(新高考专用)专题 解析几何(含详细解析)

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专题11 解析几何
1．已知圆C 的方程为()2241x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线上，过点P 作圆C 的切线,PA PB ，切点为,A B .
（1）若60APB ∠=︒，求点P 的坐标；
（2）求证：经过,,A P C （其中点C 为圆C 的圆心）三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标.
【答案】（1）()2,4或612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
（2）证明见解析；()0,4和816,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）由条件可得圆C 的圆心坐标为()0,4，2PC =，设(),2P a a ，
2=，解得2a =，或65a =，所以点P 的坐标为()2,4或612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
. （2）设(),2P a a ，过点,,A P C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为()()()420x x a y y a -+--=，
整理得224280x y ax y ay a +---+=，即()
()224280x y y a x y +--+-=. 由2240,280,
x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩得0,4x y =⎧⎨=⎩或8,516,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴该圆必经过定点()0,4和816,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.
2．已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B .
（1
）若过点12C ⎛ ⎝⎭
的直线l
被圆O ，求直线l 的方程；
（2）若在以B 为圆心半径为r
的圆上存在点P ，使得PA = (O 为坐标原点)，求r 的取值范围； （3）设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12QM QM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）直线l 的方程为1
2x =
或10x -+=
；（2）0r <≤3）m n ⋅为定值1.. 【解析】1︒ 若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为：12x =，符合题意.。