初中数学八年级下因式分解

第四章因式分解(yīn shì fēn jiě)
一、因式分解(yīn shì fēn jiě)的意义：
因式分解是把一个多项式化成几个(jǐɡè)整式的乘积形式
注意：①结果(jiē guǒ)应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式(zh ěnɡ shì)的积与某项的和差形式；
②因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。

例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（）
A． B．
C． D．
例02．在下面多项式中，能通过因式分解变形为的是（）
A． B． C．
D．
二、因式分解的方法
类型一、提公因式法
提公因式时应注意：
⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正；
⑵公因式的系数和字母应分别考虑：
①系数是各项系数的最大公约数；②字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。

例01．在下面因式分解中，正确的是（）
A．
B．
C．
D．
例02．把分解因式的结果为。

例03．分解因式：.
说明(shuōmíng)：⑴观察题目(tímù)结构特征⑵对于与的符号有下面(xià mian)的关系：
例04．解方程：
例05．不解(bù jiě)方程组求：的值.
类型(lèixíng)二、公式法
1、利用平方差公式因式分解：
注意：①条件：两个二次幂的差的形式；
②平方差公式中的、可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；
③在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清
a、b分别表示什么。

例如：分解因式：
（1）；（2）；（3）
2、利用完全平方公式因式分解：
注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；
②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；
③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；
④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成公式原型，弄清a、b分别表示的量。

2、利用立方和立方差公式因式分解：
典型例题：
例1用平方差公式分解因式：
（1）；（2）
说明(shuōmíng)：因式分解(yīn shì fēn jiě)中，多项式的第一项的符号(fú
hào)一般(yībān)不能为负；分数(fēnshù)系数一般化为整系数。

例2分解因式：
（1）；（2）.
说明：将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.
例3判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？
（1）；（2）；（3）；
（4）.
说明：可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.
例4 把下列各式分解因式：
⑴；⑵⑶
说明：使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符
号是负号时，先提出负号.
例5分解因式：
⑴. ⑵
说明：⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解.
⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.
例6分解因式：
⑶；⑵；
⑶. ⑷
说明：在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元
思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.
例7若是完全平方式，求a的值.
说明：根据完全平方公式特点求待定系数a，熟练公式中的“a、b”便可自
如求解.
例8已知，求的值.
说明：将所求的代数式变形，使之成为的表达式，然后整体代入求值.
例9已知，，求的值.
说明(shuōmíng)：这类问题一般不适合(shìhé)通过解出、的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解(yīn shì fēn jiě)，使之
转化为关于与的式子(shì zi)，再整体代入求值.
例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全(wánquán)平方数. 说明：可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.
例11已知x和y满足方程组，求代数式的值。

类型三、分组分解法
1、条件：当所给多项式有四项或四项以上时，应釆用分组分解法。

2、原则：分组后能继续分解（即分组只是为实际分解创造条件，并没有直接
达到分解的目的）。

3、方法：按有公因式或可运用公式的方法合理分组，其具体步骤为：
①组内提公因式或运用公式；②组间提公因式或运用公式。

分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，一般分
组方式不惟一，且灵活多变.
例1选择题：对运用分组分解法分解因式，分组正确的是
（）
（A）（B）（C）
（D）
说明：本组题目用来判断分组是否适当.
例2因式分解：
（1）；（2）
说明：（1）把有公因式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；
（2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；
（3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带“－”的括号时，括号内
每项要变号；
例3分解因式：
（1）；（2）；⑶
说明：把能应用公式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；。

例4 分解(fēnjiě)因式：
⑴⑵
说明(shuōmíng)：根据“对应系数成比例”的原则(yuánzé)合理分组，可提高分解的速度。

例5把下列(xiàliè)各式分解因式：
（1）；（2）；
（3）.
说明(shuōmíng)：对于项数较多的多项式，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.
例6分解因式：
（1）；（2）
说明：本组两题原题本身给出的分组形式无法继续进行，为达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解。

即“先破后立，不破不立”。

类型四、十字相乘法
题型一：
事实上：
题型二：
大家知道：
反过来，就得到：
例1分解因式：
⑴；⑵. ⑶；⑷
.
说明：本题属于型的二次三项式，可用规律公式来加以分解.
（5）（6）（7）
（8）（9）（10）
（11）（12）
例2分解(fēnjiě)因式：
（1）；（2）.
例3分解(fēnjiě)因式：
⑴；⑵.
内容总结
（1）第四章因式分解
一、因式分解的意义：
因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式
注意：①结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式
（2）第四章因式分解
一、因式分解的意义：
因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式
注意：①结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式。