看成双曲线2210x y z ⎧-=⎨=⎩，绕x 轴旋转而成，或者双曲线221,x z y ⎧-=⎨=⎩绕x轴旋转而成．（4）旋转抛物面．可看成抛物线20,90x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成，或者抛物线20,90y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成．（5）双曲抛物面．（6）旋转锥面．可看成射线,0z x y ==绕z 轴旋转而成，或者射线,0z y x ==绕z 轴旋转而成．7．指出曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕是什么曲线，并写出其方程： （1）2x =； （2）5y =； （3）2z =； （4）1z =．答案：（1）双曲线，方程为22542592z y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，；（2）椭圆，方程为222945x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，； （3）两条直线，方程为352x yz ⎧=⎪⎨⎪=⎩，和352x y z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，；（4）双曲线，方程为22392541.x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，。
高等数学第八章空间解析几何与向量代数
|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若 为常数：
若 、 为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi
同济高等数学第八章学习指导及习题详解
462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。
第八章空间解析几何与向量代数知识点题库与答案
第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1重点① 向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ② 数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③ 几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④ 平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程） 的夹角；⑤ 空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程） 两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点① 向量积（方向）、混合积（计算）；② 掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程和二次曲面所对应的图形； ③ 空间曲线在坐标面上的投影；④ 特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等； ）⑤ 平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥ 直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量和其线性运算① 向量的基本概念：向量 既有大小 又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向 .；向量的符号 以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作表示 也可用上加箭头书写体字母表示例如a 、r 、v 、F 或a 、r 、v 、F ；向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量a 、a 、AB 的模分别记为|a|、|a|、|AB |单位向量模等于1的向量叫做单位向量;向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a 与b平行 记作a // b 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线零向量 模等于0的向量叫做零向量记作0或0 零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的共面向量：设有k （k 3）个向量 当把它们的起点放在同一点时如果k 个终点和公共起点在一个平面上 就称这k 个向量共面；，两平面AB 向量可用粗体字母两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a 与b 的夹角 记作(a ：b)或(b ：a)如果向量a 与b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在 0与 之间任意取值；② 向量的线性运算向量的加法(三角形法则)：设有两个向量a 与b 平移向量使b 的起点与a 的终点重合 此 时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和 记作a+b 即 c a+b .平行四边形法则 向量a 与b 不平行时 平移向量使a 与b 的起点重合 以a 、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a b向量的加法的运算规律(1)交换律abba(2)结合律(a b) c a (b c)负向量 设a 为一向量 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量 记为a把向量a 与b 移到同一起点 0则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量AB 便是向量b 与a 的差b a向量a 与实数 的乘积记作规定 a 是一个向量 方向当＞0时与a 相同 当＜0时与a 相反 当 向量这时它的方向可以是任意的a③ 空间直角坐标系在空间中任意取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i 、j 、k 就确定了三条都以 O 为 原点的两两垂直的数轴依次记为x 轴(横轴卜y 轴(纵轴卜z 轴(竖轴)统称为坐标轴 它们 构成一个空间直角坐标系称为Oxyz 坐标系注：(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2) 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上 而z 轴则是铅垂线(3) 数轴的的正向通常符合右手规则坐标面 在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面x 轴和y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面 另两个坐标面是 yOz 面和zOx 面 卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy 面的上方在xOy 面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、 第三卦限和第四卦限 在xOy 面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限 按逆时针方向还排列着第六卦限、 第七卦限和第八卦限 八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示向量的坐标分解式任给向量r 对应有点M 使OM r 以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有 r OM OP PN NM OP OQ OR向量的减法 向量与数的乘法: 它的模| a| | ||a|它的 0时| a| 0即a 为零运算规律(1)结合律 (a) ( a) ( )a ；(2)分配律()a a a ； (a b) a b 向量的单位化 设a0则向量看是与a 同方向的单位向量记为e a ，于是a |a|e a定理1 设向量a 0那么向量b 平行于a 的充分必要条件是存在唯一的实数设 OP Xi OQ yj OR zk 贝U r OM xi yj zk上式称为向量r 的坐标分解式xi 、yj 、zk 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量点M 、向量r 与三个有序x 、y 、z 之间有一一对应的关系M r OM xi yj zk (x, y, z)投影的性质性质1 (a)u |a|cos (即Prj u a |a|cos )其中 为向量与u 轴的夹角 性质 2 (a b)u (a)u (b)u (即 Prj u (a b) Prj u a Prj u b) 性质 3 ( a)u (a)u (即 Prj u ( a) Prj u a)有序数x 、y 、z 称为向量 r （在坐标系Oxyz ）中的坐标 记作r (x y z) 向量r OM 称为点M 关于原点O 的向径 ④ 利用坐标作向量的线性运算设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a x b x a y b y a z b z ) a b (a x b x a y b y a z b z ) a ( a x a y a z )利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (a x a y a z ) 0 b (b x b y b z )向量 b//a b a即 b//a (b x b y b z )(a x a y a z )于是 bx b y axaybzaz⑤ 向量的模、方向角、投影 设向量r （x y z ）作OM r 则 向量的模长公式|r| ..x 2 y 2 z 2设有点 A(x i y i z i )、B(x y 2 z 2) AB OB OA(x 2 y 2 Z 2)(X 1 y 1 Z 1)(X 2 X 1 y 2 y 1 Z 2 z”A 、B 两点间的距离公式为： |AB| |AB|、（X 2 %）2 （y 2 yj 2厶 乙）2方向角:非零向量r 与三条坐标轴的夹角 称为向量r 的方向角设 r (x y z) 则 x |r|cos y |r|cos z |r|coscos 、cos 、cos 称为向量 r 的方向余弦cos x cos|r|从而(cos ,cos 1,COS ) F|r e r2 2 2cos cos cos 12、数量积、向量积、混合积① 两向量的数量积数量积 对于两个向量a 和b 它们的模|a|、|b|和它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量 a 和b 的数量积记作ab 即a b |a| |b| cos数量积的性质⑴ a a |a| 2(2)对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0贝U a b;反之如果a b 则a b 0如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a b 0两向量夹角的余弦的坐标表示设 (a 人b)则当a 0、b 0时有数量积的坐标表示设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )贝U a b a x b x a y b y a z b z 数量积的运算律 (1) 交换律 a b b a;⑵分配律 (a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b) (a b)(a) (• b) (a b)、为数② 两向量的向量积向量积 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出c 的模|c| |a||b|sin其中 为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 a 转向b 来确定那么 向量c 叫做向量a 与b 的向量积 记作a b 即c a b向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0则a//b 反之 如果a//b 则a b 0 如果认为零向量与任何向量都平行 则a//b a b 0数量积的运算律(1) 交换律a b b a (2) 分配律(a b) c a c b c (3) ( a) b a ( b) (a b)(为数)数量积的坐标表示 设a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a yb z a z b y ) i ( a z b xa xb z ) j (a xb y a y b x ) kcosa xb x a y b y a z b z|a||b|X a 2 a z为了邦助记忆利用三阶行列式符号 上式可写成a yb z i a z b x j a x b y k a y b x k a x b z j a z b y ii j k a x a y a z b x b y b z(a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k③三向量的混合积混合积的几何意义： 混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a 、b 、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a 、b 、c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a 、b 、c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。
第八章答案
第八章 空间解析几何与向量代数第一节 向量及其线性运算一、填空题1.点(1,2,3)-在第Ⅴ卦限，点(2,3,1)--在第Ⅲ卦限．2.点(,,)x y z 到xoy 面、yoz 面、xoz 面的距离分别为z ，x ，y ；到x 轴、y 轴、z.3.点(,,)a b c 关于yoz 面的对称点是(,,)a b c -；与(,,)a b c -关于xoz 面对称；关于原点的 对称点是(,,)a b c ---．4.点M 的向径与x 轴成45角，与y 轴成60角，长度为6，若在z 轴上的坐标是负值，则点M的坐标为3)-．提示：设(,,)OM x y z =，cos 6x xr α===，x =1cos 26y y r β===，3y =；由222coscos cos 1αβγ++=，有1cos 2γ=-，3z =-.5.与向量(16,15,12)a =-平行，方向相反且长度为75的向量为(48,45,36)--．6．设()()11112222,,,,,M x y z M x y z ,则12M M=7.与向量(6,7,6)a =- 平行的单位向量为676,,111111⎛⎫±- ⎪⎝⎭．8.向量AB在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为44-，，7，它的终点坐标为(2,1,7)B -， 则起点坐标(2,3,0)-．提示：若(,,)A x y z ，则AB(4,4,7)(2,1,7)x y z =-=----.9. 若()(),,,,,,x y z x y z a a a a b b b b ==则a b ± =(,,)x x y y z z a b a b a b ±±±． b a ⇔ ∥y x z x y za a ab b b ==．10．在xoy 面上，与三点(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)A B C --等距离的点为3821,,055⎛⎫-- ⎪⎝⎭．提示：设点(,,0)D x y ，由222AD BD CD ==得26108142x y x y -=⎧⎨-+=⎩.二、单项选择题1.设向量,a b互相平行，但方向相反，当0a b >> 时，必有 A ．Ａ．a b a b +=- Ｂ．a b a b +>- Ｃ．a b a b +<- Ｄ．a b a b +>+2.下列各组角可以作为某向量的方向角的是 A ．A ．90,150,60αβγ===B ．45,135,60αβγ===C ．60αβγ===D ．60,120,150αβγ===三、计算题1.已知两点()1M 和()23,0,2M ．计算向量12M M的模、方向余弦和方向角．解：()1M ，()23,0,2M ，∴()121,M M =-，122M M = ．∴1212M M M M11,222⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，方向余弦为12-，，12，方向角为0120，0135，060． 2.设()()()3,5,8,2,4,7,5,1,4m n p ==--=- ，求向量43a m n p =+-在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量．解：()()()3,5,8,2,4,7,5,1,4m n p ==--=-，∴ 43(13,7,15)a m n p =+-= ， 故在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j ． 3.向量a 与三坐标轴的正向构成相等的锐角，其模长为3，求a ．解：设 (,,)a x x x = ，且0x >，由3a = ，有239x =，得x =∴a =．第二节 数量积 向量积一、填空题1．a ⇔ ⊥b 0b a ⋅= ；a b ⇔ ∥0a b ⨯=．2．向量()(),,,,,x y z x y z a a a a b b b b ==,若两向量夹角为θ，则 cos θa b a b a b ++3．向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=- ,则()23a b -⋅= 18-,2a b ⨯= 10214i j k ++．4．已知点()()()2,4,,3,7,5,,10,9A n B C m 三点共线，则m = 4 ，n = 1 ．5．已知点()()()1231,1,2,3,3,1,3,1,3M M M -,与,M M M M 1223同时垂直的单位向量为2,2)--． 提示：与,M M M M 1223 同时垂直的单位向量为M M M M M M M M ⨯±⨯12231223.6．设()()2,5,1,1,3,2a b ==- ,a b λμ+与z 轴垂直，则λ与μ的关系2λμ=． 