平面与平面垂直的性质
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该命题正确吗？
b
Ⅰ. 观察实验
（1）观察黑板所在的平面 和地面，它们是互相垂直的 ，那么黑板所在的平面里的 任意一条直线是否就一定和 地面垂直？ （2）观察长方体ABCDA`B`C`D`中，平面AA`D`D与 平面ABCD垂直，你能否在 平面AA`D`D中找一条直线垂 直于平面ABCD？
两个平面垂直，其中 一个平面的直线不一 定垂直于另一个平面
(3)用面面平行的性质：两个平行平面中的一
个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂
直于第三个平面．
1 ．平面 α⊥平面 β ，直线 l⊂α ，直线 m⊂β ，则 直线l，m的位置关系是( ) A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能
2 ．已知平面 α⊥平面 β ， α∩β ＝ l ，点 A∈α ， A∉l ，直 线 AB∥l ，直线 AC⊥l ，直线 m∥α ， m∥β ，则下列 四种位置关系中，不一定成立的是( ) A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
D’
C’ B’
A’ D
A
C
B
两个平面垂直，其中一个 平面内垂直于交线的直线垂 直于另一个平面
Ⅱ.概括结论
b
l
b
A
bl
b
l
Ⅲ.严格证明
已知 ,
CD, AB , AB CD于B. 求证 : AB .
A D
B C
E
（3）若b ,则b垂直于平面内的无数条直线.
√
(4) 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线 必垂直于另一个平面.
√
l
例2、平面与平面互相垂直， m, P , P m, 判断
（1）过点P且垂直于的直线a是否一定在内？
（2）过点P且垂直于的直线l与 是什么位置关系？并证明
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直。
符号表示：
b
b b 线面垂直
面面垂直
b 中的条件 b 与 如果将 b 结论 的位置调换一下，构造这样的 一个命题： b b
证明:在平面 内作BE⊥CD,垂足为B. 则∠ABE就是二面角 -CD- 的平面角 ∵
, ∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义)
又由题意知AB⊥CD,且BE CD=B
∴AB⊥ (直线与平面垂直的判定定理)
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平 面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直.
(6)用面面垂直性质：如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，
这六种判定线面垂直的方法的实质 是转化与化归数学思想的体现，它们是 线线、线面、面面垂直的相互转化．
3．平面与平面垂直的判断方法
(1)用定义：证明这两个平面所成的二面角是
直二面角．
(2)用判定定理：如果一个平面经过另一个平
面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
∩
B
∩
∩
解题反思 1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法 2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理 判定定理
线Leabharlann Baidu垂直
1．直线与直线垂直的判断方法 (1)用定义：如果两条直线所成的角是直角，那么这 两条直线垂直. (2)用平行的性质：两条平行线中的一条垂直于第 三条直线，那么另一条也垂直于这条直线． (3)用线面垂直的性质：一条直线垂直于一个平 面．那么这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (4)用平面几何的知识：等腰三角形底边上的中线 或顶角平分线垂直于底边；矩形的邻边垂直；菱形的 对角线垂直等等．
证明：设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a，∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD. ∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线， ∴PC⊥平面ABCD， ∴EO⊥平面ABCD.又EO⊂平面EDB， 故有平面EDB⊥平面ABCD.
