2021年高考数学压轴讲与练 专题08 数列中的最值问题(解析版)

专题08 数列中的最值问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．探求数列中的最值问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.
1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；
2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值；
3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；
4.常见思路四：应用基本不等式，确定最值．
【压轴典例】
例1.(2020·北京高考·T8)在等差数列{a n }中,a 1=-9,a 5=-1.记T n =a 1a 2…a n (n =1,2,…),则数列{T n } ( )
A.有最大项,有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项 D .无最大项,无最小项
【解析】选B .设公差为d ,因为a 1=-9,a 5=a 1+4d =-1,所以d =2,所以a 1,...,a 5<0,a 6, 0
所以T 1<0,T 2>0,T 3<0,T 4>0,T 5<0,以后都小于0,且越来越小.
例2．(2021·山西运城市·高三期末)设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N
*-*
-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为( ) A ．14 B ．15
C ．16
D ．17
【答案】C
【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以
292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，
1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，
当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又
2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1
26102n n a -+=⨯，
即1
2102
6n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)
9620220151212
n n n n S n n n --=-+-=⨯----，
714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=，
7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16．
例3．(2021·新疆高三其他模拟)若1x =是函数()4
3
12*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极
值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数.设12
23120202020
2020n n n S b b b b b b +⎡⎤
=+++
⎢
⎥⎣⎦
，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为( ) A ．2020 B ．2019 C ．2018 D ．1010
【答案】D
【详解】3212()43n n n f x a x a x a '++=--，∴12(1)430n n n f a a a '
++=--=，即有
()2113n n n n a a a a +++-=-，∴{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列，∴1
123n n n a a -+-=⋅，
1201111221123232313n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-+
+-+=⋅+⋅+
+⋅+=
∴31log n n b a n +==∴
12231
120202020
202011
120201223(1)n n bb b b b b n n +⎛⎫
+++
=+++
⎪⨯⨯+⎝
⎭
1111120202020122311n n n n ⎛⎫=-+-+
+
-= ⎪++⎝⎭，又20201
n y n =+为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<，若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010.
例4．(2021·全国高三其他模拟)数列{}n a 满足：11a =，*
,()m n m n a a a mn m n N +=++∈，
若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和7
4n S ≥，则n 最小为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】B
【详解】因为11a =，*
,()m n m n a a a mn m n N +=++∈，所以11n n a a n +=++，所以
1n n a a n -=+，所以1234...=+++++n a a n ()11234 (2)
+=+++++=
n n n ，
所以
()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， 所以12
11
1n n S a a a =+++
1111121223
1n n ⎛⎫=-+-++
- ⎪
+⎝⎭21
n
n =+， 因为74n S ≥
，所以
27
14
n n ≥+，解得7n ≥， 例 5.(河南省开封市2020高三)已知等比数列
满足：
，
，
则取最小值时，数列 的通项公式为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，当时，，则
当时，，，两式相减得：，即
，，解得，又，当且仅
当时，等号成立.取最小值1时，，
例6.(安徽省黄山市2020高三)已知数列和的前项和分别为和，且，
，，若对任意的 ，恒成立，则
的最小值为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】因为
，所以，相减得
，因为
，所以
，又
，
所以
, 因为
，所以
,因此
，
,从而,即的最小值为.
例7.(广西柳州市2020高三)已知点在函数的图象上().数列
的前项和为，设，数列的前项和为.则的最小值为____
【答案】
【解析】点
在函数
图象上，
,
是首项为
，公比
的等比数列，，则，是首项为，公
差为2的等差数列，当，即时，最小，即最小值为
.
例8.(2019·天津高考模拟)已知数列{}
n a 是正项等比数列，
13423
10,2a a a a a +=-=,数
列
{}
n b 满足条件123
(2)n b n a a a a =.
(Ⅰ) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (Ⅱ) 设11
n n n
c a b =
-,记数列{}n c 的前n 项和n S . ①求n S ； ②求正整数k ，使得对任意n *∈N ，均有k n S S ≥.