提示：()0a b k λμ+⋅=.7．,,a b c 为三个非零向量，a b ⊥,a 与c 的夹角为π3，b 与c 的夹角为π6，且a =1,2,3bc == ，则a b c ++=提示：2()()a b c a b c a b c ++=++⋅++ . 二、单项选择题1. 已知()()0,3,4,2,1,2a b ==- ，则ab =Pr j C ． A ．３ Ｂ．13-Ｃ．－１ Ｄ．１提示：515a a b b a⋅-===-Prj . 2.已知向量,a b的模分别为4,2a b ==，且a b ⋅= ，则a b ⨯= C ．A．2B．．．2 提示： cos(,)a b a b a b ⋅= ，cos(,)2a b = ， sin(,)a b a b a b ⨯==三、计算题1．()()()2,3,1,1,1,3,1,2,0a b c =-=-=-,求()a b c ⨯⋅ ．解：23185113i j ka b i j k ⨯=-=--+-，所以()(8,5,1)(1,2,0)2a b c ⨯⋅=--⋅-= ．2．求向量()4,3,4a =- 在向量()2,2,1b =上的投影．解：6Pr j 23b a b a b ⋅====． 3．已知3,26,72a b a b ==⨯=，求a b ⋅ ．解：∵sin 72a b a b θ⨯== ∴7212sin 32613θ==⨯，5cos 13θ==±，从而5cos 3263013a b a b θ⎛⎫⋅==⨯⨯±=± ⎪⎝⎭．4．化简：()()()a b c c a b c b b c a ++⨯+++⨯--⨯．解：()()()a b c c a b c b b c a ++⨯+++⨯--⨯a cbc a b c b b a c a =⨯+⨯+⨯+⨯-⨯+⨯ a c b c a b b c a b c a =⨯+⨯+⨯-⨯+⨯-⨯2()a b =⨯ ．第三节 曲面及其方程一、填空题1．xoy 面上双曲线224936x y -=分别绕x 轴、y 轴旋转一周所得旋转曲面的方程依次 为36)(94222=+-z y x 和369)(4222=-+y z x .2．曲面2221x y z --=是由xoy 面上的曲线221x y -=绕x 轴旋转一周所得或由xoz 面上 曲线122=-z x 绕x 轴旋转一周所得.3．2221484x y z ++=表示的曲面为 旋转椭球面 ． 4．2235x y z +=表示的曲面为 椭圆抛物面 ．5．z =表示的曲面为 圆锥面的上半部分 ．6.22y x =表示的曲面为 母线平行于z 轴的抛物柱面 ．二、计算题1．一动点与两定点()2,3,1A 和()4,5,6B 等距离，求这动点的轨迹方程． 解：设动点为),,(z y x P ，则由题意知：22||||PB PA =,从而222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x即 0631044=-++z y x ∴动点的轨迹方程为：0631044=-++z y x ． 2.将xoz 坐标面上的曲线z x a =+分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程. 解：在xoz 面上的a x z +=绕x 轴旋转一周，所得旋转曲面为：a x z y +=+±22即222)(z y a x +=+，同理，绕z 轴旋转一周后，得旋转曲面方程为：a y x z ++±=22， 即222)(y x a z +=-．3.说明下列旋转曲面是怎样形成的：⑴2221499x y z ++= ⑵22214yx z -+= 解：(1) xoy 面上的曲线19422=+y x (或xoz 面上的曲线19422=+z x )绕x 轴旋转一周所得；(2) xoy 面上的曲线1422=-y x (或yoz 面上的曲线1422=-y z )绕y 轴旋转一周所得． 4.画出由曲面4z =22z x y =+及221x y +=所围立体(含z 轴部分).解：4z =)4,0,0(的下半圆锥面，22z x y =+表示旋转抛物面，221x y +=表示圆柱面，从而三者所围立体即可得到，如图所示．第四节 空间曲线及其方程一、填空题1.母线平行于y 轴且经过曲线2222222160x y z x z y ⎧++=⎨+-=⎩的柱面方程为223216x z +=. 2.球面z =z =xoy 面上的投影方程为221x y z ⎧+=⎨=⎩. z 22z x y =+ 221x y +=4z =图8-1x yO3.旋转抛物面()2204z x y z =+≤≤在xoy 面上的投影为224x y z ⎧+≤⎨=⎩，在yo z 面上的投 影为240y z x ⎧≤≤⎨=⎩.4.圆锥面z =22z x =所围立体在xoy 面上的投影为2220x y xz ⎧+≤⎨=⎩，在xoz面上的投影为0x z y ⎧≤≤⎪⎨=⎪⎩ 二、单项选择题1.曲线2221:1645230x y z x z Γ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩关于xoy 面的投影柱面的方程是 A . A .2220241160x y x +--= B .22441270y z z +--=C .22202411600x y x z ⎧+--=⎨=⎩D .224412700y z z x ⎧+--=⎨=⎩2.曲线22203y z x z ⎧+-=⎨=⎩在面xoy 上的投影曲线的方程是 B .A .220y x z ⎧=⎨=⎩B .2290y x z ⎧=-⎨=⎩C .2293y x z ⎧=-⎨=⎩D .223y xz ⎧=⎨=⎩三、将曲线方程22222443812y z x zy z x z ⎧++=⎨+-=⎩化成母线分别平行于x 轴及z 轴的柱面的交线方程. 解：将22222443812y z x z y z x z ⎧++=⎨+-=⎩分别消去,x z ，得 224y z z += ① 240y x += ②再将①②联立得交线方程：222440y z zy x ⎧+=⎨+=⎩．第五节 平面及其方程一、填空题1.设一平面经过点()000,,x y z,且垂直于向量(),,A B C ，则该平面方程为000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=. 2.平面260x y z -+-=与平面250x y z ++-=的夹角为π3.3.平行于xoz 面且经过点()2,5,3-的平面方程为50y +=.4.经过x 轴和点()3,1,2--的平面方程为20y z +=. 提示：过x 轴的平面方程设为0By CZ +=.5.点()1,2,1到平面22100x y z ++-=的距离为 1 .提示：d =.二、求平行于x 轴且经过两点()4,0,2-和()5,1,7的平面方程.解：设所求平面方程为0By Cz D ++=， 又平面过()4,0,2-()5,1,7两点2070C D B C D -+=⎧∴⎨++=⎩, 29D CB C=⎧∴⎨=-⎩， ∴所求平面方程为：920y z --=． 三、一平面过点()1,0,1-且平行于向量()2,1,1a = 和()1,1,0b =-,试求该平面方程.解：设平面的法向量为n ，则n a b =⨯ ，2113110i j kn i j k ∴==+--，从而(1,1,3)n =-． 又 平面过点(1,0,1)-，∴所求平面方程为(1)3(1)0x y z -+-+=，即340x y z +--=.四、求平面2250x y z -++=与各坐标面夹角的余弦.解：平面2250x y z -++=的法向量(2,2,1)n =-，设平面与,,yoz xoz xoy 面的夹角分别为,,αβγ， 又yoz 面的法向量(1,0,0)i =2c o s .3n i n i α⋅∴== 同理．21cos ,cos .33βγ== 第六节 空间直线及其方程一、填空题1．设直线经过点()000,,x y z ，且平行于向量(),,m n p ,则该直线的对称式方程为00o x x y y z z m n p ---==,参数方程为000x x mty y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩. 2．直线124x y z x y z -+=⎧⎨++=⎩的对称式方程为302213x y z --+==-. 3．过点()0,2,4且与两平面21x z +=和32y z -=平行的直线方程为024231x y z ---==-. 4．直线30x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面10x y z --+=的夹角为 0 .5．点()3,1,2-到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离为. 提示：过(3,1,2)A -与10:240x y z L x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面为1y z +=，该平面与直线L 的交点131,,22B ⎛⎫-⎪⎝⎭，则A 到直线L 的距离即为AB .6．过直线1:L 4020x z y +-=⎧⎨-=⎩且平行于直线221:211x y zL +-==的平面方程为 320x y z -++=.提示：过1L 的平面束:(4)(2)0x z y λ∏+-+-=， 2∥L ∏20n s ∴⋅= ,2(1,,1),(2,1,1)n s λ==210λ∴++=,得3λ=-．∴平面为43(2)0x z y +---=，即320x y z -++=..7．直线326040x y z x y z D -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则D = 3 .二、单项选择题1．两直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 C . A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π22．直线111x x y y z z m n p---==与平面0Ax By Cz D +++=的夹角θ满足 C . A ．sin θ=B ．cos θ=C ．sin θ=D ．cos θ=3．过点()2,0,3-且与直线247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程是 A .A ．16(2)14(0)11(3)0x y z --+-++=B .(2)2(0)4(3)0x y z ---++=C ．3(2)5(0)2(3)0x y z -+--+=D .16(2)14(0)11(3)0x y z -++++-= 4．设直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z ∏-+-=，则直线L C .A ．平行于∏B ．在∏上C ．垂直于∏D ．与∏斜交提示：判断直线的方向向量与平面的法向量的关系.三、计算题1．求过点()4,1,3-且与直线230:510x y L y z --=⎧⎨-+=⎩平行的直线方程．解：设直线L 的方向向量12025051i j ks i j k =-=++-，∴所求直线的方向向量(2,1,5)s '=，从而直线方程为：413215x y z -+-==． 2．求直线2403290x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩在平面41x y z -+=上的投影直线的方程．解：过已知直线的平面束方程为：329(24)0x y z x y z λ---+-+=，即(32)(14)(2)90x y z λλλ+-++--=．要使其与平面41x y z -+=垂直，则满足4(32)1420,λλλ++++-= 11.13λ=-1731371170.x y z ∴+--= ∴投影直线方程为 41.1731371170x y z x y z -+=⎧⎨+--=⎩ 3．求过直线20:4236x y L x y z +=⎧⎨++=⎩且切于球面2224x y z ++=的平面方程．解：设所求平面方程为：4236(2)0x y z x y λ++-++=即(42)(2)360x y z λλ++++-= 由题意知：(0,0,0)到平面的距离为22=即2440λλ++=2λ∴=-∴所求平面方程为：2z =．第八章 自测题一、填空题（每小题3分，共24分）1．设a =()2,5,1-，b =()1,3,2,问λ与μ有怎样的关系2λμ=，λa +μb 与z 轴垂直． 2．若已知向量a =()3,4,0,b =()1,2,2,则a ,b夹角平分线上的单位向量为．提示： a ，b 夹角平分线上的单位向量为a b a b a ba b+±+.3．若两个非零向量a ,b的方向余弦分别为111cos ,cos ,cos αβγ和222cos ,cos ,cos αβγ， 设a ,b夹角为ϕ，则cos ϕ=122112cos cos cos cos cos cos ααββγγ++．4．过直线122232x y z -+-==-且与平面3250x y z +--=垂直的平面方程为 81390x y z -++-=．提示：L ：122232x y z -+-==-，化为一般方程12232232x y y z -+⎧=⎪⎪-⎨+-⎪=⎪-⎩， 即32102320x y y z ++=⎧⎨+-=⎩，过L 的平面束为：321(232)0x y y z λ++++-= ① (3,22,3)n λλ=+ ，(3,2,1)s =-，由0n s ⋅= 得13λ=-，代入①，可得平面方程.5．直线1l :158121x y z --+==-与直线2l :623x y y z -=⎧⎨-=⎩的夹角θ=1arccos 6． 6．点()3,-4,4到直线452221x y z ---==-的距离为 提示：过()A 3,-4,4与L ：452221x y z ---==-垂直的平面为：2(3)2(4)(4)0x y z --++-=，与L 的交点为(8,1,4)B ，A 到L 的距离即为AB . 7．曲线22210x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在xoy 面上的投影曲线为2222210x y xy z ⎧++=⎨=⎩．8．与两直线112x y t z t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z ++-==都平行，且过原点的平面方程为 0x y z -+=．二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．点()3,2,2P -在平面32210x y z -+-=上的投影点是 B ． A ．()3,1,2- B ．301720,,777⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．()7,2,1 D ．()2,21,3--提示：过()3,2,2P -与平面 垂直的直线为322312x y z -+-==-，其与平面∏的交点即为投影点. 2．直线224213x y z -+-==-与平面4x y z ++=的关系是 A ． A ．直线在平面上 B ．平行 C ．垂直 D ．三者都不是 3．两平行平面23490x y z -++=与234150x y z -+-=的距离为 C ．A ．629 B ．2429 CD提示：两平行平面的距离为平面上任一点到另一平面的距离 4．xoz 平面上曲线e xz =绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为 A ．Ae x = B ．22e x y z += C ．22e xy z += D．z =三、计算题（共64分）1．求与坐标原点O 及点()2,3,4A 距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程，它表示 怎样的曲面？（本题6分）解：设所求曲面上的点为(,,)x y z ，则由题意知：2222221(2)(3)(4)4x y z x y z ++=-+-+-， ∴ 曲面方程为：222333468290x y z x y z +++++-=，表示一球面．2．将空间曲线方程222160x y z x z ⎧++=⎨+=⎩化为参数方程．（本题5分）解：把z x =-代入22216x y z ++=，得22216x y +=，令x t =，4sin y t =，则z t =-，∴空间曲线方程的参数方程为：4sin x ty t z t⎧=⎪=⎨⎪=-⎩．3．求中心点在直线247045140x y z x y z +--=⎧⎨++-=⎩上且过点A ()0,3,3和点B ()1,3,4-的球面方程．（本题6分）解：把247045140x y z x y z +--=⎧⎨++-=⎩化为对称式方程：7002322x y z ---==-，设球心坐标为 73,2,22O t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则OA OB =，从而 ()()()222227932233423222t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴32t =， ∴(1,3,3)O -，1OA =，所以球面方程为222(1)(3)(3)1x y z ++-+-=．4．求通过直线0230x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线23x y z ==的平面方程．（本题7分）解：设所求平面的方程为：(23)0x y z x y z λ+++-+=，即(12)(1)(13)0x y z λλλ++-++=，(12,1,13)n λλλ=+-+ ，又∵直线11123x y z==平行于平面， ∴1112(1)(13)023λλλ++-++=， ∴1115λ=-， ∴所求平面方程为：726180x y z -+=．5．点()2,1,1P --关于平面∏的对称点为1P ()-2,3,11，求∏的方程．（本题7分）解：设1PP 的中点为0P ，则0(0,1,5)P ，1(4,4,12)PP =- ，∵1//PP n ，取(1,1,3)n =-，由题意知所求∏的方程为：(0)(1)3(5)0x y z --+-+-=，即3160x y z -++-=．6．直线10:10x y z L x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面:0x y z ∏++=上投影直线L 0的方程．（本题7分）解：设所求平面方程为：1(1)0x y z x y z λ+--+-++=，即(1)(1)(1)10x y z λλλλ++-+-+-=，1(1,1,1)n λλλ=+--， 又∵2(1,1,1)n = ，22n n ⊥， ∴1110λλλ++-+-= ∴1λ=-，∴ 10y z --=， ∴ 投影直线L 0的方程为：10y z x y z -=⎧⎨++=⎩．7．求过直线5040x y z x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面48120x y z --+=成π4角的平面方程．（本题7分）解：设所求平面的方程为：5(4)0x y z x z λ+++-+=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++-+=，1(1,5,1)n λλ=+- ，又∵2(1,4,8)n =--，1212πcos 4n n n n ⋅==，=即，解得34λ=-， 又平面40x z -+=与平面48120x y z --+=的夹角余弦cos ==θ π.4∴=θ ∴所求平面方程为：207120x y z ++-=及40x z -+=.8．求过点()P 2,1,3且与直线l :11321x y z+-==-垂直相交的直线方程．（本题7分） 解：由题意知，过点P ()2,1,3且垂直与l 的平面方程为：3(2)2(1)(3)0x y z -+---=即3250x y z +--=，令3121x t y t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，代入上述平面方程，解得37t =．所以平面与l 的交点为02133,,777P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于所求直线的方向向量0//s P P ，所以取(2,1,4)s =- ， 所以直线方程为213214x y z ---==-． 9．直线过点()3,5,9A --且和直线1l :3523y x z x =+⎧⎨=-⎩,2l :47510y x z x =-⎧⎨=+⎩相交，求此直线方程．（本题7分）解：设所求直线为l ，则l 与1l ，2l 分别相交，1l ：5332y z x -+==，2l ：71045y z x +-==， 所以取11(0,5,3)P l -∈，1(1,3,2)s = ，1(3,0,6)AP = ；22(0,7,10)Pl -∈，2(1,4,5)s =， 2(3,12,19)AP =- ，令111(18,0,9)n s A P =⨯=-，222(136,4,24)n s AP =⨯=--，过l 与1l 的平面方程为：2(3)(9)0x z +-+=，即230x z --=；过l 与2l 的平面方程为：34(3)(5)6(9)0x y z +---+=，即346530x y z --+=；所以直线l 的方程为：230346530x z x y z --=⎧⎨--+=⎩．。
