浅谈正项级数与交错级数敛散性的判别方法 毕业论文

浅谈正项级数与交错级数敛散性的
判别方法
摘要：级数的敛散性在数学分析占有比较重要的版块，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。

数项级数敛散性的判别是一个重要而有趣的数学课题。

本文在已有文献的基础上，先对数项级数各种重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳，然后在已有判别方法的基础上推广了几种新的判别方法，这些推广的新的判别法降低了原判别法的使用要求，使其更具一般性，适应性更广。

关键词：正项级数；交错级数；敛散性
On the Positive Series and Alternating Series Criterion for Convergence and
Divergence
Abstract: Convergence and Divergence of Series in mathematical analysis
plays the more important pages, determine the convergence of series as a series of issues are often the most important issue. Convergence and Divergence of a number of the discriminant is an important and interesting mathematical topics. In this paper, based on the literature, the first of several series of various important Criterion for Convergence and Divergence of a simple system of induction, then discrimination method has been popularized on the basis of several new discrimination method, which promotion of the new Criterion Criterion reduce the use of the original request, to make it more general, wider adaptability.
Keywords:Positive series; Alternating series; Convergence and divergence
1 引言
数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。

英国数学家Gregory J(1638--1675)给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。

因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。

数项级数敛散性的判别是一个重要而有趣的数学课题，关于级数敛散性的判别尽管已有不少经典性的判别方法，然而对级数敛散性判别的研究至今还在继续与深入，并且获得了一些新的进展与发现。

本文将在已有文献的基础上，对数项级数各种重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳，并在已有判别方法的基础上推广几种新的判别方法。

2正项级数敛散性判别
若数项级数
2,1,0121=≥=++++∑∞
=n u u u u u n n n
n
这样的级数称为正项级数，正项级数的敛散性在级数收敛中占有极其重要的地位，常见的收敛方法有比较判别法、达朗贝尔判别法、柯西判别法、积分判别法等，这些判别方法对于判断正项级数的敛散性都很有效，但它们的使用也受一定的条件限制，我们将在一般判别法基础上改进或推广几种新的判别方法。

2.1正项级数敛散性的一般判别方法
定理1 正项级数n u ∑收敛的充要条件是：部分和数列{}n S 有界，即存在某正数M ，对一切正整数n 有n S M <。

从应用的角度，要想直接运用正项级数收敛的充要条件去判别某一级数的收敛性又往往是十分困难的，因为所要求的条件都是抽象而非具体的，这就还需要研究针对具体级数的具体判别法。

正项级数的收敛或发散常常可以通过跟另一已知收敛或发散的级数的对比来确定，把这一思想精确表达出来就是比较原则
定理2（比较原则） 设n u ∑和n v ∑是两个正项级数，如果存在某正整数N ,对一切n N >都有
n n u v ≤
则（i ）若级数n v ∑收敛，则级数n u ∑也收敛； （ii ）若级数n u ∑发散，则级数n v ∑也发散。

例1 考察2
1
1
n n ∑-+的收敛性。

解：由于当2n ≥时，有
()()2
221111
111n n n n n n n ≤=≤
-+--- 因为正项级数()
2
2
1
1n n ∞
=-∑
收敛，故由定理1，级数21
1
n n ∑
-+也收敛。

在实际应用中，比较原则的下述极限形式通常更为方便。

推论 设
++++n u u u 21 (1)
++++n v v v 21 (2) 是两个正项级数，若
lim n
n n
u l v →∞= 则
（i ）当+∞<<l 0时，级数（1）（2）同时收敛或同时发散； （ii ）当0l =且级数（2）收敛时，级数（1）也收敛； （iii ）当l
=+∞且级数（2）发散时，级数（1）也发散。

例2 判别级数
11
1
sin sin1sin sin 2n n
=++
++
∑
的敛散性。

解 因为
1
sin lim
11n n n
→∞
=
根据推论以及调和级数1n ∑发散，所以级数1
sin n
∑也发散。

根据比较原则，可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判断其他级
数的敛散性。

定理3（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设n u ∑为正项级数，且存在某正整数0N 及常数()01q q << （i ）若对一切0n N >，成立不等式
1
n n
u q u +≤ 则级数n u ∑收敛。