【答案】(1)2n
n a =，()1;n b n n =+(2)①11;12n
n S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
②4k =. 【解析】(1)设数列{}n a 是正项等比数列的公比为0q >，因为1310a a +=，4232a a a -=
所以有11132
11110222a a q a a q a q a q
q +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，所以2;n
n a =
(1232
n
b n a a a
a =
2312322222n n b b n n +++⋅⋅⋅+⇒⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⇒=
(1)2
2
2
2(1);n b n n n b n n +⇒=⇒=+
(2)①因为 11
n n n
c a b =
-，所以123n n S c c c c =+++⋅⋅⋅+ 123123()()n n n S a a a a b b b b ⇒=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+，
11[1()]
111122[],1122334(1)12n n S n n -⇒=-+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+-
11111111
1()(1),2223341n n S n n ⇒=---+-+-+⋅⋅⋅+-+
1111
1()1().2112
n n n S n n ⇒=--+=-++
②令1
1111111(1)(2)2()()22122(1)(2)
n n n n n n n n S S n n n n ++++++--=--+=++⋅++， 由于12n +比(1)(2)n n ++变化的快，所以10n n S S +->，得4n <，即1234,,,S S S S ,递增而
456,,,,n S S S S ⋅⋅⋅递减，4S ∴是最大，即当4k =时，对任意*n N ∈，均有k n S S ≥.
例9．(2021·广西南宁市·南宁三中高三)根据预测，疫情期间，某医院第()
N n n *
∈天口罩供
应量和消耗量分别为n a 和n b (单位：个)，其中4515,1310470,4
n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n
天末的口罩保有量是前n 天的累计供应量与消耗量的差． (1)求该医院第4天末的口罩保有量；
(2)已知该医院口罩仓库在第n 天末的口罩容纳量()2
4468800n S n =--+(单位：个)．设在某天末，口罩保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？ 【答案】(1)935；(2)第42天末，口罩保有量达到最大超过了.
【详解】(1)第4天末的口罩保有量是前4天口罩供应量和消耗量之差，将1,2,3,4n =代入
n a 和n b 得第4天末的口罩保有量为：
()()()()1234123420954204306789935a a a a b b b b +++-+++=+++-+++=，
所以该医院第4天末的口罩保有量为935；
(2)当n n a b >时，保有量始终增加.即104705n n -+≥+，n 为正整数，解得42n ≤， 即第42天末的时候，保有量达到最大，此时
()()1234212342a a a a b b b b +++
+-++++
()()42050386474296587822
2
+⨯+⨯=+
-=，而容纳量为
()2
424424688008736S =--+=，而87828736>，所以保有量超过了容纳量.
例10.(2019·江苏高考真题)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. (1)已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”； (2)已知数列{b n }满足:11
1221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值． 【答案】(1)见解析；
(2)①b n =n ()
*
n ∈N ；②5.
【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245
321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得
244112111440
a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得11
2a q =⎧⎨
=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”. (2)①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得2122
11b =-，则22b =.
由1
122
n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得
()()
111122n n n n
n n n n n b b b b b b b b b +-+-=
---，整理得112n n n b b b +-+=．
所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n }的通项公式为b n =n (
)*
n N
∈.
②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.
因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1
k k q
k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；
当k =2，3，…，m 时，有
ln ln ln 1k k q k k ≤≤-．设f (x )=ln (1)x x x >，则21ln ()x
f 'x x
-=． 令()0f 'x =，得x =e .列表如下：
x
(1,e)
e (e ，+∞)
()f 'x
+
0 –
f (x )
极大值
因为
ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3
()(3)3f k f ==．取33q =k =1，2，3，4，5时，
ln ln k q k
，即k k q ≤
，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．
若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3
，且q 5
≤6，从而q 15
≥243，且q 15
≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．
【压轴训练】
1．(2021·陕西西安市·西安中学高三)在等差数列{}n a 中100a <，110a >，且1110
a a >，
则在0n S <中，n 的最大值为( )
A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
【答案】C
【详解】设公差为d ，
100a <，110a >，0d ∴>，1110
a a >，则1110a a >-，即
10110a a +>，
()119191019+1902a a S a ==<，()
()11020101120+10+02
a a S a a ==>，
则0n
S <时，n 的最大值为19.
