2018年各地高考数学文科分类汇编——解析几何完整
2018各地高考数学文科分类汇编_解析几何
（全国1卷4）答案：（全国1卷15）答案：（全国1卷20）答案：（全国2卷6）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x = 答案：A（全国2卷11）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 1-答案：D（全国2卷20）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．答案：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．（全国3卷8）答案：A（全国3卷10）答案：D（全国3卷20）答案：（北京卷10）已知直线l过点（1,0）且垂直于ε，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.答案：（1,0）（北京卷12）答案：4（北京卷20）已知椭圆的离心率为，焦距2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点C，直线PB与椭圆M的另一个交点D.若C,D和点共线，求k.（天津卷7）已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B 两点，设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为12和d d 且12+=6d d ，则双曲线方程为（A ）22139-=x y （B ）22193-=x y （C ）221412-=x y （D ）221124-=x y 答案：A解析：2==ce a，2=c a ， 在梯形ABCD 中，+2=AC BD FE ,FE 为渐焦距=b ，1226∴+==d d b 3∴=b222+=a b c 2229,12=3,∴==a b c∴22139-=x y（天津卷12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为答案：2220x x y -+= 解析：因为圆过（0,0）（2,0）所以圆心在x=1上，设其坐标为（1，b ） 又因为（1,1）在圆上所以10,1r b br =-=?=22(1)1,x y -+=即2220x x y -+=（天津卷19）(19)（本小题满分14分）设椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率|AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:l y kx = (k ∆0)与椭圆交于P,Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P,M 均在第四象限，若BPM 的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值。
2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何
《2018年高考文科数学分类汇编》2x —2・y 2 =2上，贝U △ ABP 面积的取值范围是和d 2，且d 1 d 2 =6，则双曲线的方程为2 2x■丄=14 122xD —9、选择题 1.【2018全国一卷 4】已知椭圆C :第九篇：解析几何X 2 V 2評廿1的一个焦点为(2 ,0)，则C 的离心率为1A.- 3 2.【2018全国二卷 6】1 B.- 22x 2双曲线 2-爲=1(a 0,b 0)的离心率为,3，则其渐近线方程为 a bA . y 二 2xB . y = 3xD . y 3x23.【2018全国 11】已知F , F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PR_ PF 2 ,且.乙PF 2F 1 =60，则C 的离心率为 A . J2B . 2-3 C. D . .3-14.【2018全国 三卷 8】直线x y *2=0分别与x 轴，y 轴交于A ,B 两点，点P 在圆A . 2,61B . 4,8〕D .5.【2018全国三卷10】已知双曲线 C :三卷 =1(a 0 , b 0)的离心率为 .2 ，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为B . 2C.2D . 2,22x 6.【2018天津卷7】已知双曲线 —a=1(a 0, b 0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 112 4=18.427. 【2018浙江卷2】双曲线「宀的焦点坐标是之和为（）D.4魂二、填空题 【2018全国一卷15】直线y =x • 1与圆x 2 y 22^^0交于A ，B 两点，则A • (- 2 , 0), ( .2 , 0)B • (-2, 0), (2, 0)C . (0, - . 2 ), (0 , ,2)D . (0, -2), (0, 2)8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 呂+以=153上的动点，贝U P 到该椭圆的两个焦点的距离1.2. 【2018北京卷10】已知直线I 过点（1,0）且垂直于 轴，若I 被抛物线 y 2= 4ax 截得的线3. 段长为4,则抛物线的焦点坐标为2 2【2018北京卷12】若双曲线 笃-丿 1（a0）的离心率为a 4-1，则24.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（ 0，0）1），（ 2，0）的圆的方程为 5.2x 【2018江苏卷8】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线2与=1(a 0,b 0)的右焦点b6. F （c,0）到一条渐近线的距离为乜212】在平面直角坐标系则其离心率的值是 【2018江苏卷xOy 中，A 为直线I: y = 2x 上在第一象限内的点,B(5,0)，以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D .若AB CD =0，则点A 的横坐标7. 【2018浙江卷17】已知点P （0，1），椭圆^+y 2=m （m>1）上两点A ，B 满足AP =2"P B ，则4当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大.1 29.【2018 上海卷 12】已知实数 x?、x?、y?、y?满足：X2 y?2 = 1 , X2 y?2=1 ,X?? y?y 2 则1 x?十f —1 +1 x?+$—1的最大值为 ______________逅42三、解答题1. 【2018全国一卷20】设抛物线C ： y 2=2x ，点A 2 , 0，B -2, 0，过点A 的直线l 与C交于M , N 两点.(1) 当I 与x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； (2) 证明：/ ABM =/ ABN .2. 【2018全国二卷20】设抛物线C : y 2 =4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k(k ■ 0)的直线I 与 C 交于A , B 两点，| AB | =8 .(1) 求I 的方程；(2) 求过点A , B 且与C 的准线相切的圆的方程.2 23. 【2018全国三卷如已知斜率为k 的直线l 与椭圆i =1交于A ，段AB 的中点为 M (1,m)(m 0).1(1) 证明：k ：：：22 24.【2018北京卷20】已知椭圆M :牛=1(a b 0)的离心率为a b斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点 A , B.(I)求椭圆M 的方程；2设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且 FP ，FA FB 0 .证明：2 |F P | |F A||FB |B 两点•线丄6，焦距为2 2.3(n)若k =1，求|AB |的最大值;(川)设P(20)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个7 1交点为D若CD和点Q(-—,—)共线，求k.4 4x yA,上顶点为B.已知椭圆5. 【2018天津卷19】设椭圆一22 =1(a^0)的右顶点为a b的离心率为—,| AB |=J13 .3(I)求椭圆的方程；(II)设直线I : y二kx(k ::: 0)与椭圆交于P,Q两点，I与直线AB交于点M，且点P,M均在第四象限•若△ BPM的面积是△ BPQ面积的2倍，求k的值._ 16. 【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(• 3,)，焦点2斤(- .3,0), F2(-.3,0)，圆O 的直径为F1F2 •(1) 求椭圆C及圆0的方程；(2) 设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标;不同的两点A, B满足(I)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴;②直线I与椭圆C交于7.【2018浙江卷21】如图,PA PB的中点均在C上.2(n)若P是半椭圆x2+_L = 1(x<0)上的动点，求△ PAB面积的取值范围.48. 【2018上海卷20】(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2 小题满分6分，第3小题满分6分)设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F (2, 0)，直线I: x=t，曲线•：y2=8x(0三X W t,戶0) , I与x轴交于点A,与已交于点B, P、Q分别是曲线壬与线段AB上的动点.(1 )用t为表示点B到点F的距离；(2)设t=3, I FQ22，线段OQ的中点在直线FP上，求△ AQP的面积；(3)设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在•上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由参考答案一、选择题1.C2.A3.D4.A5.D6.C7.B8.Ci. 2、、2 2.(i,0) 3.4 2 24. x y - 2x = 05.26.37.5c i8. y x9.、2 .. 32三、解答题1.解：(i) 当 1 I与X轴垂直时，I的方程为x=2,可得M的坐标为(2, 2)或(2,-)所以直线iBM的方程为y=2ix i 或y x「i .二、填空题2 2(2)当I与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以/ ABM=Z ABN.当I与x轴不垂直时，设I的方程为y =k(x—2)(k = 0), M (yj, N (x2, y2),则X l>0, X2>0._|_y =k(x —2), 2 2由2得ky —yYk=0,可知y i+y2= , y i y2=V.y =2x k直线BM , BN的斜率之和为k BM ' k BNy2 X2y i +x"2 +2(yi + y?) ①X i 2 X2 2 一 (为2)(x2 2)y i将X t =匕亠2 , x2=上亠2及y计y2, y i y2的表达式代入①式分子，可得kk冷％7 2(力y2)'yiy24k(yiy2)，8所以k BM+k BN=0,可知BM, BN的倾斜角互补, 所以/ ABM+Z ABN.综上，/ ABM=Z ABN.2.解：(i)由题意得F( i, 0), I的方程为y=k (x-i)( k>0) 设 A (x i,y i), B (X2, y2).y =k(x -i) 2 2 2 ,、，2c由2得k x -(2k 4)x k 0.y =4x2. 2 丄4.丄2k +4• =i6k i6 =0 ,故X i X2 —.k2所以 AB |AF |—|BF =(x 1)(冷 1)=4k 424k +4由题设知 —=8，解得k=-（舍去），k因此I 的方程为y=x-1.y _2 - ~(x -3)，即 y - -x 5 .（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3, 2） ，所以AB 的垂直平分线方程为 k 2k=1.设所求圆的圆心坐标为（ x o , y o ），则 y 0 - -X 05,2(y° % 1)(X 01)解得 16. x .二 3 (X o =11,y0 1 -&因此所求圆的方程为2 2 2 2(x —3) (y -2) =16或(X -11) (y 6)=144 .3 .解：(1)设 A(X , 两式相减，并由 X 2 2 y 1 ), B(X 2 , y 2)，则丄4 g^=k 得 X 1 X 2 ■ y1X 1 - X 2 41论比 =1，丁 2 2 2上=1,竺 4=1.34 3 y 2 2k =0 . 3由题设知生一 2 3由题设得0 ：：： m ，故k ::: -一=m ,于是k =… .4m(2)由题意得 F (1 , 0).设 P(x 3 , y s )，则(X3_1, y 3) (X1_1,y 1) (x2- 1, y2)= (0 , 0).由(1)及题设得 x 3 = 3 -(x ■ %) = 1 , y 3 = -(比■ y 2) = -2m ：：: 0 . 又点3 3P 在C 上，所以m =—,从而P(1 ,--),4 2|FA|=J(X 1 —1)2 珂任一1)2+3(1—专)=2—?uir 同理|FB|=2 X 22uir uir 1所以 FA FB =4(X 1 X 2) =3.2 uir uir uir故 2|FP|=|FA|+|FB| .4.解：(I)由题意得 2c =2、. 2，所以C = 2，又 e，所以 a = .、. 3，所以 b?=a -c?=i ,a 32所以椭圆M 的标准方程为—y 2 =1 .3(n)设直线 AB 的方程为y =x ，m ,y 二 x m由 x 22 消去 y可得 4x 2 6mx 3m 3 - 3 = 0 ,y 2=13则.；.=36m 2 -4 4(3m 2 -3) =48 -12m 2 0 ,即卩 m 2 ：： 4 ,23m3m - - 3设 A(x i , y i ) , B(X 2,y 2)，则花 x ?,：2 4则 | AB 1= .1 k 2 | 捲「x 2 |= •、1 k 2 .(为 x 2)2-4x^2 二—64一m，2易得当m 2 = 0时，| AB |max = ■ 6，故丨AB |的最大值为… 6 • (川)设 代为，％) , B(x 2, y 2),, D^y),2 2X 2 ' 3y 2 3 ②，, y i —7 X i —12 又k ^Xi-2，代入①式可得X3二药〒，所以y32 2则 X i 3y i =3①,又P(-2,0)，所以可设y i k i =k pA 二一 -，直线 PA 的方程为 y = k i (x 2)， X 〔 2y 二 k i (x 2)由 X 22 消去y 132 2 2 2y 可得(i 3k i )x I2k i X • i2k i -3 =0，i2k i 2 12k i 2则x 「x 3 一氓，即沧一肯k 厂为，学科*网y i4x i 7，4.解：(I)由题意得 2c =2、. 2，所以C =2，7 X-| -12 y<| 7X 2 _ 12 所以C (石〒汐)，同理可得D( -------------------------------- y iy 2 4X 2 7 '4X 27)-2故 QC = (x 3, y3), QD = (x 4, y4),444 4 7 1 7 1 (X3)( y 4 )〜(X 4 )(y 3 )=0, 4 4 44[2x +3y =6,消去 丫，可得 x 2 二—6— y = kx, 3k 2'2 2£丄69 4 =1,消去y ，可得X 1= j 6. £9k 2+4y= kx,由X2 =5捲，可得-9k 24二5（3k 2），两边平方，整理得18k 2 25k 0，解得8 1k ，或 k =9 2 8 112 当k 时，x^ -9 0 ,不合题意，舍去；当 k 时，X 2 =12 , X 1，符9 25合题意.1 因为Q,C, D 三点共线，所以 将点C, D 的坐标代入化简可得y*i - y?12=1，即 k =1 .5.解：（I ）设椭圆的焦距为 2c ,C 5 2 2 2由已知得— ，又由a 二b c ,可得2a = 3b .a 9由 | AB \ = . a =、13，从而 a = 3,b = 2 .2 2所以，椭圆的方程为 —y 19 4（II ）设点P 的坐标为（捲，yj ，点M 的坐标为（x 2,y 2），由题意，X 2 X 1 0 , 点Q 的坐标为（，-％）.由△BPM 的面积是△ BPQ 面积的2倍，可得\PM\ = 2PQ, \从而 X 2 - X i = 2[x i - (- X i )]，即 X 2 =5X i . 易知直线AB 的方程为2X 3^6 ,由方程组由方程组所以，k的值为-丄.26•解:(1)因为椭圆C的焦点为F"— ..3,0),F2C.3,0),可设椭圆C的方程为2X2a212 =1(a b . o).又点C 3,-)在椭圆C上,3 1 1所以孑‘47 a2 -b2=3, 解得a2=4,b2=1,因此，椭圆C的方程为—y2 =1 .4因为圆0的直径为F1F2，所以其方程为x2y2=3 .,, _____________ 2 2(2)①设直线I与圆0相切于P(x o, y o)(x o o, y o o)，则x o y o =3,所以直线I的方程为y = -丸(x _x0)…y0，即y = -总x ■仝.y o y o y o '2X 2 .十—y 1,由4消去y,得(4冷2• y02)x2 - 24x0x - 36 - 4y02=0 .x o ,3y x ,y o y o (*)因为直线I与椭圆C有且只有一个公共点,所以厶=(-24x o)2 -4(4x o2 y o2)(36 -4y。
