高考数学解析几何-轨迹方程的求法专题复习(专题训练)

专题八、解析几何（三）

点的轨迹方程

1.求点的轨迹方程的常用方法：

（1）定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可根据已知条件和曲线的固有定义，求出轨迹方程。

（2）直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以用点P 的坐标（x ，y ）表示出那些等量关系，化简即可得到轨迹方程。

（3）参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），再通过消去参数t ，得到关于x ，y 的轨迹方程F （x ，y ）＝0。

（4）代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

（5）几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可得到轨迹方程。

（6）点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法。

（7）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题先求解两动曲线方程组，得出它们的交点（含参数）坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法、点差法并用。

2.求轨迹方程的注意事项：求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。

（一）用定义法求点的轨迹方程

例1. 一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆22

6910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

例2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________

（三）用参数法求点的轨迹方程

此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参化为普通方程。求解过程中要注意参数的取值范围。

例3.（2015广东）已知过原点的动直线l 与圆2

21:650C x y x 相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y

k x 与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取

值范围；若不存在，说明理由。

（四）用代入法（相关点法）求点的轨迹方程

例4.抛物线x y 42=的通径与抛物线交于A 、B 两点，动点C 在抛物线上，则△ABC 重心P 的轨迹方程为________________

（五）用几何法求点的轨迹方程

借助平面几何中的有关定理和性质，如勾股定理、垂径定理、中位线定理、角平分线定理、全等、相似比等性质，可以大大降低求曲线轨迹方程的难度。

例5.如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程。

例6.已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

（七）用交轨法求点的轨迹方程

例7.已知MN 是椭圆122

22=+b

y a x 中垂直于长轴的动弦，A 、B 是椭圆长轴的两个端点，求直线 MA 和NB 的交点P 的轨迹方程。

变式训练：

1.已知P 是正四面体S ABC -的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

2.已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距

离为5且到直线l 的距离为

2

9的点的轨迹是（ ） A.一个圆 B.两条平行直线 C.四个点 D.两个点

3.如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A.一条线段，但要去掉两个点 B.一个圆，但要去掉两个点

C.一个椭圆，但要去掉两个点

D.半圆，但要去掉两个点

4.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）

A.直线

B.圆

C.双曲线

D.抛物线

5.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）

A ．抛物线

B ．双曲线

C ．椭圆

D ．直线

6.如图，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足，若点C 在平面α内运动，且CAB ∠等于直线AB 与平面α所成的角，则动点C 的轨迹为（ ）

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

7.已知线段AB 的长为a ，点P 分AB 为12:：=PB AP 两部分，当点A 在y 轴正半轴运动时，点B 在x 轴正半轴上运动，则动点P 的轨迹方程为_______________

8.抛物线y 2=4x 关于直线l ：y=x+2对称的曲线方程是_______________

9.已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP

→＝22

PB →，则点P 的轨迹方程为_______________ 10.已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是

11.某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，

则这两个标准圆柱的直径为______________cm.

12.在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－

2a ,0),C (2

a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ，则动点A 的轨迹方程为