2．(2021·全国高三专题练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n =2n+1+m,且a 1，a 4，a 5-2成等差数列,b n =
()()n
n n 1a ,a 1a 1+--数列{b n }的前n 项和为T n ．,则满足T n ,>20172018
的最小正整数n 的
值为 A ．11 B ．10 C ．9 D ．8
【答案】B
【解析】根据1
2
n n S m +=+可以求得4,1
2,2n n m n a n +=⎧=⎨≥⎩
，所以有
1454,16,32a m a a =+==，根据145,,2a a a -成等差数列，可得432232m ++-=，从
而求得2m =-，所以12a =满足2n
n a =，从而求得2()n n a n N *=∈，所以
112(1)(1)(21)(21)n n n n n n n a b a a ++==----111
2121
n n +=---，所以
1111111113377152121n n n T +=-+-+-+⋯+---11121n +=--，令112017
1212018
n +->-，
整理得122019n +>，解得10n ≥，故选B.
3．(2021·全国高三其他模拟)已知数列{}n a 满足()12323213n n a a a na n +++
+=-⋅．设
4n n
n
b a =
，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S λ<(常数)，*n N ∈，则λ的最小值是( ) A ．
32
B ．
94
C ．
3112
D ．
3118
【答案】C 【详解】
()12323213n n a a a na n +++
+=-⋅ ①当2n ≥时，类比写出
()()11231231233n n a a a n a n --+++
+-=-⋅ ②，由①-②得 143n n na n -=⋅ ，即
1
43n n a -=⋅.当1n =时，134a =≠，1
3143
2n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩，1
41
32
3n n n b n
n -⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩
21
021
4231123333
33333
3n n n n n S --=
++++=+++++
③
23111123-1+39333
33n n n
n n
S -=+++++
④
③-④得，
023********+-393333
33
n n n
n S -=+++++1
1-23-19
31-3
n n n =+ 316931-124312
n n
n S +∴=
<⋅n S λ<(常数)，*n N ∈，∴λ的最小值是
3112
4．(2021·安徽安庆市·高三)已知等差数列{}n a 满足11a =，1010a =，则数列18n n n a a a ++⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的
最大项为( ) A ．
1
18
B ．
115
C ．
344
D ．
114
【答案】C
【详解】因为数列{}n a 是等差数列，11a =，1010a =，所以1019a a d =+，解得1d =，
n a n =，则()()2181
818989n n n a
n n a a
n n n n n n
++===
++++++，
因为899n n +
+≥=+n =2n =时，231011815292a a a ==++，当3n =时，341113844393
a a a ==
++，
故数列18n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的最大项为3
44，
5．(2021·北京高三开学考试)等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知15a =-，31a =-.记
(1,2,)=
=⋅⋅⋅n
n n
S b n a ，则数列{}n b 的( ) A ．最小项为3b B ．最大项为3b
C ．最小项为4b
D ．最大项为4b
【答案】C
【详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为15a =-，31a =-，可得
311(5)
2312
a a d ----=
==-，所以5(1)227n a n n =-+-⨯=-，2
11()(527)622
n n n a a n n S n n +-+-===-，则2276n n n S n b a n n -=-=，可得
2234237236346749,84b b ⨯-⨯--⨯-⨯====-，所以34b b >，可排除A 、D ；
设()2677,[271,)(,)22
x x f x x x -=∈+-+∞，
则()22
22((26)(27)(6)22(721)
27)(27)x x x x x x x x x f ----⨯-+--'==，
因为2
(7)41210∆=--⨯⨯<，所以()0f x '>，所以()f x 在区间71,
2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
和7(,)2+∞上都是单调递增函数，即当1,2,3n =时，数列{}n b 为递增数列，当4,n n N +
≥∈时，数列{}
n b 也为递增数列，其中1234585
1,,9,8,,33b b b b b ==
==-=-， 例如当25n =时，可得253475
43
b b =>，所以B 不正确，C 正确. 6．(2021·江西高三其他模拟)在等差数列{}n a 中，1411,5a a =-=-.记
12
(1,2,)n n T a a a n ==，则数列{}n T ( )
A ．有最大项，有最小项
B ．有最大项，无最小项
C ．无最大项，有最小项
D ．无最大项，无最小项
【答案】C
【详解】依题意可得公差41511
2413
a a d --+=
==-，1(1)1122213n a a n d n n =+-=-+-=-，所以当6n ≤时，0n a <，当7n ≥时，0n a ≥，
因为1110T =-<，211(9)990T =-⨯-=>，311(9)(7)6930T =-⨯-⨯-=-<，
411(9)(7)(5)34650T =-⨯-⨯-⨯-=>，53465(3)103950T =⨯-=-<， 610395(1)103950T =-⨯-=>，又当6n ≥时，123456
0n n T a a a a a a a =>，且
1121
112n n n n n
T a a a a T a a a +++==2111n =-≥，即1n n T T +≥，所以当6n ≥时，数列{}n T 单调递增， 所以数列{}n T 无最大项，数列{}n T 有最小项510395T =-.