2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案10-解析几何
2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案10-解析几何一、选择题（共12小题；共60分）1. 设P是椭圆x25+y23=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A. 2√2B. 2√3C. 2√5D. 4√22. 已知椭圆C：x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )A. 13B. 12C. √22D. 2√233. 直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x−2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C. [√2,3√2]D. [2√2,3√2]4. 在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x−my−2=0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60∘，则C的离心率为( )A. 1−√32B. 2−√3 C. √3−12D. √3−16. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为( )A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√22x D. y=±√32x7. 已知双曲线C：x23−y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( )A. 32B. 3C. 2√3D. 48. 设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点(−2,0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 5B. 6C. 7D. 89. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A. √2B. 2C. 3√22D. 2√210. 设F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若∣PF1∣=√6∣OP∣，则C的离心率为( )A. √5B. 2C. √3D. √211. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点．设 A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d 1 和 d 2，且 d 1+d 2=6，则双曲线的方程为 ( ) A. x 24−y 212=1B. x 212−y 24=1C. x 23−y 29=1D. x 29−y 23=112. 已知 F 1，F 2 是椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左，右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 √36 的直线上，△PF 1F 2 为等腰三角形，∠F 1F 2P =120∘，则 C 的离心率为 ( )A. 23B. 12 C. 13 D. 14二、填空题（共12小题；共60分） 13. 若双曲线x 2a2−y 24=1(a >0) 的离心率为 √52，则 a = ．14. 直线 y =x +1 与圆 x 2+y 2+2y −3=0 交于 A ，B 两点，则 ∣AB∣= ．15. 在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l:y =2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ．若 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点 A 的横坐标为 ． 16. 在平面直角坐标系中，经过三点 (0,0)，(1,1)，(2,0) 的圆的方程为 ．17. 已知点 M (−1,1) 和抛物线 C ：y 2=4x ，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A ，B 两点．若∠AMB =90∘，则 k = ．18. 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点 F (c,0) 到一条渐近线的距离为 √32c ，则其离心率的值为 ．19. 已知直线 l 过点 (1,0) 且垂直于 x 轴．若 l 被抛物线 y 2=4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为 ．20. 已知圆 x 2+y 2−2x =0 的圆心为 C ，直线 {x =−1+√22t,y =3−√22t（t 为参数）与该圆相交于 A ，B 两点，则 △ABC 的面积为 ．21. 在极坐标系中，直线 ρcosθ+ρsinθ=a (a >0) 与圆 ρ=2cosθ 相切，则 a = ．22. 已知实数 x 1，x 2，y 1，y 2 满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，则11√2222的最大值为 ．23. 已知点 P (0,1)，椭圆 x 24+y 2=m (m >1) 上两点 A ，B 满足 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则当 m = 时，点 B 横坐标的绝对值最大．24. 已知椭圆 M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线 N:x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 ．三、解答题（共16小题；共208分）25. 设抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k >0) 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，∣AB ∣=8．（1）求 l 的方程； （2）求过点 A ，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．26. 设抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k >0) 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，∣AB∣=8． （1）求 l 的方程； （2）求过点 A ，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．27. 如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C:y 2=4x 上存在不同的两点 A ，B 满足 PA ，PB 的中点均在 C 上．（1）设 AB 中点为 M ，证明：PM 垂直于 y 轴； （2）若 P 是半椭圆 x 2+y 24=1(x <0) 上的动点，求 △PAB 面积的取值范围．28. 在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的参数方程为 {x =cosθ,y =sinθ（θ 为参数），过点 (0,−√2) 且倾斜角为 α 的直线 l 与 ⊙O 交于 A ，B 两点． （1）求 α 的取值范围； （2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．29. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的方程为 y =k∣x∣+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ−3=0． （1）求 C 2 的直角坐标方程；（2）若 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点，求 C 1 的方程．30. 在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρsin (π6−θ)=2，曲线 C 的方程为 ρ=4cosθ，求直线 l 被曲线C 截得的弦长．31. 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C:x 24+y 23=1 交于 A ，B 两点．线段 AB 的中点为 M (1,m )(m >0)．（1）证明：k <−12；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 FP⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．证明：2∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣+∣FB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣．32. 设椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的右顶点为 A ，上顶点为 B ．已知椭圆的离心率为 √53，∣AB ∣=√13．（1）求椭圆的方程；（2）设直线 l:y =kx (k <0) 与椭圆交于 P ，Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M ，且点 P ，M 均在第四象限．若 △BPM 的面积是 △BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．33. 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ：x 24+y 23=1 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点为 M (1,m )(m >0)．（1）证明：k <−12；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．证明：∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 成等差数列，并求该数列的公差．34. 设椭圆 x 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0) 的左焦点为 F ，上顶点为 B ．已知椭圆的离心率为 √53，点 A 的坐标为 (b,0)，且 ∣FB ∣⋅∣AB ∣=6√2． （1）求椭圆的方程；（2）设直线 l ：y =kx (k >0) 与椭圆在第一象限的交点为 P ，且 l 与直线 AB 交于点 Q ．若∣AQ∣∣PQ∣=5√24sin∠AOQ （O 为原点），求 k 的值．35. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点 (√3,12)，焦点为 F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，圆 O 的直径为 F 1F 2．（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P ． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；②直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点．若 △OAB 的面积为2√67，求直线 l 的方程．36. 设常数 t >2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F (2,0)，直线 l:x =t ，曲线 Γ:y 2=8x (0≤x ≤t,y ≥0)．l 与 x 轴交于点 A 、与 Γ 交于点 B ．P ，Q 分别是曲线 Γ 与线段 AB 上的动点．（1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离；（2）设 t =3，∣FQ∣∣=2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求 △AQP 的面积； （3）设 t =8，是否存在以 FP ，FQ 为邻边的矩形 FPEQ ，使得点 E 在 Γ 上?若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．37. 设椭圆 C:x 22+y 2=1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，点 M 的坐标为 (2,0)．（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB ．38. 设抛物线 C:y 2=2x ，点 A (2,0)，B (−2,0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M ，N 两点．（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； （2）证明：∠ABM =∠ABN ．39. 已知抛物线 C:y 2=2px 经过点 P (1,2)．过点 Q (0,1) 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A ，B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N ． （1）求直线 l 的斜率的取值范围；（2）设 O 为原点，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．40. 已知椭圆 M:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √63，焦距为 2√2，斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M有两个不同的交点 A ，B ． （1）求椭圆 M 的方程；（2）若 k =1，求 ∣AB∣ 的最大值；（3）设 P (−2,0)，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为D ．若 C ，D 和点 Q (−74,14) 共线，求 k ．答案第一部分 1. C 2. C 3. A 4. C 5. D 6. A 7. B 8. D 9. D 10. C 11. C 12. D第二部分13. 4 14. 2√2 15. 316. x 2+y 2−2x =0 17. 2 18. 2 19. (1,0) 20. 12 21. 1+√2 22. √3+√2 23. 5 24. √3−1，2 第三部分25. （1） 由题意得 F (1,0)，l 的方程为 y =k (x −1)(k >0)． 