(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习_第八章 立体几何初步 第2节 空间几何体的表面积与体积课件 文 新

第2节空间几何体的表面积与体积
最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
知识梳
理
1.多面体的表(侧)面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱圆锥圆台
侧面展开
图
侧面积公S圆柱侧2π＝rl S圆锥侧π＝rl S圆台侧π(＝r1＋r2)l
式_______ ______ _________
3.空间几何体的表面积与体积公式
名称
表面积体积几何体
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底
V＝S底h V＝13S底h
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S 下)h
V＝43πR3
球
S＝4πR
2
[常用结论与微点提醒]
1.正方体与球的切、接常用结
论
正方体的棱长为a，球的半径为
R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝
3a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝＋b2＋c2.
3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
诊断自
测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( )
(2)球的体积之比等于半径比的平方.( )
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( )
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝23a.( ) 解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.
(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
答案(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于 12π cm
面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
，其侧 2 A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.32 cm
解析 由题意，得 S 表＝πr 得r 2＝4，所以r ＝2(cm).
答案 B ＋πrl ＝πr ＋πr ·2r ＝3πr ＝12π，解
2 2
2
3.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A.12π
B.323 π
C.8π
D.4π
解析设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2球的半径为R，则2R＝3a，
即R＝3.所以球的表面积S＝4πR2＝12π.
答案 A
4.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一球
的球面上，则该圆柱的体积为( )
A.π
B.3π4
C.π2
D.4π 解析如图画出圆柱的轴截面
A B CD ，O 为球心.
球半径 R ＝OA ＝1， 球心到底面圆的距离为 O M ＝12.∴底面圆半径
r ＝ OA 2－OM 2＝ 23， 2 故圆柱体积 V ＝π·r 2·h ＝π·×1＝3π4 .
3 2 答案 B
5.(2018·天津河西区质检)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，
该四棱锥的三视图如图所示 (单位：m)，则该四棱锥的体积
为________m .
3
解析根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为 2 m ，高
1 m 的平行四边形， 1 3 四棱锥的高为 3 m.故该四棱锥的体积 V ＝ ×2×1×3＝
2 (m 3). 答案 2
考点一空间几何体的表面积
【例1】(1)(2016·全国Ⅱ卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A.20π
B.24π
C.28π
D.32π
(2)(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A.10
B.12
C.14
D.16
解析(1)几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.
由三视图知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4.
所以l＝22
＋（2 3）2＝4.
故该几何体的表面积S表＝πr2＋ch＋12cl＝4π＋16π＋8π
＝28π.
1 2 (2)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S 梯＝ ×(2＋4)×2
＝6，S 全梯＝6×2＝12.
答案 (1)C (2)B
规律方法 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.
2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【训练1】(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )
A.8＋2 2
B.11＋2 2
C.14＋2 2
D.15
(2)(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两互
相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )
A.17π
B.18π
C.20π
D.28π
解析 (1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底
面为直角梯形，如图所示.
直角梯形斜腰长为 12＋12＝ 2，所以底面周长为 4＋ 2，侧面积为 2×(4＋ 2)＝8 1 2 ＋2 2，两底面的面积和为 2× ×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋2 2＋3
＝11＋2 2.
(2)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心 O 且互相直的三 1 8 个平面) 切掉球所剩的组合体，
其表面积是球面面积的和三个14圆面
积. 7 8
设球的半径为 R ，则 × πR 3＝28π3，R ＝2. 7 4 8 3
故几何体的表面积 S ＝ ×4πR 2＋34πR 2＝17π. 7 8
答案 (1)B (2)A
考点二空间几何体的体积
【例2】(1)如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D
为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( )
3 2 D. 23
A.3
B.
C.1
(2)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )
1 2 3 3 1 2 3 3
A.＋π
B.＋
π
1 2 3 6 D.1＋62π
C.＋π
解析 (1)如题图，在正△ABC 中，D 为 B C 中点，则有
A D 23A
B ＝ 3，又∵平面 B B 1
C 1C ⊥平面 A BC ，A
D ⊥BC ，AD ⊂平面 A B C ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面 B B 1C 1C ， ＝13S △B 1DC 1·AD ＝ × ×2× 3 1 1 3 2 即 A D 为三棱锥 A －B 1DC 1的底面 B 1DC 1上的高，∴V
× 3＝1.
A －
B D
C 1 1 (2)由三视图知该四棱锥是底面边长为 1，高为 1的正四棱锥，结合三图可得半球
1 4
2 1 2 3
半径为 22，从而该几何体的体积为 ×12×1＋ × π×＝＋ π. 1 3 2 3 2 3 6 答案 (1)C (2)C
规律方法 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.
2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.
3.若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
【训练2】(1)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )
9 2 C.32
A.2
B. D.3
(2)(2018·郑州质检)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.
1 2 解析 (1)由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且 S 底＝(1＋2)×2＝
1 3 3.∴V ＝ x ·3＝3，解得 x ＝3.
(2)由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为 2的等腰三
角形，
由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为 h ＝1，
则体积 V ＝ S h ＝ ××2 3×1×1＝ 33. 1 1 1
3 3 2
答案 (1)D (2) 33
考点三多面体与球的切、接问题(典例迁移)
【例3】(经典母题)(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，
AA1＝3，则V9π的最大值是( )
2
32πD.
3
A.4π
B.
C.6π
解析 由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10.
要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，
若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r .
1 2 1 2 则 ×6×8＝ ×(6＋8＋10)·r ，所以 r ＝2.2r ＝4＞3，不合题意.
球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大.
由 2R ＝3，即 R ＝ .故球的最大体
积 V ＝43πR 3＝29π. 3 2
答案 B
【迁移探究】若本例中的条件变为“直三棱柱ABC－A1B1C1 的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积.
解将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，
则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球.
∴体对角线BC的长为球O的直径.
2 2 2
因此2R＝3＋4＋12＝13.
1
故S球＝4πR＝169π.
2
规律方法 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面
体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.
2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决
外接问题.
【训练3】(1)(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9.则球O的表面积为________.
(2)(2018·佛山一中月考)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A.36π
B.64π
C.144π
D.256π
解析 (1)如图，连接OA ，OB ，
因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，所以OA ⊥SC ，OB ⊥SC .
因为平面 SAC ⊥平面SBC ，平面SAC ∩平面SBC ＝SC ，且OA ⊂
平面SAC ，
所以OA ⊥平面SBC .
设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， 1 3 1 1 3 2 1 3 3 所以 V ＝ ×S ×OA ＝ × ×2r ×r ×r ＝ r ，
△
A －SBC SBC 所以13r 3＝9⇒r ＝3，所以球 O 的表面积为
4πr 2＝36π.
(2)因为△AOB 的面积为定值，所以当 O C 垂直于平面 A OB 时，三棱锥 O －ABC 的 1 1 3 2 体积取得最大值.由 × R 2×R ＝36，得 R ＝6.从而球 O 的表面积 S ＝4πR 2＝144π.
答案 (1)36π (2)C。