运筹学 (2)
运筹学第2章
-43-
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0 是其对偶 Y 问题的可行解，并且:
CX 0 BY 0
即: z w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
T
分别是原问题和对偶问题的可行解。 且原问题的目标函数值为
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
Z CX 10
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
(DP)
-41China University of Mining and Technology
-44China University of Mining and Technology
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解， 则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题 无最优解，则另一问题也无最优解。 一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 1. 都有最优解，且目标函数最优值相等； 2. 两个都无可行解； 3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
-1-
运 筹 学
学习要点： 1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题 的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。
运筹学 (2)ppt课件
后来田忌的谋士孙膑献了一计：在每次开赛前要求对方先报马名， 由此区分对方参赛的是上马、中马还是下马；然后以自己的上马 对对方的中马、自己的中马对对方和下马、自己的下马对对方的 上马。这样，两胜一负每天赢得一千金。
6
1．赛马与桂陵之战
不久，即公元前354年，魏国以庞涓为将率军伐赵，兵围邯郸。 次年，邯郸在久困之下已岌岌可危，而魏军因久攻不下，损失也很 大。齐国应赵国的要求，以田忌为将，孙膑为军师，率军击魏救赵。 孙膑令一部轻兵乘虚直趋魏都大梁，而以主力埋伏于庞涓大军归途 必经的桂陵之地。魏国因主力远征，都城十分空虚。魏惠王见齐军 逼进，急令庞涓回师自救。刚刚攻下邯郸的庞涓闻大梁告急，急率 疲惫之师回救。
8
2．晋国公重建皇城
距今约1000年前，开封一场 大火，北宋皇城毁于一旦。宋真 宗命晋国公丁渭，主持重建全部 宫室殿宇。
当时，皇城都是砖木结构的， 建筑材料必须从远地通过汴水运 来。由于时间紧、任务重，按一 般的操作法肯定不能按时完成。 丁渭深思熟虑，规划并实施了一 个至今令人拍案叫绝的施工方案。
运筹学
1
内容提要
绪论 线性规划与单纯形法 线性规划的进一步研究 运输问题 动态规划 存储论 排队论
2
绪论
3
第一节 运筹学的产生和发展
运筹学，英国称Operational Research，美国称Operations Research，直译作“作业研究”或“运用研究”，简称OR。中文 “运筹”二字取自《史记•高祖本记》中，刘邦“夫运筹帷幄之中， 决胜于千里之外，吾不如子房”。由此可见，它是一门决策科学， 优化科学。
运筹学试卷及答案(2)
运筹学试卷及答案(2)一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共20分)1．线性规划闯题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加___的方法来产生初始可行基。
2．线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、___和___。
3．原问题的第1个约束方程是“=”型，则对偶问题相应的变量是___变量。
4．求最小生成树问题，常用的方法有：避圈法和___。
5．排队模型M／M／2中的M，M，2分别表示到达时间为___分布，服务时间服从负指数分布和服务台数为2。
6．如果有两个以上的决策自然条件，但决策人无法估计各自然状态出现的概率，那么这种决策类型称为____型决策。
7．在风险型决策问题中，我们一般采用___来反映每个人对待风险的态度。
8．目标规划总是求目标函数的___信，且目标函数中没有线性规划中的价值系数，而是在各偏差变量前加上级别不同的____。
二、单项选择题(本大题共l0小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
多选无分。
9．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数非零的人工变量，表明该线性规划问题【】A．有唯一的最优解B．有无穷多最优解C．为无界解D．无可行解10．对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中【】A．b列元素不小于零B．检验数都大于零C．检验数都不小于零D．检验数都不大于零11．已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为【】A．3B．2C．1D．以上三种情况均有可能12．如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。