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由 {y =k (x −1),y 2=4x 得 k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0．Δ=16k 2+16>0，故 x 1+x 2=2k 2+4k 2．所以 ∣AB ∣=∣AF ∣+∣BF ∣=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k 2．由题设知4k 2+4k 2=8，解得 k =−1（舍去），k =1．因此 l 的方程为 y =x −1．（2） 由（1）得 AB 的中点坐标为 (3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y −2=−(x −3)，即 y =−x +5．设所求圆的圆心坐标为 (x 0,y 0)，则{y 0=−x 0+5,(x 0+1)2=(y 0−x 0+1)22+16.解得 {x 0=3,y 0=2 或 {x 0=11,y 0=−6. 因此所求圆的方程为 (x −3)2+(y −2)2=16 或 (x −11)2+(y +6)2=144． 26. （1） 由题意得 F (1,0)，l 的方程为 y =k (x −1)(k >0)， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由 {y =k (x −1),y 2=4x 得 k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，Δ=16k 2+16=0，故 x 1+x 2=2k 2+4k 2，所以 ∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k 2，由题设知4k 2+4k 2=8，解得 k =−1（舍去），k =1，因此 l 的方程为 y =x −1．（2） 由（1）得 AB 的中点坐标为 (3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y −2=−(x −3)，即 y =−x +5． 设所求圆的圆心坐标为 (x 0,y 0)，则 {y 0=−x 0+5,(x 0+1)2=(y 0−x 0+1)22+16. 解得 {x 0=3,y 0=2 或 {x 0=11,y 0=−6.因此所求圆的方程为 (x −3)2+(y −2)2=16 或 (x −11)2+(y +6)2=144．27. （1） 设 P (x 0,y 0)，A (14y 12,y 1)，B (14y 22,y 2)．因为 PA ，PB 的中点在抛物线上，所以 y 1，y 2 为方程 (y+y 02)2=4⋅14y 2+x 02即 y 2−2y 0y +8x 0−y 02=0的两个不同的实数根． 所以 y 1+y 2=2y 0．因此，PM 垂直于 y 轴．（2） 由（Ⅰ）可知 {y 1+y 2=2y 0,y 1y 2=8x 0−y 02,所以 ∣PM ∣=18(y 12+y 22)−x 0=34y 02−3x 0，∣y 1−y 2∣=2√2(y 02−4x 0)．因此，△PAB 的面积 S △PAB =12∣PM ∣⋅∣y 1−y 2∣=3√24(y 02−4x 0)32．因为 x 02+y 024=1(x 0<0)，所以 y 02−4x 0=−4x 02−4x 0+4∈[4,5]．因此，△PAB 面积的取值范围是 [6√2,15√104]．28. （1） ⊙O 的直角坐标方程为 x 2+y 2=1． 当 α=π2 时，l 与 ⊙O 交于两点．当 α≠π2 时，记 tanα=k ，则 l 的方程为 y =kx −√2．l 与 ⊙O 交于两点当且仅当 ∣∣∣√2√1+k 2∣∣∣<1，解得 k <−1 或 k >1， 即 α∈(π4,π2) 或 α∈(π2,3π4)．综上，α 的取值范围是 (π4,3π4)．（2） l 的参数方程为 {x =tcosα,y =−√2+tsinα（t 为参数，π4<α<3π4）．设 A ，B ，P 对应的参数分别为 t A ，t B ，t P ，则 t P =t A +t B 2，且 t A ，t B 满足 t 2−2√2tsinα+1=0．于是 t A +t B =2√2sinα，t P =√2sinα．又点 P 的坐标 (x,y ) 满足 {x =t P cosα,y =−√2+t P sinα,所以点 P 的轨迹的参数方程是 {x =√22sin2α,y =−√22−√22cos2α（α 为参数，π4<α<3π4）．29. （1） 由 x =ρcosθ，y =ρsinθ 得 C 2 的直角坐标方程为 (x +1)2+y 2=4． （2） 由（1）知 C 2 是圆心为 A (−1,0)，半径为 2 的圆． 由题设知，C 1 是过点 B (0,2) 且关于 y 轴对称的两条射线． 记 y 轴右边的射线为 l 1，y 轴左边的射线为 l 2．由于 B 在圆 C 2 的外面，故 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点等价于 l 1 与 C 2 只有一个公共点且 l 2 与 C 2 有两个公共点，或 l 2 与 C 2 只有一个公共点且 l 1 与 C 2 有两个公共点． 当 l 1 与 C 2 只有一个公共点时，A 到 l 1 所在直线的距离为 2，2=2，故 k =−43 或 k =0，经检验，当 k =0 时，l 1 与 C 2 没有公共点；当 k =−43 时，l 1 与 C 2 只有一个公共点，l 2 与 C 2 有两个公共点，当 l 2 与 C 2 只有一个公共点时，A 到 l 2 所在直线的距离为 2，√k 2+1=2，故 k =0 或 k =43．经检验，当 k =0 时，l 1 与 C 2 没有公共点；当 k =43时，l 2 与 C 2 没有公共点， 综上，所求 C 1 的方程为 y =−43∣x∣+2．30. 因为曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ， 所以曲线 C 是圆心为 (2,0)，直径为 4 的圆．因为直线 l 的极坐标方程为 ρsin (π6−θ)=2，则直线 l 过 A (4,0)，倾斜角为 π6， 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点． 设另一个交点为 B ，则 ∠OAB =π6． 连接 OB ．因为 OA 为直径，从而 ∠OBA =π2，所以 AB =4cos π6=2√3．因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2√3． 31. （1） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，两式相减，并由 y 1−y 2x 1−x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23⋅k =0．由题设知x 1+x 22=1，y 1+y 22=m ，于是 k =−34m ．由题设得 0<m <32，故 k <−12．（2） 由题意得 F (1,0)．设 P (x 3,y 3)，则 (x 3−1,y 3)+(x 1−1,y 1)+(x 2−1,y 2)=(0,0)． 由（1）及题设得 x 3=3−(x 1+x 2)=1，y 3=−(y 1+y 2)=−2m <0．又点 P 在 C 上，所以 m =34，从而 P (1,−32)，∣FP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=32． 于是 ∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2−x 12．同理 ∣FB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2−x 22． 所以 FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4−12(x 1+x 2)=3． 故 2∣FP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣+∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣． 32. （1） 设椭圆的焦距为 2c ，由已知得 c 2a 2=59，又由 a 2=b 2+c 2，可得 2a =3b ，由 ∣AB ∣=√a 2+b 2=√13，从而 a =3，b =2， 所以椭圆的方程为x 29+y 24=1．（2） 设点 P 的坐标为 (x 1,y 1)，点 M 的坐标为 (x 2,y 2)， 由题意，x 2>x 1>0， 点 Q 的坐标为 (−x 1,−y 1)，由 △BPM 的面积是 △BPQ 面积的 2 倍，可得 ∣PM ∣=2∣PQ ∣， 从而 x 2−x 1=2[x 1−(−x 1)]，即 x 2=5x 1． 易知直线 AB 的方程为 2x +3y =6，由方程组 {2x +3y =6,y =kx消去 y ，可得 x 2=63k+2．由方程组 {x 29+y 24=1,y =kx消去 y ，可得 x 1=2．由 x 2=5x 1，可得 √9k 2+4=5(3k +2)，两边平方，整理得 18k 2+25k +8=0，解得 k =−89 或 k =−12．当 k =−89 时，x 2=−9<0，不合题意，舍去； 当 k =−12 时，x 2=12，x 1=125，符合题意．所以 k 的值为 −12．33. （1） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 x 124+y 123=1，x 224+y 223=1．两式相减，并由 y 1−y2x 1−x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23⋅k =0．由题设知x 1+x 22=1，y 1+y 22=m ，于是 k =−34m . ⋯⋯①由题设得 0<m <32，故 k <−12．（2） 由题意得 F (1,0)，设 P (x 3,y 3)，则 (x 3−1,y 3)+(x 1−1,y 1)+(x 2−1,y 2)=(0,0)． 由（1）及题设得 x 3=3−(x 1+x 2)=1，y 3=−(y 1+y 2)=−2m <0，又点 P 在 C 上，所以 m =34，从而 P (1,−32)，∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=32． 于是 ∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2−x 12．同理 ∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2−x 22．所以 ∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4−12(x 1+x 2)=3．故 2∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，即 ∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 成等差数列．设该数列的公差为 d ，则 2∣d ∣=∣∣∣∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣∣=12∣x 1−x 2∣=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2. ⋯⋯② 将 m =34 代入 ① 得 k =−1．所以 l 的方程为 y =−x +74，代入 C 的方程，并整理得 7x 2−14x +14=0．故 x 1+x 2=2，x 1x 2=128，代入 ② 解得 ∣d ∣=3√2128． 所以该数列的公差为3√2128或 −3√2128． 34. （1） 设椭圆的焦距为 2c ，由已知知 c 2a 2=59，又由 a 2=b 2+c 2，可得 2a =3b ．由已知可得，∣FB ∣=a ，∣AB ∣=√2b ，由 ∣FB ∣⋅∣AB ∣=6√2，可得 ab =6，从而 a =3，b =2． 所以，椭圆的方程为 x 29+y 24=1．（2） 设点 P 的坐标为 (x 1,y 1)，点 Q 的坐标为 (x 2,y 2)． 由已知有 y 1>y 2>0，故 ∣PQ ∣sin∠AOQ =y 1−y 2． 又因为 ∣AQ ∣=y 2sin∠OAB，而 ∠OAB =π4，故 ∣AQ ∣=√2y 2．由∣AQ∣∣PQ∣=5√24sin∠AOQ ，可得 5y 1=9y 2．由方程组 {y =kx,x 29+y 24=1消去 x ，可得 y 1=√9k 2+4．易知直线 AB 的方程为 x +y–2=0，由方程组 {y =kx,x +y −2=0消去 x ，可得 y 2=2k k+1． 由 5y 1=9y 2，可得 5(k +1)=3√9k 2+4，两边平方，整理得 56k 2−50k +11=0，解得 k =12 或 k =1128．所以，k 的值为 12 或 1128．35. （1） 因为椭圆 C 的焦点为 F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，可设椭圆 C 的方程为 x 2a +y 2b =1(a >b >0)．又点 (√3,12) 在椭圆 C 上，所以 {3a 2+14b 2=1,a 2−b 2=3,解得 {a 2=4,b 2=1. 因此，椭圆 C 的方程为 x 24+y 2=1．因为圆 O 的直径为 F 1F 2，所以其方程为 x 2+y 2=3．（2） ①设直线 l 与圆 O 相切于 P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，则 x 02+y 02=3， 所以直线 l 的方程为 y =−x 0y 0(x −x 0)+y 0，即 y =−x 0y 0x +3y 0． 由 {x 24+y 2=1,y =−x 0y 0x +3y 0, 消去 y ，得 (4x 02+y 02)x 2−24x 0x +36−4y 02=0.(∗)因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以 Δ=(−24x 0)2−4(4x 02+y 02)(36−4y 02)=48y 02(x 02−2)=0．因为 x 0,y 0>0，所以 x 0=√2，y 0=1．因此，点 P 的坐标为 (√2,1)．②因为三角形 OAB 的面积为2√67， 所以 12AB ⋅OP =2√67，从而 AB =4√27． 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由 (∗) 得 x 1,2=24x 0±√48y 02(x 02−2)2(4x 02+y 02)， 所以AB 2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=(1+x 02y 02)⋅48y 02(x 02−2)(4x 02+y 02)2.因为 x 02+y 02=3，所以 AB 2=16(x 02−2)(x 02+1)2=3249，即 2x 04−45x 02+100=0，解得 x 02=52（x 02=20 舍去），则 y 02=12， 因此 P 的坐标为 (√102,√22)． 综上，直线 l 的方程为 y =−√5x +3√2．36. （1） 由题意 B(t,√8t)，∣BF∣=√(t −2)2+8t =t +2．（2） 由 ∣FA∣=1，∣FQ∣∣=2，可得 ∣AQ∣∣=√3， 所以 Q(3,√3)，设线段 OQ 的中点为 M ，则 M (32,√32)， 由题意有 k MF =k PF ，设 P (y 028,y 0)，则 √32−12=y0y 028−2， 解得 y 0=4√33，于是 P (23,4√33)， 所以 S △AQP =12⋅∣AQ∣∣⋅(3−23)=76√3． （3） 设有在 P (y 028,y 0)，Q (8,a )，使得以 FQ ，FP 为邻边的矩形 FPEQ ，中的点 E 在 Γ 上， 则 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(y 028−2,y 0)⋅(6,a )=0， 得 34y 02−12+ay 0=0, ⋯⋯① 由 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得 E (y 028+6,a +y 0)，代入 y 2=8x 得 a 2+2ay 0=48, ⋯⋯② 结合 ①② 得 5y 04+224y 02−768=0，解得 y 02=165，因为 y 0≥0，所以 y 0=4√55，求得 x 0=25， 所以 P (25,4√55)． 