1、平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直。 2..空间垂直关系有那些？ 如何实现空间垂直关系的相互转化？ 请指出下图中空间垂直关系转化的定理依据？
符号表示：
b
l
b l bl
②作面的垂线
b
简述为：
面面垂直 线面垂直
作用： ①面面垂直⇒ 线面垂直；
四、知识应用举例
例 1、已知：两个平面与 互相垂直，判断下列命题是否正确：
（1）若b ,则b .× （2）若
=l,b l则b .×
解析：如图所示： AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m； AB∥l⇒AB∥β. 答案：D
3．已知平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l，点 M∈α，过M作直线m⊥β，则直线m满足 ________即可． 解析：根据线面垂直的判定定理可知 m满足 m⊥l. 答案：m⊥l
4．下列命题： ①α⊥β，l⊥α，m⊂β，则l∥m； ②α⊥β，l⊂α，则l⊥β； ③α⊥β，l∥α，则l与β相交或l∥β或l⊂β. 其中正确的是________．
P
C
A
O
B
例4:如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意 一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F. 求证:AF⊥平面PBC. P 证明: ∵AB是⊙O的直径 ∴AC⊥BC
∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC F .O ∴PA⊥BC ∵PA∩AC=A A ∴BC⊥平面PAC C ∵BC 平面PBC ∴平面PBC⊥平面PAC 又∵AF⊥PC,AF 面PAC ,面PBC∩面PAC=PC ∴AF⊥平面PBC
2．直线与平面垂直的判断方法
这条直线垂直于该平面．
(1)用线面垂直定义：如果一条直线垂直于一个平面内任一直线，
(2)用线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相
交直线都垂直，那么这条直线与平面垂直． (3)用线面垂直性质：如果两条平行直线的一条直线垂直于一个 平面，则另一条直线也必垂直于这个平面． (4)用面面垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个 平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面． (5)用面面平行性质：如果一条直线垂直于两个平行平面的一个 平面，那么这条直线必垂直于另一个平面． 那么这两个相交平面的交线必垂直于第三个平面．
① ③
线线垂直
②
线面垂直
④
面面垂直
①线面垂直的判定定理
②线面垂直的定义
③面面垂直的判定定理 ④面面垂直的性质定理
作业: P73练习：1，2.（做书上） P73习题2.3A组：5,6. P74习题2.3B组：1.
解析： 对于①， l 与 m 可能相交、平行或异面； 对于②，只有当 l与 α， β的交线垂直时，才 有 α⊥β 成 立 ； 对 于 ③ ， 通 过 画 图 可 知 正 确． 答案：③
5． 如下图，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 a 的菱 形，∠BCD＝120° ，平面 PCD⊥平面 ABCD，PC＝a，PD ＝ 2a，E 为 PA 的中点．求证：平面 EDB⊥平面 ABCD.
P b
a
m
例2、平面与平面互相垂直， m, P , P m, 判断：
（1）过点P且垂直于的直线a是否一定在内？
（2）过点P且垂直于的直线l与 是什么位置关系？并证明
n l
P
m
例3、如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC， (1)求证：BC⊥平面PAC. (2)判断平面PBC与平面PAC是否垂直，并证明.
b
Ⅰ. 观察实验
（1）观察黑板所在的平面 和地面，它们是互相垂直的 ，那么黑板所在的平面里的 任意一条直线是否就一定和 地面垂直？ （2）观察长方体ABCDA`B`C`D`中，平面AA`D`D与 平面ABCD垂直，你能否在 平面AA`D`D中找一条直线垂 直于平面ABCD？
两个平面垂直，其中 一个平面的直线不一 定垂直于另一个平面
(3)用面面平行的性质：两个平行平面中的一
个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂
直于第三个平面．
1 ．平面 α⊥平面 β ，直线 l⊂α ，直线 m⊂β ，则 直线l，m的位置关系是( ) A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能
2 ．已知平面 α⊥平面 β ， α∩β ＝ l ，点 A∈α ， A∉l ，直 线 AB∥l ，直线 AC⊥l ，直线 m∥α ， m∥β ，则下列 四种位置关系中，不一定成立的是( ) A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
D’
C’ B’
A’ D
A
C
B
两个平面垂直，其中一个 平面内垂直于交线的直线垂 直于另一个平面
Ⅱ.概括结论
b
l
b
A
bl
b
l
Ⅲ.严格证明
已知 ,
CD, AB , AB CD于B. 求证 : AB .
A D
B C
E
（3）若b ,则b垂直于平面内的无数条直线.
√
(4) 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线 必垂直于另一个平面.
√
l
例2、平面与平面互相垂直， m, P , P m, 判断
（1）过点P且垂直于的直线a是否一定在内？
（2）过点P且垂直于的直线l与 是什么位置关系？并证明
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直。
符号表示：
b
b b 线面垂直
面面垂直
b 中的条件 b 与 如果将 b 结论 的位置调换一下，构造这样的 一个命题： b b
证明:在平面 内作BE⊥CD,垂足为B. 则∠ABE就是二面角 -CD- 的平面角 ∵
, ∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义)
又由题意知AB⊥CD,且BE CD=B
∴AB⊥ (直线与平面垂直的判定定理)
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平 面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直.
