高三高考文科数学复习专题五解析几何

平面解析几何用代数方法研究几何图形的几何性质，体现着数形结合的重要数学思想．直线与圆的方程、圆锥曲线与方程是历年高考的必考内容，题量一般为一道解答题和两道填空题．江苏高考对双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质由原来的理解降为了解，圆锥曲线突出了直线与椭圆（理科有与抛物线）的位置关系，淡化了直线与双曲线的位置关系．直线与圆锥曲线的有关问题始终是命题的热点内容之一，必考一道解答题．直线与圆锥曲线所涉及的知识点较多，对解题能力的考查层次要求较高，所研究的问题是直线与圆锥曲线的位置关系、定点（定值）、最值以及参数的取值范围等．第一课时 直线与圆教学目标：在2013年的备考中，需要关注：（1）直线的基本概念，直线的方程，两直线的位置关系及点到直线的距离等基础知识；（2）活用圆的两类方程、直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系； （3）对数形结合的思想、转化与化归的思想熟练掌握。

一、基础回顾：1、若直线(a 2＋2a )x －y ＋1＝0的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．2、经过222410x y x y +--+=的圆心，且倾斜角为6π的直线方程为. 3、直线ax ＋2y ＋6＝0与直线x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则a ＝________.4、直线20x -=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长度等于. 5、已知圆:C ()()22212x y -++=，过原点的直线l 与圆C 相切，则所有切线的斜率之和为.6、过点()0,6A 且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程为.二、典型问题基本题型一：直线的概念、方程及位置问题例1 过点P (3,2)作直线l ，交直线y ＝2x 于点Q ，交x 轴正半轴于点R ，当△QOR 面积最小时，求直线l 的方程．解析： 方法一：设点Q 的坐标为(a,2a )，点R 的坐标为(x,0)，其中x >0.当a ＝3时，△QOR 的面积S ＝9；当a ≠3时，因为P ，Q ，R 三点共线， 所以23－x ＝2a －2a －3，解得x ＝2aa －1(a >1)，∴△QOR 的面积S ＝12|OR |·2a ＝2a 2a －1＝2[(a －1)＋1a －1＋2]．当且仅当a －1＝1a －1(a >1)，即a ＝2时，S 取得最小值8.此时点Q 的坐标为(2,4)，将Q ，P 两点坐标代入直线方程两点式，并整理得2x ＋y －8＝0.解法二：设l 的方程为x ＝3或y －2＝k (x －3)， 当l 的方程为x ＝3时，△QOR 的面积S ＝9；当l 的方程为y －2＝k (x －3)时，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y －2＝k x －3，解这个方程组，得点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3k －2k －2，6k －4k －2.在方程y －2＝k (x －3)中，令y ＝0，得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫3k －2k ，0，∴△QOR 的面积S ＝12·3k －2k ·6k －4k －2＝（3k －2）2k 2－2k ，变形得(S －9)k 2＋(12－2S )k －4＝0，因为S ≠9，所以判别式Δ≥0，即(12－2S )2＋16(S －9)≥0，化简，得2S －8S ≥0， 当且仅当k ＝－2时，S 取得最小值8，此时直线l 的方程为y －2＝－2(x －3)，即2x ＋y －8＝0.综上，当△QOR 的面积最小时，直线l 的方程为2x ＋y －8＝0.说明：直线方程是平面解析几何的基础内容，该考点属于高考必考内容，且要求较高，均属理解、掌握的内容．纵观近几年的高考试题，一般以填空题的形式出现．求直线的方程要充分利用平面几何知识，采用数形结合法、待定系数法、轨迹法等方法；平行与垂直是平面内两条直线特殊的位置关系，高考一般考查平行或垂直的应用．基本策略：(1) 求直线方程的主要方法是待定系数法．在使用待定系数法时，要注意方程的选择，用点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，可以设直线l ：x ＝ky ＋m ，不能平行于x 轴的直线，防止丢解．另外，解题时认真画图，有助于快速准确地找到解题思路．(2) 求最值的问题，可先适当选取自变量，其次建立目标函数，再次是求最值，最后讨论何时取得最值．基本题型二：圆的方程及圆的性质问题例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M ，N 均在直线x ＝5上．圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为r 1＝13；圆弧C 2过点A(29,0)．(1) 求圆弧C 2所在圆的方程；(2) 曲线C 上是否存在点P ，满足PA ＝30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；解析：(1) 由题意知，圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169.当x ＝5时，y ＝±12，所以点M (5,12)，N (5，－12)． 由对称性知，圆弧C 2所在圆的方程的圆心在x 轴上． 