37. （1） 由已知得 F (1,0)，l 的方程为 x =1．由已知可得，点 A 的坐标为 (1,√22) 或 (1,−√22)． 所以 AM 的方程为 y =−√22x +√2 或 y =√22x −√2．（2） 当 l 与 x 轴重合时，∠OMA =∠OMB =0∘，当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 ∠OMA =∠OMB ．当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y =k (x −1)(k ≠0)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 则 x 1<√2，x 2<√2，直线 MA ，MB 的斜率之和为 k MA +k MB =y 1x1−2+y 2x 2−2， 由 y 1=kx 1−k ，y 2=kx 2−k 得 k MA +k MB =2kx 1x 2−3k (x 1+x 2)+4k (x 1−2)(x 2−2)． 将 y =k (x −1) 代入x 22+y 2=1 得 (2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， 所以，x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，则 2kx 1x 2−3k (x 1+x 2)+4k =4k 3−4k−12k 3+8k 3+4k 2k 2+1=0． 从而 k MA +k MB =0，故 MA ，MB 的倾斜角互补，所以 ∠OMA =∠OMB ．综上，∠OMA =∠OMB ． 38. （1） 当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x =2，可得 M 的坐标为 (2,2) 或 (2,−2)． 所以直线 BM 的方程为 y =12x +1 或 y =−12x −1． （2） 当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以 ∠ABM =∠ABN ．当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y =k (x −2)(k ≠0)，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则 x 1>0，x 2>0．由 {y =k (x −2),y 2=2x,得 ky 2−2y −4k =0， 可知 y 1+y 2=2k ，y 1y 2=−4．直线 BM ，BN 的斜率之和为k BM +k BN =y 1x 1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2). ⋯⋯① 将 x 1=y 1k +2，x 2=y 2k +2 及 y 1+y 2，y 1y 2 的表达式代入 ① 式分子， 可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k (y 1+y 2)k =−8+8k =0.所以 k BM +k BN =0，可知 BM ，BN 的倾斜角互补，所以 ∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．39. （1） 把点 P (1,2) 代入 y 2=2px ，得 p =2，所以 y 2=4x ，设 l:y =kx +1，显然 k ≠0，联立 {y =kx +1,y 2=4x,ky 2−4y +4=0，由题意有 Δ>0，即 16−4k ⋅4>0，解得 k <1，所以 k 的取值范围是 k <1 且 k ≠0．（2） 设 M (x M ,y M )，N (x N ,y N )， 由 QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有 (x M ,y M −1)=λ(0,−1)， 所以 λ=1−y M ，同理 μ=1−y N ，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由（1）有 {y 1+y 2=4k ,y 1y 2=4k ,直线 PA 的方程为y −2=y 1−2x 1−1(x −1)=y 1−2y 124−1(x −1)=4y 1+2(x −1),令 x =0，得 y M =2y 1y 1+2， 同理有 y N =2y 2y2+2，1λ+1μ=11−y M +11−y N =2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 24−2(y 1+y 2)+y 1y 2=8−8k 4−8k +4k =2,所以 1λ+1μ为定值 2． 40. （1） 由 {c a =√63,2c =2√2,a 2−b 2=c 2 解得 {a =√3,b =1,c =√2. 则椭圆 M 的方程为 x 23+y 2=1．（2） k =1 时，设 l 方程为 y =x +n ，联立 {y =x +n,x 23+y 2=1 消 y 得 4x 2+6nx +3n 2−3=0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 {x 1+x 2=−3n 2,x 1x 2=3n 2−34.由 Δ>0 得 −2<n <2，∣AB∣=√1+k 2∣x 1−x 2∣=√62⋅√4−n 2. 当 n =0 时，∣AB∣ 最大值为 √6．（3） PA 直线的斜率 k PA =y 1x1+2，PA 直线的方程 y =y 1x 1+2(x +2)，联立 {y =y 1x 1+2(x +2),x 23+y 2=1, 消 y 得 (x 12+4x 1+4+3y 12)x 2+12y 12x +(12y 12−3x 12−12x 1−12)=0， 又 x 123+y 12=1 代入上式得 (4x 1+7)x 2+(12−4x 12)x −(7x 12+12x 1)=0， 设 C (x C ,y C )，由 x 1⋅x C =−(7x 12+12x 1)4x 1+7 得 x C =−(7x 1+12)4x 1+7，y C =y 1x 1+2(x C +2)=y 14x 1+7， 则 C (−(7x 1+12)4x 1+7,y14x 1+7)， 同理 D (−(7x 2+12)4x 2+7,y 24x 2+7)，又 Q (−74,14)，QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14(4x 1+7),4y 1−4x 1−74(4x 1+7))，QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(14(4x 2+7),4y 2−4x 2−74(4x 2+7))， 由 C ，D ，Q 三点共线，知 QC⃗⃗⃗⃗⃗ 与 QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 于是 14(4x 2+7)×4y 1−4x 1−74(4x 1+7)=14(4x 1+7)×4y 2−4x 2−74(4x 2+7)， 整理得 x 1−x 2=y 1−y 2，则 k =y 2−y 1x 2−x 1=1．。
2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何
《2018年高考文科数学分类汇编》第九篇：解析几何一、选择题1.【2018全国一卷4】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D2.【2018全国二卷6】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x = 3.【2018全国二11】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 1-4.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣5.【2018全国三卷10】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2C ．2D ．6.【2018天津卷7】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A 221412x y -=B221124x y -= C 22139x y -=D 22193x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(−2，0)，(2，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）二、填空题1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．2.【2018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于x轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>a =_________.4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ，则其离心率的值是 ． 6.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ．7.【2018浙江卷17】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．8.【2018上海卷2】2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 . 9.【2018上海卷12】已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁的最大值为__________三、解答题1.【2018全国一卷20】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．2.【2018全国二卷20】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．3.【2018全国三卷20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．4.【2018北京卷20】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .5.【2018天津卷19】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为53，||13AB =． （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．6.【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为26，求直线l 的方程．7.【2018浙江卷21】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．8.【2018上海卷20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设常数t >2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线τ：²8y x =00x t y （≦≦，≧），l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点.（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；（2）设t =3，2FQ =∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案 一、选择题二、填空题1. 222.)0,1( 4.0222=-+x y x8.x y 21±= 9.32+三、解答题1.解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．2.解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．3.解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，23=．于是11||(22xFA x ==-．同理2||=22x FB -． 所以1214()32FA FB x x +=-+=．故2||=||+||FP FA FB ．4.解：（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-==易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，学科*网 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．5. 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1294x k =+． 由215x x =，可得2945(32)k k +=+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．6.解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1(3,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==．因此，点P 的坐标为(2,1)．②因为三角形OAB 的面积为26， 所以21 26AB OP ⋅=，从而42AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+．7.解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是． 8.解：（1）由抛物线的性质可知，抛物线x y 82=的准线为2-=x ，抛物线上的点B 到焦点)0,2(F 的距离等于点B 到准线2-=x 的距离， 由题意知，点B 的横坐标为t ，则2+=t BF 。
【高三数学试题精选】2018年全国各地高考文科数学平面解析几何试题汇编
2018年全国各地高考文科数学平面解析几何试题汇编
5 c 8=0所截得的弦长等于__________
【答案】
11．（2018年高考东卷（））过点(3,1)作圆的弦,其中最短的弦长为__________
【答案】
三、解答题
12．（2018年高考四川卷（））
已知圆的方程为 ,点是坐标原点直线与圆交于两点
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)设是线段上的点,且请将表示为的函数
【答案】解(Ⅰ)将代入得则 ,(*)由得
所以的取值范围是
(Ⅱ)因为、N在直线l上,可设点、N的坐标分别为 , ,则
, ,又 ,
由得, ,
所以
由(*)知 , ,
所以 ,
因为点Q在直线l上,所以 ,代入可得 ,
由及得 ,即
依题意,点Q在圆c内,则 ,所以 ,
于是, n与的函数关系为 ( )
5 c。
2018年全国各地高考数学分类试题答案及详细解析
