运筹学(2)

C
最优解 (2, 3)
B
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4
O
0
D|
5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
2.4
简单最小化问题的图解法求解
2.4.1 两个变量最小化线性规划模型的求解
【例2-2】M&D公司生产两种产品A和B，基于对现 M&D公司生产两种产品A 有的存储水平和下一个月的市场潜力的分析，M&D 有的存储水平和下一个月的市场潜力的分析，M&D 公司管理层决定A 公司管理层决定A和B总产量至少要达到350千克。 总产量至少要达到350千克。 此外，公司的一个客户订了125千克A 此外，公司的一个客户订了125千克A产品必须首 先满足。 A、B产品的制造时间分别为2小时和1小 产品的制造时间分别为2小时和1 时，总工作时间为600小时。原材料成本分别为2 时，总工作时间为600小时。原材料成本分别为2 元和3 元和3元。确定在满足客户要求的前提下，成本最 小的生产计划。
4x1 = 16 B C 4 x2 = 12 x1 + 2x2 = 8
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4
O
0
D|
5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
目标函数 Z = 2x1 + 3x2在这个
9— 8— 7— 6— 5— 4 —A
x2
坐标平面上，它可以表示以Z 坐标平面上，它可以表示以Z为 参数、 2/3为斜率的一族平行线 为斜率的一族平行线： 参数、-2/3为斜率的一族平行线：
假设： 设备台时的松弛变量为x3 原料A的松弛变量为x4 原料A的松弛变量为x5 则约束条件为： x1 + 2x2 + x3 = 8 4x + x =16 1 4 4x2 + x5 =12 xj ≥ 0，j = 1，2，3，4，5
由于未使用的资源对利润没有贡献，因此在目标 函数加入松弛变量时其系数为零，此时，模型修改为：
6 7 8 9
x1
9— 8— 7— 6— 5— 4 —A 3—
x2
当Z值由小变大时，直线 值由小变大时， x2 = − 2x1 3 + z 3 沿其法线方向向 右上方移动。 当移动到C 右上方移动。 当移动到C时，Z 值在可行域的边界上实现最大 最优解（ ），Z=14 Z=14。 化。最优解（4，2），Z=14。
2.3 简单最大化问题的图解法求解
线性规划求解法目前最常用的方法有： 图解法： 利用数模中方程式的几何图形来直 接找到最优解。 单纯形法: 求解线性规划的一般方法。
2.3.1 两个变量的最大化线性规划模型的 图解法求解 1.基本概念
（1）可行解：满足约束条件的决策变量的取值 （2）可行域：可行解的全体 （3）最优解：使目标函数取得最优值的可行解 （4）最优值：最优解代入目标函数所得到的值 （5）凸 集：如果集合C中任意两点连线上所有的点 都是集合C中的点，该集合为凸集
在以x1,x2 为坐标轴的直角坐标系中，非负条件 是指第一象限。每一个约束条件都代表一个半平面。 必落在由 同时满足x1,x2≥0 这三个半 x1+x2≤6 平面交成 x1+2x2≤8 的第一象 限区域内。 x2≤3
x1+2x2=8
x2 6 Q6 5 4 Q5 Q4 3 2 1 0 Q0
x1+x2=6 X2=3
加工工时 2×250+1×100=600 250+1×
在任何一个大于等于形式的约束条件中减去一个 变量使不等式成为等式，这个变量称为该种约束条件 的剩余变量。由于剩余变量不参与目标函数值的计算， 因此剩余变量在目标函数中的系数为零。将该模型引 入松弛变量和剩余变量后为：
maxz = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 x1 − x3 = 125 x + x − x = 350 1 2 4 st. 2x1 + x2 + x5 = 600 xj ≥ 0, j = 1,2,3,4,5
4x1 = 16 B C
| 1 | 2 | 3 | 4
4 x2 = 12
最优解 (4, 2)
2— 1—
x1 + 2x2 = 8
| 6 | 7 | 8 | 9
O
0
D|
5
x1
最优生产方 产品1 案:产品1生 kg， 产4kg，产品 生产2kg， 2生产2kg， 最大利润14 最大利润14 最优值） 元(最优值）
x1 + x2 ≥ 350 x ≥ 125 1 st. 2x1 + x2 ≤ 600 x1, x2 ≥ 0
采用图解法。如下图： 得Q点坐标（250，100）为最优解。 点坐标（250，100）为最优解。
x2 600 500 400 300 200 100 100 Q 200 300 400 500 600 2x1+3x2 =1200 2x1+x2 =600 2x1+3x2 =900 x1+x2 =350 2x1+3x2 =800 x1
