全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

全等三角形问题中常见的辅助线的作法例 2、如图，△ ABC中， E、 F分别在 AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较 BE+CF与
EF的大小.
全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相
等。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，
二个角之间的相等。

1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变
换中的“对折”法构造全等三角形．
2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．
3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（ 1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移” 或“翻转折叠”
5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
6）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
一、倍长中线（线段）造全等
例 1、已知，如图△ ABC中， AB=5， AC=3，则中线 AD的取值范围是例 3、如图，△ ABC中， BD=DC=A，C E 是 DC的中点，求证： AD 平分∠ BAE.
1、以ABC的两边 AB 、AC 为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和等腰 Rt ACE，BAD CAE 90 ,连接DE，M、N分别是 BC、DE的中点．探究： AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图① 当ABC为直角三角形时， AM 与DE的位置关系是，
线段AM 与DE的数量关系是；
（2）将图①中的等腰 Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转（0< <90）后，如图②所示，（1）问中
得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
A BDC
、截长补
短
5、如图在△ ABC中， AB>AC，∠ 1＝∠ 2，P 为 AD上任意一点，求证 ;AB-
AC>PB-PC
1、如图，ABC 中， AB=2AC，AD平分BAC ，且 AD=BD，求证：
CD⊥AC
C
应
用：
2
、
如
图，
AD∥ BC， EA,EB分别平分∠ DAB,∠CBA，CD过点 E，求证 ;AB
＝AD+BC。

3
、
如
图，
已知在VABC 内，BAC 60 ，
4
、
别
是
BAC，ABC 的角平分线。

求
证：
如
图，
在四边
形
ABCD中， BC> BA,AD＝
CD，
求
证：
C 1800
C 400，P，Q分别在BC， CA上，并且 AP，BQ
分
、平移变
换
BQ+AQ=AB+BP
BD平分
ABC ，
例 1 AD为△ ABC的角平分
线，直线
长记为P B.求证P B> P A.
例 2 如图，在△ ABC的边上
取两点
MN⊥AD于 A.E 为 MN上一点，△ ABC周长记为P A ，
△ EBC周
A
D、E，且 BD=CE，求证：
AB+AC>AD+AE.
B D E C
1、如图，已知在△ ABC中，∠ B=60°，△ ABC的角平分线
AD,CE 相
交于点 O，求证：
OE=OD
A
D
2、如图，△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ， DG ⊥BC 且平分 BC ，DE ⊥AB 于 E ，DF ⊥AC 于 F.
∠MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD ，DC （或它们的延长线）于 E ，F ． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1），易证 AE CF EF ．
当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2和图 3这两种情况下， 上述结论是否成立？若成 立，请给予证明；若不成立，线段 AE ，CF ， EF 又有怎样的数量关系？请写出
你的猜想，不需证 明．
2、在等边 ABC 的两边 AB 、AC 所在直线上分别有两点 M 、N ，D 为 VABC 外一点，且
MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC. 探究：当 M 、N 分别在直线 AB 、AC 上移动时， BM 、NC 、
MN 之间的数量关系及 AMN 的周长 Q 与等边 ABC 的周长 L 的关系．
（I ）如图 1，当点 M 、N 边 AB 、AC 上，且 DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系 是 ； 此时 Q ；
（II ）如图 2，点 M 、N 边 AB 、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（ I ）问的两个结论
还成立吗？ 写出你的猜想并加以证明；
（III ） 如图 3，当 M 、N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时，
若 AN= x ，则 Q= （用 x 、 L 表示）．
五、旋转 例 1 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB 的中点， DM ⊥ DN,DM,DN 分别交
（1） 当 MDN 绕点 D 转动时，求证 DE=DF 。

（ 2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。

1、已知四边形 ABCD 中， AB AD ，BC CD ， AB BC ，∠ ABC 120o ，∠MBN 60o
，
1）说明 BE=CF 的理由；（ 2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE 、BE 的长.
应用：
1、如图①， OP 是∠ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全
等三角 形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（ 1）如图②，在△ ABC 中，∠ ACB 是直角，∠ B=60°， AD 、CE 分别是∠ BAC 、∠
BCA 的 平分线， AD 、CE 相交于点 F 。

请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系； （ 2）如图③，在△ ABC 中，如果∠ ACB 不是直角，而 （1） 中的其它条件不变，请
问，你在 （1） 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明
1）
BC,CA 于点 E,F 。

