高考数学一轮复习---三角函数的图象与性质---单调性

高考数学一轮复习---三角函数的图象与性质---单调性
一、基础知识
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎪⎭⎫
⎝⎛1,2π，(π，0)，⎪⎭⎫
⎝⎛-1,23π，(2π，0)． 在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎪⎭⎫
⎝⎛0,2π，(π，－1)，⎪⎭
⎫
⎝⎛0,23π，(2π，1). 函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点). (2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
三角函数性质的注意点：
(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y ＝tan x 无单调递减区间；y ＝tan x 在整个定义域内不单调．
(2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.
二、常用结论 1．对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π
2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π (k ∈Z )．
(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π
2 (k ∈Z )．
(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．
三、考点解析
考点一 求三角函数的单调区间
例、已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎪⎭
⎫
⎝⎛32π的值； (2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．
跟踪训练
1．函数y ＝|tan x |在⎪⎭⎫
⎝⎛-
23,2ππ上的单调递减区间为________． 2．函数g (x )＝－cos ⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
-32πx ])2,2[(π
π-∈x 的单调递增区间为________．
3．已知函数f (x )＝3cos 2x －2sin 2(x －α)，其中0<α<π2，且f ⎪⎭
⎫
⎝⎛2
π＝－3－1.
(1)求α的值；
(2)求f (x )的最小正周期和单调递减区间．
考点二 求三角函数的值域(最值)
例、(1)函数f (x )＝3sin ⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
62πx 在区间]2,0[π
上的值域为( )
A ]23,23[-
. B.]3,23[- C.]233,233[- D.]3,2
3
3[- (2)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －3
4])2
,0[(π∈x 的最大值是________．
变式练习
1.(变条件)若本例(1)中函数f (x )的解析式变为：f (x )＝3cos ⎪⎭
⎫
⎝
⎛-62πx ，则f (x )在区间]2,0[π
上的值域为
________．
2.(变条件)若本例(2)中函数f (x )的解析式变为：函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x ，则f (x )的最大值为________．
3．已知函数f (x )＝sin ⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+6πx ，
其中x ∈],2[a π
-，若f (x )的值域是]1,2
1
[-，则实数a 的取值范围是________．
考点三 根据三角函数单调性确定参数
例、(1)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π
4 D ．π (2)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间]2
3,2[π
π-上是增函数，则ω的取值范围是________．
[解题技法]
已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法
(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．
(2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．
(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过1
4
周期列不等式(组)求解．。