(6)用面面垂直性质：如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，
这六种判定线面垂直的方法的实质 是转化与化归数学思想的体现，它们是 线线、线面、面面垂直的相互转化．
3．平面与平面垂直的判断方法
(1)用定义：证明这两个平面所成的二面角是
直二面角．
(2)用判定定理：如果一个平面经过另一个平
面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
∩
B
∩
∩
解题反思 1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法 2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理 判定定理
线Leabharlann Baidu垂直
1．直线与直线垂直的判断方法 (1)用定义：如果两条直线所成的角是直角，那么这 两条直线垂直. (2)用平行的性质：两条平行线中的一条垂直于第 三条直线，那么另一条也垂直于这条直线． (3)用线面垂直的性质：一条直线垂直于一个平 面．那么这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (4)用平面几何的知识：等腰三角形底边上的中线 或顶角平分线垂直于底边；矩形的邻边垂直；菱形的 对角线垂直等等．
证明：设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a，∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD. ∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线， ∴PC⊥平面ABCD， ∴EO⊥平面ABCD.又EO⊂平面EDB， 故有平面EDB⊥平面ABCD.
1、平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直。 2..空间垂直关系有那些？ 如何实现空间垂直关系的相互转化？ 请指出下图中空间垂直关系转化的定理依据？
符号表示：
b
l
b l bl
②作面的垂线
b
简述为：
面面垂直 线面垂直
作用： ①面面垂直⇒ 线面垂直；
四、知识应用举例
例 1、已知：两个平面与 互相垂直，判断下列命题是否正确：
（1）若b ,则b .× （2）若
=l,b l则b .×
解析：如图所示： AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m； AB∥l⇒AB∥β. 答案：D
3．已知平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l，点 M∈α，过M作直线m⊥β，则直线m满足 ________即可． 解析：根据线面垂直的判定定理可知 m满足 m⊥l. 答案：m⊥l
4．下列命题： ①α⊥β，l⊥α，m⊂β，则l∥m； ②α⊥β，l⊂α，则l⊥β； ③α⊥β，l∥α，则l与β相交或l∥β或l⊂β. 其中正确的是________．
P
C
A
O
B
例4:如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意 一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F. 求证:AF⊥平面PBC. P 证明: ∵AB是⊙O的直径 ∴AC⊥BC
∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC F .O ∴PA⊥BC ∵PA∩AC=A A ∴BC⊥平面PAC C ∵BC 平面PBC ∴平面PBC⊥平面PAC 又∵AF⊥PC,AF 面PAC ,面PBC∩面PAC=PC ∴AF⊥平面PBC
2．直线与平面垂直的判断方法
这条直线垂直于该平面．
(1)用线面垂直定义：如果一条直线垂直于一个平面内任一直线，
(2)用线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相
交直线都垂直，那么这条直线与平面垂直． (3)用线面垂直性质：如果两条平行直线的一条直线垂直于一个 平面，则另一条直线也必垂直于这个平面． (4)用面面垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个 平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面． (5)用面面平行性质：如果一条直线垂直于两个平行平面的一个 平面，那么这条直线必垂直于另一个平面． 那么这两个相交平面的交线必垂直于第三个平面．
① ③
线线垂直
②
线面垂直
④
面面垂直
①线面垂直的判定定理
②线面垂直的定义
③面面垂直的判定定理 ④面面垂直的性质定理
作业: P73练习：1，2.（做书上） P73习题2.3A组：5,6. P74习题2.3B组：1.
解析： 对于①， l 与 m 可能相交、平行或异面； 对于②，只有当 l与 α， β的交线垂直时，才 有 α⊥β 成 立 ； 对 于 ③ ， 通 过 画 图 可 知 正 确． 答案：③
5． 如下图，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 a 的菱 形，∠BCD＝120° ，平面 PCD⊥平面 ABCD，PC＝a，PD ＝ 2a，E 为 PA 的中点．求证：平面 EDB⊥平面 ABCD.
P b
a
m
例2、平面与平面互相垂直， m, P , P m, 判断：
（1）过点P且垂直于的直线a是否一定在内？
（2）过点P且垂直于的直线l与 是什么位置关系？并证明
n l
P
m
例3、如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC， (1)求证：BC⊥平面PAC. (2)判断平面PBC与平面PAC是否垂直，并证明.