7．(2019·北京师大附中高考模拟)已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、
a n ，使得a m a n =16a 12
，则1m +9
n 的最小值为( ) A ．
32
B ．83
C ．114
D ．不存在
【答案】C
【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+6
2a q
，化简得，
q 2-q-2=0，解得q=2或q=-1(舍去)，因为a m a n =16a 12，所以(
)()1
1
11
m n a q
a q --=16a 1
2
，
则q m+n-2
=16，
解得m+n=6
，所以191191918
(m n)10106663n m m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ . 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得32
92m n ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，因为mn 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则
1983m n +>，验证可得，当m=2、n=4时，19m n
+取最小值为11
4，
8.(2020·山东枣庄八中高三)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=，则使不等
式22
21286n a a a ++
+＜成立的n 的最大值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B
【解析】根据题意，数列{}n a 满足12n n S a +=，当1n =时，1121a a =+，得11a =， 当2n ≥时，()112n n n n n a a S S a ---=-=，即12n n a a -=，所以
1
2n
n a a -=， 又∵11a =满足上式，即{}n a 是以2为公比，1为首项的等比数列，则12n n a -=，则21
4n n a -=，
则数列{}2
n
a 是以1为首项，4为公比的等比数列，则
(
)(
)
222121141
4114
3
n n n S a a a -=+++=
=--，若22
21286n a a a ++
+<，则有
()
141863
n
-<，变形可得：4259n <，又由*n N ∈，则4n ≤，即n 的最大值为4； 9．(2021·安徽高三开学考试)已知n S 是各项均不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且
()
2
*21n n S a n -=∈N ，使不等式
1231a a a +2234345
1211
1114
2n n n n n a a a a a a a a a λ++⎛⎫+++
+ ⎪⎝⎭成
立，则实数λ的最大值是___________. 【答案】
4
45
【详解】因为()()()1212121212
n n n n a a S n a ---+=
=
-，所以221
n n S
a -=就是
()21n n a -2n a =，
21n a n =-，*n N ∈.等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =.因为一般项
12
11211114n n n n n n n a a a a a a a +++++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，所以原式1223234511211111114n n n n a a a a a a a a a a a a +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()()212121112432123n n n n a a a a n n ++⎛⎫+=-= ⎪++⎝⎭.即()()22211321234
2n n n n n n λ+⎛⎫
≥+ ⎪++⎝⎭.所以存
在*
n N ∈，使()()432123n n λ≤++成立，又易知()()432123n n ⎧⎫
⎪⎪
⎨⎬++⎪⎪⎩⎭
为递减数列，故当
1n =时，()()432123n n ++有最大值，故λ≤()()max
4
4
3212345
n n ⎡⎤=
⎢⎥
++⎢⎥
⎣⎦
.故实数λ的最大值是
445
. 10.(2020·江苏高考模拟)已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9
362S S S =+，则
63
1
S S +
取得最小值时，9S 的值为_______． 【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)
2111a q a q a q q q q
---=+---，
化简得：9
3
6
112(1)q q q -=-+-，即9
6
3
220q q q --+=，即
6
3
(1)(2)0q q --=，得
3
2q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a
q q
q a q --+--＝11
311a q q a -+≥-1
1311a q q a -=-，即
1a =时，63
1S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝3
11.(2020·广东高考模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=10，S 8=36，当n∈N *
时，
n
n 3
a S +的最大值为______． 【答案】
7
1 【解析】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4810,36S S ==，设首项为1a ，公
差为d ，则11
434102
878362a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩
，解得11a d ==，所以
，所以(1)
2
n n n S +=
， 则2322(3)(4)1271272n n a n n n n S n n n n
+===
++++++，当12n n
+取最小值时，3n n a S +取最大
值，结合函数()12
(0)f x x x x =+
>的单调性，可得当3n =或4n =时，317n n max
a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭．
12.(2019·福建高考模拟(理))在数列{}n a 中，1253a a +=，
()()11280n n n a na n N *+--+=∈，若()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取
得最大值时n 的值为__________． 【答案】10 【解析】
解法一：因为()11280n n n a na +--+=① 所以()211280n n na n a ++-++=②，
①-②，得122n n n na na na ++=+即122n
n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列． 在①中，取1n =，得1280a -+=即128a =，又1253a a +=，则225a =， 所以313n a n =-．因此1210
0a a a >>>>，1112130a a a >>>>
所以1280b b b >>
>>，9
9101180b a a a =⋅⋅=-<，
10101112100b a a a =⋅⋅=>，1112130b b b >>>>
所以123
89T T T T T <<， 9101112T T T >>
又1089108T T b b T =++>，所以10n =时，n T 取得最大值． 解法二：由()11280n n n a na +--+=，得
()
128
11n n a a n n n n +-=---， 令
1n n a c n +=，则11111282811n n c c n n n n -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
， 即1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫
=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
代入得()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-，
取1n =，得1280a -+=，解得128a =，又1253a a +=，则225a =，故1283n a n +=- 所以313n a n =-，于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++=⋅⋅=---． 由0n b ≥，得()()()3132832530n n n ---≥，解得8n ≤或10n =， 又因为98b =-，1010b =， 所以10n =时，n T 取得最大值．
13．(2021·山东菏泽市·高三期末)已知数列{}n a 的前n 项和是2
n S n =.