2018年全国各地高考数学分类试题答案及详细解析第一节 集合一、选择题：1．（2018北京文）已知集合{}2A x x =<，{}–2,0,1,2B =，则A B =（ ）A ．{}0,1B ．{}–1,0,1C ．{}–2,0,1,2D ．{}–1,0,1,21．【答案】A【解析】2x <，22x ∴-<<，因此{}(){}2,0,1,22,20,1A B =--=，故选A ． 2．（2018北京理）已知集合A ={x ||x |<2}，B ={–2，0，1，2}，则A B =（ ）（A ）{0，1} （B ）{–1，0，1} （C ）{–2，0，1，2} （D ）{–1，0，1，2} 2．【答案】A【解析】2x <，22x ∴-<<，因此{}(){}2,0,1,22,20,1A B =--=，故选A ．3．（2018浙江）已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A （ ） A ．∅ B ．{1，3} C ．{2，4，5} D ．{1，2，3，4，5}3.答案：C解答：由题意知U C A ={2,4,5}. 4．（2018天津文）设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-≤<R ，则()A B C =（ ）（A ）{1,1}- （B ）{0,1} （C ）{1,0,1}- （D ）{2,3,4} 4．【答案】C【解析】由并集的定义可得{}1,0,1,2,3,4A B =-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C =-．故选C ．5 （2018天津理）设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R A B （ ）(A) {01}x x <≤ (B) {01}x x << (C) {12}x x ≤< (D) {02}x x <<5．【答案】B【解析】由题意可得{}1Bx x =<R ，结合交集的定义可得(){}01A Bx =<<R ，故选B ．6．（2018全国新课标Ⅰ文）已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =（ ）A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 6．答案：A解答：{0,2}A B ⋂=，故选A.7．（2018全国新课标Ⅰ理）已知集合{}220A x x x =-->，则A =R（ ）A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥7. 答案：B解答：{|2A x x =>或1}x <-，则{|12}R C A x x =-≤≤.8．（2018全国新课标Ⅱ文）已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =（ ）A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,78．【答案】C【解析】{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，{}3,5A B ∴=，故选C ．9．（2018全国新课标Ⅱ理）已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 （ ）A ．9B ．8C ．5D ．49．【答案】A【解析】223x y +≤，23x ∴≤，x ∈Z ，1x ∴=-，0，1， 当1x =-时，1y =-，0，1；当0x =时，1y =-，0，1； 当1x =-时，1y =-，0，1；所以共有9个，故选A ．10．（2018全国新课标Ⅲ文、理）已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，10.答案：C解答：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴{1,2}A B =.故选C.二、填空题：1．（2018江苏）已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B = ▲ ．1．【答案】{}1,8【解析】由题设和交集的定义可知，{}1,8A B =．第二节 常用逻辑用语一.选择题：1．（2018北京文）设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 1．【答案】B【解析】当4a =，1b =，1c =，14d =时，a ，b ，c ，d 不成等比数列，所以不是充分条件；当a ，b ，c ，d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件．综上所述，“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件．故选B ．2．（2018北京理）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 2．【答案】C【解析】2222223333699+6a b a b a b a b a a b b a a b b -=+⇔-=+⇔-⋅+=⋅+，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0a a b b a a b b a b a b -⋅+=⋅+⇔⋅⇔⊥， 即“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的充分必要条件．故选C ．3．（2018浙江）已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．.答案：A解答：若“//m n ”，平面外一条直线与平面内一条直线平行，可得线面平行，所以“//m α”；当“//m α”时，m 不一定与n 平行，所以“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件.4. （2018上海）已知a R ∈，则“1a ﹥”是“1a1﹤”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件答案：A知识点：一元二次不等式及其解法 考查能力：运算求解能力解析：1a 1﹤→a>1或a<0，由子集推导关系可知选择A 。
2018年全国高考真题分类汇编----解析几何
2018年全国高考真题分类汇编----解析几何一、填空题(1)直线与圆1.（天津文12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．1.2220x y x 2.（全国卷I 文15）直线与圆交于两点，则________．1y x 22230x y y A B ，AB 2.223.（全国卷III 理6改）．直线20x y 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆2222x y 上，则ABP △面积的取值范围是__________．3.26，4.(天津理12)已知圆的圆心为C ，直线(为参数)与该圆相交于A ，B 两点，2220x y x 21,2232x t y t t 则的面积为. ABC △4.125.（北京理7改）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m20x my 变化时，d 的最大值为__________．5.36.（北京文7改）在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P 在其中,,,AB CD EF GH 221x y 一段上，角以OA 为始边，OP 为终边，若，则P 所在的圆弧是__________．tan cos sin 6.EF7.（江苏12）在平面直角坐标系中，A 为直线上在第一象限内的点，，以AB 为直径xOy :2l y x (5,0)B 的圆C 与直线l 交于另一点D ．若，则点A 的横坐标为__________．0AB CD 7.38.（上海12）已知实数、、、满足：，，，则1x 2x 1y 2y 22111x y 22221x y 121212x x y y 的最大值为_________.11221122x y x y 8.32（2）椭圆抛物线双曲线基本量。
2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何
2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《2018年高考文科数学分类汇编》第九篇：解析几何一、选择题1.【2018全国一卷4】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12CD2.【2018全国二卷6】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>方程为A ．y =B ．y =C ．y =D ．y = 3.【2018全国二11】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 14.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣ 5.【2018全国三卷10】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2C ．2D ．6.【2018天津卷7】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A 221412x y -=B 221124x y -= C 22139x y -=D 22193x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(−2，0)，(2，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A.2B.2C.2D.4二、填空题1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．2.【2018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>5a =_________.4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ，则其离心率的值是 ． 6.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ．7.【2018浙江卷17】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．8.【2018上海卷2】2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 .9.【2018上海卷12】已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁的最大值为__________三、解答题1.【2018全国一卷20】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．2.【2018全国二卷20】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．3.【2018全国三卷20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．4.【2018北京卷20】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，焦距为.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .5.【2018天津卷19】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，||AB = （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．6.【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为26，求直线l 的方程．7.【2018浙江卷21】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围． PMBAOyx8.【2018上海卷20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设常数t >2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线τ：²8y x =00x t y （≦≦，≧），l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点.（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；（2）设t =3，2FQ =∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案 一、选择题1.C2.A3.D4.A5.D6.C7.B8.C二、填空题1. 222.)0,1(3.44.0222=-+x y x 5.2 6.3 7.58.x y 21±= 9.32+三、解答题1.解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ． 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．2.解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．3.解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y yk +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，23=．于是11||(22xFA x ==-．同理2||=22x FB -． 所以1214()32FA FB x x +=-+=． 故2||=||+||FP FA FB ．4.解：（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB =，故||AB． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，学科*网 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．5. 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x = 由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．6.解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1(3,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26， 所以21 26AB OP ⋅=，从而42AB =．设1122,,()(),A x y B x y ， 由（*）得001,2x ，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为y =+．7.解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -=因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是． 8.解：（1）由抛物线的性质可知，抛物线x y 82=的准线为2-=x ，抛物线上的点B 到焦点)0,2(F 的距离等于点B 到准线2-=x 的距离， 由题意知，点B 的横坐标为t ，则2+=t BF 。
2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案10-解析几何
