必修二《直线与方程》单元测试题(含详细答案)

第三章（一）《直线与方程》单元检测试题
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知点A (1，3)，B (－1，33)，则直线AB 的倾斜角是( )
A ．60°
B ．30°
C ．120°
D ．150°
[答案] C
2．直线l 过点P (－1,2)，倾斜角为45°，则直线l 的方程为( )
A ．x －y ＋1＝0
B ．x －y －1＝0
C ．x －y －3＝0
D ．x －y ＋3＝0
[答案] D
3．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为( )
A ．－3
B ．－6
C ．32
D ．23
[答案] B
4．直线x a2－y b2
＝1在y 轴上的截距为( ) A ．|b | B ．－b 2
C ．b 2
D ．±b
[答案] B
5．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a 的值是( )
A ．0
B ．－4
C ．－8
D ．4
[答案] C
6．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[答案] D
7．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
[答案] C
8．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是( )
A ．19x －9y ＝0
B ．9x ＋19y ＝0
C ．3x ＋19y ＝0
D ．19x －3y ＝0
[答案] C
9．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( )
A ．(0,0)
B ．(17，27
) C ．(27，17) D ．(17，114
) [答案] C
10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )
A ．x ＋2y －1＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．2x ＋y －3＝0
D ．x ＋2y －3＝0
[答案] D
11．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )
A ．－4
B ．－2
C ．0
D ．2
[答案] B
12．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B 的坐标可能是( )
A ．(2,0)或(4,6)
B ．(2,0)或(6,4)
C ．(4,6)
D ．(0,2)
[答案] A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－
1)，则直线l 的斜率为_________.
[答案] －23
[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y1＋y22
＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x
－y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x1＋x22
＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝－3－14－－2＝－23. 14．点A (3，－4)与点B (5,8)关于直线l 对称，则直线l 的方程为_________.
[答案] x ＋6y －16＝0
[解析] 直线l 就是线段AB 的垂直平分线，AB 的中点为(4,2)，k AB ＝6，所以k l ＝－16
，所以直线l 的方程为y －2＝－16
(x －4)，即x ＋6y －16＝0. 15．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为_________.
[答案] 3 2
[解析] 依题意，知l 1∥l 2，故点M 所在直线平行于l 1和l 2，可设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|m ＋7|2＝|m ＋5|2
⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2
＝3 2. 16．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°，其中正确答案的序号是_________.(写出所有正确答案的序号)
[答案] ①⑤
[解析] 两平行线间的距离为
d ＝|3－1|1＋1
＝2， 由图知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°，
所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.
[点评] 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻，这一问题还是不难解决的．所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂，只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2015·高一上学期期末试题)已知直线l 经过点P (－2,5)且
斜率为－34， (1)求直线l 的方程；
(2)若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．
[解析] (1)直线l 的方程为：y －5＝－34
(x ＋2)整理得 3x ＋4y －14＝0.
(2)设直线m 的方程为3x ＋4y ＋n ＝0，
d ＝|3×－2＋4×5＋n|32＋42
＝3， 解得n ＝1或－29.
∴直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.
18．(本小题满分12分)求经过两直线3x －2y ＋1＝0和x ＋3y ＋4＝0的交点，且垂直于直线x ＋3y ＋4＝0的直线方程．
[解析] 解法一：设所求直线方程为3x －2y ＋1＋λ(x ＋3y ＋4)＝0，即(3＋λ)x ＋(3λ－2)y ＋(1＋4λ)＝0.
由所求直线垂直于直线x ＋3y ＋4＝0，得
－13·(－3＋λ3λ－2
)＝－1. 解得λ＝310
. 故所求直线方程是3x －y ＋2＝0.
解法二：设所求直线方程为3x －y ＋m ＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＋1＝0，x ＋3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，
即两已知直线的交点为(－1，－1)．
又3x －y ＋m ＝0过点(－1，－1)，
故－3＋1＋m ＝0，m ＝2.
故所求直线方程为3x －y ＋2＝0.
19．(本小题满分12分)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离等于2.