(ii) 若对一切0n N >，成立不等式
1
1n n
u u +≥ 则级数n u ∑发散。

推论（比式判别法的极限形式） 若n u ∑为正项级数，且
1
lim n n n
u q u +→∞=
则 (i)当1q <时，级数n u ∑收敛；
(ii)当1q >或q =+∞时，级数n u ∑发散。

例3 判别级数
[][]
25823(1)225258
115159
15914(1)n n ⨯⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯++++
+⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⨯+-
的敛散性。

解 由于
1233
lim
lim 1144n n n n
u n u n +→∞→∞+==<+
根据推论级数是收敛的。

比式判别法是以等比级数作为比较对象而得到的，但若1q =，这时用比式判别法不能对级数的敛散性作出判断因为它可能是收敛的，也可能是发散的。

对于此种情况下的级数在后面将会有比式判别法的推广。

定理4（柯西判别法，或称根式判别法） 设n u ∑为正项级数，且存在某正
数0N 及正常数l ，
(i)若对一切0n N >，成立不等式
1l ≤<
则称级数n u ∑收敛；
(ii)若对一切0n N >，成立不等式
1≥
则称级数n u ∑是发散。

推论（根式判别法的极限形式）设n u ∑为正项级数，且
n l =
则 (i)当1l <时，级数n u ∑收敛；
(ii)当1l >时，级数n u ∑发散。

例4 研究级数2(1)2n
n
+-∑敛散性。

解 由于
1
2
n n →∞== 所以级数是收敛的。

比式判别法与根式判别法都是从形式上考察所论正项级数通项或相邻项的量值与变化趋势，其本质仍是把所给级数与某些典型而基本的收敛（发散）级数加以比较。

定理5（积分判别法） 设f 为[1,)+∞上非负减函数，那么正项级数()f n ∑与反常积分1
()f x dx +∞⎰
同时收敛或发散。

例5 讨论p 级数1
p n ∑
的敛散性。

解 由于函数1
()p f x x
=，当0p >时在[1,)+∞上是非负减函数，而反常积分
1p
dx x +∞⎰在1p >时收敛，在1p ≤时发散，则由定理4得1
p n ∑当1p >时收敛，当
01p <≤时发散。

积分判别法是利用非负函数得单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。

2.2 正项级数敛散性判别的几种新的方法
例6 判别正项级数01
(1)(2)
n n n ∞
=++∑
的敛散性。

解 应用定理3的达朗贝尔判别法：
11
1(2)(3)
lim
lim lim 11
2(1)(2)
n n n n n
U n n n U n n n +→∞→∞→∞+++===+++ 不能判别级数的敛散性。

下面引入一种新的判别法：
定理6（隔项比值法） 该正项级数： 121n n n U U U U ∞
==++
++
∑ (1)
满足：（1）{}n U 单调递减
（2）2lim n
n n
U L U →∞= 其中：0L <<+∞，则
当12L <
时，级数（1）收敛，当12L >时，级数（1）发散，1
2
L =时，级(1)的敛散性不能判别。

则用定理6来判别例6中级数的敛散性就简单了许多，在例6中
1
(1)(2)
n U n n =
++单调递减，并且：
21
(1)(2)(21)(22)
lim lim lim
1(21)(22)(1)(2)
n n n n n
U n n n n L U n n n n →∞→∞→∞++++===++++
12(1)(1)
11lim
12
42
(2)(2)n n n n n
→∞++==<++ 应用定理6就得出了0
1
(1)(2)n n n ∞
=++∑
收敛。