设圆弧C 2所在圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 22，将M (5,12)，A (29,0) 代入，得⎩⎪⎨⎪⎧5－a 2＋144＝r 22，29－a 2＝r 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，r 2＝15.故圆弧C 2所在圆的方程为(x －14)2＋y 2＝225，即x 2＋y 2－28x －29＝0.(2) ①如果点P 在圆弧C 1上，设P (x 0，y 0)(－13≤x 0≤5)，则x 20＋y 20＝169.由P A ＝30PO ，得(x 0－29)2＋y 20＝30(x 20＋y 20)，即x 20＋y 20＋2x 0－29＝0， 所以169＋2x 0－29＝0，解得x 0＝－70，与－13≤x 0≤5矛盾； ②如果点P 在圆弧C 2上，设P (x 0，y 0)(5≤x 0≤29)，则(x 0－14)2＋y 20＝225，由P A ＝30PO ，得(x 0－29)2＋y 20＝30(x 20＋y 20)，解得x 0＝0，与5≤x 0≤29矛盾． 综上所述，曲线C 上不存在点P ，使P A ＝30PO .说明：对于圆的方程，高考要求能根据所给的条件选取恰当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决与圆相关的问题．该部分在高考中常以填空题的形式直接考查，或是在解答题的综合考查． 基本策略：求圆的方程有两类方法：(1)几何法：通过研究圆的几何性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心、半径)，进而得到圆的方程．(2)代数法：用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式(本例题中涉及圆心及切线，故设标准形式较简单)；②利用条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；③解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程． 基本题型三：直线与圆的位置关系例3如图所示，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P . (1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)B Q →·B P →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．解 (1)设圆A 的半径为R .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0.连结AQ ，则AQ ⊥MN .∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1.由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.(3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP →＝0.∴BQ →·BP →＝(BA →＋AQ →)·BP →＝BA →·BP →＋AQ →·BP →＝BA →·BP →.当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝⎛⎭⎫－2，－52.则BP →＝⎝⎛⎭⎫0，－52，又BA →＝(1,2)， ∴BQ →·BP →＝BBA →·BP →＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x ＋2y ＋7＝0解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k .，∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－51＋2k －10k1＋2k ＝－5.综上所述，BQ →·BP →是定值，且BQ →·BP →＝－5.说明：弦长问题是高考命题的热点，同时，对于这部分知识，高考常有创新，如与向量知识结合等．层次要求较高，从近年来的命题趋势看，命题形式以填空题为主，在复习时，要熟练掌握由半径、半弦长、弦心距所构成的直角三角形，从而准确地解答问题．基本策略：(1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d 及半弦长l2，构成直角三角形关系来处理．(2)要注意分类讨论，即对直线l 分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨．基本题型四：直线与圆的综合应用问题例4 如图所示，已知直线:l y x =，圆1C 的圆心为（3，0），且经过点()4,1A ． （1） 求圆1C 的方程；（2） 若圆2C 与圆1C 关于直线l 对称，点B 、D 分别为圆12C C 、上任意一点，求||BD 的最小值；（3） 已知直线l 上一点M 在第一象限，两质点P Q 、同时从原点出发，点P 以每秒1个单位的速度沿x 轴正方向运动，点Q 以每秒OM 方向运动，设运动时间为t 秒。

问：当t 为值时直线PQ 与圆1C 相切？说明：直线与圆的综合应用问题上高中一类重要问题，常常以解答题形式出现，常将直线与圆和函数、三角、向量、数列、圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数最值、圆的方程问题，这些问题是探索性问题、证明问题、求值问题等。

因此研究此类问题就显得非常重要． 基本策略：对这类问题的求解，首先，我们要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次，要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘；再次，要掌握解决问题常常使用的思想方法，如数形结合、化归转化、待定系数、分类讨论等思想方法；最后，要对求解问题的过程清晰书写，准确到位。