2019-2020学年宁夏回族自治区六盘山高级中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年宁夏回族自治区六盘山高级中学高一上学期
期中数学试题
一、单选题
1．已知集合{
}
2
|320A x x x =-+=，则下列选项正确的是（ ） A ．3A ∈ B ．2A ∉
C ．{}1A ⊆
D ．{
}1A Î 【答案】C
【解析】求得集合{
}
2
|{1,023}2A x x x =-+==，再根据集合间的关系，以及元素与集合的关系，即可求解. 【详解】
由题意，集合{
}
2
|{1,023}2A x x x =-+==，可得选项A 、B 、D 都不正确， 根据集合间的包含关系，可得{}1A ⊆是正确的. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的包含关系，其中解答中正确求解集合A 是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题. 2．已知函数1
()ln 2
f x x x =+-的定义域为（ ） A ．{|2}x x ≠ B ．(,2]-∞ C ．()()0,22,+∞U D ．()2,+∞
【答案】C
【解析】由函数1
()ln 2f x x x =+-有意义，得到200
x x -≠⎧⎨>⎩，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，函数1
()ln 2f x x x =+-有意义，满足200x x -≠⎧⎨>⎩
，解得02x <<或2x >，
即函数()f x 的定义域为()()0,22,+∞U . 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3．下列函数在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．2||y x = B ．1
y x
=
C ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．2y x x =-
【答案】A
【解析】根据初等函数的单调性，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】
对于A 中，当0x >时，函数2||2y x x ==，此时函数2y x =在区间()0,∞+上单调递增；
对于B 中，当0x >时，函数1
y x
=
在区间()0,∞+上单调递减； 对于C 中，当0x >时，函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
在区间()0,∞+上单调递减； 对于C 中，函数2
y x x =-，由二次函数的性质，可得在区间1(0,)2
上单调递减，在区
间1(,)2
+∞上单调递增； 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记初等函数的单调性，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．已知函数()1
f x x x
=-在区间[]1,3上的最大值为（ ） A ．0 B ．3 C ．83
D ．4
【答案】C
【解析】根据基本初等函数的性质，得到函数()f x 在区间[]1,3单调递增，即可求解最大值，得到答案. 【详解】
由题意，根据初等函数的性质，可得函数()1
f x x x
=-在区间[]1,3单调递增， 所以函数的最大值为()183333
f =-
=.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中熟记基本初等函数的的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．已知函数2,2
()4,2
x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦
（ ） A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C
【解析】由函数()f x 的解析式，求得(2)2f -=，即可求得()2f f -⎡⎤⎣⎦的值，得到答案. 【详解】
由题意，函数2,2()4,2
x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，则(2)242f -=-+=，
所以()2(2)246f f f -==+=⎡⎤⎣⎦. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，代入准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
6．已知函数()2log ||f x x =，则下列选项哪一个图像为函数()f x 的图像（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】先求得函数()2log ||f x x =的定义域为(,0)
(0,)-∞+∞，再利用函数的奇
偶性的定义，求得函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，函数()2log ||f x x =的定义域为(,0)
(0,)-∞+∞，关于原点对称，
又由()()22log ||log ||f x x x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，
由四个选项，可得只有D 项符合题意. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了对数函数的定义域的应用，以及函数的奇偶性的判定，其中解答中熟记对数函数的性质，以及函数奇偶性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.