纵观正项级数敛散性判别的一般方法，常用的有达朗贝尔判别法，柯西判别
法等，但有时候用此二法也不能判别其敛散性，如判定级数1
(!)e n
n
n n n ∞
=∑的敛散性，用达朗贝尔判别法知1
lim
1n n n
a a +→∞=，此时达朗贝尔判别法失效，用上面的定理使得
计算繁琐，麻烦，除了可考虑用比较判别法外，我们还可以用一下得出的判别法，判定这类级数的敛散性。

定理7 令1
(
)n
n n n a H a +=，当n 充分大时，如果e n H p ≥>，则正项级数1
(0)n n
n a a
∞
=>∑收敛；当n 充分大时，e n H r ≤<；则正项级数1
(0)n n n a a ∞
=>∑发散。

证 （1）设当n 充分大时，e n H p ≥>，取00(e )p p p <<，则有
101
(
)e n
n n a p a α++>> (0)α> 而
(1)101
1
(1)e ()n n n n a p n a αα++++≤≤<
所以
11111
(1)()11
n n a n n a n n αα
α
+++++<=+
因为级数111n n
α
∞
+=∑
(0)α>收敛，所以由级数的比较判别法知正项级数1
n
n a ∞
=∑收敛。

（2）当n 充分大时，e n H r ≤<，由于1(1)n n ⎧
⎫+⎨⎬⎩
⎭单调趋于e ，所以1(1)n r n <+，
111n n a a n +<+，即11
(1)
11
n n a n n a n n
++>=+。

而级数11n n ∞
=∑发散，故由比较判别法知正项级数1
n n a ∞
=∑发散。

定理8 对正项级数1
n n a ∞
=∑，记1(
)n n n n a H a +=。

若1
lim lim()n n n n n n a
H a a →∞→∞+==，则当
e a >时，正项级数1
n n a ∞
=∑收敛；当e a <时，正项级数1
n n a ∞
=∑发散。

证 若a 为有限常数，则对0ε∀>，当n 足够大时，
n a H a εε-<<+
所以
(1)当e a >时，取e a ε<-，则得
e n H a ε>->
由定理7知，级数1
n n a ∞
=∑ (0)n a >收敛。

(2)当e a <时，取e a ε<-，则得
e n H a ε<+<
由定理7知，级数1n n a ∞
=∑ (0)n a >发散，a 为无穷大时，显然成立。

例7 判定级数1
(!)e n
n
n n n ∞
=∑的敛散性。

解
1e ()()e 11(1)n
n
n n n n n a n H a n n +⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥
+⎣
⎦ 所以
e 1(1)n
n n H n ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣
⎦ e 1ln ln 1ln(1)1(1)
n n H n n n n n ⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦+ 从而
2
11
ln(1)
1lim ln lim lim 12(1)2
n n n n n n n H n n →∞→∞→∞-+===+ （洛比达法则）
即12
lim e e n n H →∞
=<，故原级数发散。

例8 判别正项级数1
!
456(3)n n n ∞
=⨯⨯⨯⨯+∑
的敛散性。

解 133
113133()()(1)(1)111
n n
n n n n n n n a n H a n n n +⨯++++===+=++++
所以 3lim e e n n H →∞
=>。

从而原级数收敛。

定理9 设正数列{}n a 单调递减，若
2
lim n n n
a n a ρ→∞= 则当12ρ<时级数1n n a ∞=∑收敛；当1
2ρ>时1
n n a ∞
=∑发散。

证 记 22k k k u a =，22k k k v u =，k N ∈，
由Cauchy 凝聚法可知1
n n a ∞
=∑与1
k k u ∞
=∑同敛散，而1
k k u ∞
=∑与1
k k v ∞
=∑同敛散，故1
n n a ∞
=∑与
1
k k v ∞
=∑同敛散。

令22k
n =，k N ∈，就有
1
1
22122222
2222222
2
222k k k k k k k k k
n
n a a u a n
a a u a +++=== 11
1
22211222k k k k k k
u v u v +++=⨯=
再令n →∞即得证
例 9 判别11n n ∞
=∑和2
11
ln n n n
∞
=∑的敛散性。