则相应的偏离变量应满足【】在基变量中仍含有13．在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目【】A．等于m+nB．等于m+n-1C．小于m+n-1D．大于m+n-114．关于矩阵对策，下列说法错误的是【】A．矩阵对策的解可以不是唯一的C．矩阵对策中，当局势达到均衡时，任何一方单方面改变自己的策略，都将意味着自己更少的赢得和更大的损失D．矩阵对策的对策值，相当于进行若干次对策后，局中人I的平均赢得或局中人Ⅱ的平均损失值【】A．28．—lC．—3D．116．关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是【】A．若原问题为元界解，则对偶问题也为无界解B．若原问题无可行解，其对偶问题具有无界解或无可行解c．若原问题存在可行解，其对偶问题必存在可行解D．若原问题存在可行解，其对偶问题无可行解17．下列叙述不属于解决风险决策问题的基本原则的是【】A．最大可能原则B．渴望水平原则C．最大最小原则D．期望值最大原则18．下列说法正确的是【】A．线性规划问题的基本解对应可行域的顶点也必是该问题的可行解D．单纯形法解标准的线性规划问题时，按最小比值原则确定换出基变量是为了保证迭代计算后的解仍为基本可行解三、多项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共l0分)在每小题列出的四个备选项中至少有两个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
运筹学 第二章 运输问题
=
j
j = 1
(
(
这就是运输问题的数学模型，它包含 m·n 变量, m + n 个约束条件。如果用单纯形法求解，先得在各约 束条件上加入一个人工变量(以便求出初始基可行解)。 因此，即使是 m = 3 ， n = 4 这样的简单问题, 变量数 就有19个之多，计算起来非常复杂。因此，我们有必 要针对运输问题的某些特点，来寻求更为简单方便的 求解方法。
销地产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11 、 x12 、 x32 、 x34 、 x24 、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1 ， i2 = 3 ， i3 = 2；j1 = 1 ，j2 = 2 ，j3 = 4. 若把闭回路 的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连 (今后就称这些直线为闭回路的边)。
第二节 表上作业法1. 表上作业法的基本概念与重要结论针对运输问题的数学模型结构的特殊性，它的约束方 程组的系数矩阵具有如下形式( 具体见下一张幻灯片 )，该 矩阵中， 每列只有两个元素为1，其余都是0。根据这个特 点，在单纯形法的基础上，创造出一种专门用来求解运输 问题的方法，这种方法我们称为表上作业法。运输问题也是一个线性规划问题，当用单纯形法进 行求解时，我们首先应当知道它的基变量的个数；其次， 要知道这样一组基变量应当是由哪些变量来组成。由运输 问题系数矩阵的形式并结合第一章单纯形算法的讨论可以 知道: 运输问题的每一组基变量应由 m+n-1个变量组成。 (即基变量的个数 = 产地个数 + 销售地个数 – 1) 进一步我 们想知道, 怎样的 m+n-1个变量会构成一组基变量？
运筹学习题答案(第二章)
School of Management
运筹学教程
第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题
min Z = 2 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 + 6 x 4 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 ≥ 2 st . − 2 x1 + x 2 − x 3 + 3 x 4 ≤ − 3 x j ≥ 0 , ( j = 1, L , 4 )
page 14 30 December 2010
School of Management
运筹学教程
第二章习题解答
是原问题的可行解。 解：x1=1,x2=x3=0是原问题的可行解。原问题的对 是原问题的可行解 偶问题为： 偶问题为：
min W = 2 y1 + y 2 − y1 − 2 y 2 ≥ 1 (1) y + y ≥1 (2) 1 2 st . ( 3) y1 − y 2 ≥ 0 y1 , y 2 ≥ 0 (4)
运筹学教程
第二章习题解答
2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题。 写出下列线性规划问题的对偶问题。
min Z = 2 x1 + 2 x 2 + 4 x 3 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 ≥ 2 2 x + x + 3x ≤ 3 2 3 st 1 x1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 5 x1 , x 2 , ≥ 0 , x 3 无约束
School of Management
运筹学教程
第二章习题解答
max Z = 5 x1 + 6 x2 + 3 x3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 5 − x + 5 x − 3 x ≥ 3 2 3 st 1 4 x1 + 7 x2 + 3 x3 ≤ 8 x1无约束 , x2 , ≥ 0, x3 ≤ 0
运筹学第二章
例2.4：将以下线性规划问题转化为 标准形式
Max s.t. Z = 3 x1 - 5 x2 + 8 x3 2x1 + 2x2 - x3 = 15.7
4 x1
+ 3x3 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38 x2 , x3 ≥ 0
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项 必须每一个分量非负。当某一个 右端项系数为负时，如 bi<0，则 把该等式约束两端同时乘以-1， 得到：
产品甲 设备A 3 产品乙 2 设备能力 （h） 65
设备B
设备C 利润（元/件）
2
0 1500
1
3 2500
40
75
问：如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max
z = 1500 x1 + 2500 x2
MinZ=∑xi
i=1
X6 +
x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x5 + x6
≥ 8 ≥ 12
≥ 10
≥ 8 ≥ 6 ≥ 4
二、线性规划模型的一般形式
目标函数 s.t.
