8.1傅里叶变换的概念

例8.2 求矩形脉冲函数 f(t) =
1,
|t| ≤ δ, |t| > δ
0, 的傅氏变换及傅氏逆变换. 的傅氏变换及傅氏逆变换
0, | ω |≥ a 例8.3 已知函数f (t )的频谱为F (ω ) = ， 1, | ω |< a 求象原函数f (t ).
0, t < 0 例8.4 求 数 减 数 (t) = −αt 指 衰 函 f e , t ≥ 0 的 氏 换 中 > 0. 傅 变 ,其 α
fT(t)指数形式的 指数形式的Fourier级数为 指数形式的 级数为 n= ∞ −2j fT ( t ) = 1 + ∑ e − j ( 2 n −1) w 0 t n = −∞ ( 2 n − 1)π 1, 振幅谱为| 振幅谱为 F(nw0)| = 0, 2/nπ, π 0, 相位谱为arg F(nw0) = 相位谱为 −π/2, π/2, n = 0, n = ±2,±4, ± n = ±1,±3, ± n = 0, ±2,±4, ± n = 1,3,5, n = −1,−3,−5, − −
二、非周期函数的Fourier变换
3.傅里叶变换
1 +∞ F ( w )e jwt dw 令F ( w ) = ∫ f ( t )e dt 则f ( t ) = ∫−∞ −∞ 2π 定义：左式为傅里叶变换，其中函数F(w)称为的 定义：左式为傅里叶变换，其中函数 称为的
− jwt
+∞
f(t)像函数，记为F(w)=F[f(t)]；右式为傅里叶逆 像函数，记为 像函数 ； 变换，其中函数 称为 称为F(w)的像原函数，记为 的像原函数， 变换，其中函数f(t)称为 的像原函数 f(t)=F−1[F(w)] 频谱密度函数(简称频谱或连续频谱 简称频谱或连续频谱) 称F(w) 为频谱密度函数 简称频谱或连续频谱 振幅谱， 为 称|F(w)| 为振幅谱， argF(w)为相位谱
1 +∞ 1 +∞ iωt f (t ) = ∫−∞ F (ω )e dω = π ∫0 F (ω )cos ωtdω 2π 1 +∞ 2sin ω 2 +∞ sin ω cos ωt = ∫ cos ωtdω = ∫ dω
π
0
ω
π
0
ω
π | t |<1 2 +∞ sinω cosωt π dω = 4 | t |=1 ∫0 ω 0 | t |>1 因此可知当t = 0时 有 ,
argcn称为离散相位谱 且常记 称为离散相位谱 且常记F(nw0) = cn
0, 求以T为周期的函数 例8.1 求以 为周期的函数 fT(t) = 2,
−T/2 < t < 0, 0 < t < T/2
指数形式的Fourier级数和它的离散频谱 级数和它的离散频谱. 指数形式的 级数和它的离散频谱 2π , 当n = 0时 时 解: 令 w 0 = T 1 T /2 1 T /2 c0 = F ( 0) = ∫ fT ( t )dt = ∫ 2dt = 1 T −T / 2 T 0 1 T /2 cn = F ( nw 0 ) = ∫ fT ( t )e − jnw 0 t dt 当n ≠ 0时, 时 T −T / 2 w 0T 2 T / 2 − jnw0 t j − jn 2 dt = (e = ∫ e − 1) T 0 nπ 0, 为偶数, 当n为偶数 为偶数 j − jnπ (e = − 1) = nπ −2j/nπ, 当n为奇数 π 为奇数
a0 ∞ f T ( t ) = + ∑ (a n cos nw 0 t + bn sin nw 0 t ) 2 n =1 = A0 + ∑ An cos(nw0t + θ n )
n= n =1 ∞
其中w 称为基频 基频， 称为振幅 振幅， 称为相位 其中 0称为基频， An称为振幅，θn称为相位
由于c0 = A0 , arg cn = − arg c− n = θ n 1 2 An 2 cn = c− n = a n + bn = 2 2 因此c 称为离散频谱 离散频谱， 称为离散振幅谱， 称为离散振幅谱 因此 n称为离散频谱，|cn|称为离散振幅谱，
定理(傅氏积分定理 ：如果 在(−∞,+∞)上的有限区 定理 傅氏积分定理)：如果f(t)在 − 傅氏积分定理 上的有限区 间满足狄氏条件，且在 − 上绝对可积， 间满足狄氏条件，且在(−∞,+∞)上绝对可积，则傅氏 上绝对可积 积分成立。 积分成立。+∞ Nhomakorabea∫
−∞
f ( t ) dt < +∞
1 的间断点处： 在f(t)的间断点处： f ( t ) = [ f ( t + 0) + f ( t − 0)] 的间断点处 2
f (t)
t
练习 求矩形脉冲函数 表达式。
1, t ≤ 1 的付氏变换及其积分 f (t ) = 0, t > 1
F (ω ) = ∫
+∞
−∞
f (t )e
− iωt
dt = ∫ e
−1
1
− iωt
e dt = −iω
− iωt 1
−1
1 − iω iω 2sin ω = − (e − e ) = iω ω
而仅是一系列具有离散频率的谐波组成， 信号fT (t )并不含有各种频率成分，
其中An反映了频率为nω0的谐波在fT (t )中所占的份额，称为振幅；
θ n则反映了频率为nω0的谐波沿着轴移动的大小，称为相位.