2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案10-解析几何一、选择题（共12小题；共60分）1. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为A. B. C. D.2. 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A. B. C. D.3. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.4. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离．当，变化时，的最大值为A. B. C. D.5. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A. B. C. D.6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.7. 已知双曲线：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则A. B. C. D.8. 设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则A. B. C. D.9. 已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A. B. C. D.10. 设，是双曲线：的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A. B. C. D.11. 已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A. B. C. D.12. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.二、填空题（共12小题；共60分）13. 若双曲线的离心率为，则．14. 直线与圆交于，两点，则．15. 在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为．16. 在平面直角坐标系中，经过三点，，的圆的方程为．17. 已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则．18. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为．19. 已知直线过点且垂直于轴．若被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为．20. 已知圆的圆心为，直线（为参数）与该圆相交于，两点，则的面积为．21. 在极坐标系中，直线与圆相切，则．22. 已知实数，，，满足：，，，则的最大值为．23. 已知点，椭圆上两点，满足，则当时，点横坐标的绝对值最大．24. 已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为；双曲线的离心率为．三、解答题（共16小题；共208分）25. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．26. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．27. 如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上．（1）设中点为，证明：垂直于轴；（2）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围．28. 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．29. 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．30. 在极坐标系中，直线的方程为，曲线的方程为，求直线被曲线截得的弦长．31. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．32. 设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，且点，均在第四象限．若的面积是面积的倍，求的值．33. 已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．34. 设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且．（1）求椭圆的方程；（2）设直线：与椭圆在第一象限的交点为，且与直线交于点．若（为原点），求的值．35. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点为，，圆的直径为．（1）求椭圆及圆的方程；（2）设直线与圆相切于第一象限内的点．①若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；②直线与椭圆交于，两点．若的面积为，求直线的方程．36. 设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线．与轴交于点、与交于点．，分别是曲线与线段上的动点．（1）用表示点到点的距离；（2）设，，线段的中点在直线上，求的面积；（3）设，是否存在以，为邻边的矩形，使得点在上?若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．37. 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：．38. 设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：．39. 已知抛物线经过点．过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，，，求证：为定值．40. 已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，．（1）求椭圆的方程；（2）若，求的最大值；（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．若，和点共线，求．答案第一部分1. C2. C3. A4. C5. D6. A7. B8. D9. D10. C11. C12. D第二部分13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24. ，第三部分25. （1）由题意得，的方程为．设，，由得．，故．所以．由题设知，解得（舍去），．因此的方程为．（2）由（）得的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为，则解得或因此所求圆的方程为或．26. （1）由题意得，的方程为，设，，由得，，故，所以，由题设知，解得（舍去），，因此的方程为．（2）由（）得的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为，则解得或因此所求圆的方程为或．27. （1）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（2）由（Ⅰ）可知所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．28. （1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）的参数方程为（为参数，）．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是（为参数，）．29. （1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，，故或，经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点，当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点，综上，所求的方程为．30. 因为曲线的极坐标方程为，所以曲线是圆心为，直径为的圆．因为直线的极坐标方程为，则直线过，倾斜角为，所以为直线与圆的一个交点．设另一个交点为，则．连接．因为为直径，从而，所以．因此，直线被曲线截得的弦长为．31. （1）设，，则，，两式相减，并由得．由题设知，，于是．由题设得，故．（2）由题意得．设，则．由（）及题设得，．又点在上，所以，从而，．于是．同理．所以．故．32. （1）设椭圆的焦距为，由已知得，又由，可得，由，从而，，所以椭圆的方程为．（2）设点的坐标为，点的坐标为，由题意，，点的坐标为，由的面积是面积的倍，可得，从而，即．易知直线的方程为，由方程组消去，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得或．当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．所以的值为．33. （1）设，，则，．两式相减，并由得．由题设知，，于是由题设得，故．（2）由题意得，设，则．由（）及题设得，，又点在上，所以，从而，．于是．同理．所以．故，即，，成等差数列．设该数列的公差为，则将代入得．所以的方程为，代入的方程，并整理得．故，，代入解得．所以该数列的公差为或．34. （1）设椭圆的焦距为，由已知知，又由，可得．由已知可得，，，由，可得，从而，．所以，椭圆的方程为．（2）设点的坐标为，点的坐标为．由已知有，故．又因为，而，故．由，可得．由方程组消去，可得．易知直线的方程为 –，由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得或．所以，的值为或．35. （1）因为椭圆的焦点为，，可设椭圆的方程为．又点在椭圆上，所以解得因此，椭圆的方程为．因为圆的直径为，所以其方程为．（2）①设直线与圆相切于，则，所以直线的方程为，即．由消去，得因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以．因为，所以，．因此，点的坐标为．②因为三角形的面积为，所以，从而．设，，由得，所以因为，所以，即，解得（舍去），则，因此的坐标为．综上，直线的方程为．36. （1）由题意，．（2）由，，可得，所以，设线段的中点为，则，由题意有，设，则，解得，于是，所以．（3）设有在，，使得以，为邻边的矩形，中的点在上，则，得由，可得，代入得结合得，解得，因为，所以，求得，所以．37. （1）由已知得，的方程为．由已知可得，点的坐标为或．所以的方程为或．（2）当与轴重合时，，当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以．当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，，则，，直线，的斜率之和为，由，得．将代入得，所以，，，则．从而，故，的倾斜角互补，所以．综上，．38. （1）当与轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或．所以直线的方程为或．（2）当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以．当与轴不垂直时，设的方程为，，，则，．由得，可知，．直线，的斜率之和为将，及，的表达式代入式分子，可得所以，可知，的倾斜角互补，所以．综上，．39. （1）把点代入，得，所以，设，显然，联立，由题意有，即，解得，所以的取值范围是且．（2）设，，由有，所以，同理，设，，由（）有直线的方程为令，得，同理有，所以为定值．40. （1）由解得则椭圆的方程为．（2）时，设方程为，联立消得，设，，则由得，当时，最大值为（3）直线的斜率，直线的方程，联立消得，又代入上式得，设，由得，，则，同理，又，，，由，，三点共线，知与共线，于是，整理得，则．。
【高三数学试题精选】2018年高考数学解析几何文科试题分类汇编
2018年高考数学解析几何文科试题分类汇编
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21．[2018 福建卷] 已知曲线Γ上的点到点F(0，1)的距离比它到直线＝－3的距离小2
(1)求曲线Γ的方程．
(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线＝3分别与直线l及轴交于点，N以N为直径作圆c，过点A作圆c的切线，切点为B试探究当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．
21．解方法一(1)设S(x，)为曲线Γ上任意一点．
依题意，点S到点F(0，1)的距离与它到直线＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0，1)为焦点，直线＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4
(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下
由(1)知抛物线Γ的方程为＝14x2
设P(x0，0)(x0≠0)，则0＝14x20，
由′＝12x，得切线l的斜率＝′|x＝x0＝12x0，
所以切线l的方程为－0＝12x0(x－x0)，即＝12x0x－14x20
由＝12x0x－14x20，＝0，得A12x0，0
由＝12x0x－14x20，＝3，得12x0＋6x0，3
又N(0，3)，所以圆心c14x0＋3x0，3，
半径r＝12|N|＝14x0＋3x0，
|AB|＝|Ac|2－r2
＝12x0－14x0＋3x02＋32－14x0＋3x02
＝6
所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．
方法二(1)设S(x，)为曲线Γ上任意一点，
则|－(－3)|－（x－0）2＋（－1）2＝2。
2018年高考试题分类汇编(解析几何)
2018年高考试题分类汇编（解析几何）考点1 直线与圆的方程1.（2018·全国卷Ⅰ·文科·15题）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ,B 两点，则AB = .2.（2018·全国卷Ⅲ·理科·6题·文科·8题）直线20x y ++=分别与x 轴y 轴 交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．3.（2018·北京卷·理科·7题）在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到 直线20x my --=的距离，当θ,m 变化时，d 的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.44．（2018·江苏卷·12题）在平面直角坐标系xoy 中，A 为直线l ：2y x =上在第 一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0A B C D ⋅=，则点A 的横坐标为 ． 考点2 双曲线的方程与性质1．（2018·浙江卷·2题）双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，B ．(2,0)-，(2,0)C ．(0,，D ．(0,2)-，(0,2)2.（2018·北京卷·文科·12题）若双曲线22214x y a -=（0a >则a =______.3.（2018·全国卷Ⅱ·理科·5题文科·6题）双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±4.（2018·全国卷Ⅲ·理科·10题）双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的离(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2C ．2D ．5.（2018·全国卷Ⅰ·理科·11题）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N .若OMN ∆为直角 三角形，则MN =A.32B. 3C.D. 4 6.（2018·全国卷Ⅲ·理科·11题）设12,F F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >) 的左、右焦点，O 为坐标原点,过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ,若1PF =，则C 的离心率AB ．2CD 7.（2018·北京卷·理科·14题）已知椭圆M :22221x y a b +=（0a b >>），双曲线N ：22221x y m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率 为_______．8.（2018·天津卷·理科·7题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 22139x y -= D. 22193x y -=9．（2018·江苏卷·8题）在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2，则其离心率的值是 ． 考点3 抛物线1.（2018·全国卷Ⅰ·理科·8题）设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点，则FM FN ⋅=A.5B.6C.7D. 82.（2018·全国卷Ⅲ·理科·16题）已知点(1,1)M -和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若90AMB ∠=，则k = .3.（2018·北京卷·文科·10题）已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛 物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_____.4.（2018·全国卷Ⅰ·文科·20题）设抛物线C ：22y x =，点(2,0)A ，(2,0)B -. 过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点. （Ⅰ）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （Ⅱ）证明：ABM ABN ∠=∠.5.