2013顺义区初三一模数学试题和答案

顺义区2013届初三第一次统一练习
数学试卷2013.4
学校 姓名 准考证号 考生须知
1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的倒数是
A ． 13-
B ． 1
3
C ． 3-
D ．3
2．据2013年4月1日《CCTV —10讲述》栏目报道，2012年7月11日，一位26岁的北
京小伙樊蒙，推着坐在轮椅上的母亲，开始从北京到西双版纳的徒步旅行，圆了母亲的旅游梦，历时93天，行程3 359公里．请把3 359用科学记数法表示应为
A ．2
33.5910⨯ B ．4
3.35910⨯ C ．3
3.35910⨯ D ．4
33.5910⨯
3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是
4．我区某一周的最高气温统计如下表：
则这组数据的中位数与众数分别是（ ）
A ．17，17
B ． 17，18
C ．18，17
D ．18，18
5．下列计算正确的是
A ．235a a a +=
B ．236a a a ⋅= C. 23
5
()a a = D. 532
a a a ÷=
最高气温（℃） 13
15 17 18 天 数
1
1
2
3
A B C D
6．如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，68BED ∠=︒，38D ∠=︒，则B ∠的度数为
A ． 30︒
B ． 34︒
C ． 38︒
D ．68︒
7．若x y ，为实数，且330x y ++-=，则
2013
y x ⎛⎫
⎪
⎝⎭
的值为
A ．1
B ． 1-
C ． 2
D ． 2- 8．如图，AB 为半圆的直径， 点P 为AB 上一动点，动点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动到点B ，运动时间为t ，分别以AP 和PB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．分解因式：231212ab ab a -+= ．ww w.
10．袋子中装有3个红球和4个黄球，这些球除颜色外均相同．在看不到球的条件下，随机
从袋中摸出一个球，则摸出红球的概率是_____________．
11．如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120︒，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为 ．
12．如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°，则菱形ABCD 的面积是 ，连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11ACC D ，使160D AC ∠=°；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形122AC C D ，使
2160D AC ∠=°；……，按此规律所作的第n 个菱形的面积为___________．
C 1
D 1
D 2
C 2
D C A B 图
E
D
C
B
A
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：10
1()4sin 60( 3.14)123
π
-+︒---．
14．解不等式组312(1)312
x x x -<+⎧⎪
⎨+⎪⎩，≥， 并把解集在数轴上表示出来．
15．已知：如图，CA 平分BCD ∠, 点E 在AC 上，BC EC =，AC DC =．
求证：A D ∠=∠ ．
16．已知2
320a a +-=，求代数式2
231()933
a a a a +÷-+-的值．
17．如图，已知(2,2)A --，(,4)B n 是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x
=的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求AOB ∆的面积.
18．某商店销售一种旅游纪念品，3月份的营业额为2000元，4月份该商店对这种纪念品打8折销售，结果销售量增加30件，营业额增加800元，求该种纪念品3月份每件的销售价格是多少？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点
E ，BD DC ⊥，45ABD ∠=︒，30ACD ∠=︒，
23AD CD ==，求AC 和BD 的长.
D
C
B
A
E
E
D C
B
A
20．如图，已知ABC
△，以AC为直径的O交AB于点D，点E为AD的中点，连结CE交AB于点F，且
BF BC
=.
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若O的半为2,
3 cos
5
B=,
求CE的长.
21．某课外实践小组的同学们为了解2012年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区
请解答以下问题：
（1）表中m=，n=；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）求该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；
（4）若该小区有1500户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户？
22．如图1，在四边形ABCD中，AB CD
=，E F
、分别是BC AD
、的中点，连结EF 并延长，分别与BA CD
、的延长线交于点M N
、，则BME CNE
∠=∠（不需证明）．
小明的思路是：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE HF
、，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得BME CNE
∠=∠．
问题：如图2，在ABC
△中，AC AB
>，D点在AC上，AB CD
=，E F
、分别是BC AD
、
的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若60
EFC
∠=°，连结GD，判断AGD
△的形状并证明．
月均用水量x(t) 频数(户) 频率
05
x
<≤ 6 0.12
510
x
<≤m 0.24
1015
x
<≤16 0.32
1520
x
<≤10 0.20
2025
x
<≤ 4 n
2530
x
<≤ 2 0.04
F
O
E
D
C
B
A
月用水量
频数（户）
16
12
4
25
20
15
10
5
8
30
O
y
x
F
E
D
C
B A
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的方程2
(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于x 的二次函数2
(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.
