2020年中考数学一轮复习之二次函数动点问题(面积、长度最值与定长)(解析版)

2020年中考数学一轮复习之二次函数动点问题

（面积、长度最值与定长）

1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点E（﹣1，4），对称轴交x轴于点F．

（1）请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式；

（2）连接AC、AE、CE，判断△ACE的形状，并说明理由；

（3）如图2，点D是抛物线上一动点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴于点K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．在点D的运动过程中，

①DG、GH、HK这三条线段能否相等？若相等，请求出点D的坐标；若不相等，请说

明理由；

②在①的条件下，判断CG与AE的数量关系，并直接写出结论．

解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4＝a（x2+2x+1）+4，

故a+4＝3，解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AE的表达式为：y＝2x+6；

同理可得：直线AC的表达式为：y＝x+3；

（2）点A、C、E的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，3）、（﹣1，4），

则AC2＝18，CE2＝2，AE2＝20，

故AC2+CE2＝AE2，则△ACE为直角三角形；

（3）①设点D、G、H的坐标分别为：（x，﹣x2﹣2x+3）、（x，2x+6）、（x，x+3），DG＝﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣3；HK＝x+3；GH＝2x+6﹣x﹣3＝x+3；

当DG＝HK时，﹣x2﹣4x﹣3＝x+3，解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），故x＝﹣2，

当x＝﹣2时，DG＝HK＝GH＝1，

故DG、GH、HK这三条线段相等时，点D的坐标为：（﹣2，3）；

②CG＝＝；AE＝＝2，

故AE＝2CG．

2．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．

解：（1）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（0，3），

抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B（0，3），则a+4＝3，解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）过点M作MH⊥x轴于点H，

设点M（m，﹣m2+2m+3），

则S＝S梯形BOHM﹣S△OAB﹣S△AMH＝（﹣m2+2m+3+3）×m﹣[3×1+（m﹣1）（﹣m2+2m+3）]＝﹣m2+m，

∵0，故S有最大值，

当m＝时，S的最大值为：；

（3）当S取得最大值时，此时，m＝，

则y＝﹣m2+2m+3＝，

故点M′的坐标为：（，）．

3．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点M（﹣4，6）和点N（2，﹣6）．（1）试确定该抛物线的函数表达式；

（2）若该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C

①试判断△ABC的形状，并说明理由；

②在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使PM+PC的值最小？若存在，求出它的最小

值；若不存在，请说明理由．

解：（1）将点M、N的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；

（2）①y＝x2﹣x﹣4，令y＝0，则x＝﹣2或8，x＝0，则y＝﹣4，

故点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0）、（0，﹣4），

则函数的对称轴为：x＝3，

则AB＝10，BC＝，AC＝，

则AB2＝BC2+AC2，故△ABC为直角三角形；

②作点M关于函数对称轴的对称点D（10，6），

连接CD交函数对称轴于点P，则点P为所求，

将点CD的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：

直线CD的表达式为：y＝x﹣4，

当x＝3时，y＝﹣1，故点P（3，﹣1），

此时PM+PC的值最小为CD＝10．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作PQ∥y轴，交直线AC于点Q，设点P的横坐标是m．

①求线段PQ的长度n关于m的函数关系式；

②连接AP，CP，求当△ACP面积为时点P的坐标；

（3）若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN的长度；若不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），

①将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣3，则点Q（m，﹣3m﹣3），

n＝PQ＝m2﹣2m﹣3+3m+3＝m2+m；

②连接AP交y轴于点H，