7．已知函数(
)
2
()1m
f x m m x =--为幂函数且为偶函数，则m =（ ） A ．3 B ．2
C ．1-
D ．2-
【答案】B
【解析】由函数(
)
2
()1m
f x m m x =--为幂函数，求得1m =-或2m =，分别验证函数的奇偶性，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，函数(
)
2
()1m
f x m m x =--为幂函数，可得211m m --=，即220m m --=， 解得1m =-或2m =， 当1m =-时，函数1
1
()f x x x
-==
，此时1()()f x f x x -=-=-，函数()f x 为奇函数，
不符合题意，舍去；
当2m =时，函数2
()f x x =，此时22()()()f x x x f x -=-==，函数()f x 为偶函数，
综上，可得2m =. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了幂函数的定义，以及函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中熟记幂函数的概念，以及函数的奇偶性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．已知函数2()log 26f x x x =+-，则函数()y f x =零点所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2
C ．()2,3
D ．()3,4
【答案】C
【解析】由函数2()log 26f x x x =+-，求得()()230f f ⋅<，根据函数的零点的存
在定理，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，函数2()log 26f x x x =+-，
可得2(2)log 222610f =+⨯-=-<，22(3)log 3236log 30f =+⨯-=>， 即()()230f f ⋅<，根据函数的零点的存在定理， 可得函数()y f x =零点所在的区间为()2,3. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了对数函数的运算，以及函数零点的存在定理的应用，其中解答中熟记函数零点的存在定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．已知21
log 3
a =，ln 2
b =，0.12
c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b a c << D ．c b a <<
【答案】B
【解析】根据对数函数的性质和根据指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围，即可求解. 【详解】
由题意，根据对数函数的性质，可得2
21
log log 103
a =<=，ln 2(0,1)
b =∈， 根据指数函数的性质，可得0.10221
c =>=， 所以a b c <<. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质，以及指数函数的性质的应用，其中熟记指数函数与对数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
10．已知函数()()
f x
g x x
=
为定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，()20f =，且()g x 在()0,∞+上单调递增，则()0f x >的解集为（ ）
A ．()(),22,-∞-+∞
B ．()()0,22,-⋃+∞
C ．()()2,00,2-
D ．()
(),20,2-∞-
【答案】A
【解析】由函数()g x 为奇函数及()20f =，求得(2)0g -=，且得到()g x 在()0,∞+上单调递增，可得在(,0)-∞上也是增函数，进而求解()0f x >的解集，得到答案. 【详解】
由题意，函数()()
f x
g x x
=
为定义域上的奇函数，所以图象关于原点对称， 因为()20f =，所以()()
22=02
f g =
，则(2)0g -=， 又由()g x 在()0,∞+上单调递增，可得在(,0)-∞上也是增函数， 当0x >时，令()0g x >，即
()
0f x x
>，即()0f x >，解得2x >， 当0x <时，令()0g x <，即
()
0f x x
<，即()0f x >，解得2x <-， 综上可得，不等式()0f x >的解集为2x <-或2x >， 即不等式()0f x >的解集为()(),22,-∞-+∞.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性和奇偶性，结合函数()g x 的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
二、填空题
11．已知函数()x
f x a b =+，且()01f =-，()11f =，则()f x =____________.
【答案】()21x
f x =-
【解析】由题意，得到011
1a b a b ⎧+=-⎨+=⎩
，解得2,1a b ==-，即可得到函数的解析式.
【详解】
由题意，函数()x
f x a b =+，且()01f =-，()11f =，
所以0111
a b a b ⎧+=-⎨+=⎩，解得2,1a b ==-，即函数()21x
f x =-.
故答案为：()21x
f x =-.
【点睛】
本题主要考查了函数解析式的求解，解答中根据题意，代入准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
12．已知函数()log (1)2a f x x =-+（0a >且1a ≠）恒过定点____________. 【答案】(2,2)
【解析】由对数函数的性质，令2x =，求得(2)2f =，即可得到答案. 【详解】
由题意，函数()log (1)2a f x x =-+（0a >且1a ≠），
令2x =，则(2)log (21)22a f =-+=，所以函数()f x 恒过定点(2,2). 故答案为：(2,2). 【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 13．已知函数2
23
()2x x f x -+=的单调递增区间____________.
【答案】[1,)+∞
【解析】设223u x x =-+，求得函数u 在区间(,1)-∞单调递减，在区间[1,)+∞单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求得函数2
23
()2x x f x -+=的单调递增区
间. 【详解】
由题意，设2
2
23(1)2u x x x =-+=-+，
可得函数u 在区间(,1)-∞单调递减，在区间[1,)+∞单调递增， 又由函数()2u f x =为单调递增函数，
根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数2
23
()2x
x f x -+=在区间[1,)+∞单调递增，
即函数2
23
()2x
x f x -+=的单调递增区间为[1,)+∞.
故答案为：[1,)+∞. 【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，其中解答中熟记复合函数的单调性的判定方法，以及指数函数与二次函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
14．()()23log 9log 8⋅=____________. 【答案】6
【解析】根据对数的运算性质和对数的换底公式，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，可得()()2232222log 8
log 9log 82log 32log 823log 26log 3
⋅=⋅==⨯=. 故答案为：6. 【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质的化简求值，其中解答中熟记对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．已知31,0()1,0x x f x x x
-≥⎧⎪
=⎨-<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是____________.
【答案】1(,0)(,)2
-∞⋃+∞
【解析】由函数的解析式，分0a ≥和0a <两种情况讨论，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，函数31,0()1,0x x f x x x
-≥⎧⎪
=⎨-<⎪⎩，
当0a ≥时，此时()31f a a =-，由()f a a >，即31a a ->，解得1
2
a >； 当0a <时，此时()1f a a =-，由()f a a >，即1
a a
->，解得0a <，
综上可得实数a 的取值范围是1(,0)(,)2
-∞⋃+∞. 故答案为：1(,0)(,)2
-∞⋃+∞. 【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，结合分段函数的分段条件，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
三、解答题
16．已知集合{|24}A x x =-<<，{|15}B x x =-<≤，U =R . （1)求A
B ，A B ；
（2）求()R C A B ⋂.