2.两个变量的线性规划模型的图解法
对【例2-1】进行图解法的求解过程。 】进行图解法的求解过程。 Max Z=2x1+ 3x2 s.t. x1+ 2x2 ≤8 4x1 ≤16
4 x2 ≤12
x1, x2 ≥0
在以x 为坐标轴的直角坐标系中， 在以x1,x2 为坐标轴的直角坐标系中，非负条 件是指第一象限。 件是指第一象限。每一个约束条件都代表一个半平 面。如 x1 + 2x2 ≤ 8 是代表以直线 x1 + 2x2 ≤ 8 为 边界的左下方的半平面。 边界的左下方的半平面。
x2 = − 2x1 3 + z 3
4x1 = 16 B C
| 1 | 2 | 3 | 4
Z =6 Z =3
3— 2— 1—
Z =0 0 O
D|
5
位于同一直 4 x2 = 12 线上的点， 线上的点， 具有相同的 目标函数， 目标函数， x1 + 2x2 = 8 称为“等值 称为“ 线”。 | | | |
maxz = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 x1 + 2x2 + x3 = 8 4x + x = 16 1 4 st. 4x2 + x5 = 12 xj ≥ 0，j = 1，2，3，4，5
x1、x2为决策变量 x3、x4、x5为松弛变量 其解为: ( x1，x2，x3，x4，x5 )T =( 4, 2, 0, 0, 4)T
分析： 分析： （1）确定变量。 确定变量。 设x1和x2（单位:千克）分别表示产品A、B的产量。 单位:千克）分别表示产品A 的产量。 表示企业成本 （2）目标函数。设Z表示企业成本，则有： ）目标函数。 表示企业成本，则有：
minz = 2x1 + 3x2 （元）
（3）约束条件。可建立资源限制的约束条件： ）约束条件。可建立资源限制的约束条件：
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
Байду номын сангаас
x1
9— 8— 7— 6— 5— 4 —A 3— 2— 1—
可行解：满足约束条件的解。 可行解：满足约束条件的解。白 色区域中的每一个点（ 色区域中的每一个点（包括边界 点）都是可行解。此区域是【例 都是可行解。此区域是【 2-1】的线性规划问题的解的集 可行解域）。 合（可行解域）。
9— 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0 | 1 | 2 | 3
x2
同时满足 x1 + 2x2 ≤ 8 2x 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x 1、 x 2 ≥ 0
4x1 = 16
必落在由这三个 半平面交成的第 一象限区域内。 一象限区域内。
4 x2 = 12 x1 + 2x2 = 8
B C
最优解 (4, 2)
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4
O
0
D|
5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
9— 8— 7— 6— 5— 4 —A 3— 2— 1—
x2
约束条件不变可行域不变 目标函数变化影响最优解
目标函数为： maxZ=x1+5x2 最优解在可行 域的顶点上： 最优解 (4, 2) x1=2，x2=3
设备台时、原料A无剩余，原料B剩余4kg，资源B 设备台时、原料A无剩余，原料B剩余4kg，资源B 的这种剩余称为该资源的松弛。 的这种剩余称为该资源的松弛。
各种资源的松弛信息在求解最优解（x1、x2） 各种资源的松弛信息在求解最优解（x1、x2） 之后得到，是否在求解最优解的同时得到各种资 源的剩余信息？ 资源限制减去实际使用量就是剩余资源，因 此，在每一个小于等于形式的约束条件中加一个 变量使不等式成为等式，把资源剩余量也作为一 个变量，这个变量就称为约束条件的松弛变量。 松弛变量表示这种资源未使用的能力。 松弛变量表示这种资源未使用的能力。
图解法求解步骤
1. 由全部约束条件作图求出可行域；
2. 作目标函数等值线，确定使目标函数最优的移 动方向； 3. 平移目标函数的等值线，找出最优点，算出最 优值。
课堂练习： 课堂练习：用图解法求解下列线性规划模型
Max Z=3x1+ 4 x2 s.t. x1+ x2 ≤6
x1+ 2 x2 ≤8 x2 ≤3 x1, x2 ≥0
线性规划问题的建模: 线性规划问题的建模: 建成一个正确的数模，标志着问题的解决已接近完 成，答案在计算机上由线性规划程序运行很快获得。 正确的建模要求建模者： 熟悉规划问题的生产和管理问题，明确目标和错综 复杂的约束条件，通过调查和统计资料获取原始可靠的 数据。