24．如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合．三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点.G （1）求证：EF EG =； （2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a =，BC b =，求
EF
EG
的值．
25．如图，已知抛物线2
3y ax bx =++与y 轴交于点A ，且经过(1,0)(5,8)B C 、两点，点D 是抛物线顶点，E 是对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于点D 对称．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：AFE CFE ∠=∠；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使AFP ∆与FDC ∆相似．若有，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若没有，请说明理由．
顺义区2013届初三第一次统一练习 数学试题参考答案及评分参考
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A
C
D
B
D
A
B
D
二、填空题
题号 9
10
11
12
答案
23(2)a b -
37
2
32，21(3)2
n - 三、解答题
13．解：原式=3
341232
+⨯
-- …………………………………………4分 =2 ……………………………………………… 5分 14． 解：解不等式312(1)x x -<+，得3x <． ………………………………… 1分
解不等式
3
12
x +≥，得1x -≥． ………………………………… 2分 ∴不等式组的解集为13x -<≤． ………………………………… 4分
在数轴上表示其解集为如图所示
…………………………………5分
15．证明：∵CA 平分BCD ∠
∴ ACB DCE ∠=∠ ……………………………………………1分
在ABC ∆和DEC ∆中
∵BC EC ACB DCE AC DC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
……………………………………………3分 ∴ABC ∆≌DEC ∆ …………………………………………… 4分 ∴A D ∠=∠ ……………………………………………5分
16．解：原式=2333
(
)(3)(3)(3)(3)a a a a a a a
--+⨯+-+- ………………………2分
=
23
(3)(3)a a a a a
-⨯+- ………………………………………… 3分
4- 3- 2- 1- 5- 0 1 2 3 4 5 13x -<≤
=
1
(3)
a a +
=
2
1
3a a
+ ……………………………………………… 4分 ∵ 2
320a a +-=
∴ 2
32a a += ∴原式=
1
2
………………………………………………5分 17．解：（1）将(2,2)A --代入m
y x
=
中，得4m =． ∴4
y x
=
． …………………………………………………………………1分 将(,4)B n 代入4
y x
=
中，得．1n = ………………………………2分 将(2,2)A --，(1,4)B 代入y kx b
=+中，得 22,
4.
k b k b -+=-⎧⎨+=⎩ ………3分 解得2,
2.k b =⎧⎨=⎩ ∴
22y x =+． ……………………………………………4分 （2）设直线AB 与y 轴交于点C 当0x =时，2y =． ∴2OC =．
∴11
2221322
AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯= ………………………5分 18．解：设该种纪念品3月份每件的销售价格为x 元， ……………………………1分
根据题意，列方程得
20002000800
300.8x x
+=- ………………………………………………3分 解之得50x =． …………………………………………………………4分 经检验50x =是所得方程的解．
答：该种纪念品3月份每件的销售价格是50元． …………………………5分 解法二：设3月份销售这种纪念品x 件，则4月份销售（x +30）件 …………1分
根据题意，列方程得
420002000800530
x x +⨯=+ ……………………………………………3分 解之得40x =． ………………………………………………4分 经检验40x =是所得方程的解
答：该种纪念品3月份每件的销售价格是2000
5040
=（元）…………5分
19解：∵ BD DC ⊥
∴ 90BDC ∠=︒
∵ 30ACD ∠=︒，23AD CD ==， ∴ 60,30,DEC DAC ACD ∠=︒∠=∠=︒
3
tan 30232DE CD =⋅︒=⨯
= ∴ 24EC DE == ，30ADE ∠=︒ …………………………………………1分
∴ 2AE DE == ……………………………………………………… 2分- ∴ 246AC AE EC =+=+= ………………………………………………3分
过点A 作AM BD ⊥,垂足为M ∵ 60AEB DEC ∠=∠=︒
∴ 3
sin 6023AM AE =⋅︒=⨯= 1
cos60212
ME AE =︒=⨯= ………………………………………………4分 ∵45ABD ∠=︒ ∴3BM AM ==
∴ 31233BD BM ME DE =++=++=+ …………………………5分
20．⑴ BC 与⊙O 相切 证明：连接AE ，
∵AC 是O 的直径
∴90E ∠=
∴90EAD AFE ∠+∠=︒ ∵BF BC =
∴BCE BFC ∠=∠ 又 ∵E 为AD 的中点
∴EAD ACE ∠=∠ …………………………1分 ∴ 90BCE ACE ∠+∠=︒ 即AC BC ⊥ 又∵AC 是直径
∴BC 是O 的切线 …………………………2分 （2）∵O 的半为2
∴4AC =,
F O
E
D
C B
A
∵3cos 5
B =
由（1）知，90ACB ∠=，
∴5AB = ,3BC =
∴3BF = ,2AF = ………………………… 3分 ∵EAD ACE ∠=∠, E E ∠=∠ ∴AEF ∆∽CEA ∆，
∴
1
2
EA AF EC CA == ∴2EC EA =， …………………………4分
设 ,2EA x EC x ==
由勾股定理 22
416x x += ，45
5
x =±
（舍负） ∴ 85
5
CE =
…………………………5分 21． 解：（1）表中填12m =；0.08n =. …………………………2分
(2）补全的图形如下图.