空间解析几何与向量代数复习题答案
第八章 空间解析几何与向量代数答案一、选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 92. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ）A （-1,1,5）.B （-1,-1,5）.C （1,-1,5）.D （-1,-1,6）.3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ）A -i -2j +5kB -i -j +3kC -i -j +5kD -2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ）A 2πB 4πC 3π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ）A 2πB 4πC 3π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ A ）A 138B 118C 158D 17. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ⨯是：（ D ）A -i -2j +5kB -i -j +3kC -i -j +5kD 3i -3j +3k8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ）A B 364 C 32D 39. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ）A 2x+3y=5=0B x-y+1=0C x+y+1=0D 01=-+y x ．10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）；A -+a b =a b ；B =a b ；C 0⋅a b =；D ⨯a b =0．11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b12、已知()()2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a =（ D ）；A 53； B 5； C 3； D ． 13、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 （B ） A 6π； B 3π； C 4π； D 2π． 14、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 （A ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21； （B ）13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 15、向量a 与b 的数量积⋅a b =（ C ）.A a rj P b a ；B ⋅a rj P a b ；C a rj P a b ；D b rj P a b ．16、非零向量,a b 满足0⋅=a b ，则有（ C ）．A a ∥b ;B =λa b (λ为实数)；C ⊥a b ；D 0+=a b ．17、设a 与b 为非零向量，则0⨯=a b 是（A ）．A a ∥b 的充要条件；B a ⊥b 的充要条件;C =a b 的充要条件；D a ∥b 的必要但不充分的条件．18、设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（B ）．A 7B 7jC –1；D -9k19、方程组2222491x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩表示 （ B ）. A 椭球面； B 1=x 平面上的椭圆；C 椭圆柱面； D 空间曲线在1=x 平面上的投影.20、方程 220x y +=在空间直角坐标系下表示 （C ）.A 坐标原点(0,0,0)；B xoy 坐标面的原点)0,0(；C z 轴；D xoy 坐标面.21、设空间直线的对称式方程为012x y z ==则该直线必（ A ）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴；C 过原点且垂直于z 轴；D 过原点且平行于x 轴.22、设空间三直线的方程分别为123321034:;:13;:2025327x t x y z x y z L L y t L x y z z t =⎧+-+=⎧++⎪===-+⎨⎨+-=--⎩⎪=+⎩,则必有（ D ）. A 1L ∥2L ； B 1L ∥3L ； C 32L L ⊥； D 21L L ⊥.23、直线 34273x y z ++==--与平面4223x y z --=的关系为 ( A )． A 平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直．24、已知1,==a b 且(,)4∧π=a b , 则 +a b = ( D )．A 1； B1 C 2； D .25、下列等式中正确的是( C )．A +=i j k ；B ⋅=i j k ；C ⋅=⋅i i j j ；D ⨯=⋅i i i i ．26、曲面22x y z -=在xoz 平面上的截线方程为 (D)．A 2x z =；B 20y z x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩；C 2200x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩；D 20x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 二、计算题1．已知()2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。
第八章解析几何
17．已知直线 2x＋5y＋C＝0 与圆 x2＋y2＝9 相切，则 C 的值为（ A．3 C．±3 29 B.－3 29 D．－3 2
18．圆 x2＋(y－5)2＝25 的圆心到直线 3x＋4y－5＝0 的距离等于（ 3 A．5 B． 3 C． 5 7 D． 15
B
）
19．与直线 2x＋y－1＝0 平行，且与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5 相切的直线方程 是( A ) A．2x＋y＋2＝0 或 2x＋y－8＝0 B． x－2y＋1＝0 或 x－2y－9＝0
C．2x＋y＋1＝0 或 2x＋y－9＝0
D． x－2y＋2＝0 或 x－2y－8＝0
20．已知直线 2x－y＋1＝0 与以点(1，－2)为圆心的圆相交于 A、B 两点， 且|AB|＝4,则此圆的标准方程是(C A． (x－1)2＋(y＋2)2＝16 C． (x＋1)2＋(y－2)2＝9 三．填空题 1..三点 A(2， 3)、B(a， 4)、C(8， a)共线的充要条件是 2. 已 知 点 A(-3 ， 2) 、 2x-3y-14=0 。 a=0 或 a=-5 。 ) B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝16
7．已知圆的方程为 x2＋y2＋2x－8y＋8＝0，过点 P(2，0)作圆的一条切线， 切点为 A，则 PA 的长为__4_____． 8． 圆 x2＋y2－2x＋2y＋1＝0 上的点到直线 x＋y＋2＝0 的距离最大值是___1 ＋ 2 _________． 9．如果方程 x2＋ky2＝2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围 是______0＜k＜1______． 10 ．方程 <4_________ 11.已知双曲线的对称轴是坐标轴，且经过点（3,0） ，虚轴长为 2，则双曲线 的标准方程是
高等数学第八章练习题及答案
第八章 空间解析几何与向量代数自测题A一、填空1. 已知空间三点(1,2,0)A 、(1,3,2)B -、(2,3,1)C ，则cos BAC ∠=AB 在AC上的投影为；三角形的面积ABC S ∆=2；同时垂直于向量AB 与AC的单位向量为1,4,3)±--. 2. xOy 面上的曲线2y x =绕y 轴旋转一周所得旋转曲面方程为22y x z =+.3. 在平面解析几何中2y x =表示抛物线_图形，在空间解析几何中表示_抛物柱面_图形.4. 球面0242222=++-++z y x z y x 的球心坐标为(1,2,1)--.5. 曲线22291x y z x z ⎧++=⎨+=⎩在xOy 面上的投影为22228x x y z ⎧-+=⎨=⎩.6.曲面z =被曲面2220x y x +-=所截下的部分在xOy 面上的投影为22200x x y z ⎧-+≤⎨=⎩.7. 过点A (3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程为37540x y z -+-=.8. 点A (3,0,1)-到平面2230x y z -+-=的距离为23. 9. 直线531123-=++=-z k y k x 与直线22531-+=+=-k z y x 相互垂直，则k =34. 二、解答题1. 求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面. 解：由已知可知，已知平面的法向量为0(6,2,3)n =-，取所求平面的法向量为120743(6,3,10)623ij kn M M n =⨯=--=--，所以所求平面方程为 6(4)3(1)10(2)0x y z -+---=，即631070x y z +--=.2. 求通过直线13213x y z +-==-与点A (3,0,1)的平面方程. 解：由已知可知，直线过点(0,1,3)P -，方向向量为(2,1,3)s =-，取所求平面的法向量 312(1,13,5)213ij kn PA s =⨯=-=---，所以所求平面方程为3135(1)0x y z ----=，即 13520x y z --+=.3. 求直线2432-=-=-z y x 与平面062=-++z y x 的交点及夹角余弦. 解：直线的参数是方程为2,3,42x t y t z t =+=+=+，代入平面方程得1t =-，所以交点坐标为(1,2,2)，5sin |cos(,)|,cos 66s ns n s n ϕϕ⋅====. 4. 求过点A (3,0,1)且与直线13213x y z +-==-垂直相交的直线方程. 解：设垂足坐标为000(,,)P x y z ，则由已知条件得00013213x y z +-==-， 0002(3)3(1)0AP s x y z ⋅=--+-=，解得11339(,,)71414P --，取所求直线方向向量为AP ，所以所求直线的方程为3122132571414x y z --==--，即31441325x y z --==--. B1. 求点A (3,0,1)到直线13213x y z +-==-的距离； 解：由已知可知，直线过点(0,1,3)P -，方向向量为(2,1,3)s =-，所以19514AP s d s ⨯==. 2. 判定直线113:213x y z l +-==-与直线2152:342x y z l -++==-是否相交，如果相交，求出交点，如果异面，求出两条异面直线间的距离；解：由已知可知，直线1l 过点1(0,1,3)P -，方向向量为1(2,1,3)s =-，直线2l 过点1(1,5,2)P--，方向向量为2(3,4,2)s =-，因为1212145[ ]2131170342PP s s --=-=-≠-，所以两直线异面，距离 121212[ ]117390PP s s d s s ==⨯；3. 求点(1,1,3)A 关于平面0x y z ++=对称的点.解：过点(1,1,3)A 且与平面垂直的直线方程为点113x y z -=-=-，所以垂足为224(,,)333P --，设对称点为(,,)M x y z ，则2AM AP =，即555(1,1,3)2(,,)333x y z ---=---，所以771(,,)333M ---.4. 求直线2432-=-=-z y x 在平面062=-++z y x 上的投影直线及直线关于平面对称的直线方程；解：由已知可知，直线0l 的参数式方程为2,3,42x t y t z t =+=+=+，代入平面方程可得1t =-，所以交点为1(1,2,2)P ，过点(2,3,4)P 且与已知平面垂直的直线2l 方程为22,3,4x t y t z t =+=+=+，垂足为211319(,,)366P ，所以已知直线0l 在平面上的投影直线为122217366x y z ---==-，即12247x z y --=-=-， 设点(2,3,4)P 关于已知平面的对称点为3P ，则322PP PP =，解得3447(,,)333P -，所以已知直线关于平面对称的直线方程为122721333x y z ---==--，即12272x y z --==---. 5. 求直线1321x y z +==--绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程.解：设所求曲面上任一点(,,)P x y z 是由直线上的点1111(,,)P x y z 绕z 轴旋转得来，则22221111111,,321x y x y x y z z z ++=+===--，消去111,,x y z 得22252840x y z z +-+=.。
2018届高三数学(文)教师用书：第八章-解析几何(含答案)
第八章⎪⎪⎪解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率k ＝tan_α．(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1．3．直线方程的五种形式[小题体验]1．(教材习题改编)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________． 答案：－22．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．答案：x ＋13y ＋5＝03．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________． 解析：令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a ．依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2．答案：1或－21．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．经过点A (2，－3)，倾斜角等于直线y ＝x 的2倍的直线方程为________． 解析：直线y ＝x 的斜率k ＝1，故倾斜角为π4，所以所求的直线的倾斜角为π2，则所求的直线方程为x ＝2．答案：x ＝22．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0． ②若直线不过原点． 设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ． 则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0． 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2016·绥化一模)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C ．⎣⎡⎦⎤0，π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析：选B 因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1．设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π． 2．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析：∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3．由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4．答案：43．