高考数学(理)分层辅导专题：28 平面向量的数量积与平面向量应用举例

课时分层训练(二十八) 平面向量的数量积与平面向量应用举例
A 组 基础达标
一、选择题
1．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →
＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )
A ．－3
2
B ．0 C.32
D ．3
A [依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－32.] 2．已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →
方向上的投影为 ( )
A ．－322
B ．－3 5 C.32
2
D ．35
C [因为点C (－1,0)，
D (4,5)，所以CD ＝(5,5)，又AB →＝(2,1)，所以向量AB →在CD →
方向上的投影为
|AB →|cos 〈AB →，CD →
〉＝AB →·CD →
|CD →|
＝1552＝322.]
3．(·海口调研)若向量a ＝(2，－1)，b ＝(3－x,2)，c ＝(4，x )满足(6a －b )·c ＝8，则x 等于( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
D [因为6a －b ＝(9＋x ，－8)，所以(6a －b )·c ＝36＋4x －8x ＝8，解得x ＝7，故选D.]
4．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →
＝(2sin α，5sin α－4cos α)，
α∈⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π2，2π，且OA →
⊥OB →，则tan α的值为( ) 【导学号：79140158】
A ．－43
B ．－45
C ．45
D ．34
A [由题意知6sin 2
α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2
α＋5sin αcos α－4cos 2
α＝0，上述等式两边同时除以cos 2
α，得6tan 2
α＋5tan α－4＝0，由于
α∈⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π2，2π，
则tan α<0，解得tan α＝－4
3
，故选A.]
5．(·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝1
3.若n ⊥(t m ＋n )，则
实数t 的值为( ) A ．4 B ．－4 C.94
D ．－94
B [∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0， 即t m ·n ＋|n |2
＝0，
∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2
＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2
＝0，
解得t ＝－4.故选B.] 二、填空题
6．(·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2
＝|a |2
＋|b |2
，则m ＝________.
－2 [∵|a ＋b |2
＝|a |2
＋|b |2
＋2a·b ＝|a |2
＋|b |2， ∴a·b ＝0.
又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.]
7．(·合肥一检)若非零向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥(3a －b )，则a 与b 夹角的余弦值为________．
1
4
[由(a ＋b )⊥(3a －b )可得(a ＋b )·(3a －b )＝0，又|a |＝1，|b |＝2，则可得a·b ＝12，设a ，b 的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cos θ＝a·b |a |·|b |＝14
.] 8．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角
三角形，则△OAB 的面积为________.
【导学号：79140159】
1 [由题意得，|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA →⊥OB →
，|OA →|＝|OB →|.由OA →⊥OB →得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2
＝0，所以|a |＝|b |， 由|OA →|＝|OB →
|得|a －b |＝|a ＋b |，所以a·b ＝0. 所以|a ＋b |2
＝|a |2
＋|b |2
＝2，
所以|OB →|＝|OA →
|＝2，故S △OAB ＝12×2×2＝1.]
三、解答题
9．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.
(1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．
[解] 由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2
＝a 2
＋2a ·b ＋b 2
＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2
＝16a 2
－16a ·b ＋4b 2
＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3.
(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， ∴k a 2
＋(2k －1)a ·b －2b 2
＝0，
即16k －16(2k －1)－2×64＝0，∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．
10.如图4­3­2，已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3cos x,3sin x )，OB →＝(3cos x ，sin x )，OC
→
＝(3，0)，x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2.
图4­3­2
(1)求证：(OA →－OB →)⊥OC →
；
(2)若△ABC 是等腰三角形，求x 的值． [解] (1)证明：OA →－OB →
＝(0,2sin x )， ∴(OA →－OB →)·OC →
＝0×3＋2sin x ×0＝0， ∴(OA →－OB →)⊥OC →.
(2)若△ABC 是等腰三角形，则AB ＝BC ， ∴(2sin x )2
＝(3cos x －3)2
＋sin 2
x ， 整理得2cos 2x －3cos x ＝0， 解得cos x ＝0，或cos x ＝
32
.
∵x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＝32，x ＝π6.
B 组 能力提升
11．(·广州综合测试(二))已知两点A (－1,1)，B (3,5)，点C 在曲线y ＝2x 2
上运动，则AB →·AC →的最小值为( ) A ．2 B ．1
2 C ．－2
D ．－12
D [设C (x 0,2x 20)，因为AB →＝(4,4)，AC →＝(x 0＋1,2x 20－1)，所以AB →·AC →＝8x 2
0＋4x 0＝8⎝
⎛⎭⎪⎫x 0＋142
－12≥－12，即AB →·AC →的最小值为－12，故选D.] 12．(·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →
＋PC →
)的最小值是( )
A ．－2
B ．－32
C ．－43
D ．－1
B [法一：(解析法)
(1)建立坐标系如图(1)所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1,0)，
C (1,0)．
设P 点的坐标为(x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →
＝(1－x ，－
y )，
∴PA →·(PB →＋PC →
)＝(－x ，
3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2
－
3y )＝
2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫y －322
－34≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →
)取得最小值，最小值为－32
. 故选B. 法二：(几何法)
(2)如图(2)所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →
. 要使PA →·PD →最小，则PA →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2PA →·PD →)min ＝－2|PA →||PD →|，问题转化为求|PA →||PD →
|的最大值．
又|PA →|＋|PD →|＝|AD →
|＝2×32＝3，
∴|PA →||PD →|≤⎝
⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34， ∴[PA →·(PB →＋PC →)]min ＝(2PA →·PD →
)min ＝－2×34＝－32.
故选B.]
13．(·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
3
3
[由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2
＝3e 2
1－23e 1·e 2＋e 2
2＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2
.
所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)
|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|
＝3e 2
1＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2
221＋λ2＝3－λ21＋λ2
＝12， 解得λ＝
33
.] 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →
.
(1)求角B 的大小；
(2)若|BA →－BC →
|＝6，求△ABC 面积的最大值.
【导学号：79140160】
[解] (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .
根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，
所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，
即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0， 所以cos B ＝
22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4
. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →
|＝6，
即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2
＋c 2
－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)， 即ac ≤3(2＋2)，
故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3(2＋1)
2，
即△ABC 的面积的最大值为
32＋3
2
.。