产品对资源的 单位消耗量
利润系数
Max(Min)z=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+……+a1nxn≥(=、≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn≥(=、≤)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn≥(=、≤)bm
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
运筹学2对偶问题
§2.1线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Ch2 Dual Problem
2019/9/19
Page 11 of 19
在例2.1中，原问题的最优解X＝（24.24，0，46.96） 对偶问题的最优解Y＝（10.6，0.91，0，0） 最优值z=w=5712.12
分析：
1. y1=10.6说明在现有的资源限量的条件下，增加 一个单位第一种资源可以给企业带来10.6元的利润； 如果要出售该资源，其价格至少在成本价上加10.6元。
1
1
3
5 x
x
2
2
8 10
x 1 0 , x 2 0
【解】这是一个对称形式的线性规划，它的对偶问题求最
小值，有三个变量且非负，有两个“ ≥”约束，即
min w 6 y1 8 y2 10 y3
5 y1 7 y2 y3 4 y1 2 y2 3y3 3 yi 0, i 1,2,3
§2.1线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Ch2 Dual Problem
2019/9/19
Page 16 of 19
若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式再 写对偶问题。也可直接按表2－1中的对应关系写出非对称 形式的对偶问题。
例如，原问题是求最小值，按表2-1有下列关系：
及食物价格如下表，试建立此人在满足健康需要的基础上
花费最少的数学模型。
含量 食物
营养成分
一
二
三 四 五 六 需要量
A
13 25 14 40 8 11 ≥80
B
24
9
30 25 12 15 ≥150
运筹学02-单纯形法
反之，若经过迭代，不能把人工变量都变
为非基变量，则表明原LP问题无可行解。
19
第2章
单纯形法
2.3 人工变量法
2.3.1 大M法
在原问题的目标函数中添上全部人工变量，并令其系数 都为-M，
而M是一个充分大的正数。即
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn – M( xn+1 + xn+2 +…+ xn+m )
思路：由一个基本可行解转化为另一个基本可行解。 等价改写为 目标方程 max z max z = 3x1+5x2 z -3x1 -5x2 = 0 z -3x1 -5x2 x1 +x3 x1 +x3 = 8 2x2 +x4 2x2 +x4 = 12 s.t. s.t. 3x1+4x2 +x5 3x1 + 4x2 +x5 = 36 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 ≥ 0
以主列中正值元素为分母，同行右端常数为分子，求比值；
6
第2章
单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
(Ⅰ)
用换基运算 将X0 转化为 另一个基本 可行解 X1。