解 对11
n n
∞
=∑ 有
2
211
lim lim 112
n n n n a n n n a n
ρ→∞→∞===>
故11
n n
∞
=∑发散 而对于2
11
ln n n n
∞
=∑
有 22222ln 11
lim lim ln 42
n n n n a n n n n a n n ρ→∞→∞===<
故2
1
1
ln n n n ∞
=∑
收敛。

3交错级数敛散性判别
若级数的各项符合正负相间，即： 1
112341
(1)(1)n n n n n u u u u u u ∞
--=-+-+
+-+
=-∑ (0,1,2,)n u n >=
则称级数11
(1)n n n u ∞
-=-∑为交错级数,交错级数时一般项级数中比较特殊的级数，关
于交错级数敛散性要比正项级数复杂，下面将分三个部分介绍交错级数敛散性的判别方法。

3.1 用绝对收敛性来判别
定义 若1
n n u ∞
=∑通项的绝对值构成的级数1
n n u ∞
=∑收敛，则称级数1
n n u ∞
=∑为绝对收
敛；若1
n n u ∞=∑收敛而1
n n u ∞=∑发散，则称1
n n u ∞
=∑为条件收敛
例10 判别交错级数1
1
2(1)(1)
2n n
n
n -∞
=+--∑的敛散性。

解 因为
2(1)322
n n n n u +-=≤
而13
2n n ∞
=∑收敛，由比较判别法可知，级数1n n u ∞=∑收敛，从而级数1
1
2(1)(1)
2n n
n
n -∞
=+--∑收敛且绝对收敛。

3.2莱布尼茨判别法
在交错级数的敛散性判别中，莱布尼茨判别法使用起来非常方便。

定理10（莱布尼茨判别法）若交错级数11(1)n n n u ∞
-=-∑ (0)n u >满足下述两个
条件：
（1）lim 0n n u →∞
=；
（2）数列{}n u 单调递减。

则该交错级数收敛。

例11
判断交错级数1n n ∞
=
解（1
）n u =
，
lim 0n n n u →∞== （2
）
1n n u u +=
2243
1144n n n n ++=<⨯<++ 由莱布尼茨判别法，所给交错级数收敛。

例12 讨论级数1
11
(1)n p
n n ∞
+=-∑的绝对收敛性和条件收敛性。

解 因为当0p >时，数列1p n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
递减且趋于0，所以由莱布尼茨判别法知交
错级数1
1
1(1)
n p n n ∞
+=-∑收敛，又因为正项级数11p n n
∞
=∑于1p >时收敛而于1p ≤时发散，故知级数1
1
1
(1)n p
n n ∞
+=-∑于1p >时绝对收敛而于01p <≤时条件收敛。

3.3判断交错级数敛散性的一些其它方法
定理11（阿贝尔判别法） 设级数n n a b ∑满足下列条件： (1)级数n b ∑收敛； (2)数列{}n a 单调有界。

则级数n n a b ∑收敛。

例13
判定级数1
11
(1)
)(3arctan )n n n n n +∞
=-+-∑的敛散性。

解
由莱布尼茨判别法知级数1
1
(1)
n n +∞
=-∑收敛，因为1(1)n n ⎧
⎫+⎨⎬⎩⎭递增有界，
故由阿贝尔判别法知级数1
1
1
(1)
)n n n n +∞
=-+∑收敛，又因{}3arctan n -递减有界，
再由阿贝尔判别法知所论级数收敛。

定理12（狄利克雷判别法）设级数n n a b ∑满足下列条件： (1)级数n b ∑的部分和数列{}n B 有界； (2)数列{}n a 单调趋于0， 则级数n n a b ∑收敛。

