2018年人教版八年级下《第十七章勾股定理》单元测试题含答案

第十七章勾股定理
时间：120分钟满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG 的面积之和为( C )
A．150cm2 B．200cm2
C．225cm2 D．无法计算
第1题图第2题图第3题图
2．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB 落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为( A )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中说法正确的是( B ) A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
4．在平面直角坐标系中，点P(3，4)到原点的距离是( C )
A．3 B．4
C．5 D．±5
5．在△ABC中，AB＝1，AC＝2，BC＝5，则该三角形为( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
6．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是( B )
A．1 B. 2 C. 3 D．2
第6题图第7题图7．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为( D )
A．60海里 B．45海里
C．203海里 D．303海里
8．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.已知b＝8，c＝10，则a 的值为( B )
A．2 B．6
C．5 D．36
9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( D )
A．x2－6＝(10－x)2 B．x2－62＝(10－x)2
C．x2＋6＝(10－x)2 D．x2＋62＝(10－x)2
10．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( B )
A．13 B．8 C．25 D．64
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则其斜边长为________．
12．在Rt△ABC中，斜边AB＝4，则AB2＋BC2＋AC2＝________．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则以AB为边长的正方形面
积为________．
14．直角三角形的两条直角边长的比是3∶4，斜边的长为15cm，则这个三角形的周长为________．
15．若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a＋b的值是________．
16．下列命题中，其逆命题
．．．成立的是________(只填写序号)．
①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c(a，b<c)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
17．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍________放入(填“能”或“不能”)．
第17题图第18题图
18．如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O……如此下去，则线段OA n的长度为________．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，如果CD＝12，AD＝16，BD＝9，那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
20．(8分)已知a，b，c为一个直角三角形的三边长，且有（a－3）2＋(b－2)2＝0，求该直角三角形的斜边长．
21.(8分)如图，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，A、B、C是三个格点(即小正方形的顶点)．判断AB与BC的关系，并说明理由．(利用勾股定理的相关知识解答)
22．(8分)甲、乙两位探险者今年到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不至于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为12千米．如图，早晨8：00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进．上午10：00，甲步行到A，乙步行到B，问甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
23．(10分)如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m.若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？
24．(10分)如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
25．(14分)定义：若三角形三个内角的度数分别是x°，y°和z°，满足x2＋y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形．
(1)根据上述定义，判断“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由；
(2)已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x°，y°和z°，且xy＝2160，求x ＋y的值；
(3)如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝2，AC＝1＋3，求证：△ABC是勾股三角
形.
答案
11．13 12.32 13.25 14.36cm 15.17
16．①④17.能
18．(2)n
19．解：△ABC是直角三角形．(1分)理由如下：∵CD⊥AB，CD＝12，AD＝16，∴在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＝CD2＋AD2＝400.(3分)又∵CD⊥AB，CD＝12，BD＝9，∴在Rt△CDB中，由勾股定理得BC2＝CD2＋BD2＝225.(5分)∵AB＝AD＋BD＝25，∴AB2＝625，∴AC2＋BC2＝625＝AB2，∴△ABC是直角三角形．(8分)
20．解：∵（a－3）2＋(b－2)2＝0，∴a－3＝0，b－2＝0，解得a＝3，b＝2.(1分)①以a为斜边时，斜边长为3；(4分)②以a，b为直角边时，斜边长为32＋22＝13.(7分)综上所述，该直角三角形的斜边长为3或13.(8分)
21．解：相等且垂直．(2分)理由如下：如图，连接AC.由勾股定理可得AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，(4分)∴AB2＋BC2＝AC2，AB＝BC，(6分)∴△ABC 是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，即AB⊥BC.∴AB和BC的关系是相等且垂直．(8分) 22．解：∵早晨8：00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进，∴上午10：00时，OA＝8千米，OB＝6千米，(3分)∴AB ＝82＋62＝10(千米)＜12千米，(6分)∴甲、乙二人相距10千米，还能保持联系．(8分)
23．解：如图，连接BD .(1分)∵∠A ＝90°，AB ＝3m ，AD ＝4m ，∴在Rt△ABD 中，由勾股定理得BD 2
＝AB 2
＋AD 2
＝32
＋42
＝52
，即BD ＝5m.在△CBD 中，CD 2
＝132
，BC 2
＝122
，BD 2
＝52
，∵122
＋52
＝132
，即BC 2
＋BD 2
＝CD 2
，∴∠DBC ＝90°.(5分)故S
四边形ABCD
＝S △BAD ＋S △DBC
＝12·AD ·AB ＋12DB ·BC ＝12×4×3＋12×5×12＝36(m 2
)．(7分)∴学校需投入的资金为36×200＝7200(元)．(9分)
答：学校需要投入7200元购买草皮．(10分)
24．解：由折叠的性质可知∠DEA ＝∠COA ＝90°，EA ＝OA ＝10，OD ＝DE .∵四边形OABC 是长方形，∴AB ＝OC ＝8，BC ＝OA ＝10.(2分)在Rt△ABE 中，由勾股定理得BE ＝AE 2
－AB
2
＝102
－82
＝6，∴CE ＝BC －BE ＝4，∴点E 的坐标为(4，8)．(6分)在Rt△DCE 中，由勾股定理得CD 2
＋CE 2
＝DE 2
，又∵DE ＝OD ，∴CD ＝CO －DO ＝8－DO ，即(8－OD )2
＋42
＝OD 2
，∴OD ＝5，∴点D 的坐标为(0，5)．(10分)
25．(1)解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题．(1分)理由如下：设直角三角形的三个内角分别为x °，y °和z °，其中x ＋y ＝90，z ＝90，∴(x ＋y )2
＝8100＝z 2
，∴x
2
＋y 2
＋2xy ＝z 2
.若直角三角形是勾股三角形，则x 2
＋y 2
＝z 2
，∴xy ＝0，这与题意不符，∴“直角三角形是勾股三角形”是假命题．(4分)
(2)解：由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ＋z ＝180，xy ＝2160，x 2＋y 2＝z 2，
解得x ＋y ＝102.(8分)
(3)证明：过B 作BH ⊥AC 于H ，如图所示．(9分)设AH ＝x ，Rt△ABH 中，BH ＝6－x 2
，Rt△CBH 中，(6－x 2)2
＋(1＋3－x )2
＝4，解得x ＝3，(11分)∴AH ＝BH ＝3，HC ＝1，∴∠A ＝∠ABH ＝45°.(12分)在Rt△BCH 中，CH ＝1
2BC ，∴∠HBC ＝30°，∴∠BCH ＝60°，
∠ABC ＝75°.(13分)∵452
＋602
＝752
，∴△ABC 是勾股三角形．(14分)。