【答案】（1）{|14}x x -<<，{|25}x x -<≤； （2）{|45}x x ≤≤. 【解析】（1）根据集合的交集和并集的运算，即可求解；
（2）先根据集合的补集的运算，求得{|2R C A x x =≤-或4}x ≥，再由集合的交集运算，即可求解. 【详解】
（1）由题意，集合{|24}A x x =-<<，{|15}B x x =-<≤， 所以{|14}A B x x ⋂=-<<，{|25}A
B x x =-<≤.
（2）由题意，可得{|2R C A x x =≤-或4}x ≥，所以(){|45}R C A B x x ⋂=≤≤. 【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 17．化简与求值. （1）1
02
4
(3)2
16-
--+-；
（2）2
lg 4lg 4lg 252lg 25++.
【答案】（1）
3
4
； （2）4. 【解析】（1）根据实数指数幂的运算性质，即可求解 （2）根据对数的运算性质，即可求解. 【详解】
（1）根据实数指数幂的运算性质，可得1
2
4
(3)2
16
1131424
-
-=++
-=--.
（2）根据对数的运算性质，可得2lg 4lg 4lg 252lg 25lg 4(lg 4lg 25)2lg 25++=++
lg 4lg1002lg 252(lg 4lg 25)4=+=+=.
【点睛】
本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．已知函数4
()f x x x
=+.求证： （1）()f x 为奇函数；
（2）()f x 在[2,)+∞上单调递增函数. 【答案】（1）见解析； （2）见解析.
【解析】（1）利用函数奇偶性的定义，即可证得函数()f x 是定义域上的奇函数； （2）利用函数单调性的定义，即可证得函数()f x 在[2,)+∞上单调递增函数. 【详解】
（1）由题意，函数4
()f x x x
=+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称， 又由44
()()()f x x x f x x x
-=--
=-+=-，即()()f x f x -=-， 所以函数()f x 是定义域上的奇函数. （2）任取12[2,,)x x ∈+∞，且12x x <， 则1221212121212112
4()4444
()()()()()x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=+
--=-+-=-+ 2112211212
()(4)4
()(1)x x x x x x x x x x -⋅-=-⋅-
=， 因为12[2,,)x x ∈+∞，且12x x <，，所以122140,0x x x x ->->， 所以21()()0f x f x ->，即12()()f x f x <， 所以函数()f x 在[2,)+∞上单调递增函数. 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与函数的奇偶性的判定与证明，其中解答中熟记函数的单调性的定义和奇偶性的定义，以及函数的单调性与奇偶性的判定方法是解答的关键，着
重考查了推理与论证能力，属于基础题.
19．已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2
32f x x x =-+.
（1）求当0x <时，()f x 的解析式； （2）在网格中绘制()f x 的图像；
（3）若方程()f x k =有四个根，求k 的取值范围.
【答案】（1）2
()32,(0)f x x x x =++<； （2）见解析； （3）(,)1
22
-
. 【解析】（1）设0x <，则0x ->，由函数()f x 为定义在R 上的偶函数，求得
2()32f x x x =++,即可得到答案；
（2）由(1)可得函数的解析式为2232,0()32,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩
，根据二次函数的图象与性
质，即可得到函数的图象.
（3）要使得方程()f x k =有四个根，即函数()y f x =与y k =的图象有4个不同的交点，结合图象，即可求解. 【详解】
（1）由题意，设0x <，则0x ->， 因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数，
所以2
2
()()()3()232f x f x x x x x =-=---+=++, 即当0x <时，2()32f x x x =++.
（2）由(1)可得函数的解析式为2232,0
()32,0
x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩，
函数的图象如图所示：
（3）由（2）可得，当0x =时，()02f =， 当32x =
或32x =-时，可得331()()222
f f =-=-， 要使得方程()f x k =有四个根，即函数()y f x =与y k =的图象有4个不同的交点， 如图所示，则满足1
22
k -<<， 即k 的取值范围(,)1
22
-
.