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k ．令－3＜1－2k＜3，解得k ＜－1或k ＞12．故其斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞． 答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ [谨记通法]1．倾斜角与α斜率k 的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞． 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．2．斜率的2种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． (2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43．又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0．(2)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程， 解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2， 解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0．故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0．[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程： (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线在x 轴，y 轴上的截距均为a ． ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0．②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7．∴直线的方程为x ＋y －7＝0．综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0． (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1． 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0．考点三 直线方程的综合应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)与圆相结合求直线方程的问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解：设直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1． (1)4a ＋1b ＝1≥24a ·1b ＝4ab， 所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时， △AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0．(2)因为4a ＋1b ＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0．角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[]－1，0 C ．[0,1]D ．⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2．因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤k ≤1， 即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12．角度三：与圆相结合求直线方程的问题3．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是____________________．解析：直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)， ∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32．所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0． 答案：3x ＋y －3－1＝0[通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5．答案：52．(2017·衡阳一模)已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，k OM＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13．所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A ．33B ． 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33．2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：选D 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0．3．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数kA ．(－6，－2)B ．(－5，－3)C ．(－∞，－6)D ．(－2，＋∞)解析：选A 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以k ＋6>0且k ＋2<0，所以－6<k <－2．故选A ．4．(2017·豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π． 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限． 解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变形为y ＝－A B x －CB ．∵A ·C <0，B ·C <0，∴A ·B >0，∴其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－CB >0．∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·秦皇岛模拟)倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．3x －y ＋1＝0 B ．3x －y －3＝0 C ．3x ＋y －3＝0D ．3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－3．又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0．2．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0解析：选D 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0．3．(2015·福建高考)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C ．4．(2017·菏泽模拟)若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．5．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C ． 2D ．16解析：选A ∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8．6．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0．答案：3x ＋2y ＝0或x －y －5＝07．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]x y上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)可知直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ．求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b ＝1．于是a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b ≥2b a ·2a b ＝22当且仅当ba ＝2ab 时取等号，所以a ＋b ≥3＋22，故直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为3＋22． 答案：3＋2 29．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16．解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83．故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0．(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1．∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．10．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程． 解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ． 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)，所以e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)． 所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0．该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12．答案：122．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2kk <0且1＋2k >0，∴k >0．故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2kk ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0．第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2． ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2． (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2． 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式[小题体验]1．(教材习题改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A ．2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1解析：选C 由题意知|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1．2．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0．若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 解析：由题意，得aa －3＝－2，解得a ＝2． 答案：21．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P：直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行，Q：a＝－1，则P是Q 的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由于直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a＝－1．所以P是Q的充要条件．2．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．解析：∵63＝m4≠14－3，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝|－3－7|32＋42＝2．答案：2考点一两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0解析：选A依题意，设所求的直线方程为x－2y＋a＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a＝0，即a＝－1，则所求的直线方程为x－2y－1＝0．2．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny ＋1＝0为l3．若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()A．－10B．－2C．0 D．8解析：选A∵l1∥l2，∴4－mm＋2＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)，∵l2⊥l3，∴2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，∴m＋n＝－10．3．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7． 即m ＝1，n ＝7时， l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2． (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2． 又－n8＝－1，∴n ＝8．即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1．[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1．[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2．解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0．∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0．①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87． [由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝3，b ＝4．∴P 点的坐标为(3,4)． 法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为______________________．解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行， 所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)． 又因为l 1与l 2的距离是2， 所以|b ＋1|12＋12＝2，解得b ＝1或b ＝－3， 即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0． 答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝03．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围为________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5．又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15， 解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]． 答案：[0,10]．考点三 对称问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0． 答案：x ＋4y －4＝0角度二：点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413． 答案：A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413角度三：线关于线对称3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0．[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________． 解析：设A (x ，y )为所求直线上的任意一点， 则A ′(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，即3x －4(－y )＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋4y ＋5＝0． 答案：3x ＋4y ＋5＝02．已知点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是________．解析：由题意得线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫－12，2在直线y ＝kx ＋b 上，故⎩⎨⎧23·k ＝－1，－12k ＋b ＝2，解得k ＝－32，b ＝54，所以直线方程为y ＝－32x ＋54．令y ＝0，即－32x ＋54＝0，解得x ＝56，故直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距为56．答案：563已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0．