z- 3x1 -5x2 = 0 0 换基运算—— x1 +x3 = 8 ① 方程组的初等变换 目的是把主列变为 22x2 +x4 = 12 ② 单位向量：主元变 3x1 + 4x2 +x5 = 36 ③ 为1，其余变为0。 X0 = ( 0, 0, 8, 12, 36 )T z0 = 0
⑴ 当前基：m阶排列阵
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
运筹学2
例如
1 0 A= ⋮ 0
0 1 ⋮ 0
⋯ 0 a1m +1 ⋯ a1n ⋯ 0 a2 m + 1 ⋯ a2 n ⋯ 1 anm +1 ⋯ ann
此时，问题的约束条件可以改写成 此时，
x1 = b1 − a1m +1 xm +1 − ⋯ − a1n xn x = b −a 2 2 2 m + 1 xm + 1 − ⋯ − a2 n xn ⋮ xm = bm − amm +1 xm +1 − ⋯ − amn xn
n
zj
于是 那么
z = z0 + z = z0 +
如果某一个 σ j > 0 , 则引入变量 x j 为进基变量 目标函数值会上升， 起了判断作用. 目标函数值会上升，可见 σ j 起了判断作用 检验数. 因此我们称 σ j 为检验数 定理1 最优解判别定理 最优解判别定理) 定理 (最优解判别定理 为对应于基矩阵B的基 若 x(0) = (b1 ,⋯, bm ,0,⋯,0)T为对应于基矩阵 的基 ′ ′ 本可行解， 本可行解，且对于一切 j = m + 1,⋯ , n 有 σ j ≤ 0 (0) 为最优解. 则 x 为最优解
x1
从初始基可行解X 开始迭代， 从初始基可行解 (0)开始迭代，依次得到 X(1),X(2),X(3)，这相当于图中的目标函数平移 点开始， 时，从O点开始，首先碰到 ，然后碰到 ， 点开始 首先碰到A，然后碰到B， 最后达到C. 最后达到 .
第一章 线性规划及单纯形法
第四节 单纯形法的计算步骤
一 一般线性规划问题的单纯形法 1 初始基本可行解的确定 单纯形法需要从一个初始基本可行解开始运 为了确定初始基本可行解， 算，为了确定初始基本可行解，首先要找出 初始基本可行基. 初始基本可行基 (1) 如果线性规划等式约束中能直接观察到存 在m个线性无关的单位向量，经过重新排序 个线性无关的单位向量，经过重新排序, 就可以得到一个可行基 可行基. 就可以得到一个可行基
运筹学(2)复习重点
运筹学(2)复习重点2021年运筹学（2）期末复习重点提醒：同学们要真正理解并掌握以下内容，不要死记硬背！第一部分对策论1. 对策行为的三个基本要素：局中人、策略集和赢得函数（支付函数）（掌握局中人、策略集、局势和赢得函数（支付函数）的含义；对实际问题能根据某一局中人、策略集及赢得矩阵建模求解。
） 2. 对策的分类3. 矩阵对策的研究对象：二人有限零和对策4. 平衡局势的定义，最优纯策略的定义，及求解方法。
5. 纯策略意义下有解的充要条件 6. 矩阵的鞍点、对策的鞍点7. 当矩阵对策的解不唯一时，解之间的关系所具有的性质：无差别性；可交换性。
（要理解这两个性质）8. 理解矩阵对策的混合策略、混合局势、各局中人的赢得函数、混合扩充以及矩阵对策在混合策略意义下的解的定义。
10. 矩阵对策在混合策略意义下有解的充要条件 11. 矩阵对策的求解（重点掌握矩阵对策的几个基本定理，如定理4、6、7、8、10，理解定理所揭示的内容）（1）灵活运用定理7和8（课后习题15）；（2）熟练运用定理4和6，在后续矩阵对策的诸多求解方法中，经常会结合这两个定理，通过对例题的复习掌握这两个定理；（3）理解优超的含义，能运用优超原则（定理10是优超原则求解矩阵对策的依据）求解矩阵对策（例题11及课后习题13）；（4）掌握其他求解方法：公式法、图解法（例题13、14）、方程组法（例题16、17）。
第二部分存储论（库存论）1.备货时间、提前时间及存储策略的概念。
2.费用结构：存储费、订货费、生产费及缺货费及相关概念。