[分析] 解决此题可有两种思路，一是代数法，由“|PA |＝|PB |”和“到直线的距离为2”列方程求解；二是几何法，利用点P 在AB 的垂直平分线上及距离为2求解．
[解析] 解法1：设点P (x ，y )．因为|PA |＝|PB |，
所以x －42＋y ＋32＝x －22＋y ＋1 2.①
又点P 到直线l 的距离等于2， 所以|4x ＋3y －2|5
＝2.② 由①②联立方程组，解得P (1，－4)或P (277，－87
)． 解法2：设点P (x ，y )．因为|PA |＝|PB |，
所以点P 在线段AB 的垂直平分线上．
由题意知k AB ＝－1，线段AB 的中点为(3，－2)，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y ＝x －5.
所以设点P (x ，x －5)．
因为点P 到直线l 的距离等于2，所以|4x ＋3x －5－2|5
＝2. 解得x ＝1或x ＝277
. 所以P (1，－4)或P (277，－87
)． [点评] 解决解析几何问题的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置，所以只要将题目中的几何条件用坐标表示出来，即可转化为方程的问题．其中解法2是利用了点P 的几何特征产生的结果，所以解题时注意多发现，多思考．
20．(本小题满分12分)△ABC 中，A (0,1)，AB 边上的高CD 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x ＋y －3＝0.
(1)求直线AB 的方程；
(2)求直线BC 的方程；
(3)求△BDE 的面积．
[解析] (1)由已知得直线AB 的斜率为2，
∴AB 边所在的直线方程为y －1＝2(x －0)，
即2x －y ＋1＝0.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝2.
即直线AB 与直线BE 的交点为B (12
，2)． 设C (m ，n )，
则由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n －4＝0，2·m 2＋n ＋12－3＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝1，∴C (2,1)．
∴BC 边所在直线的方程为y －12－1＝x －212
－2，即2x ＋3y －7＝0. (3)∵E 是线段AC 的中点，∴E (1,1)．
∴|BE |＝12－12＋2－12＝
52， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝25，y ＝95，
∴D (25，95
)， ∴D 到BE 的距离为d ＝|2×25＋95－3|22＋12＝255
， ∴S △BDE ＝12·d ·|BE |＝110
. 21．(本小题满分12分)直线过点P (43
，2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件： (1)△AOB 的周长为12；
(2)△AOB 的面积为6.
若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
[解析] 设直线方程为x a ＋y b
＝1(a >0，b >0)， 若满足条件(1)，则a ＋b ＋a2＋b2＝12，①
又∵直线过点P (43，2)，∵43a ＋2b ＝1.② 由①②可得5a 2
－32a ＋48＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝125，b ＝92，
∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y 9
＝1，
即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.
若满足条件(2)，则ab ＝12，③ 由题意得，43a ＋2b
＝1，④ 由③④整理得a 2－6a ＋8＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝6，
∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y 6
＝1， 即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.
综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0.
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．
(1)若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程；
(2)当－2＋3≤k ≤0时，求折痕长的最大值．
[解析] (1)①当k ＝0时，A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝12
. ②当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a,1)，
∴A 与G 关于折痕所在的直线对称，
有k OG ·k ＝－1⇒1a
·k ＝－1⇒a ＝－k . 故G 点坐标为(－k,1)，
从而折痕所在直线与OG 的交点坐标(即线段OG 的中点)为M (－k 2，12
)． 故折痕所在的直线方程为y －12＝k (x ＋k 2)，即y ＝kx ＋k22＋12
. 由①②得折痕所在的直线方程为y ＝kx ＋k22＋12
. (2)当k ＝0时，折痕的长为2.
当－2＋3≤k ＜0时，折痕所在直线交直线BC 于点E (2,2k ＋k22＋12
)，
交y 轴于点N (0，k2＋12
)． 则|NE |2＝22＋[k2＋12－(2k ＋k22＋12
)]2＝4＋4k 2≤4＋4(7－43)＝32－16 3. 此时，折痕长度的最大值为32－163＝2(6－2)．
而2(6－2)＞2，
故折痕长度的最大值为2(6－2)．。