又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0． 答案：6x －y －6＝0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋m ＝0，x ＋2y ＋n ＝0，可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于－1，故不垂直．2．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2．所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0．故选C ．3．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：选D 由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)． 又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0．4．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________． 解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0．答案：12x ＋8y －15＝05．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，所以直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)， 代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2， 所以a ＝23．答案：23二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A (2,3)，B (－4,0)，P (－3,1)，Q (－m ，m ＋1)，若直线AB ∥PQ ，则m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C ∵AB ∥PQ ，∴k AB ＝k PQ ，即0－3－4－2＝m ＋1－1－m －(－3)，解得m ＝1，故选C ．2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A ．423B ．4 2C ．823D ．2 2 解析：选C ∵l 1∥l 2， ∴1a －2＝a 3≠62a， 解得a ＝－1，∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823．3．(2016·浙江温州第二次适应性)已知直线l 1：mx ＋y －1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋my －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由l 1⊥l 2，得m (m －2)＋m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A ．4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：选B 由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，所以直线l 2恒过定点(0,2)．5．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B 因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0．6．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79． 答案：－13或－797．以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________． 解析：因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－(－2)－3－0＝－43．k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34．则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形． 又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ， 故四边形ABCD 为矩形．故S ＝|AB |·|AD |＝(1－4)2＋(5－1)2×(0－4)2＋(－2－1)2＝25．答案：258．l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________________．解析：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的斜率为k ＝－12，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0．答案：x ＋2y －3＝09．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0． (1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1．综上可知，a ＝－1．法二：由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6⇒a ＝－1． (2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合； 当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23． 法二：∵l 1⊥l 2， ∴A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23．10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0， 得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D 因为P (x 0，y 0)是直线l 1：Ax ＋By ＋C ＝0外一点， 所以Ax 0＋By 0＋C ＝k ，k ≠0．若方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0， 则Ax ＋By ＋C ＋k ＝0．因为直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 斜率相等， 但在y 轴上的截距不相等，故直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 平行． 因为Ax 0＋By 0＋C ＝k ，而k ≠0， 所以Ax 0＋By 0＋C ＋k ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0不过点P ．2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为 a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l恒过定点(－2,3)．(2)由(1)知直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．又直线PA的斜率k PA＝4－33＋2＝15，所以直线l的斜率k l＝－5．故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0．第三节圆的方程1．圆的定义及方程点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．[小题体验]1．(2016·全国甲卷)圆x ＋y －2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43．2．(教材习题改编)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________．解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12|AB |＝12[1－(－1)]2＋(4－2)2＝2．∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2． 答案：x 2＋(y －3)2＝23．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4． 即a 2＜1，故－1＜a ＜1． 答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．[小题纠偏](2016·浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1．当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54＜0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5．答案：(－2，－4) 5考点一 圆的方程(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2017·石家庄质检)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1．2．圆心在y 轴上且经过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，所以圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2． 因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5．所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0． 3．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解析：选C 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0． 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)， ∴|MN |＝46，故选C ．4．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9． 答案：(x －2)2＋y 2＝9[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒]解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．考点二与圆有关的最值问题(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题．[题点全练]角度一：斜率型最值问题1．(2016·抚顺模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求yx的最大值和最小值．解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx．当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，。
作业答案-第八单元-解析几何
全品高考复习方案数学(理科) RJA课时作业(四十六)1.B[解析] 由斜率公式可得,直线l的斜率k=--=,故选B.2.A[解析] ∵直线在x轴、y轴上的截距分别为<0,-<0,∴直线Ax-By-C=0不经过的象限是第一象限,故选A.3.60°[解析] 由题意得,直线的斜率k=,即tan α=,所以α=60°.4.60°[解析] ∵点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,∴a-4+1=0,∴a=,即直线l的斜率为,∴直线l的倾斜角为60°.5.y=(x-4)[解析] 易知直线BC的倾斜角为,故斜率为,由点斜式得直线方程为y=(x-4).6.D[解析] 由题意,得k=-=,故tan α=-,故cos α=-,故选D.7.C[解析] 由题意,当直线经过原点时,直线的方程为x+y=0;当直线不经过原点时,设直线的方程为+=1,则-+=1,解得a=,此时直线的方程为+=1,即x+4y-30=0.故选C. 8.B[解析] 令x=0,得y=sin α<0,令y=0,得x=cos α>0,所以直线过点(0,sin α),(cos α,0)两点,因而直线不过第二象限,故选B.9.C[解析] 将(2,1)代入得2m-m2-1=0,所以m=1,所以直线l的方程为x-y-1=0,所以直线l 的斜率为1,倾斜角为,则所求直线的斜率为-1,故选C.10.D[解析] 设直线l的倾斜角为θ,则θ∈[0,π).易知直线l:ax-y-1=0(a≠0)经过定点P(0,-1),则k PA=----=-1,k PB=---=.∵点A(1,-2),B,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,∴k PA<a<k PB,∴-1<tan θ<,tan θ≠0,得0<θ<或<θ<π,故选D.11.A[解析] 以C为坐标原点,CB所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示),则A(0,4),B(3,0),直线AB的方程为+=1.设P(x,y)(0≤x≤3),所以P到AC,BC的距离的乘积为xy,因为+≥2,当且仅当==时取等号,所以xy≤3,所以xy的最大值为3.故选A.12.(2,3)[解析] 直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,即k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,根据k的任意性可得----解得∴不论k取什么实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0都经过定点(2,3).13.x+2y-2=0或2x+y+2=0[解析] 设直线方程为+=1,得-+=1.由题意知|ab|=1,即|ab|=2,所以或--所以直线方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.14.[-2,2][解析] 设P-,y,∵|PA|=|PB|,∴4|PA|2=|PB|2,又∵|PA|2=-+(y-1)2,|PB|2=-+(y-4)2,∴(y-m)2=16-4y2,其中4-y2≥0,故m=y±2-,y∈[-2,2].令y=2sin θ,θ∈-,,则m=2sin θ±4cos θ=2sin(θ±φ),其中tan φ=2,故实数m的取值范围是[-2,2].15.C[解析] 设M(x,y),由k MA·k MB=3,得·-=3,即y2=3x2-3.联立--得-3x2+x+6=0(m≠0),则Δ=-24-3≥0,即m2≥,解得m≤-或m≥.∴实数m的取值范围是-∞,-∪,+∞.16.C[解析] 由|log a x|=m,得x A=a m,x B=a-m,所以y C=ka-m,y D=ka m,则直线CD的斜率为--=----=-k,所以直线CD的斜率与m无关,与k有关,故选C.课时作业(四十七)1.B[解析] 由平行线间的距离公式可知,l1与l2之间的距离d==.2.A[解析] 直线3x+2y-2a=0的斜率为-,直线2x-3y+3b=0的斜率为,∵两直线斜率的乘积为-1,∴两直线垂直,故选A.3.A[解析] 设坐标原点为O,满足条件的直线为与OP垂直的直线,所以该直线的斜率为-,所以直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,故选A.4.[解析] 直线x+y+2=0的斜率为-,所求直线与直线x+y+2=0垂直,故所求直线的斜率为,故倾斜角为.5.(3,2)[解析] 设点(-1,-2)关于直线x+y=1对称的点的坐标是(m,n),则--∴故所求坐标为(3,2).6.B[解析] 若m=-2,则l1:-6x-8=0,l2:-3x+1=0,∴l1∥l2.若l1∥l2,则(m-4)(m+2)+(2m+4)(m-1)=0,解得m=2 或m=-2.∴“m=-2”是“l1∥l2”的充分不必要条件,故选B.7.B[解析] 由于l2与l3:y=-x+垂直,故l2的斜率是2.设l2: 2x-y+n=0,因为l1:mx-y+3=0过定点(0,3),l2和x轴的交点为-,0,l1:mx-y+3=0与l2关于直线y=x对称,所以=-1,则n=-6.易知l2:2x-y-6=0和直线y=x的交点为点(6,6),该点也在l1:mx-y+3=0上,∴6m-6+3=0,解得m=.8.B[解析] 由两直线垂直,得(b2+1)-ab2=0,即ab2=b2+1,两边同除以b,得ab==b+≥2=2,当且仅当b=1时,等号成立.故选B.9.C[解析] 设P(x0,y0),则-解得或-所以点P的坐标为(1,2)或(2,-1),故选C.10.C[解析] A关于直线x=0的对称点是A'(-3,-1),关于直线y=x的对称点是A″(-1,3),由角平分线的性质可知,点A',A″均在直线BC上,∴直线BC的方程为y=2x+5,故选C.11.C[解析] 由题可知,(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0表示两点在直线的同侧.因为|Ax1+By1+C|>|Ax2+By2+C|,所以>,所以P1到直线的距离大于P2到直线的距离,所以直线l与线段P1P2的延长线相交,故选C.12.2[解析] 因为直线3x+4y-3=0,6x+my+14=0平行,所以=,则m=8,所以6x+8y+14=0可化为3x+4y+7=0,故两直线间的距离为=2.13.[0,5][解析] 易知直线l经过定点(1,-2),则点P到直线l的距离d的最大值为--=5,最小值为0,所以d的取值范围是[0,5].14.4x+y+9=0或4x+y-25=0[解析] y'=-,所以曲线y=在点P(1,4)处的切线的斜率k=-=-4,则切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0.所以可设直线l的方程为4x+y+C=0,由=,得C=9或C=-25,所以所求直线方程为4x+y+9=0或4x+y-25=0.15.D[解析] 由题意,得线段PQ的中点M(x0,y0)在与两直线平行且到两直线的距离相等的直线x+3y+2=0上,即x0+3y0+2=0,即y0=-,则=--.