二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

函数解题思路方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

动点问题题型方法归纳总结

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、 抛物线上动点

5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

共同点：

⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

二次函数的动态问题（动点）

1.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形

MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取

值范围；

（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．

[解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，

(08)F -，．

设抛物线2C 的解析式是

2(0)y ax bx c a =++≠，

①特殊四边形为背景；

②点动带线动得出动三角形；

③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式；

则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪

++=⎨⎪=-⎩

，，． 解得168a b c =-⎧⎪

=⎨⎪=-⎩

，，．

所以所求抛物线的解析式是2

68y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．

过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．

当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+． 根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形． 所以2ADN S S =△．

所以，四边形MDNA 的面积2

(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．

所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤． （3）781

444

S t ⎛

⎫=--+ ⎪⎝⎭，

（04t <≤）． 所以74t =

时，S 有最大值814

． 提示：也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．

由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形

MDNA 是矩形．

所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．

所以22420t t +-=

．解之得1222t t ==，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA

可以形成矩形，此时2t =

．

[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线2

34y x bx c =-

++与坐标轴交于A B C ，，三点，点A 的横坐标为1-，过点(03)C ，的直线3

34y x t

=-+与x 轴交于点Q ，

点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．