（2018·全国卷Ⅱ·理科·19题·文科·20题）设抛物线C ：24y x =的焦 点为F ，过F 且斜率为k （0k >）的直线l 与C 交于,A B 两点，8AB =. （Ⅰ）求点l 的方程；（Ⅱ）求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.6.（2018·北京卷·理科·19题）已知抛物线C ：22y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．考点4 椭圆1.（2018·全国卷Ⅰ·文科·4题）已知椭圆椭圆C :22214x y a +=的一个焦点为 (2,0),则C 的离心率为A.13B. 12C. 2D. 32.（2018·全国卷Ⅱ·文科·11题）已知12,F F 是椭圆C 的两个焦点，点P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，2160PF F ∠=则C 的离心率为A ．1．21 3.（2018·全国卷Ⅱ·理科·12题）已知12,F F 是椭圆C :12222=+by a x （0a b >>）的左右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ∠=，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．144.（2018·浙江卷·17题）已知点(0,1)P ，椭圆22(1)4x y m m +=>上两点,A B 满足2AP PB =，则当m = 时，点B 横坐标的绝对值最大．5.（2018·全国卷Ⅰ·理科·19题）设椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 坐标为(2,0). （Ⅰ）当直线l 与x 垂直时，求直线AM 的方程； （Ⅱ）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.6.（2018·全国卷Ⅲ·理科·20题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :22143x y +=交 于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m （0m >）.（Ⅰ）证明：12k <-；（Ⅱ）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=，证明：FA ,FP ,FB 成等差数列，并求该数列的公差.7.（2018·全国卷Ⅲ·文科·20题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :22143x y +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m （0m >）. （Ⅰ）证明：12k <-；（Ⅱ）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=，证明： 2FP =FAFB +.8.（2018·北京卷·文科·20题）已知椭圆M :22221x y a b+=（0a b >>）的离心率斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点,A B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71(,)42Q -共线，求k .9.（2018·天津卷·理科·19题）设椭圆22221x x a b+=(0a b >>)的左焦点为F ，上顶点为B . A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ：y kx =（0k >）与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.10.（2018·天津卷·文科·19题）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为3，||AB （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM ∆的面积是BPQ ∆面积的2倍，求k 的值.11．（2018·天津卷·21题）如图，已知点P 是y(不含y 轴)一点，抛物线C ：24y x =上存在不同的 两点,A B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆2214y x += (0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 12．（2018·江苏卷·18题）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 过点1)2，焦点1(F ,2F ，圆O 的直径为12F F ． （Ⅰ）求椭圆C 及圆O 的方程；（Ⅱ）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ． ①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB ∆的面积为7，求直线l 的方程．。
2018年高考真题文科数学分类汇编专题5解析几何
专题5解析几何（2018全国1卷）4. 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果. 详解：根据题意，可知，因为，所以，即，所以椭圆的离心率为，故选C.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.（2018全国2卷）6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.（2018全国2卷）11. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中， 设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.（2018全国3卷）8．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．答案：A解答：由直线得，∴的圆心为，∴圆心到直线∴点到直线的距离的取值范围为. （2018全国3卷）10．已知双曲线（到的渐近线的距离为（ ）AB ．CD ．10．答案：D 解答：由题意，故渐近线方程为，则点到渐近线的距离为故选D. （2018天津卷）7. 已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为20x y ++=x y A B P ()2222x y -+=ABP ∆[]26，[]48，⎡⎣20x y ++=(2,0),(0,2)A B --||AB ==22(2)2x y -+=(2,0)20x y ++==P 20x y ++=d ≤≤+d ≤≤1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈22221x y C a b-=：00a b >>，()40，C 2c e a ==1ba=0x y ±=(4,0)d ==A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先求得A ,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c >0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A 选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.（2018浙江卷）2.双曲线−y 2=1的焦点坐标是( )A . (−，0)，(，0) B . (−2，0)，(2，0) C . (0，−)，(0，) D . (0，−2)，(0，2)2.答案：B 解答：∵2314c =+=，∴双曲线2213x y -=的焦点坐标是(2,0)-，(2,0). （2018全国1卷）15. 直线与圆交于两点，则________．【答案】【解析】分析：首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.详解：根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.（2018天津卷）12. 在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为_________．【答案】【解析】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：，解得：，则圆的方程为.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．（2018北京卷）10. 已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.【答案】【解析】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点，将点坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.详细：由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得：，，由抛物线方程可得：，焦点坐标为.点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.（2018北京卷）12. 若双曲线的离心率为，则a=_________.【答案】4【解析】分析：根据离心率公式，及双曲线中的关系可联立方程组，进而求解参数的值.详解：在双曲线中，，且点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点，根据双曲线的离心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式，找到之间的关系.（2018江苏卷）8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a . （2018江苏卷）12. 在平面直角坐标系中，A 为直线上在第一象限内的点，，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若，则点A 的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D 的横坐标所以.所以， 由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.（2018浙江卷）17.已知点P (0，1)，椭圆+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足=2，则m =____________时，点B 横坐标的绝对值最大 17.答案：5 解答：方法一：设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 当直线斜率不存在时，9m =，20x =.当直线斜率存在时，设AB 为1y kx =+.联立2241x y m y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(41)8440k x kx m +++-=，20410mk m ∆>⇒+->，122841kx x k +=-+，1224441mx x k -=+.∵2AP PB =，∴122x x =-，解得121641k x k -=+，22841kx k =+. ∴228821414k x k k k==≤++（当且仅当12k =时取“=”）.122216884141k k x x k k -=⋅=-++，122442241mx x m k -==-+，得5m =， ∴当5m =时，点B 横坐标最大. 方法二：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,1)AP x y =--，22(,1)PB x y =-， ∵2AP PB =，∴1212232x x y y =-⎧⎨=-⎩，∴22222222(2)(32)(1)4(2)4x y m x y m ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由(1)(2)得234m y +=.(3)将(3)代入(2)，得222(5)164m x --+=，∴2x =，∴当5m =时，2x 取最大值. （2018全国1卷）20. 设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：．【答案】(1) y =或．(2)见解析.【解析】分析：(1)首先根据与轴垂直，且过点，求得直线l 的方程为x =1，代入抛物线方程求得点M 的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；(2)分直线l 与x 轴垂直、l 与x 轴不垂直两种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.详解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线BM 的方程为y =或．（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．直线BM，BN的斜率之和为．①将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得．所以k BM+k BN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN．综上，∠ABM=∠ABN．点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.（2018全国2卷）20. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【答案】解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或．详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或．点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值． （2018全国3卷）20．（12分）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为． ⑴证明：；⑵设为的右焦点，为上一点,且．证明: ． 20．解答：（1）设直线方程为，设,,联立消得， 则， 得…①，且，， ∵，∴且.且…②.k l 22143x y C +=：A B AB ()()10M m m >，12k <-F C P C 0FP FA FB ++=2FP FA FB =+l y kx t =+11(,)A x y 22(,)B x y 22143y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 222(43)84120k x ktx t +++-=2222644(412)(34)0k t t k ∆=--+>2243k t +>1228234kt x x k -+==+121226()2234ty y k x x t m k +=++==+0m >0t >0k <2344k t k+=-由①②得，∴或.∵，∴.（2），,∵，，∴的坐标为.由于在椭圆上，∴，∴，， 又，，两式相减可得，又，，∴， 直线方程为， 即， ∴， 消去得，，，,∴.2222(34)4316k k k ++>12k >12k <-0k <12k <-0FP FA FB ++=uu r uu r uu r r 20FP FM +=uu r uuu r r (1,)M m (1,0)F P (1,2)m -P 214143m +=34m =3(1,)2M -2211143x y +=2222143x y +=1212121234y y x xx x y y -+=-⋅-+122x x +=1232y y +=1k =-l 3(1)4y x -=--74y x =-+2274143y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2285610x x -+=1,21414x ±=||||3FA FB +=uu r uur3||2FP ==uu r ||||2||FA FB FP +=（2018北京卷）20. 