因为y0=-<x0+2,所以x0>-2,则->或-<0,故>0或<-.故选D.16.[解析] 如图所示,由代数式的结构可构造点P(0,y),A(1,2),Q(x,0),B(3,3),则-+-+分别作点A关于y轴的对称点A'(-1,2),点B关于x轴的对称点B'(3,-3),则-+-+≥|A'B'|=当且仅当P,Q为A'B'与坐标轴的交点时,等号成立,故最小值为.课时作业(四十八)1.A[解析] 由D2+E2-4F=(-2)2-4m>0,解得m<1,故选A.2.C[解析] 易知圆心的坐标为(3,0),半径为1,∴点P到直线y=x+1的距离的最小值是-1=2-1,故选C.3.B[解析] 由题意,设圆心的坐标为(0,r),半径为r,则--=r,解得r=5.所以所求圆的方程为x2+(y-5)2=25,即x2+y2-10y=0.故选B.4.0[解析] 由圆的方程可知,圆心坐标为(1,-2),所以2×1+(-2)+m=0,则m=0.5.(x-1)2+(y-2)2=5[解析] 由题设可知,圆心坐标为(1,2),半径r==,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.6.D[解析] 由题意,得已知圆的圆心为A(2,0),设点A关于直线y=x的对称点为点B,则∠BOA=60°,所以(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的圆心为B(1,故选D.7.B[解析] 把圆的方程x2+y2-2x-2y+3=0化为(x-)2+(y-1)2=1,易知以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,若圆(x-2+(y-1)2=1上存在点P,使得∠APB=90°,则两圆有交点,所以|a-1|≤2≤a+1,解得1≤a≤3.故选B.8.C[解析] 圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,∴圆心为C(1,2),半径为.易知圆C经过原点,OC⊥直线l.由k OC=2,得k l=-,∴直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,故选C.9.D[解析] 抛物线y=x2-2x-3关于直线x=1对称,与坐标轴的交点为A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),设圆心为M(1,b),可得|MA|2=,即4+b2=1+(b+3)2,解得b=-1,则半径为=∴圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5,故选D.10.B[解析] 把圆的方程化为标准方程,得(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆心坐标为(-1,2),半径r=2.根据题意可得-a-2b+1=0,即a=1-2b,则ab=b(1-2b)=-2b2+b,∴当b=时,ab有最大值,最大值为,则ab的取值范围是-∞,.故选B.11.2[解析] 依题意,得m-2n=0,--=3+1,得m=2,n=1,故mn=2.12.[解析] ∵m<0,且圆C上的点到直线l的最短距离为-5=1,∴m=-55,∴3a+4b=55,又a>0,b>0,则+=+×=7++≥当且仅当=时等号成立,即+的最小值为.13.解:(1)∵方程表示圆,∴D2+E2-4F=4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0,解得-<m<1.(2)半径r=--≤,得0<r≤.(3)设圆心的纵坐标为y,则y=4m2-1,由于-<m<1,所以-1≤y<3.所以所求纵坐标的最小值是-1.14.解:(1)由=+,得||=||=1,所以点P在以M为圆心,1为半径的圆上,故点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=1.(2)易知A(1,0),B-,,设N(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π),由=m+n,得(cos θ,sin θ)=m(1,0)+n-,,得-整理得所以m+n=cos θ+sin θ=2sinθ+,故m+n的最大值为2.15.C[解析] 圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,圆心为(a,b),所以a-b+=0,则b=a+1).又圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为1+=+1,所以|a+b|=2,得|2a+1|=2,又a<0,所以a=-,故a2+b2=a2+3(a+1)2=3.16.A[解析] 曲线y=-为圆x2+y2=2的上半圆,由题意可得,△AOB的面积S=·|OA|·|OB|sin∠AOB=××sin∠AOB=sin∠AOB,所以当sin∠AOB=1,即∠AOB=90°时,△AOB的面积取到最大值.此时在Rt△AOB中,易得O到直线l的距离|OD|=1,所以sin∠OPA==,可得∠OPA=30°,所以直线l的倾斜角为150°,故选A.课时作业(四十九)1.C[解析] 因为圆x2+y2-2x+4y=0的圆心为(1,-2),半径为,且(1,-2)到直线2x-y+1=0的距离d==所以直线y=2x+1与圆x2+y2-2x+4y=0相切,故选C.2.B[解析] 两圆的圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为2,3,∴两圆心之间的距离为,又1<<5,∴两圆相交.故选B.3.A[解析] 圆心到直线的距离为-=1,所以弦的长为2-=6,故选A.4.(x-4)2+y2=12[解析] 由题意知,半径为=2,故圆的方程为(x-4)2+y2=12.5.x+y-2=0[解析] 因为直线OD的斜率k OD=1,所以直线AB的斜率k AB=-1,则直线AB的方程是y-1=-(x-1),即x+y-2=0.6.D[解析] 易知=×-1=2-,故选D.7.B[解析] 因为圆心(-1,2)在直线2ax-by+2=0上,所以a+b=1,所以+=+(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立.故+的最小值为4.8.C[解析] 当a=0时,直线l:y=1,此时过点P(1,2)且与直线y=1垂直的直线的方程为x=1,且直线x=1与圆相切,满足题意,所以a=0成立.当a≠0时,过点P(1,2)且与直线l:ax+y-1=0垂直的直线的斜率为,可设该直线方程为y-2=(x-1),即x-ay+2a-1=0,由直线与圆相切,得=1,解得a=.故选C.9.B[解析] 由于直线和圆有公共点,所以圆心到直线的距离不大于半径,即≤-,解得-3≤k≤1.将P点坐标代入直线和圆的方程,有a+b=2k,a2+b2=k2-2k+3,得ab=k2+k-.因为k2+k-=k+2-,且-3≤k≤1,所以k=-3时,ab有最大值9,故选B.10.B[解析] 因为C1(-2,2),r1=,C2(2,0),r2=4,所以|C1C2|=--=2.易知当PC2⊥C1C2时,△PC1C2的面积最大,其最大值S max=×2×4=4.11.3x-4y+5=0或x=1[解析] 当切线的斜率不存在时,切线方程为x=1.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,则=1,得k=,故切线方程为3x-4y+5=0.综上可得,切线方程为3x-4y+5=0或x=1.12.x2+(y-1)2=8[解析] 由题意,半径r=,则r2=4×=41+≤41+=8,当且仅当m=1 时,半径取得最大值2,故所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=8.13.解:(1)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则依题意,得-----解得∴圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1.(2)①·为定值.过点A(0,1)作直线AT与圆C相切,切点为T,则|AT|2=7,∴·=||·||cos 0°=|AT|2=7,∴·为定值,且定值为7.②依题意可知,直线l的方程为y=kx+1,设M(x1,y1),N(x2,y2),将y=kx+1代入(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,∴x1+x2=,x1x2=,∴·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8=12,即=4,解得k=1.当k=1时,Δ>0,∴k=1,∴直线l的方程为y=x+1.14.解:(1)四边形OACB为菱形.证明如下:线段OC的中点为1,,设A(x1,y1),B(x2,y2),易知线段OC的垂直平分线的方程为y=-2x+,代入x2+y2=9,得5x2-10x-=0,∴=1,=-2×1+=,∴线段AB的中点为1,,则四边形OACB为平行四边形.又OC⊥AB,∴四边形OACB为菱形.(2)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,则P,Q的坐标为(2,),(2,-∴S△OPQ=×2×2=2.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x-2)k≠,则圆心到直线l的距离d=,得|PQ|=2-,∴S△OPQ=×|PQ|×d=×2-×d=-≤-=,当且仅当9-d2=d2,即d2=时,S△OPQ取得最大值.∵2<,∴S△OPQ的最大值为,此时,由-=,得k=-7或k=-1,故直线l的方程为x+y-3=0或7x+y-15=0.15.A[解析] 由题设可知,圆心和半径分别为C(1,1),r=1,易知,四边形PACB的面积S=2S△=|PA|·r=-×1=-.又|PC|min==3,所以四边形PACB的面积的最PCA小值S min=-= 2.16.[解析] 设P x0,,其中x0>0,则|PO|2=+,|PA|=|PB|=-=-,故以P为圆心,PA为半径的圆的方程为(x-x0)2+y-2=+-1,联立x2+y2=1,可得直线AB的方程为x0x+y-1=0,故M,0,N0,,则三角形的面积为··=.课时作业(五十)1.C[解析] 由已知,得a=,b=1,且焦点在y轴上,则c=-=3,所以椭圆的焦点坐标为(0,3),(0,-3),故选C.2.B[解析] 由题设可得b=c=r=2,故a2=b2+c2=4+4=8,故选B.-=.故选B.3.B[解析] 易知椭圆的右焦点为点(1,0),则所求距离d=-4.-1[解析] 设F'为右焦点,则AF⊥AF',∠AF'F=,所以|AF|=|AF'|,|FF'|=2|AF'|,因此椭圆C的离心率为===-1.5.+=1[解析] 设椭圆的半焦距为c,由题意得,解得所以b=4,故椭圆C的方程是+=1.6.B[解析] 由题设,得圆的半径r=,则b2+a-2=,即a2-c2=ac,∴e2+e-1=0,解得e=-,故选B.7.D[解析] 由题设可得=,得a=2c.由椭圆的定义可得2a+2c=12,则a+c=6,所以3c=6,得c=2,a=4,所以b2=16-4=12,则椭圆方程为+=1,故选D.8.C[解析] 设右焦点为F',连接MF',NF',∵|MF'|+|NF'|≥|MN|,∴当直线x=a过右焦点时,△FMN 的周长最大.由椭圆的定义,可得△FMN的周长的最大值为4a=4.易知c=-=1,把c=1代入椭圆方程可得+=1,解得y=±.此时△FMN的面积S=×2×2×=.故选C.9.D[解析] 易知椭圆左焦点F(-c,0)关于直线y=-x的对称点为P-c,c,据此可得-+=1,整理可得9b2c2+16a2c2=25a2b2,结合b2=a2-c2,可得9c4-50a2c2+25a4=0,即9e4-50e2+25=0,即(e2-5)(9e2-5)=0,又0<e<1,所以e2=,则e=.故选D.10.A[解析] 由椭圆方程知a=5,b=4,c=3,则=6.根据椭圆定义,得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=10,所以+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=20.若△ABF2的内切圆周长为π,则内切圆半径r=,则△ABF2的面积S=r(|AB|+|AF2|+|BF2|)=××20=5.又△ABF2的面积S=+=|F1F2|×|y1|+|F1F2|×|y2|=×6(|y1|+|y2|)=3|y1-y2|,所以3|y1-y2|=5,则|y1-y2|=.故选A.11.6[解析] 由椭圆方程知A(-2,0),B(0,F(1,0),则=(2,=(3,0),所以·=6.12.[解析] 根据椭圆几何性质可知=,=a+c,所以=(a+c),即4b2=3a2+3ac.又因为b2=a2-c2,所以有4(a2-c2)=3a2+3ac,整理可得4c2+3ac-a2=0,两边同除以a2,得4e2+3e-1=0,所以(4e-1)(e+1)=0,由于0<e<1,所以e=.13.解:(1)∵2a=6,∴a=3.又点M(,)在椭圆上,∴+=1,解得b2=3,∴所求椭圆方程为+=1.(2)∵k MO=,∴k AB=-,则设直线AB的方程为y=-x+m.联立-消去y,得11x2-6mx+6m2-18=0,则Δ=(6m)2-4×11×(6m2-18)>0,∴0≤m2<.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,则·=x1x2+y1y2=x1x2-(x1+x2)+m2=-,∵0≤m2<,∴·的取值范围为-,.14.解:(1)由题意,2b=2,所以b=1,又-=,解得a=2.所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),易知直线l的斜率不为0,则设l:x=my+t.因为l与圆O相切,所以=1,即t2=m2+1.由消去x,得(m2+4)y2+2mty+t2-4=0,则Δ=4m2t2-4(t2-4)(m2+4)=16(m2-t2+4)=48>0,y1+y2=-,则y0=-,x0=my0+t=,即M,-,所以|OM|2=+-==,设x=m2+4,则x≥4,=-=-++1=-36-+≤,所以|OM|的最大值为.15.C[解析] 由椭圆方程+=1,可得F(-1,0).由得P1(0,),P2-,-.过F作x轴的垂线与椭圆交于A1-1,,A2-1,-,则P在弧P1A1,P2A2上时,符合题意.∵=-,=,=,∴直线OP的斜率的取值范围是-∞,-∪,,故选C. 16.[解析] 因为直线AB,AC的斜率之积为2,所以AC的斜率为,由B-,,=.得点C-,,又已知D-,0,则直线CD的斜率为-课时作业(五十一)1.C[解析] 由双曲线方程知a=3,b=2,故双曲线的渐近线方程为y=±x.2.C[解析] 由题意得e==2,得c=2,所以b=-=,故选C.3.C[解析] 由已知可得结合c2=a2+b2,可得所以C的标准方程为x2-=1,故选C.4.-y2=1[解析] 设双曲线的方程为-y2=λ(λ≠0),则-12=λ,解得λ=1,故双曲线的标准方程为-y2=1.5.16[解析] |AF2|+|BF2|=2a+|AF1|+2a+|BF1|=4a+|AB|≥4a+=4×3+=16.6.A[解析] 因为=-=-1=3,所以=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,故选A.7.B[解析] ∵△ABF2为等边三角形,∴|AB|=|AF2|=|BF2|,∠F1AF2=60°.由双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=2a,∴|BF1|=2a.又|BF2|-|BF1|=2a,∴|BF2|=4a,∴|AF2|=4a,|AF1|=6a.在△AF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF2|·|AF1|cos 60°,∴(2c)2=(4a)2+(6a)2-2×4a×6a×,可得c2=7a2,∴e===.故选B.8.D[解析] 由题意得-=2a=2,则a=1.设=x,则=3-x,==,由双曲线的定义可得-(3-x)=2,解得x=,此时=,=3-=,所以==4,故选D.9.A[解析] 如图,易证△MFA∽△EOA,则=,即|MF|==-.同理△MFB∽△NOB,则|MF|==,所以-=,又|OE|=2|ON|,所以2(c-a)=a+c,整理得=3,故选A.10.D[解析] 根据条件可知点M,N在以A,B为焦点的双曲线上,且2c=4,2a=2,则b2=1,双曲线的方程是-y2=1,设M(x1,y1),N(x2,y2),所以--两式相减,得--(y1+y2)(y1-y2)=0,两边同时除以x1-x2,可得-2k=0,解得k=2,故选D.11.或[解析] 双曲线的两条渐近线的方程为x±2y=0,即y=±x,根据双曲线焦点位置的不同从而得到=或=,再由c2=a2+b2可得离心率e==或.12.-=1[解析] 设MF2与渐近线l:y=x交于点H,则H-,2,将点H的坐标代入y=x,得2=·-①,又·k l=---·=-1②,所以由①②得c=5,再将点M(-3,4)代入-=1中,得b2=20,a2=5,故双曲线的标准方程为-=1.13.解:(1)由渐近线方程可设双曲线C的方程为x2-4y2=k(k≠0),把(2,1)代入可得k=4,所以双曲线C的方程为-y2=1.(2)由题易知,P在右支上时|MN|取最小值.由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0),根据双曲线方程可得-·=,设P(x,y),直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2(k1,k2>0),则k1k2=,PA1的方程为y=k1(x+2),令x=1,得M(1,3k1),PA2的方程为y=k2(x-2),令x=1,得N(1,-k2),所以|MN|=|3k1-(-k2)|=3k1+k2≥2=,当且仅当3k1=k2,即k1=,k2=时,等号成立.故|MN|的最小值为.14.解:(1)设双曲线的方程是-=1(a>0,b>0),则由题意得解得故双曲线的方程是3x2-y2=1.(2)联立-得(3-k2)x2-2kx-2=0,由Δ>0且3-k2≠0,得-<k<且k≠±.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为以线段AB为直径的圆过原点,所以OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,又x1+x2=--,x1x2=-,所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,所以-+1=0,解得k=±1.15.B[解析] 当直线AB的斜率不存在时,A(,2),B(,-2),|AB|=4,|PF2|=,则=,故排除A;当直线AB的斜率k=2时,直线AB的方程为y=2(x-),直线PF2的方程为y=-(x-),则P0,,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立---化简得x2-4x+7=0,得x1+x2=4,x1·x2=7,故|AB|=10,又|PF2|=,所以=<,故排除C,D,故选B.16.B[解析] 如图,在△ABD中,BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cos∠DAB=1+4-2×1×2×(1-x)=1+4x,x∈(0,1).