5.傅里叶级数的物理意义 傅里叶级数的物理意义
an −bn a0 2 2 令A0 = , An = a n + bn , 则 cos θ n = ,sin θ n = An An 2
∑c e
n
T /2 −T / 2
jnw 0 t
∫
fT ( t )e
− jnw 0 t
dt
( n = 0,±1,±2, L)
这种表示形式称为傅里叶级数的复指数表示形式 这种表示形式称为傅里叶级数的复指数表示形式
5.傅里叶级数的物理意义 傅里叶级数的物理意义
an −bn a0 2 2 令A0 = , An = a n + bn , 则 cos θ n = ,sin θ n = An An 2
根据积分的定义， 根据积分的定义，上式为
+∞
1 f (t ) = 2π
+∞ f (τ )e − jwτ dτ e jwt dw ∫−∞ ∫−∞
+∞
二、非周期函数的Fourier变换
2.傅里叶积分公式 傅里叶积分公式
1 +∞ +∞ f (t ) = f (τ )e − jwτ dτ e jwt dw 2π ∫− ∞ ∫− ∞ 这个公式称为函数f 的 这个公式称为函数 (t)的傅里叶积分公式
T
当T越来越大时，取值间隔越来越小 当T趋于无穷时，取值间隔趋向于零 即频谱将连续取值 因此，一个非周期函数将包含所有的频率成分 结论：离散频谱变成连续频谱
二、非周期函数的Fourier变换
1.简单分析 （3）当T趋向无穷时，级数求和发生了什么变化
1 T /2 jnw0 t − jnw 0τ f ( t ) = lim f T ( t ) = lim ∑ ∫ f T (τ )e dτ e T → +∞ −T / 2 T → +∞ n = −∞ T 2π 2π , 再令 nw 0 = w n，得 令 w 0 = ∆w , 则 T = = w 0 ∆w +∞ 1 π / ∆w f (τ )e − jw nτ dτ ⋅ e jw n t ∆w f (t ) = lim ∑ ∫ − π / ∆w T ∆w → 0 2π n = −∞
二、非周期函数的Fourier变换
1.简单分析 （1）非周期函数可以看成是一个周期为无穷大 的“周期函数”
T →+∞
lim fT (t) = f (t)
二、非周期函数的Fourier变换
1.简单分析 （2）当T趋向无穷时，频率特性发生了什么变化 分析：傅立叶级数表明周期函数仅包含离散的频 率成分，其频谱以 w0 = 2π 为间隔离散取值的.
一、周期函数的Fourier级数
借助傅立叶级数的展开使得人们能够完全 了解一个信号的频率特性，从而认清一个信号的 本质，这种对信号的分析手段也称为频谱分析。
但是，傅立叶级数要求被展开的函数必须 是周期函数，而在工程实际问题中，大量遇到 的是非周期函数，那么，对一个非周期函数是 否也能进行频谱分析呢？
a0 ∞ 改写 f T ( t ) = + ∑ (a n cos nw 0 t + bn sin nw 0 t ) 2 n =1 = A0 + ∑ An cos(nw0t + θ n )
n= n =1 ∞
则上式说名，一个周期为T的信号可以分解为简谐波之和 若fT (t )表示信号，
这些简谐波的(角)频率分别为一个基频ω0的倍数. 换句话说，
+∞ sin x π ∫0 x d x = ∫0 sinc(x)d x = 2 sinω 另外，由 F (ω ) =2 可作出频谱图: ω +∞
F (ω )
ω = kπ ⇒ sin ω = 0
2
π
2π
3π
ω
a0 ∞ f T ( t ) = + ∑ (a n cos nw 0 t + bn sin nw 0 t ) 2 n =1
这种表示形式称为傅里叶级数的三角表示形式 这种表示形式称为傅里叶级数的三角表示形式 根据欧拉公式有： 根据欧拉公式有：