CHAP 7 图的连通性

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断集
• 断集：设G是一个图，V1，V2 V(G)，令 [V1,V2]={(u,v) ∈E(G) | u∈V1, v∈ V2}，并称 [V1,V2]为G的一个断集。 • 若(G) >0，则存在断集[V1,V2]，使得| [V1,V2]| = (G) 。 显然，存在边割E’，|E’| = (G)。令 V’={u| (u,v)∈E’且vV1}， V1 是V’和G-E’ 中 与V’ 中的某个顶点在同一连通分支中的顶点 的并集，V2=V(G)-V1，于是[V1,V2] 是G的一 个断集，且| [V1,V2]| = (G) 。
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不可分图的任意两边同回路
• 推论7.2.2：若G是至少3个顶点的块，则G 的任意两条边都在G的某一条回路上。
证明：设e1和e2∈E(G)，分别 在e1和e2 上添加顶点v1和v2， 得到新图G1。显然G1仍是块， 且至少有5个顶点。因此G1是 不可分图，由推论7.2.1 v1和v2 在G1的同一条回路上，从而e1 和e2都在G的同一条回路上。
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点连通度
• 定义7.1.1：设G为连通的非完全图，令 (G)=min{|V | V是 G的顶点割}， 称(G)为G的点连通度，简称为G的连通度。 • 为统一起见，规定(Kn)=n–1，当G为平凡图或非 连通图时，(G)=0 . • k––连通图：对图G，若(G)k 0，则称图G为 k––连通图。 • 显然，k––连通图必是一个(k–1)––连通图,所有非 平凡的连通图都是1––连通图。
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连通度不大于平均度
• 定理7.1.2：任何图G(p,q)，有 (G) (G) 2q/p 其中 x 表示不超过x的最大整数。 证明：因为2q是G的顶点度之和，2q/p 是G的顶点的平均度，而(G)是G的最小 度，又(G)是整数，所以，(G) 2q/p 故由定理7.1.1有：(G) (G) 2q/p 。
• 若图G是不可分的，则G中无割点，所以 (G) ≥2，G是2—连通图。反之依然。 • 注意2—边连通图不一定是不可分的。如图 G2是边2—连通图，但却存在割点，因而是 可分的。
G2
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内不交的通路
• 定义7.2.2：设通路P、Q是图G中的两条(u,v) – –通路，如果除端点u，v外，P和Q没有其他公 共顶点，则称P和Q内部不相交，简称内不交。 • 所谓内不交的两条通路是两条相互独立的通路， 当其中一条通路上的顶点发生故障时，另一条 通路不会受到任何的影响，从而保障了两点之 间的连续。而两条内部相交的通路就不一定能 保证这一点。
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边连通度
• 定义7.1.2：设G为非平凡连通图，令 (G)=min{|E | E是 G的边割}， 称(G)为G的边连通度。 • 当G为非连通图或平凡图时，规定 (G)=0。 • k––边连通图：如果(G) k，则称图G 为k––边连通图。
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连通度的例子
P
v v
P
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图不可分的充要条件
• 定理7.2.1 设G(p,q)是p3的图，于是，G是 不可分图当且仅当G的任意两个顶点间至少 有两条内不交的通路。 • 证明：由引理7.1.1和引理7.1.2可知本定理 成立。
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不可分图的任意两点同回路
• 推论7.2.1 G是不可分图，则G的任意两 个顶点都同在G的某一条回路上。 • 证明：由定理7.2.1，对任意u,v∈V(G)， 设P和Q是G的两条内不交的(u,v)––通路， 显然，P+Q是G的一条回路，且u和v同 在其上。
u P w
P
v
Q
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不可分图的必要条件
引理7.2.2：设G(p,q)是p3的图，若G是不可分图，则 G的任意两个顶点间至少有两条内不交的通路。 证明：⑵P’与P或Q内相交又可分为以下两种情况：
x ①交点中距v最近的交点x在P上。 P u 则P的(u,x)+P’的(x,v)，与Q+wv 是 w 两条内不交的(u,v)—通路 。 Q ②交点中距v最近的交点x在Q上。 P w 则Q的(u,x)+P’的(x,v)，与P+wv 是 u 两条内不交的(u,v)—通路 。 Q x • 由归纳法可知结论成立。
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边连通度最大的充分条件
• 定理7.1.4： 如果简单图G(p,q)满足(G) p/2 , 则 (G) = (G) 。 • 证明：… …所以，|V1| > (G)，|V2| > (G)。 从而|V1 | (G) +1 , |V2| (G) +1 ,于是， |V(G)| = |V1| + |V2| 2 ( (G) +1) > 2 (G) + 1 2 p/2 + 1 p , 即|V(G)|＞p，此为矛盾。故有(G) = (G) 。 因为边连通度不大于最小度，所以此定理可以 看作是边连通度取最大值的充分条件。
vV 1
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边连通度最大的充分条件
• 定理7.1.4： 如果简单图G(p,q)满足(G) p/2 ,则 (G) = (G) 。 • 证明：… … 2q1 |V1| (G) –(G) ，于是， q1 (|V1| (G) – (G))/2 >(|V1| (G) –(G))/2 就是完全图KP 的边 =(G)(|V1| – 1) /2 |V1|(|V1| – 1)/2。 数也只有P(P－1)/ 2 对简单图而言这是不可能的，所以，|V1| > (G)。 同理可证，|V2| > (G)。
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连通图的充分条件
• 定理7.1.3 设G(p, q)是简单图，若(G) p/2 ，则G必连通。 • 证明：假设G不连通，则由(G) p/2 可知，G的每一个连通分支至少有p/2 +1个顶点*，即 (p+2)/2 个顶点。 (*一个顶点与 p/2 (p+1) /2 ，于是，G 但是 (p+2)/2 个顶点相邻接) 至少有p+1个顶点，矛盾，故G必连通。