由双曲线的定义可得a1=-,c1=1,则e1=-.由椭圆的定义可得a2=,c2=x,则e2=,则e1+e2=-+=-+-,x∈(0,1).令t=-1,则t∈(0,-1),y=e1+e2=t+在(0,-1)上单调递减,所以e1+e2>×-1+-=,所以m≤,故选B.课时作业(五十二)1.D[解析] 抛物线方程化为标准形式得x2=8y,可知p=4,焦点到准线的距离为p,故选D.2.C[解析] 抛物线的焦点为,0,则由题意知+22+02=16,得p=4,故选C.3.B[解析] 抛物线的焦点为(0,1),双曲线的渐近线方程为x±y=0,则焦点到渐近线的距离为=,故选B.4.y2=-8x [解析] 由题意知抛物线的焦点在x轴的负半轴上,且=2,所以抛物线的标准方程为y2=-8x.5.[解析] 设该点的横坐标为x0,由题及抛物线的定义可得x0+=x0+=2x0,解得x0=.6.D[解析] 依据抛物线的定义可将转化为P到准线的距离,∴|PA|+|PF|的最小值为点A 到准线的距离,此时y P=2,∴x P=4,∴P(4,2),故选D.7.A[解析] 由题意,得抛物线y2=2px的焦点,0到双曲线-=1的渐近线x±2y=0的距离为=p,解得p=8,即抛物线的标准方程为y2=16x,故选A.8.B[解析] 由题意可知F(0,1),直线l的方程为y=kx+1(k>0),代入抛物线方程x2=4y,可得x2=4kx+4,即x2-4kx-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,故点P(2k,2k2+1),由题意知M(2k,k2),由抛物线的定义可知|MF|=k2+1=4,得k=,则直线l的方程为y=x+1,故选B. 9.C[解析] ∵抛物线方程为y2=8x,∴焦点为F(2,0),准线l的方程为x=-2,∵直线AF的斜率为-,∴直线AF的方程为y=-x-2),由---可得A点坐标为(-2,4∵PA⊥l,A为垂足,∴P点纵坐标为4,代入抛物线方程,得P点坐标为(6,4),∴|PF|=|PA|=6-(-2)=8,故选C.10.B[解析] 由已知得F(1,0),设直线l的方程为x=my+1,与y2=4x联立,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),则y1+y2=4m,y0==2m,x0==(y1+y2)+1=2m2+1,∴E(2m2+1,2m),又|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,∴m2=,易知线段AB的垂直平分线的方程为y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,得M(2m2+3,0),从而==,故选B.11.45°[解析] 由题意知,M到准线的距离为p,则可设点M,p,∵K-,0,∴k KM=1,∴∠MKF=45°.12.[解析] 由题意知焦点F,0,准线方程为x=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=x1++x2+=3,解得x1+x2=,∴线段AB中点的横坐标为,即线段AB的中点到y轴的距离为.13.解:(1)设F2(c,0)(c>0),则c=a,b= a.把x=c代入C的方程有|y A|==,∴=×2c×2|y A|=a2=3,∴a=2,故=c=1,即p=2,∴抛物线E的方程为y2=4x.(2)证明:由(1)知P(-1,t)(t≠0),则M,t,直线PO的方程为y=-tx,代入抛物线E的方程,得N,-.当t2≠4时,k MN=-=-,∴直线MN的方程为y-t=-x-,即y=-(x-1),∴此时直线MN过定点(1,0);当t2=4时,直线MN的方程为x=1,此时仍过定点(1,0).综上可知,直线MN过定点.14.解:(1)由题意可得解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证明:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2由抛物线的对称性,不妨取A(2,2).由A(2,2F(1,0)可得直线AF的方程为y=2x-1),联立-得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B,-.所以直线GB的方程为2x+3y+2=0,易知直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r==.因为点F到直线GB的距离d===r,所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.15.A[解析] 易知F(1,0),若直线l的斜率不存在,则|AF|=2,|BF|=2,所以|AF|-=1.若直线l 的斜率存在,则设直线l:y=k(x-1),代入y2=4x可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,由抛物线的定义可得-=x1+1-=,则-==-,令x2-1=t,则x2=t+1,所以-==≥=2-2.因为2-2<1,所以选A.16.-11[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),易知F(2,0),则=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2.将y=2x-2代入y2=8x可得4x2-8x+4=8x,即x2-4x+1=0,所以x1+x2=4,x1x2=1,则(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=1-8+4=-3,又y1=2x1-2,y2=2x2-2,故y1y2=4(x1-1)(x2-1)=4[x1x2-(x1+x2)+1]=4(1-4+1)=-8,所以·=-3-8=-11.课时作业(五十三)1.B[解析] 设动点P(x,y),由题意可知·-=-2(x≠0),化简得+x2=1(x≠0),故选B.2.A[解析] 由题意知,动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y=-3的距离,故动圆圆心的轨迹是以F为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,其方程为x2=12y,故选A.3.A[解析] 设M(x,y),则由M为线段OP的中点,得P(2x,2y),代入双曲线方程,得-(2y)2=1,即x2-4y2=1,故选A.4.C[解析] 设P(x,y),则x=λ-3μ,y=λ+3μ,得λ=,μ=-,因此+-=1,化简得x+2y-3=0,故选C.5.x2-=1[解析] 根据双曲线的定义可得,长轴长2a=2,即a=1,半焦距c=2,由c2=a2+b2,解得b2=3,故动点P的轨迹方程为x2-=1.6.B[解析] 设M(x,y),P(x0,y0),因为P与点Q(0,-1)连线的中点为M,所以x0=2x,y0=2y+1,又因为点P在抛物线y=2x2+1上移动,所以2y+1=2(2x)2+1,即y=4x2,故选B.7.D[解析] 由题意知,所求直线为与已知直线平行的两条直线,因此设所求直线方程为3x-4y+C=0,则==2,则C=-11或C=9,故所求直线方程为3x-4y-11=0或3x-4y+9=0,故选D.8.C[解析] 由两点间的距离公式可得=13,=15,=14,因为A,B都在椭圆上,所以+=+,得-=-=2<14,故F的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支,由c=7,a=1,得b2=48,所以F的轨迹方程是y2-=1(y≤-1),故选C.9.C[解析] 设A(a,0),B(0,b),P(x,y),由=+得所以a=3x,b=y,又=3,所以a2+b2=9,即(3x)2+=9,所以动点P的轨迹方程为x2+=1,故选C.10.A[解析] ①△ABC的周长为10,则|AB|+|AC|=6,根据椭圆的定义知,点A的轨迹方程为C3:+=1(y≠0);②△ABC的面积为10,则点A到直线BC的距离为定值5,所以点A的轨迹方程为C1:y2=25;③△ABC中,∠A=90°,则点A在以线段BC为直径的圆上,所以点A的轨迹方程是C2:x2+y2=4(y≠0).11.+y2=1[解析] 设Q(x,y),P,y1,则=,-·-=-1,∴···-=-1,∴4y2=4-x2,∴点Q的轨迹方程为+y2=1.12.2x-3y+25=0[解析] 圆C:x2+y2=25的圆心C为(0,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),因为AQ与圆C相切,所以AQ⊥CA,所以(x1-x0)(x1-0)+(y1-y0)(y1-0)=0,即-x0x1+-y0y1=0,因为+=25,所以x0x1+y0y1=25,同理x0x2+y0y2=25,所以过点A,B的直线方程为xx0+yy0=25.因为直线AB过点M(-2,3),所以得-2x0+3y0=25,所以点Q的轨迹方程为2x-3y+25=0. 13.解:(1)设M(x0,y0),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x0-2,2y0).∵P点在圆x2+y2=4上,∴(2x0-2)2+(2y0)2=4.故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,∴=+=+,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.14.解:(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2=2px,解得p=1.(2)设C,y1,D,y2,y1≠0,y2≠0,切线l1:y-y1=k x-,代入y2=2x得ky2-2y+2y1-k=0,由Δ=0解得k=,∴l1的方程为y=x+,同理l2的方程为y=x+.联立解得即M,.∵CD的方程为x0x+y0y=8,其中x0,y0满足+=8,x0∈[2,2],∴联立得x0y2+2y0y-16=0,则--代入可得--则有-易知x≠0,代入+=8,得-y2=1,考虑到x0∈[2,2],故x∈[-4,-2],∴动点M的轨迹方程为-y2=1,x∈[-4,-2].15.D[解析] 设抛物线的焦点为F(x,y),准线为l,过点A,B,O分别作AA'⊥l,BB'⊥l,OP⊥l,,其中A',B',P分别为垂足,则l为圆的切线,P为切点,且+=2|OP|=6,因为抛物线过点A,B,所以=,=,所以+=+=6>=2,所以点F的轨迹是以A,B 为焦点的椭圆,且点F不在x轴上,所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为+=1(y≠0).16.+y2=1(y≠0)[解析] 易知AC,BD的斜率存在且不为0,设直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,则直线AC,BD的方程分别为y=k1(x+2),y=k2(x-2),据此可得C(2,4k1),D(-2,-4k2),则=k1+k2,直线CD的方程为y-4k1=(k1+k2)(x-2),整理可得(k1+k2)x-y+2(k1-k2)=0,直k CD=--线CD与圆相切,则=2,据此可得k1k2=-,将y=k1(x+2),y=k2(x-2)两式相乘可得y2=k1k2(x2-4)=-x2+1,即直线AC与BD的交点M的轨迹方程为+y2=1(y≠0).课时作业(五十四)第1课时1.D[解析] 由题意可知,>,得e=>故选D.2.D[解析] 由题设可得>2,即m2+n2<4,又a=3,b=2,故点(m,n)在椭圆内,所以过点(m,n)的直线与椭圆有2个交点,故选D.3.D[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),易知F(1,0),则由题设可得x1=-3x2+4,y1=-3y2,即-=,故选D.解得所以y1=2,则直线l的斜率k=--4.7[解析] ||+||=y A++y B+=2y P+1=2×3+1=7.5.x-y=0[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B在抛物线上,得=4x1,=4x2,两式作差得===1,所以直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0. -=4(x1-x2),所以直线l的斜率k=--6.B[解析] 将y=2x+代入x2=2py(p>0),整理可得x2-4px-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4p,x1x2=-p2,则=-=·-=10p,故选B.7.C[解析] 由题意可知,直线l:y=k(x-c)过右焦点(c,0),双曲线的一条渐近线的方程为y=x,可得<<.∵e==,∴由3<<15,得4<1+<16,∴2<e<4,∴双曲线离心率的取值范围为(2,4),故选C.8.B[解析] 设椭圆的左焦点为F1,则F1(-1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),则--∴-设M为AB的中点,则M-,1,由M在l上,代入检验可知A,C,D均不符,故选B.9.B[解析] 由题意可知直线l的斜率显然存在,且斜率k=--=1,则直线l的方程为y=x+3,与双曲线方程联立,消去y可得(b2-a2)x2-6a2x-9a2-a2b2=0.由根与系数的关系与AB的中点为N(12,15),知-=12,又c2-b2=a2,可得离心率e==.故选B.10.A[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为抛物线的焦点为F,0,所以直线AB的方程为y=x-,联立-消去y得x2-3px+=0,所以x1+x2=3p,x1x2=,则|x1-x2|=-=2p,所以|y1-y2|=2p,则梯形ABCD的面积S=(|AD|+|BC|)·|CD|=(x1+x2)|y1-y2|=3p2=3,所以p=1,故选A.11.(-∞,0)∪(0,1)[解析] 设PA的斜率为k(k≠0),则PB的斜率为-,直线PA的方程为y=k(x+2).联立y=k(x+2)与3x2+4y2=12,得Q-,,所以k QF=-k2≠,∴=-=1-∈(-∞,0)∪(0,1).12.[解析] 由题可知a=2,则A(x1,2),B(x2,2),AB的中点坐标为,.A,B关于直线y=x+m对称,则AB的中点在直线y=x+m上,且直线AB与直线y=x+m垂直,可得=+m,--=-1,所以+=+m,x1+x2=-,又x1x2=-,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=,则m=+-=.13.解:(1)设动圆圆心P(x,y).由已知条件有-=|y+1|,得圆心P的轨迹方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线m:y=kx+1,将y=kx+1代入x2=4y,得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1·x2=-4,由y'=,得切线l1:y-=(x-x1),l2:y-=(x-x2),联立得M,,即M(2k,-1),=|x1-x2|=4(1+k2),点M到直线m的距离d=, 所以△MAB的面积S=|AB|d=4(k2+1,当k=0时,S min=4. 14.解:(1)由题意得∴∴椭圆C的方程为+=1.(2)当k=时,由y=x+m得M(0,m),N(-2m,0),∵|PM|=|MN|,∴P(2m,2m),Q(2m,-2m),∴直线QM的方程为y=-x+m.设A(x1,y1),由得a2+b2x2+a2mx+a2(m2-b2)=0, ∴x1+2m=-,∴x1=-.设B(x2,y2),由-得a2+b2x2-3a2mx+a2(m2-b2)=0,∴x2+2m=,∴x2=-,∵点N平分线段A1B1,∴x1+x2=-4m,∴--=-4m,∴3a2=4b2,∴x1=-3m,y1=-m,代入椭圆方程得m2=b2<b2,符合题意,∵a2=b2+c2,∴e==.15.D[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由=λ可得(2-x1,1-y1)=λ(x3-2,y3-1),据此可得同理可得则将点A,B的坐标代入椭圆方程,作差可得--=-·,即-=-·,得a2(y1+y2)=2b2(x1+x2),同理可得a2(y3+y4)=2b2(x3+x4),又2[(y1+y2)+λ(y3+y4)]=(x1+x2)+λ(x3+x4),所以a2=4b2,所以e=.16.<e<1[解析] 由题意,得抛物线C1的焦点F(2,0).∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合,∴椭圆C2的半焦距c=2,∴m2-n2=c2=4①.设M(x1,y1),N(x2,y2)是椭圆C2上关于直消去y得线l:y=x+对称的两点,MN:y=-4x+λ,联立-(16m2+n2)x2-8m2λx+m2λ2-m2n2=0(*),则Δ=64m4λ2-4(16m2+n2)(m2λ2-m2n2)>0,得16m2+n2-λ2>0②.由(*),可得x1+x2=,∴y1+y2=-4(x1+x2)+2λ=,∴MN中点的坐标为,,将其代入直线l:y=x+,得=×+③.由①②③消去λ,可得2<m<,∵椭圆C2的离心率e==,∴<e<1.第2课时1.解:(1)由题知A(-a,0),C(0,a),故B-,,代入椭圆E的方程得+=1,结合a2-b2=1,得a2=4,b2=3,故椭圆E的方程为+=1.(2)由题知,直线l不与x轴重合,故可设l:x=my+1,代入+=1得(3m2+4)y2+6my-9=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,连接ON,由Q与M关于原点对称知,S△MNQ=2S△MON=|y1-y2|=-==,∵≥1,∴3+≥4,∴S△MNQ≤3,当且仅当m=0时,等号成立,∴△MNQ面积的最大值为3,此时直线l的方程为x=1.2.解:(1)由题知,动圆C的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x=-2的距离,所以由抛物线的定义可知,动圆C的圆心轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,所以动圆圆心轨迹E的方程为y2=8x.