不等式的解法举例
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x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
例2.解不等式: ax≥x+3
x | 1 x 2
(2) x2-2x-8≤0 x | 2 x 1或1 x 4 x2-1>0
（3）x2 3x 4 0
思 考
(ax 1)(x 2) 0的解集是什么
五、含绝对值的不等式的解法：
例5.解不等式 | x2 5x 5 | 1
x |1 x 2或3 x 4
例6、解不等式 x2 4 x 2
代数不等式
有理不等式 无理不等式
整式不等式 分式不等式
一次 二次
高次
初等超越不等式
指数不等式 对数不等式
二、不等式的分类
代数不等式
有理不等式 无理不等式
整式不等式 分式不等式
一次 二次
高次
初等超越不等式
指数不等式 对数不等式
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
1、把未知数x的系数转化成正数，把因式 分解成(x－a)(x－b)(x－c)……形式
2、在数轴上把每个因式的根标出来 3、按照从左至右从上至下的顺序
开始画曲线 4、若因式的指数是奇数次方，则曲线可
以穿过数轴；若因式的指数是偶数次方 则曲线不穿过数轴 5、不等式为大于零则取数轴上方所取得x范围； 不等式为小于零则取数轴下方所取的x范围
当a 1时x
当a
1时 x|x
a
3 1
当a
1时
x
|
x
a
3 1
例3.解不等式组
10+2x≤11+3x
5x-3 ≤4x-1
7+2x>6+3x
x
|
1 3
x
1
一元二次不等式的解集与一元二次方程以及二次 函数的图象的关系：
Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
一元二次方程
的根(a>0) ax2+bx+c=0
条件： f ( x) 0 g ( x) 0
例8、解不等式： 2 x 1 x 2
解：原不等式等价于
2x 1 0 x20
x1 2
x2
x5
2x 1 (x 2)2 x 5 或 x 1
原不等式的解集为 x | x 5
g(x) 0
总结：f ( x) g ( x) f (x) 0
f (x) g(x)2
(3) 6 5x x2 | x 3 |
练习：
解下列不等式：
(1) 2x 1 3
(2) x 5 5
(3) x2 x 2 2 (4) 3x 4 x 3
(5) 2x 5 x 1
作业：
解下列不等式：(1) x 1 3 x
(2) 3 x x 2
(3) 6 5x x2 | x 3 |
一
有两异根 x1<x2
元 二
ax2+bx+c>0 (a>0)
x<x1或x>x2
次
不 等
ax2+bx+c<0
x1<x<x2
式 (a>0)
二次函数的图
象(a>0)
y= ax2+bx+c
有两重根
x1=x2=
b 2a
x b 2a
Ø
无实根
R Ø
四、一元二次不等式的解法：
例4.解下列不等式（组）：
(1)2+x-x2≥0
3 4
x1 2
3 x 1 4
x 1
原不等式的解集是
x
|
3 4
x
1
练习：
解下列不等式：
(1) 2x 1 3
(2) x 5 5
(3) x2 x 2 2 (4) 3x 4 x 3
(5) 2x 5 x 1
作业：
解下列不等式：(1) x 1 3 x
(2) 3 x x 2
知识影响格局，格局决定命运！
知识影响格局，格局决定命运！ 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
例8、解不等式： 2 x 1 x 2
解：原不等式等价于
2x 1 0 x20
x1 2
x2
x5
2x 1 (x 2)2 x 5 或 x 1
原不等式的解集为 x | x 5
g(x) 0
总结：f ( x) g ( x) f (x) 0
f (x) g(x)2
例9.解不等式 x 2 x
6.4不等式的解法举例（1）
一、定 义：
同解不等式： 如果两个不等式的解集相等，那么这两 个不等式就叫做同解不等式。
如：2x+6<0与x<-3 不等式的同解变形：
一个不等式变形为另一个不等式时，如果这 两个不等式是同解不等式，那么这种变形就 叫做不等式的同解变形。
如：2x+6<0 与x<-3
二、不等式的分类
x | x 2或1 x 3
六、分式与高次不等式的解法：
例7、解不等式 x 1 0 2x 1
x 1 1 2x 1
x
|
1 2
x
2
x
|
x
1 2
或x
2
提问：下列不等式怎样解？
(1) (x2-3x+2)(x2-2x-3)≤0
(2) x2 3x 2 0 x2 2x 3
解高次不等式的方法——穿针引线
七、无理不等式的解法：
复习下列不等式成立的条件：
1. a b a b 条件：a b 0 2. a b a b 条件：a b 0
3. f (x) g(x) f (x) g 2(x)
条件： f ( x) 0 g ( x) 0
4. f (x) g 2 (x) f (x) g(x)
g(x) 0
f (x) 0 或
f (x) g(x)2
g(x) 0 f (x) 0
例10.解不等式 4x2 3x 1 2x
解：原不等式 4x2 3x 2x 1
4x2 3x 0
x(4x 3) 0
2x
1
0
2x 1
4
x
2
3x
(2x
1)2
3x 4x 1
x
0或
x
分析：能否直接平方？对 x 的符号进行讨论。
x20
解：原不等式
x
0
x 2 x2
或
x 2 0
x
0
x0
Hale Waihona Puke x2x2或 0
x
x
2 0
0
x 1
0 x
2
或
x 2 x0
0 x 2或 2 x 0 2 x 2