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§ 7.2 块
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不可分图与块
• 定义7.2.1：没有割点的非平凡连通图。图G的 极大不可分子图称为G的一个块。 • 例如，下图中的G3和G4是不可分图，当然也是 块。 G1和G2的块如(a)、(b)所示：
G1 G2 G3 G4
(a)
(b)
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不可分图是2—连通图
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最优树是可靠性不高的通讯网
• 显然，最优树是连接各站点的通讯网，且 具有造价低的特点。 • 若给定k=1时，可用Kruskal算法来求对应 的通讯网。 • 最优树只有1—连通生成子图，可靠性不高。 • 对于 k>1，求最优的k—连通生成子图的通 用算法目前还没有。
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割边
• 边割：设G是个连通图，E E(G) 。如果 G –E不连通，则称E为G的一个边割。 • 特别，当E = {e}时，称e为G的割边。 • 实际上，边割是若删去它们就会使图不连 通的边的集合，而割边是若删去这一边就 会使图不连通的边。 • 边割中的边都是战略要道，而割边就更是 要命的瓶颈。
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e1
v1 e2 v2
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§ 7.3 应用
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构造可靠的通讯网络
• 连通度越高，通讯网络的可靠性越高。 • 但是连通度越高，造价也会越高。 • 构造可靠的通讯网络问题：在保证一定 可靠性的前提下，使造价最低。 • 抽象为图论中的问题：对给定的正整数k 和赋权连通图G，构造G的一个具有最小 权的k––连通生成子图。
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不可分图的充分条件
• 引理7.2.1：设G(p,q)是一个p3的图。若G的任意 两个顶点至少由两条内不交的通路所连通，则G 是不可分图(2––连通图)。 • 证明：设G的任意两个顶点至少由两条内不交的 通路所连通，则G显然是连通的，并且G 的任意 一个顶点都不是割点，故G是不可分图。 注意：通路的内不交很重要。如果 有两条通路，但不是内不交，则不 能保证G是不可分图。见右图：
G1 G2
(G1)=1 ; (G1)=1
G3 (G3)=3 ; (G3)=3 G4
(G2)=1 ; (G2)=2
(G4)=4 ; (G4)=4
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点连通度不大于边连通度
• 定理7.1.1：对任何图G， (G) (G) (G)。 • 证明：如果图G是不连通图或者是平凡图，则有 (G)=(G)=0 (G)； • 任给一个连通图G，若(G)=k，则存在边割 E’，| E’| = k。现取E’中每一条边的一个端点构成 顶点集V’，即V’={u | (u, v)∈E’且vV’}。显然|V’| k 。而G－V’是不连通的，即V’是G的一个顶点 割。所以(G) |V’| (G)。 • 若G是非平凡图，则因为每一个顶点所关联 的边构成一个边割，故有 (G) (G)。 • 综上所述，有(G) (G) (G)。
第七章 图的连通性
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§7.1 点连通度和边连通度
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割点
• 设G是个连通图，V V(G) 。如果G –V不 连通，则称V为G的一个顶点割。 • 特别，当V = {v}时，称v为G的割点。 • 实际上，顶点割是若删去它们就会使图不 连通的点的集合，而割点是若删去此一顶 点就会使图不连通的顶点。 • 顶点割中的顶点都是战略要地，而割点就 更是兵家必争的咽喉要塞。
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不可分图的必要条件
• 引理7.2.2：设G(p,q)是p3的图，若G是不可分图， 则G的任意两个顶点间至少有两条内不交的通路。 • 证明： … …
归纳步骤：假设对d(u,v)<k，结论成立。 现对d(u,v)=k2时，考虑一条长为k的(u,v)–通路 R。设R=u…wv，则d(u,w)=k – 1，由归纳假设， G中至少有两条内不交的(u,w) ––通路P和Q。G 是2––连通的， G –w仍连通。于是 G –w中存在 (u,v)––通路P’。 P’与P、Q的关系可分为以下两 种情况：
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不可分图的必要条件
• 引理7.2.2：设G(p,q)是p3的图，若G是不可分图， 则G的任意两个顶点间至少有两条内不交的通路。 • 证明：若G是不可分图，任取u、v∈V(G)。以下对 顶点u与v的距离d(u,v)作归纳证明：G中至少存在 两条内不交的(u,v) –通路。 • 归纳基础：当d(u,v)=1时，即e=uv∈E(G)，由G的 假设知，e不是割边(否则G有割点)，于是G – e仍 连通，从而， G – e中(当然也是G中)的(u,v)–通路 与通路e=uv构成G中两条内不交的(u,v) –通路。
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不可分图的必要条件
• 引理7.2.2：设G(p,q)是p3的图，若G是不可分图， 则G的任意两个顶点间至少有两条内不交的通路。 • 证明： … P’与P、Q的关系可分为以下两种情况： ⑴P’与P、Q 均内不交；⑵P’与P 或Q内相交。下 面我们分别进行讨论： ⑴若P 与P、Q均内不交。此 时， P’ 与P+wv是两条内不 交的 (u,v)––通路。于是结论 成立。
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边连通度最大的充分条件
• 定理7.1.4 ：若简单图G(p,q)满足(G) p/2 , 则 (G) = (G) 。 证明：假设(G)< (G)。 因为(G) p/2 ，由定理7.1.3知G连通， 所以(G) >0，于是存在V(G)的非空子集V1，使 得 |[V1, V2]|=(G) < (G)，其中V2 =V(G) – V1 。 设G[V1]边数为q1，若|V1| (G)，则 2q1= d (V ) – (G) |V1| (G) –(G) ，于是，