(2)证明:由题知当直线AB的斜率为0时,不符合题意,所以可设直线AB的方程为x=my+1,联立消去x,得y2-8my-8=0,Δ=64m2+32>0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(-1,t),则y1+y2=8m,y1·y2=-8,x1+x2=8m2+2,x1·x2=1,而2k MP=2·=-t,--k MA+k MB=-+-=--=--=-=-t,所以k MA+k MB=2k MP.3.解:(1)设点M到直线l的距离为d,依题意知=d.设M(x,y),则有-=|y+1|,化简得x2=4y,所以所求轨迹C的方程为x2=4y.(2)设l AB:y=kx+1,代入x2=4y中,得x2-4kx-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1·x2=-4,所以=·|x1-x2|=4(k2+1).因为C的方程为x2=4y,即y=,所以y'=,所以直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=.因为k1k2==-1,所以PA⊥PB,即△PAB为直角三角形,所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点,线段AB是直径.因为=4(k2+1),所以当k=0时,线段AB最短,长度为4,此时外接圆的面积最小,为4π.4.解:(1)设曲线C上的任一点为(x,y),易知y≥0,则--|y|=1,得x2=4y,即曲线C的方程为x2=4y.(2)将y=kx+m代入x2=4y,得x2-4kx-4m=0.当m>0时,Δ=16k2+16m>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4m,=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),∴·=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1+m-1)(kx2+m-1)=(1+k2)x1x2+k(m-1)(x1+x2)+(m-1)2=-4 m(1+k2)+4k2(m-1)+(m-1)2=-4k2+(m-1)2-4m.∵对任意k∈R,都有·<0,∴-4k2+(m-1)2-4m<0对任意k∈R恒成立,则(m-1)2-4m<0,解得3-2<m<3+2,∴m的取值范围是3-2<m<3+2.5.解:(1)证明:由题意可知a=,e==-=,则b=1,∴椭圆的标准方程为+y2=1.设直线PA的方程为y=(x+),联立得(4+t2)x2+2t2x+2t2-8=0,解得x1=-,x2=-,则C点坐标为-,,故直线BC的斜率k BC=-,又直线OP的斜率k OP=,∴k BC·k OP=-1,∴OP⊥BC.(2)由(1)可知,四边形OBPC的面积S1=×|OP|×|BC|=,三角形ABC的面积S2=×2×=,由≤,得t2+2≥4,则|t|≥∴|t|的最小值为.6.解:(1)设A(x1,y1),P(x0,y0),则B(-x1,-y1),∵点A,B,P三点均在椭圆上, ∴+=1,+=1,∴作差得-=--,∴k PA·k PB=--·=-=--=-1+e2=-,∴e=.(2)F1(-c,0),F2(c,0),直线l的方程为y=k(x-c),设M(x3,y3),N(x4,y4),∵e=,∴a2=4b2,c2=3b2,联立-得(1+4k2)x2-8ck2x+4c2k2-4b2=0,Δ>0,∴--当点F1在以线段MN为直径的圆内部时,·=(x3+c)(x4+c)+y3·y4<0, ∴(1+k2)x3x4+(c-ck2)(x3+x4)+c2+c2k2<0,得(1+k2)-+(1-k2)+c2(1+k2)<0,解得-<k<.第3课时1.解:(1)由抛物线的定义可得+1=2,解得p=2,故抛物线方程为x2=4y.(2)假设存在满足题设条件的点M(x0,y0),直线AB的方程为y=2x+1,代入x2=4y,可得x2-8x-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,x1x2=-4.因为=(x1-x0,y1-y0),=(x2-x0,y2-y0),所以由MA⊥MB可得(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0,即(x1-x0)(x2-x0)1+(x1+x0)(x2+x0)=0,即(x1+x0)(x2+x0)+16=0,所以+8x0+12=0,此时x0=-2或-6,所以存在点M(-2,1),M(-6,9)满足题设.2.解:(1)由题意知A(-2,0),B(2,0).设P(x0,y0),则k1k2=·-=-=-=-.(2)由题知,直线OM:y=k1x,直线ON:y=k2x,设M(x1,y1),N(x2,y2),则△MON的面积S=||·||·sin∠NOM=-=|x1y2-x2y1|=|x1·k2x2-x2·k1x1|=|(k1-k2)x1x2|.由得=,同理可得=,故有4S2=(k1-k2)2··=-,又k1k2=-,故4S2== 8,∴△MON的面积为定值.3.解:(1)由抛物线的定义知=x0+,则x0+=x0,解得x0=2p.又点M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.(2)证明:由(1)得M(1,1),C:y2=x,不妨设A在第一象限,当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,A(3,),B(3,-),则直线AM的斜率k AM=-,直线BM的斜率k BM=--,所以k AM·k BM=--×=-.当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AM的斜率k AM=--=--=,同理直线BM的斜率k BM=,所以k AM·k BM=·=.设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y+1=k(x-3).联立-得ky2-y-3k-1=0,所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故k AM·k BM==--=-.综上,直线AM与直线BM的斜率之积为-.4.解:(1)抛物线E的焦点为F,0,由抛物线的定义可得d2=,则d1+d2=d1+,其最小值为点F到直线x-y+4=0的距离,∴=3得p=4(舍去负值),∴抛物线E的方程为y2=8x.(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立-可得x2-(2+8)x+=0, 则x1+x2=,∴y1+y2=k1(x1-1)+k1(x2-1)=k1(x1+x2)-2k1=-2k1=-=,∴AB的中点M的坐标为,.同理可得点N的坐标为,,则直线MN的斜率k=--=-,则k·(k1+k2)=-2,∴直线l的方程kx-y-kk1-kk2=0可化为y=kx-k(k1+k2),即y=kx+2,令x=0可得y=2,∴直线l恒过定点(0,2).5.解:(1)已知椭圆的离心率为,不妨设c=t,a=2t,则b=t,其中t>0,当△F1MF2内切圆的面积取得最大值时,半径r取得最大值为,因为=·(其中为△F1MF2的周长),为定值,所以也取得最大值,此时点P为短轴端点,因此·2c·b=·(2a+2c),即·2t·t=××(4t+2t),解得t=1,则椭圆的方程为+=1.(2)由(1)知F2(1,0),设直线AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得(3t2+4)y2+6ty-9=0,则y1+y2=-,y1y2=-,直线AA1的方程为y=--[x-(-2)],直线BA1的方程为y=--[x-(-2)],则P4,,Q4,,假设以线段PQ为直径的圆恒过定点H(m,n),则=4-m,-n,=4-m,-n,则·=(4-m)2+-n-n=0,即(4-m)2+-n-n=0,即--+n2+(4-m)2=0,即------+n2+(4-m)2=0,即6nt-9+n2+(4-m)2=0,若以线段PQ为直径的圆恒过定点H(m,n),则不论t为何值,·=0恒成立,因此n=0,m=1或m=7,即恒过定点(1,0)和(7,0).6.解:(1)根据题意可知a=2,所以+=1,联立消去y可得(b2+6)x2+12x+36-4b2=0,由椭圆C与直线y=x+3相切,可得Δ=0,即(12)2-4(b2+6)(36-4b2)=0,解得b2=0(舍去)或b2=3,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)当过点P的直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),联立化简得(3+4k2)x2+8kx-8=0,所以--所以·+λ·=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)]=(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=--+1=---+1=--2λ-3,所以当λ=2时,·+λ·=-7.当过点P的直线AB的斜率不存在时,直线与y轴重合,此时A(0,),B(0,-),所以·+λ·=-3+λ[(-1)(--1)]=-3-2λ,所以当λ=2时,·+λ·=-7.综上所述,当λ=2时,·+λ·=-7.。
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8第八章空间解析几何答案
第八章空间解析几何与向量代数
§8.1向量及其线性运算
1.填空题
（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.
（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.
2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.
解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .
3. 在平面上，求与、、等距离的点.
解：设该点为，则
，即，解得，则该点为.
4. 求平行于向量的单位向量的分解式.
解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.
5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.
解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.
§8.2 数量积向量积
1.若，求的模.
解：
所以.
2.已知，证明：.
证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.
3. 。
4.已知，，求与的夹角及在上的投影.
解：，
，. 因为，所以.
5..
§8.3 曲面及其方程
1.填空题
（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.
（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.
（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.
解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.
3
§8.4 空间曲线及其方程
1. 填空题
（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.
（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.
2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.
解：将代入，得，因此投影方程为.
4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.
解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.
在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.
在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.
4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：
（1）.
解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为
.
.
§8.5 平面及其方程
1. 填空题
（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平
面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.
2.求过三点，和的平面方程.
解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为
=0，即.
3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.
解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.
4.分别按下列条件求平面方程：
（1）平行于平面且经过点；
（2）通过轴和点；
（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.
解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.
（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.
（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.
§8.6 空间直线及其方程
1. 填空题
（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.
（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.
（3）直线与直线的夹角为（）.
2.化直线为对称式方程和参数方程.
解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.
令，所给直线的参数方程为.
3.求过点且与直线垂直的平面方程.
解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即
.
所求平面的方程为，即.
4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.
解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.
第八章空间解析几何与向量代数综合练习
1.填空题：
（1）已知，，且与夹角为，则（）.
（2）若向量，平行，则（）.
（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.
（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是
（）.
（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.
（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.
（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.
（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.
（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.
2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则
，则，因此这样的，有无穷个.
由于，因此，当时，
即长度最短.
3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.
解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.
4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.
解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.
5.求原点关于平面的对称点的坐标.
解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.
6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.
解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.
7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.
解：设球心为，则
，即
.
又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.
8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.
解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.
9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.
解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为
要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.
10. 设两个平面的方程为和
（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.
（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.
解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则
，
所以.
（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平
面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.
（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。