例14 讨论级数1
sin p
n nx
n ∞
=∑
(0,0)x p π<<>的绝对收敛性和条件收敛性。

解 首先 ， 当1p >时，因为
sin 1
p p
nx n n ≤
而级数1
p
n ∑
收敛，所以所论级数绝对收敛。

其次，当01p <≤时，数列1p n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
递减且趋于0.对任何(0,)x π∈，由三角公
式有
1
11sin sin sin
2
sin 2
n
n
k k x kx kx x ===
∑∑ 11111cos cos 222sin 2
n
k k x k x x =⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭∑ 1cos cos()1222sin sin
22
x n x
x x -+=
≤ 即对任何(0,)x π∈，级数sin kx ∑的部分和数列有界。

从而由狄利克雷判别法知所论级数收敛。

最后，由于sin 1kx ≤，故由三角公式有
2sin sin 1cos 21cos 2222p p p p p
nx nx nx nx
n n n n n
-≥==- 像上段一样地可以证明级数cos 2p
nx n ∑
收敛，因为级数1
p n ∑于01p <≤时发散，所以正项级数1cos 22p
nx
n -∑发散，从而由比较判别法知sin p nx n ∑也发散。

综上可知，所论级数于1p >时绝对收敛，于01p <≤时条件收敛。

定理13 若交错级数1
1(1)n n n u +∞
=-∑满足：
（1）lim 0n n u →∞
=
（2）212n n n u u c --=
则当级数1
n n c ∞
=∑发散时，原级数发散；当级数1
n n c ∞
=∑收敛，则原级数收敛。

例15 判定级数111111
11254769223
n n -+-+-+
+
-++的收敛性。

解 lim 0n n u →∞
=
212211332232(23)4n n u u n n n n n
--=
-=<++ 而2
134n n
∞
=∑
收敛，所以级数11111111
254769223
n n -+-+-++
-++收敛。

本文列举了一些判别正项级数与交错级数敛散性判别的方法，解决了某些判别法失效时的敛散性判别问题，同时也简化了一些题目的求解步骤，这是有利的方面；但是在判断条件是否适合利用这些推广的时候，会带来一些繁琐的计算和证明所以判别正项级数与交错级数收敛时，要认真分析题目，找出最简洁、最适合的判别方法。

参考文献
[1] 华东大学数学系.数学分析（下册）[M].北京:高等教育出版社.2001.6.
[2] 李成章,黄玉民.数学分析（上册）[M].北京:科学出版社.2004.7.
[3] 孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（下）[M].华中科技大学出版社. 2003.11.
[4] 刘玉琏,傅沛仁,林玎,范德馨,刘宁.数学分析讲义（下册）[M].北京:高等教育出版社.2003.6.
[5] 裘兆泰,王承国,章仰文.数学分析学习指导[M].北京:科学出版社.2004.1.
[6] 宿小迪.正项级数收敛性判别法研究[J].山东教育学院学报.1999（2）:72.
[7] 吉林大学数学系.数学分析[M].北京:人民教育出版社.1978.
[8] 洪勇.一个新的正项级数敛散性判别定理及应用[J].四川师范大学学报.2004（3）:243-247.
[9] 胡洪萍.数列与级数敛散性判别定理[J].西安联合大学学报.2004（5）:26-29.
[10] 同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社.1996.
[11] 杨钟玄.关于正项级数敛散性判别法及其联系[J].天水师专学报.1993.3:80-83.
[12] 邓东臬、尹小玲.数学分析简明教程[M].北京:高等教育出版社.1999.
[13] 石奇骠、常文翠.关于正项级数收敛性的几个新判别法[J].晋中师专学报,1992,(1):15-20.
致谢
在本次论文的撰写中，我得到了葛礼霞老师的精心指导，不管是从在查资料准备的过程中还是论文修改阶段，一直都耐心地给予我指导和意见，使我在总结学业及撰写论文方面都有了较大提高；同时也显示了老师高度的敬业精神和责任感。

在此，我对葛礼霞老师表示诚挚的感谢以及真心的祝福。

四年大学生活即将结束，回顾几年的历程，老师们给了我们很多指导和帮助。

他们严谨的治学，优良的作风和敬业的态度，为我们树立了为人师表的典范。

在此，我对所有的牡丹江师范学院的老师表示感谢，祝你们身体健康，工作顺利！。