3.存储策略概念及常见的存储策略类型 4.确定性存储模型（1）模型1、2、3的最优订货批量(E.O.Q)，对应的最佳费用及存储策略。
（2）掌握上述模型的费用结构，能够写出费用函数。
5.两种价格折扣的类型：全单位量折扣和增量折扣理解两种价格折扣的定义。
全单位量价格折扣情况下的最优订购批量的计算。
（结合例题6理解书上的求解步骤） 6.随机性存储模型（1）模型5（报童问题）掌握最佳报纸份数的判断条件（结合例7和8）（2）模型7（（s,S）型存储策略）掌握例题9-11第三部分排队论1. 排队系统的组成部分：输入过程、排队规则、服务机构。
运筹学第2章单纯形法
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
运筹学2
运筹学是现代管理学的一门重要专业基础课。
它是20世纪30年代初发展起来的一门新兴学科，其主要目的是在决策时为管理人员提供科学依据，是实现有效管理、正确决策和现代化管理的重要方法之一。
该学科是一应用数学和形式科学的跨领域研究，利用统计学、数学模型和算法等方法，去寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。
运筹学经常用于解决现实生活中的复杂问题，特别是改善或优化现有系统的效率。
研究运筹学的基础知识包括实分析、矩阵论、随机过程、离散数学和算法基础等。
而在应用方面，多与仓储、物流、算法等领域相关。
因此运筹学与应用数学、工业工程、计算机科学、经济管理等专业密切相关.物流(Logistics)是指物品从供应地向接受地的实体流动过程在现代物流中，物流管理（Logistics Management）是指在社会在生产过程中，根据物质资料实体流动的规律，应用管理的基本原理和方法，对物流活动进行计划、组织、指挥、协调、控制和监督，使各项物流活动实现最佳的协调与配合，以降低物流成本，提高物流效率和经济效益随着我国社会经济的快速发展国民经济和贸易呈现迅猛发展的态势。
现代综合物流管理中，对采购、包装、流通加工、储存保管、配送、装卸和运输等物流活动诸要素的管理，对人、财、物、设备、方法和信息等物流系统诸要素的管理对物流经济管理、物流质量管理和物流工程经济管理等物流活动中具体职能的管理都要用到数学知识。
运筹学在现代物流企业的实际应用是一个非常具有意义的课题，借助运筹学的主要研究内容和方法，建立了大致的知识框架体系，它不是枯燥乏味的理论，而是非常实用的学科，生活中几乎处处都有运筹学，特别是对物流工作更是意义深远，能帮助物流企业解决许多实际的问题。
运筹学是运用系统化的方法，经由建立数学模型及其测试，协助达成最佳决策的一门科学。
它主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关运用、筹划与管理等方面的问题，它根据问题的要求，通过数学的分析与运算，做出综合的合理安排，以达到较经济、有效地使用人力、物力、财力等资源.运筹学与物流学从一开始，两者就密切地联系在一起，相互渗透和交叉发展。
运筹学第2章线性规划的对偶问题
§2.1 线性规划的对偶问题
随着线性规划应用的逐步加深，人们发现每一个线性规 划问题都存在一个与之对应的、具有密切关联的线性规 划问题，其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题 （Dual linear programming，DLP）。对偶问题不仅具有 优良的数理性质，而且还有着重要的实际意义，尤其在 生产运营管理中有明显的经济含义。对偶理论充分显示 出线性规划理论逻辑上的严谨性和结构上的对称性，使 线性规划理论更加丰富，应用领域更为广泛。
yi 0 (i 1,2,3)
则得如下的线性规划模型：