N
图 3 ）
（第 23 题图）
B
A
E C
A
F
图1 图2 图3
已知，如图，三角形 ABC是等腰直角三角形，∠ ACB=90°， F是 AB的中点，直线 l 经
过点 C，分别过点 A、B 作 l 的垂线，即 AD⊥CE，BE⊥ CE，
（1）如图 1，当 CE位于点 F的右侧时，求证：△ ADC≌△ CEB；
（2）如图 2，当 CE位于点 F 的左侧时，求证： ED=BE-AD；
（3）如图 3，当 CE在△ ABC的外部时，试猜想 ED、 AD、BE之间的数量关系，并证明你
的猜想．
已知Rt△ABC中，AC BC，∠C 90，D为AB边的中点，EDF 90°，
EDF 绕D点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E、F． 1
当EDF 绕D 点旋转到DE AC 于E 时（如图 1），易证S△ DEF S△CEF S△ABC．
2
当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图 2和图3这两种情况下，上述结论是否
成立？若
.如图 1，四边形 ABCD是正方形， M是 AB延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边经过点
D，且直角顶点 E在 AB边上滑动（点 E不与点 A， B重合），另一条直角边与∠ CBM 的平
分线 BF 相交于点 F.
⑴ 如图 14―1，当点 E 在 AB 边的中点位置时：
①通过测量 DE， EF的长度，猜想 DE与 EF满足的数量关系是；
②连接点 E 与 AD 边的中点 N ，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是；
③请证明你的上述两猜想 .
⑵ 如图 14―2，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N, 使得
NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明
数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD是正方形，点E是边 BC的中点．AEF
90o，且 EF 交正方形外角DCG 的平分线 CF 于点 F，求证： AE=EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM =EC，易
证
△ AME ≌△ECF ，所以AE EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E是边 BC 的中点”改为“点 E是边 BC 上（除
B，C外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观
点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（ 2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件
不变，结论“ AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如
果不正确，请说明理由．
成立，请给予证明；若不
成立，
不需证
明．
S△ DEF 、S△ CEF 、S△ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的
猜想，
F
图1
图1 图2
A
图3
3.已知△ ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、 C 重合），以AD 为边作菱形 ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠ DAF=60 °，连接 CF．
（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：① BD=CF ；② AC=CF+CD ；
（ 2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出 AC 、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系．
. 在 Rt△ABC 中， AC ＝ BC ，∠ ACB ＝90°，D 是 AC 的中点， DG⊥AC 交 AB 于点 G. （1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF ，连结 EF 与CF，过点 F 作 FH⊥ FC，交直线 AB 于点 H．
①求证： DG=DC
②判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明．
（2）若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点 F在射线 DG 上，（1）中的其他条件不
如图14-1，在△ ABC中，BC 边在直线l 上，AC⊥ BC，且AC = BC．△ EFP的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF=FP．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△ EFP 沿直线l 向左平移到图14-2 的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△ EFP 沿直线l 向左平移到图
14-3 的位置时，EP的延长线交AC 的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．1.直线 CD经过BCA的顶点 C，CA=CB ．E、F 分别是直线 CD 上两点，且BEC CFA （1）若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：
①如图 1，
若
②如图 2 ，
若
BCA 90o, 90o，则
EF
BE AF （填“”，“ ”或“ ”
号）；
o BCA 180o，若使①中的结论仍然成
立，则
与BCA 应满足的关系是
（ 2）如图 3，若
直线数量关系，并
给予证明．
CD 经过BCA 的外
部，
BCA ，请探
究
EF、与BE、AF 三条线段
的
图1 图2 图3
小题直接写出结论，不必证明）
H
A
变，借助图 2 画出图形。

在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）中得出的结论是否发生改变．（本
已知四边形ABCD中，AB AD，BC CD ，AB BC ，∠ABC 120o，∠MBN 60o，∠MBN （2）
如图 8，ΔOAB 固定不动，保持Δ OCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点 O 旋转（Δ
OAB 和Δ OCD 不能重叠），求∠ AEB 的大小 .
（1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD ，连结 AC 和BD ，相交于点 E，连结 BC．求∠ AEB 的大小；
绕B 点旋转，它的两边分别交
AD，
当∠MBN 绕B 点旋转到AE
DC （或它们的延长线）于E， F ．
CF 时（如图1），易证AE CF
EF ．
当∠MBN 绕B 点旋转到
AE
CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若
成立，请给予
证明；若不成立，
线段
AE，CF ，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，
不需证明．
N 图
1）
A
D
如图 1，现有一正方形 ABCD，将三角尺的指直角顶点放在 A 点处，两条直角边也与 CB
的延长线、分别交于点 E、 F．请你通过观察、测量，判断AE与 AF之间的数量关系，
并说明理由．
（2）将三角尺沿对角线平移到图 2 的位置， PE、PF之间有怎样的数量关系，并说明理
由．
（3）如果将三角尺旋转到图 3的位置， PE、PF之间是否还具有（ 2）中的数量关系？
如果有，请说明理由．如果没有，那么点 P 在 AC的什么位置时， PE、 PF才具有
（ 2）中的数量关系．
DC
图7。