- …………………………3分
（3）0.120.240.320.68++=.
即月均用水量不超过15t 的家庭占被调查的家庭总数的68%.
…………………………4分 （4）(0.080.04)1500180+⨯=.
所以，该小区月均用水量超过20t 的家庭大约有180户. ………………5分
22．判断AGD ∆是直角三角形
证明：如图连结BD ，取BD 的中点H ，连结HF HE 、，……………………1分
F 是AD 的中点，
∴HF AB ∥，1
2
HF AB =，………………… 2分 ∴13∠=∠．
30
805101520254
12频数（户）
月用水量
A B
C
D F G H E
1
2 3
同理，1
2
HE CD HE CD =
∥，， ∴2EFC ∠=∠．
AB CD =，
∴HF HE =，
∴12∠=∠． …………………………………………3分
60EFC ∠=°，
∴360EFC AFG ∠=∠=∠=°，
∴AGF ∆是等边三角形．………………………………4分 AF FD =， ∴GF FD =，
∴30FGD FDG ∠=∠=° ∴90AGD ∠=°
即AGD △是直角三角形．…………………………… 5分
23．（1）证明：①当0m =时，方程为220x -+=，所以 1x =，方程有实数根.…… 1分 ②当0m ≠时, []2
(32)4(22)m m m ∆=-+-+ =22
912488m m m m ++-- =2
44m m ++
=2
(2)0m +≥ ………………………………2分 所以,方程有实数根
综①②所述，无论m 取任何实数时，方程恒有实数根 …………3分
（2）令0y =，则2
(32)220mx m x m -+++=
解关于x 的一元二次方程，得11x = ，22
2x m
=+
……………………5分 二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数， 所以m 只能取1，2
所以抛物线的解析式为2
54y x x =-+或2
286y x x =-+………………7分 24．
（1）证明：∵9090GEB BEF DEF BEF ∠+∠=∠+∠=°，°，
∴.DEF GEB ∠=∠
又∵ED BE =，
∴Rt Rt FED GEB △≌△.
∴.EF EG = ………………………………………………………2分
（2）成立.
证明：如图，过点E 分别作BC CD 、的垂线，垂足分别为H I 、，
则90EH EI HEI =∠=，°.
N M
O
y
x
F
E
D
C
B A
∵9090GEH HEF IEF HEF ∠+∠=∠+∠=°，°，
∴.IEF GEH ∠=∠
∴Rt Rt FEI GEH △≌△.
∴.EF EG = …………………………………4分
（3）解：如图，过点E 分别作BC CD 、的垂线，垂足分别为M N 、，则90MEN ∠=°，
.EM AB EN AD ∥，∥
∴
.
EM CE EN
AB CA AD == ∴.EM AD a EN AB b ==
…………………………………5分 ∴9090GME MEF FEN MEF ∠+∠=∠+∠=°，°， ∴.MEN GEM ∠=∠
∴Rt Rt FEN GEM △∽△. ww w. ∴.EF EN b EG EM a ==
…………………………………7分
25．解：（1）将点(1,0)(5,8)B C 、代入2
3y ax bx =++得
30
25538a b a b ++=⎧⎨
++=⎩
……………………1分 解之得1
4
a b =⎧⎨
=-⎩，
所以抛物线的解析式为2
43y x x =-+
……………………2分
（2）由（1）可得抛物线顶点(2,1)D -
……………………3分
直线AC 的解析式为3y x =+
由E 是对称轴与直线AC 的交点，则(2,5)E
由F 与E 关于点D 对称 ，则(2,7)F - ……………………4分
证法一：
从点,A C 分别向对称轴作垂线,AM CN ，交对称轴于,M N 在Rt FAM ∆和Rt FCN ∆中
090AMF CNF ∠=∠=，
21310515AM CN
MF NF
==== 所以Rt FAM ∆∽Rt FCN ∆
所以AFE CFE ∠=∠
…………………………………5分
证法二：直线AF 的解析式为53y x =-+ 点 (5,8)C 关于对称轴的对称点是(1,8)Q - 将点(1,8)Q -代入53y x =-+可知点Q 在直线AF 所以AFE CFE ∠=∠
（3）在FDC ∆中，三内角不等，且CDF ∠为钝角
10 若点P 在点F 下方时，
在AFP ∆中，AFP ∠为钝角
因为AFE CFE ∠=∠，0
180,180AFE AFP CFE CDF ∠+∠=∠+∠< 所以AFP ∠和CDF ∠不相等
所以，点P 在点F 下方时，两三角形不能相似 …………………… 6分 20 若点P 在点F 上方时，
由AFE CFE ∠=∠，要使AFP ∆与FDC ∆相似 只需
AF PF CF DF =（点P 在DF 之间）或AF PF
DF CF
=
（点P 在FD 的延长线上） 解得点P 的坐标为(2,3)-或(2,19)
………………………………………8分。