原不等式的解集是 x | 2 x 2
总结：
f (x) g(x)
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
例2.解不等式: ax≥x+3
x | 1 x 2
(2) x2-2x-8≤0 x | 2 x 1或1 x 4 x2-1>0
（3）x2 3x 4 0
思 考
(ax 1)(x 2) 0的解集是什么
五、含绝对值的不等式的解法：
例5.解不等式 | x2 5x 5 | 1
x |1 x 2或3 x 4
例6、解不等式 x2 4 x 2
代数不等式
有理不等式 无理不等式
整式不等式 分式不等式
一次 二次
高次
初等超越不等式
指数不等式 对数不等式
二、不等式的分类
代数不等式
有理不等式 无理不等式
整式不等式 分式不等式
一次 二次
高次
初等超越不等式
指数不等式 对数不等式
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
1、把未知数x的系数转化成正数，把因式 分解成(x－a)(x－b)(x－c)……形式
2、在数轴上把每个因式的根标出来 3、按照从左至右从上至下的顺序
开始画曲线 4、若因式的指数是奇数次方，则曲线可
以穿过数轴；若因式的指数是偶数次方 则曲线不穿过数轴 5、不等式为大于零则取数轴上方所取得x范围； 不等式为小于零则取数轴下方所取的x范围
当a 1时x
当a
1时 x|x
a
3 1
当a
1时
x
|
x
a
3 1
例3.解不等式组
10+2x≤11+3x
5x-3 ≤4x-1
7+2x>6+3x
x
|
1 3
x
1
一元二次不等式的解集与一元二次方程以及二次 函数的图象的关系：
Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
一元二次方程
的根(a>0) ax2+bx+c=0
条件： f ( x) 0 g ( x) 0
例8、解不等式： 2 x 1 x 2
解：原不等式等价于
2x 1 0 x20
x1 2
x2
x5
2x 1 (x 2)2 x 5 或 x 1
原不等式的解集为 x | x 5
g(x) 0
总结：f ( x) g ( x) f (x) 0
f (x) g(x)2
(3) 6 5x x2 | x 3 |
练习：
解下列不等式：
(1) 2x 1 3
(2) x 5 5
(3) x2 x 2 2 (4) 3x 4 x 3
(5) 2x 5 x 1
作业：
解下列不等式：(1) x 1 3 x
(2) 3 x x 2
(3) 6 5x x2 | x 3 |
一
有两异根 x1<x2
元 二
ax2+bx+c>0 (a>0)
x<x1或x>x2
次
不 等
ax2+bx+c<0
x1<x<x2
式 (a>0)
二次函数的图
象(a>0)
y= ax2+bx+c
有两重根
x1=x2=
b 2a
x b 2a
Ø
无实根
R Ø
四、一元二次不等式的解法：
例4.解下列不等式（组）：
(1)2+x-x2≥0
3 4
x1 2
3 x 1 4
x 1
原不等式的解集是
x
|
3 4
x
1
练习：
解下列不等式：
(1) 2x 1 3
(2) x 5 5
(3) x2 x 2 2 (4) 3x 4 x 3
(5) 2x 5 x 1
作业：
解下列不等式：(1) x 1 3 x
(2) 3 x x 2
知识影响格局，格局决定命运！
知识影响格局，格局决定命运！ 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
例8、解不等式： 2 x 1 x 2
解：原不等式等价于
2x 1 0 x20
x1 2
x2
x5
2x 1 (x 2)2 x 5 或 x 1
原不等式的解集为 x | x 5
g(x) 0
总结：f ( x) g ( x) f (x) 0
f (x) g(x)2
例9.解不等式 x 2 x
6.4不等式的解法举例（1）
一、定 义：
同解不等式： 如果两个不等式的解集相等，那么这两 个不等式就叫做同解不等式。
如：2x+6<0与x<-3 不等式的同解变形：
一个不等式变形为另一个不等式时，如果这 两个不等式是同解不等式，那么这种变形就 叫做不等式的同解变形。
如：2x+6<0 与x<-3
二、不等式的分类
x | x 2或1 x 3
六、分式与高次不等式的解法：
例7、解不等式 x 1 0 2x 1
x 1 1 2x 1
x
|
1 2
x
2
x
|
x
1 2
或x
2
提问：下列不等式怎样解？
(1) (x2-3x+2)(x2-2x-3)≤0
(2) x2 3x 2 0 x2 2x 3
解高次不等式的方法——穿针引线
七、无理不等式的解法：
复习下列不等式成立的条件：
1. a b a b 条件：a b 0 2. a b a b 条件：a b 0
3. f (x) g(x) f (x) g 2(x)
条件： f ( x) 0 g ( x) 0
4. f (x) g 2 (x) f (x) g(x)
g(x) 0
f (x) 0 或
f (x) g(x)2
g(x) 0 f (x) 0
例10.解不等式 4x2 3x 1 2x
解：原不等式 4x2 3x 2x 1
4x2 3x 0
x(4x 3) 0
2x
1
0
2x 1
4
x
2
3x
(2x
1)2
3x 4x 1
x
0或
x
分析：能否直接平方？对 x 的符号进行讨论。
x20
解：原不等式
x
0
x 2 x2
或
x 2 0
x
0
x0
Hale Waihona Puke x2x2或 0
x
x
2 0
0
x 1
0 x
2
或
x 2 x0
0 x 2或 2 x 0 2 x 2
原不等式的解集是 x | 2 x 2
总结：
f (x) g(x)