【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及二次函数的图象与性质和函数的图象应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100
元,已知总收益满足函数： 21400x x ,0x 400
()2
80000,x 400
R x ⎧
-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,其中x 是仪器的月产量．(注：总收益=总成本+利润) (1)将利润()f x 表示为月产量x 的函数；
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）；213
0x x 200,0x 40()2
60000100x,
x 400
f x ⎧
--≤≤⎪=⎨⎪->⎩；（2）月产量为300台时,
公司所获利润最大,最大利润是25000元
【解析】
(1)根据利润=收益-成本,由已知分两段当0400x ≤≤时,和当400x >时,求出利润函数的解析式；
(2)根据分段函数的表达式,分别求出函数的最大值即可得到结论． 【详解】
(1)由于月产量为x 台,则总成本为20000100x +,
从而利润()21300x x 20000,
0x 4002
60000100x,
x 400
f x ⎧
--≤≤⎪=⎨⎪->⎩；
(2)当0400x ≤≤时,()()2
211300200003002500022
f x x x x =-
-=--+， 所以当300x =时,有最大值25000；
当400x >时,()60000100f x x =-是减函数, 则()6000010040025000f x =-⨯<． 所以当300x =时,有最大值25000,
即当月产量为300台时,公司所获利润最大,最大利润是25000元． 【点睛】
本题主要考查了查函数的应用问题,根据条件建立函数关系,利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。

21．已知函数()x x f x a k a -=+⋅（0a >且1a ≠）. （1）若()f x 为偶函数，求k 的值；
（2）若()01f =，且()f x 在区间[]1,1-的最大值比最小值大3
2
，求a 的值. 【答案】（1）1k =； （2）2或
12
. 【解析】（1）由函数()f x 为偶函数，则满足()()f x f x -=，列出方程，即可求解；
（2）由()01f =，求得0k =，得到()x
f x a =，结合指数函数的性质，分类讨论，即
可求解实数a 的值. 【详解】
（1）由题意，函数()x x
f x a k a -=+⋅（0a >且1a ≠），
因为函数()f x 为偶函数，则满足()()f x f x -=， 即x x x x a k a a k a --+⋅=+⋅，即(1)(1)0x
x k a k a --+-=，
则10k -=且10k -=，解得1k =.
（2）由()01f =，可得00(0)11k f a k a =+⋅=+=， 解得0k =，即函数()x f x a =，
当1a >时，函数()x f x a =在[]1,1-上为单调递增函数， 此时函数()f x 的最大值为(1)f a =，最小值为1(1)f a --=， 又因为()f x 在区间[]1,1-的最大值比最小值大
32，即13
2
a a -=，解得2a =； 当01a <<时，函数()x
f x a =在[]1,1-上为单调递减函数，
此时函数()f x 的最大值为1
(1)f a --=，最小值为(1)f a =，
又因为()f x 在区间[]1,1-的最大值比最小值大32，即132a a -=，解得12
a =； 综上，实数a 的值为2或1
2
. 【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，熟练应用指数函数的单调性，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
22．已知函数22()log ()log ()(0)f x m x m x m =++->. （1）若()f x 的零点为2，求m ；
（2）若()f x 在[0,3)上单调递减，求m 的最小值；
（3）若对于任意的[]0,1x ∈都有()2f x ≤，求m 的取值范围.
【答案】（1 （2）3； （3）(1,2].
【解析】（1）由()f x 的零点为2，即()20f =，得到22log (2)log (2)0m m ++-=，即可求解实数m 的值；
（2）求得函数()f x 的定义域即函数的定义域为(,)m m -且0m >，设
()22g x x m =-+，
根据复数函数的单调性，得到()30g ≥，即可求解；
（3）由（2）中函数的定义域，利用复合数函数的单调性，要使得对于任意的[]
0,1x ∈都有()2f x ≤，得到1
(0)2m f >⎧⎨≤⎩
，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数22()log ()log ()(0)f x m x m x m =++->，
因为()f x 的零点为2，即()20f =，所以22log (2)log (2)0m m ++-=， 即2log (2)(2)0m m +-=，则(2)(2)1m m +-=，即25m =
，解得m =（2）由22()log ()log ()(0)f x m x m x m =++->，
可得函数()f x 满足000m x m x m +>⎧⎪
->⎨⎪>⎩
，解得m x m -<<且0m >，
即函数的定义域为(,)m m -，
又由函数22
222()log ()log ()log ()f x m x m x x m =++-=-+，
设()2
2
g x x m =-+，
要使得函数()f x 在[0,3)上单调递减，
根据复合函数的单调性，可得函数()g x 在[0,3)上单调递减，且()0g x >在[0,3)恒成立，
所以()2
390g m =-+≥，解得3m ≤-或3m ≥，
又因为0m >，所以3m ≥，即实数m 的最小值为3.
（3）由（2）得22
2()log ()f x x m =-+，函数的定义域为(,)m m -且0m >
根据复合函数的单调性，可得函数()f x 在区间[]0,1上单调递减， 要使得对于任意的[]0,1x ∈都有()2f x ≤，
可得2
21(0)log 2m f m >⎧⎨
=≤⎩，即21
2log 2m m >⎧⎨≤⎩
，解得12m <≤， 即实数m 的取值范围是(1,2]. 【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。