已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线P A与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点共线，求k.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】分析：（1）根据题干可得的方程组，求解的值，代入可得椭圆方程；（2）设直线方程为，联立，消整理得，利用根与系数关系及弦长公式表示出，求其最值；（3）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率.详解：（Ⅰ）由题意得，所以，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设直线的方程为，由消去可得，则，即，设，，则，，则，易得当时，，故的最大值为．（Ⅲ）设，，，，则①，②，又，所以可设，直线的方程为，由消去可得，则，即，又，代入①式可得，所以，所以，同理可得．故，，因为三点共线，所以，将点的坐标代入化简可得，即．点睛：本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式变形为，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.（2018天津卷）19. 设椭圆的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.（I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】分析：（I）由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为.（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意可得.易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，或.经检验的值为.详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,从而．所以，椭圆的方程为．（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，从而，即．当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．所以，的值为．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．（2018江苏卷）18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB 的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P 的坐标为．综上，直线l 的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.（2018浙江卷）21.(15分)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴（2）若P 是半椭圆x 2+=1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围21.解答（1）设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则PA 中点为20011(,)282x y y y ++，由AP 中点在抛物线上，可得220101()4()228y y x y +=+， 化简得2210100280y y y x y -+-=，显然21y y ≠， 且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=，所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根，所以1202y y y +=，1202M P y y y y y +===，即PM 垂直于x 轴. （2）121()(||||)2M P M M S x x y y y y =--+-0121()||2M x x y y =--，由（1）可得1202y y y +=，212008y y x y =-，2220000012(2)4(8)8(4)0()y x y y x y y ∆=--=->≠，此时00(,)P x y 在半椭圆221(0)4y x x +=<上， ∴2220000008(4)8[4(1)4]32(1)y x x x x x ∆=-=--=--， ∵010x -≤<，∴0∆>，∴12||||y y a -=== 2222220000121212000042(8)6(44)()2||38888M P y x y x y y y y y y x x x x x x ---++--=-=-=-=-2003(1)x x =--，所以23012001()||2M S x x y y x x =--=--，t =，所以3S =∈，即PAB ∆的面积的取值范围是.。
2018各地高考数学文科分类汇编__解析几何
（全国1卷4）答案：（全国1卷15）答案：（全国1卷20）答案：（全国2卷6）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x = 答案：A（全国2卷11）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 1-答案：D（全国2卷20）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．答案：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．（全国3卷8）答案：A（全国3卷10）答案：D（全国3卷20）答案：（北京卷10）已知直线l过点（1,0）且垂直于ε，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.答案：（1,0）（北京卷12）答案：4（北京卷20）已知椭圆的离心率为，焦距2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点C，直线PB与椭圆M的另一个交点D.若C,D和点共线，求k.（天津卷7）已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B 两点，设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为12和d d 且12+=6d d ，则双曲线方程为（A ）22139-=x y （B ）22193-=x y （C ）221412-=x y （D ）221124-=x y 答案：A解析：2==ce a，2=c a ， 在梯形ABCD 中，+2=AC BD FE ,FE 为渐焦距=b ，1226∴+==d d b 3∴=b222+=a b c 2229,12=3,∴==a b c∴22139-=x y（天津卷12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为答案：2220x x y -+= 解析：因为圆过（0,0）（2,0）所以圆心在x=1上，设其坐标为（1，b ） 又因为（1,1）在圆上所以10,1r b br =-=?=22(1)1,x y -+=即2220x x y -+=（天津卷19）(19)（本小题满分14分）设椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率|AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:l y kx = (k ∆0)与椭圆交于P,Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P,M 均在第四象限，若BPM 的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值。
2018年高考数学汇编：解析几何 精品
（安徽）双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)（福建）设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于 A.1322或 B.23或 2C.12或2 D.2332或（湖北）将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A. n=0 B. n=1 C. n=2 D. n ≥3（湖南）设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
（江西）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33(⋃-C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞⋃--∞ 答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33,00,3310.（江西）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )答案：A解析：根据小圆 与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M 点的轨迹是个大圆，而N 点的轨迹是四条线，刚好是M 产生的大圆的半径。
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3k 2
x2 y2 94 y kx
1 消去 y ，可得 x1
6 9k2
, 由 x2 4
5x1 可得
9k 2 当k
4 5(3k 2) ，两边平方，整理得 18k 2 25k 8
8 时， x2 9
9＜ 0 ，不合题意，舍去；当 k
0 ，解得 k 1 时， x2 2
8 ，或 k
1 .
9
2
12, x1 12 ,符合 5
A．1 3 2
答案： D
B． 2 3
C． 3 1 2
D． 3 1
（全国 2 卷 20）设抛物线 C：y 2 4 x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k( k 0) 的直线 l 与 C 交于 A， B 两点， | AB | 8 ．
（ 1）求 l 的方程； （ 2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
答案：
2
x
-
2x+
2
y=
0
解析：因为圆过（ 0,0）（2,0） 所以圆心在 x=1 上，设其坐标为（ 1，b） 又因为（ 1,1）在圆上
所以 r = 1- b = 1+ b2 ? b 0, r = 1
( x - 1)2 + y2 = 1, 即 x2 - 2x + y 2 = 0
（天津卷 19）
(19) （本小题满分 14 分）
据医学文献记载 ,一个健康的青少年学生 30 分钟用脑 ,血糖浓度在 120 毫克 /100 毫升 ,大脑反应快 ,记忆力强； 90 分钟用脑， 血糖浓度降至 80 毫克 /100 毫升， 大脑功能尚正常； 连续 120 分钟用脑， 血糖浓度降至 60 毫克 /100 毫升，大脑反应迟钝，思维能力较 4
答案： A
解析： e c 2， c 2a ， a
在梯形 ABCD 中， AC+BD 2FE , FE 为渐焦距 =b ， d1 d2 2b 6 b 3 Q a 2 b2 c 2 a 2=3, b 2 9, c2 12
x2 y2 1
39
（天津卷 12） 在平面直角坐标系中，经过三点（ 0，0），（ 1， 1），（2， 0）的圆的 方程为
答案：（ 1,0）
（北京卷 12）
截得的线段长
答案： 4
（北京卷 20）已知椭圆 为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B. （Ⅰ）求椭圆 M 的方程；
的离心率为
，焦距 2
.斜率
（Ⅱ）若
，求
的最大值；
（Ⅲ）设 点 D .若 C,D 和点
，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点 C，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交 共线，求 k.
（天津卷
7 ）已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b 0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x
轴的直线与双曲线交于 A, B 两点，设 A, B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为
d1和 d2 且 d1 +d2 =6 ，则双曲线方程为
（ A） x2 y2 1 （B） x2 y2 1 （C） x2 y2 1 （D） x2 y2 1
设椭圆
x2 a2
y2 b2
1( a
b
0 ) 的右顶点为 A，上顶点为 B，已知椭圆的离心率
为 5 , AB | 13 . 3
（ I ）求椭圆的方程；
（ II ）设直线 l : y kx ( k 0) 与椭圆交于 P,Q 两点， l 与直线 AB交于点 M，且点
P,M 均在第四象限，若 VBPM 的面积是 VBPQ 面积的 2 倍，求 k 的值。
答案：（ 1）由题意得 F （ 1， 0）， l 的方程为 y=k（ x–1）（ k>0）． 设 A（ x1， y1 ）， B（ x2，y2）．
由
y k(x y2 4x
1) 得
k2 x2
(2 k 2
4) x k 2
0．
16k 2
16 0 ，故 x1
x2
2k2 4 2．
k
所以 AB
AF
4k2 4
BF ( x1 1) (x2 1)
（全国 1 卷 4） 答案： （全国 1 卷 15） 答案：
（全国 1 卷 20） 答案：
（全国 2 卷 6）双曲线 x2 a2
y2 b2
1( a
0, b
0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
A． y 2x 答案： A
B ． y 3x
C． y
2x
2
D． y
3x
2
（全国 2 卷 11）已知 F1 ， F2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 PF1 PF2 ，且 PF2 F1 60 ，则 C 的离心率为
2
x0 1)
解得 x0
16.
y0
3， 或
x0
11，
2
y0 6.
2
因此所求圆的方程为
(x 3)2 ( y 2) 2 16 或 (x 11)2 ( y 6)2 144 ．
（全国 3 卷 8）
答案： A （全国 3 卷 10）
答案： D
（全国 3 卷 20）
答案：
（北京卷 10）已知直线 l 过点（ 1,0）且垂直于 ??轴，若 l 被抛物线 为 4，则抛物线的焦点坐标为 ________.
点 Q的坐标为 ( x1, y1 ) 。由 VBPM 的面积是 VBPQ 面积的 2 倍，可得 |PM | 2 | PQ | ,
从而 x2 x1 2[ x1 ( x1)], 即 x2 5x1 。
2x 3y 6
易知直线 AB 的方程为 2x 3y 6 , 由方程组
消去 y ，可得
y kx
x2
6 , 由方程组
答案：
（I ）解：设椭圆的焦距为
2c，由已知有
c2 a2
5 ，又由 a2 b2 c2 ，可得 2a 3b 。 9
由 AB | a2 b2 13 ，从而 a 3,b 2 。
所以椭圆的方程为 x2 y 2 1. 94
（II ）解：设点 P 的坐标为 ( x1, y1），点 M 的坐标为（ x2, y2 ) , 由题意，x2＞ x1＞0 ,
题意。
所以 k 的值为 1 。 2
高考
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大脑是记忆的场所， 脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活 动,大脑细胞活动需要大量能量。科学研究证实 ,虽然大脑的重量只占 人体重量的 2%-3%,但大脑消耗的能量却占食物所产生的总能量的 20%,它的能量来源靠葡萄糖氧化过程产生。
2．
k
2
由题设知
4k k2
4
8 ，解得 k=–1（舍去），k=1 ．
因此 l 的方程为 y=x–1．
（ 2）由（ 1）得 AB 的中点坐标为 （ 3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为 y 2
( x 3) ，
即 y x 5．
设所求圆的圆心坐标为（ x0， y0），则
y0
x0
(x0 1)2
5， ( y0