min w 48 y1 20 y2 8 y3 8 y1 4 y2 2 y3 600 6 y 2 y2 1.5 y3 300 s.t. 1 y1 1.5 y2 0.5 y3 200 y , y , y 0 1 2 3
max z 2 y1 5 y2 9 y3 y1 3 y2 2 y3 3 2 y y 2 y 1 1 2 3 5 y1 y2 3 y3 1 y1无约束,y2 0, y3 0,
max z 600 x1 300 x2 200 x3 8 x1 6 x2 x3 48 4 x1 2 x2 1.5 x3 20 s.t 2 x1 1.5 x2 0.5 x3 8 x , x , x 0 1 2 3
x1 2, x2 0, x3 8
（2.1.6）
设 yi (i 1,2,, m) 表示第i种资源的定价，则其对偶问 题的形式为：
min w b1 y1 b2 y2 ... bm ym a11 y1 a21 y2 ... am1 ym c1 a y a y ... a y c 12 1 22 2 m2 m 2 s.t. a y a y ... a y c mn m n 1n 1 2 n 2 y1 , y2 , , ym 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
r
第18页
单 纯 形 表
一 般 假 设 当 前 的 基 B ( A 1 , A 2 ,..., A m ) 对 应 的 单 纯 形 表 为
x1
1
…
xr
…
xm
x m 1 a 1m 1
…
xk
… …
xn a 1n
… a 1k
b1
1
a rm 1
1
…
a rk
…
a rn
br
初 始 单 纯 形 表 x1 ζ x1 x2 x4 x35 x
x2 0 1 -2 0 1* 1 1 0
x3 0 1 -2 1 -5 0 0 -3 -1 2* 2 1
x4 -1/2 -1 0 0 -1/2 2 -1/2 1 0 -1/2 -1
x5 -1/2 0
RHS
0
1
-3/2 -1 0
2 13/2 4 5/2 1 2 1/2 1
剩余变量
第4页
例7 将下列线性规划化为标准形式
m ax s .t. f 4 x1 3 x 2 x1 x 2 1 0 2 x1 x 2 2 x1 0 , x 2 0
第5页
例8 将下列线性规划化为标准形式
m ax s .t. f x1 2 x 2 3 x1 8 x 2 5 x1 3 x 2 4 x1 0 , x 2 无 非 负 限 制
B x 0
1
b 称为相应于 B
的基本解。当 B 1 b
0 则称基本解为
基本可行解，这时对应的基阵 B 为可行基。 如果 B 1 b 0 则称该基可行解为非退化的，如果一个线 性规划的所有基可行解都是非退化的则称该规划为非退化 的。
第9页
min z x 1 x 2 2 x1 x 2 x 3 2 x1 2 x 2 x 4 2 s .t . x x2 x5 5 1 x j 0 ; j 1, 2 , 3 , 4 , 5
基可行解转到另一个基可行解。
第12页
单 纯 形 算 法
理论方法
算法步骤 单纯形表 算例
第13页
理论与方法
单纯形方法是G.B. Dantzig 在1947年提出的。
min s.t. c x Ax b x 0
T
假设
D { x R | Ax b , x 0} ;
等式
非负的
第2页
模 型 转 换
变量转换
令自由变量 x
j
x
j
x
j
，其中 x
j
,x
j
为非负变量
目标转换
求最大可以等价为求负的最小
max c x min c x
约束转换
第3页
不 等 式 变 等 式
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
第6页
练习 把线性规划问题转化为标准形式
max f x1 x 2 2 x1 x 2 2 x1 2 x 2 2 x1 x 2 5 x 0 1
s.t.