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记12n n n b a a +=
，设{}n b 的前n 项和是n T ，求使得2020
2021
n T >的最小正整数n ． 【答案】(1)21n a n =-；(2)1011. 【详解】
(1)111a S ==，当2n ≥时，()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-，1a 符合上式，所以
21n a n =-．
(2)()()
2
11
21212121
n b n n n n =
=--+-+， ∴11111111335
212121n T n n n =-
+-++
-=--++，令12020
1212021
n ->+，解得1010n >，所以最小正整数n 为1011.
14．(2021·广东韶关市·高三一模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
2n S n kn =-+(*k ∈N )，且n S 的最大值为25.
(1)求k 的值及通项公式n a ； (2)求数列{
}11
2
n a n -⋅的前n 项和n
T .
【答案】(1)10k =，211n a n =-+(*n ∈N )；(2)434
993
n n
n T +=
-⋅. 【详解】(1)由题可得2
224n k k S n ⎫⎛=--+ ⎪⎝
⎭，*k ∈Z ，所以当k 为偶数时，()2
max
2254n k k S S ===，解得10k =；当k 为奇数时，()21max 2
1254n k k S S +-===，此
时k 无整数解.综上可得：10k =，2
10n S n n =-+.
①1n =时，119a S ==.
②当2n ≥时，1n n n a S S -=-()
()()(
)
2
2
101101n n n n =-+---+-211n =-+，
当1n =时也成立. 综上可得：211n a n =-+
所以10k =，211n a n =-+(*n ∈N ) (2)11
22
24n a n n
n n n --⋅=⋅=
1212444n n
n
T =
++⋅⋅⋅+① 231112144444
n n n n n T +-=++⋅⋅⋅++② 两式相减得：21311144444n n n n
T +=++⋅⋅⋅+-
11
11131144144334414
n n n n n n n T ++⎫⎛- ⎪⎝⎭=-=--⋅- 则14199434n n n n T -=
--⋅⋅.则434993n n
n T +=-⋅. 15．(2021·江西吉安市·高三期末)已知{}n a 是公差不为0的等差数列，若1313,,a a a 是等比数
列{}n b 的连续三项． (1)求数列{}n b 的公比； (2)若11a =，数列11n n a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 和为n S 且99
200n
S >，求n 的最小值． 【答案】(1)5；(2)50.
【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项，得
2
3113a a a =⋅，即()()2
111212a d a a d +=⋅+，化简得2148d a d =．
10,2d d a ≠∴=． 设数列{}n b 的公比的公比为q ，则3111
111
245a a d a a q a a a ++=
===． (2)若11a =，则1111112,21,
(21)(21)22121n n n d a n a a n n n n +⎛⎫
==-==- ⎪-+-+⎝⎭
， 11111
2133557
(21)(21)n S n n ⎫⎛=+++
+
⎪ ⨯⨯⨯-⨯+⎝⎭
111111111111233557
212122121
n
n n n n ⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++
-=-= ⎪ ⎪
-+++⎝⎭⎝⎭． 由99200n S >
，得9999
,212002
n n n >∴>+，故n 的最小值为50．。