高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)
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圆锥曲线第 3 讲抛物线
【知识要点】
一、抛物线的定义
平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l
（
F l
）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这
个定点F
叫做抛物线的焦点，定直线
l
叫做抛物线的准线。
注 1：在抛物线的定义中，必须强调：定点 F 不在定直线l
上，否则点的轨迹就不是一个抛
物线，而是过点 F 且垂直于直线l
的一条直线。
注 2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l
（
F l
）
的距离之比等于 1 的点的轨迹叫抛物线。
注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事
实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。
二、抛物线的标准方程
1. 抛物线的标准方程
抛物线的标准方程有以下四种：
p
,0) ，准线为 x p
（1） y 2 2 px （ p0），其焦点为F (
2 2 ；
（2） y 2 2 px （ p0 ），其焦点为F (p,0)
，准线为x
p
2 2 ；
F (0,
p
y
p
（3）x2
2 py （ p0
)
2
），其焦点为2，准线为；
F (0,
p p
（4）x
2
2 py （ p
)y
），其焦点为 2 ，准线为 2 .
2. 抛物线的标准方程的特点
抛物线的标准方程
y 2
2 px （ p 0 ）或 x
2
2 py （ p
）的特点在于：等号的一端
是某个变元的完全平方， 等号的另一端是另一个变元的一次项， 抛物线方程的这个形式与其
位置特征相对应：当抛物线的对称轴为
x
轴时，抛物线方程中的一次项就是 x
的一次项，且
一次项 x 的符号指明了抛物线的开口方向； 当抛物线的对称轴为
y
轴时， 抛物线方程中的一
次项就是 y 的一次项，且一次项
y
的符号指明了抛物线的开口方向.
三、抛物线的性质
以标准方程
y 2
2 px
（
p 0
）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
（1）范围：
x
，
y R ；
（2）顶点：坐标原点
O (0,0)
；
（3）对称性：关于
x 轴轴对称，对称轴方程为
y
；
（ 4）开口方向：向右；
（ 5）焦参数： p
；
F ( p
,0) （6）焦点： 2 ；
p x
（7）准线：
2 ；
（ 8）焦准距： p
；
（ 9）离心率： e 1；
（10）焦半径：若
P(x 0 , y 0 )
为抛物线
y 2
2 px
（
p 0
）上一点，则由抛物线的定义，有
PF
x 0
p
2 ；
（11）通径长：
2p
.
注 1 ：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线
y 2
2 px
F (
p ,0)
p
p p p
（
p
0 2
x
(
) ）的焦点
和准线 l
：
2 为例，可求得其焦准距为
2
2
；
注 2：抛物线的焦点弦指的是由过抛物线的焦点与该抛物线交于不同两点的直线所构成的
p ,0)
弦。设抛物线的方程为
y
2 2px （ p
），过其焦点
F (
2
且不垂直于 x 轴的直线交该
抛
物 线 于
A( x
1
, y 1 ) 、 B( x 2 , y 2 ) 两 点 ， 则 由 抛 物 线 的 定 义 ， 可 知 其 焦 半 径
AF x 1
p
p x 2 (
p p
() x 1
BF
) x 2
2
2 ，
2
2 ，于是该抛物线的焦点弦长为
AB AF BF ( x 1
p
) ( x 2
p
) x 1 x 2 p
2
2
.
注 3：抛物线的通径指的是过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是抛物线的所有焦
y
2
2px （ p 0 ），过其焦点
F (
p
,0)
且垂直于 x 轴
点弦中最短的弦。设抛物线的方程为
2
p
, p)
p
p)
的直线交该抛物线于 A 、 B 两点（不妨令点
A(
B( ,
A 在 x 轴的上方），则 2 、
2
，
于是该抛物线的通径长为
AB
p ( p)
2 p
.
四、与抛物线相关的几个重要结论
p ,0)
x
p
y 2
2 px （ p 0 ），点
F (
2 是其准线，
设抛物线的方程为
2
是其焦点，直线 l
：
若过该抛物线焦点
F 的直线交该抛物线于
A( x 1
, y 1) 、
B( x 2
, y 2 )
两点（即线段
AB 是该抛物
线的焦点弦），并且点
A 、点
B 在其准线上的垂足分别为点
C
、点 D ，线段 CD
的中点为点
N ，则可以证明：
（1）
y 1
y
2
p 2 ， x 1 x 2
p 2
4 ；
2 p
（ 2）
AB x 1 x 2 p sin 2 （这里， 为直线 AB 的倾斜角）；