高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习

2018高三专题复习-解析几何专题（2）

第一部分：复习运用的知识

（一）椭圆几何性质

椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2.

椭圆的几何性质:以()0122

22>>=+b a b

y a x 为例

1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122

22≤≤b

y a x ，即

b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.

2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：

()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--

4. 长轴、短轴：

21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.

5. 离心率

（1）椭圆焦距与长轴的比a

c

e =

，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ∆,2

22

22

22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.

（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越

接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆。

6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），a

b 2

2.

7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：

c F F a PF PF 2,22121==+. （二）运用的知识点及公式

1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =

2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则

1212,b c x x x x a a

+=-=。

3、中点坐标公式：1212

,y 22

x x y y x ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。

4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，

则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

222222

1212121212()()()()(1)()AB x x y y x x kx kx k x x =-+-=-+-=+-221212(1)[()4]k x x x x =++-

或者

2222212121212122111()()()()(1)()AB x x y y x x y y y y k k k =-+-=-+-=+-2121221

(1)[()4]y y y y k =++-。

第二部分：椭圆常考题型解题方法典例

一、椭圆定义相关题目

例1、已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩⎪

⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,

05k k 得53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．

例2、已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．

解：方程可化为1cos 1sin 12

2=+α

αy x ．

因为焦点在y 轴上，所以0sin 1

cos 1>>-

α

α． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43

,2(ππα∈．

说明：(1)由椭圆的标准方程知

0sin 1>α，0cos 1

>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α

sin 1

2=b ．

(3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．

例3、 以椭圆13

122

2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，

要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须用点直线对称就可解决．

解：如图所示，焦点为()031，-F ，()032，F ．F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的

方程为032=-+y x ．

解方程组⎩⎨⎧=+-=-+090

32y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．

所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ， ∴53=a ，又3=c ，

∴()

3635322

222=-=-=c a b ．

因此，所求椭圆的方程为136

452

2=+

y x ． 二、椭圆与直线的位置关系及弦长相关题目 例4、 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为

5

10

2，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得

()142

2=++m x x ，

即012522=-++m mx x ．