min
f x1 ( x 3 x 4 ) 2 x1 ( x 3 x 4 ) x 5 2 x1 2 ( x 3 x 4 ) x 6 2 x1 ( x 3 x 4 ) x 7 5 x 0 ; i 1, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 i
目标函数值更接近最优（下降） 仍是基本可行解
第15页
理论与方法
给定一个非退化的基可行解
xB B
1
x
，对应的可行基为 B ，则等式约束变为：
1
NxN B b
1
典式
xB B
目标函数 c x c B x B c N x N
b B
1
Nx
N
cB (B cB B
x
2
( 1,0 ,0 , 3 ,6 )
x1 为基本可行解， x2 不是基本可行解。
第10页
基本定理
定理1 可行解 x 是基本可行解的充要条件是 它的正分量所对应的矩阵A中列向量线性无关。 定理2 x 是基本可行解的充要条件是 x 是可行 域 D 的顶点。 定理3 定理4 一个标准的LP问题如果有可行解， 则至少有一个基本可行解。 一个标准的LP问题如果有有限的最优值， 则一定存在一个基本可行解是最优解。
a mm 1
…
a mk
…
a mn
bm
第19页
如果 x k 为入基变量， x r 为出基变量，则经过变换单纯形表为
x1
…
xr ˆ a 1r
…
xm
x m 1
…
xk
…
xn
ˆ a 1n
ˆ b1
1
ˆ a 1m 1 …
0…
ˆ a rm 1
ˆ a rn
ˆ br
1/ a rk
0…
ˆ a 1n
ˆ b1
ˆ a rm 1 …
ˆ a rn
ˆ br
1/ a rk
ˆ a mr
1…
ˆ a mm 1 …
ˆ a mn
ˆ bm
1
0…
其中 ˆ j
j a rj j / a rk
ˆ ˆ ； c B B 1b c B B 1b b r k / a rk 。
1 B1 0 0 0 1 0 0 0 1
系数矩阵：
2 A 1 1 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
基阵
2 B2 1 1
0 1 0
0 0 1
基本解： x 1 ( 0 , 0 , 2 , 2 , 5 )
br
a mn
1
a mm 1 … a mk …
bm
第21页
当进行转换时只需要把 转换成 0 对应其它位置等价变换即可。
k
z
x1
…
xr
…
xm
x m 1
…
xk
… …
xn
ˆ n
ˆ 1 cB B b
1
0 … - k / a rk 1
ˆ a 1r
…0
ˆ m 1 …
0
ˆ a 1m 1 …
第11页
问
题
基本可行解不一定都是最优解，最优解也不一定都是基本 解； 如果有两个基本可行解是最优解，则两解的凸组合也都是 最优解。 如果最优解不唯一，则会有多个基本可行解是最优解，它 们必然在同一个面上。 可行解个数有限，可以在基可行解中寻找最优解。
？如何判断一个基可行解是最优解，如果不是则如何从一个
5/2 0
3/2 0 1/2 1
0
0
最优解x=(13/2,5/2,1/2,0,0)T, 最优值z0=-3/2
第24页
算 例
例 2.3.2 求解问题
m in s .t. z x2 2 x3 x1 x2 x3 1 2 1 2 1 2 x4 x4 x4 5 2 3 2 1 2 x5 x5 x5 13 2 5 2 1 2
1
b B
1
Nx
1
N
) cN xN
1
b (c B B
N cN )xN
令 N c B B 1 N c N ， B 0 ，则 c x c B B 1 b x
规划等价于
m in c B B b xB B s .t . x 0
ˆ a mr
…
1…
ˆ a mm 1 …
ˆ a mn
ˆ bm
1
0…
ˆ 其中 a ij a ij a rj a ik / a rk
ˆ ; i 1 , 2 ,..., m , i r , j k a rj a rj / a rk
，
ˆ b r b r / a rk
ˆ ， b i b i a ik b i / a rk 。
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
1 1
x
1
N xN B b
第16页
理 论 方 法
★ 定理2.3.1（最优性准则）
如果
0
, 则基可行解 x 为原问题的最优解。
★ 定理2.3.2 如果向量 的第 k 个分量 k
B
1
0
，而向量
Ak 0
，则原问题无界。
★ 定理2.3.3 对于非退化的基本可行解 x ，若向量 有 k 而其相应的向量 B
线 性 规 划
线性规划问题
基本概念与基本定理
单纯形算法