时间序列分析考试卷及答案

时间序列分析考试卷及答案
考核方式 闭卷 考核时间 120 分钟
注：B 为延迟算子；使得1-=t t Y BY ；∇为差分算子；1--=∇t t t Y Y Y 。

一、单项选择题（每小题3 分；共24 分。

）
1. 若零均值平稳序列{}t X ；其样本ACF 和样本PACF 都呈现拖尾性；则对{}t X 可能建立（ B ）模型。

A. MA(2)
B.ARMA(1,1)
C.AR(2)
D.MA(1)
2.下图是某时间序列的样本偏自相关函数图；则恰当的模型是（ B ）。

A. )1(MA
B.)1(AR
C.)1,1(ARMA
D.)2(MA
3. 考虑MA(2)模型212.09.0--+-=t t t t e e e Y ；则其MA 特征方程的根是（ C ）。

（A ）5.0,
4.021==λλ （B ）
5.0,4.021-=-=λλ （C ）5.2221==λλ， （D ） 5.2221=-=λλ，
4. 设有模型112111)1(----=++-t t t t t e e X X X θφφ；其中11<φ；则该模型属于（ B ）。

A.ARMA(2,1) B.ARIMA(1,1,1) C.ARIMA(0,1,1) D.ARIMA(1,2,1)
5. AR(2)模型t t t t e Y Y Y +-=--215.04.0；其中64.0)(=t e Var ；则=)(t t e Y E （ B ）。

A.0 B.64.0 C. 1
6.0 D. 2.0
6.对于一阶滑动平均模型MA(1): 15.0--=t t t e e Y ；则其一阶自相关函数为( C )。

A.5.0- B. 25.0 C. 4.0- D. 8.0
7. 若零均值平稳序列{}t X ∇；其样本ACF 呈现二阶截尾性；其样本PACF 呈现拖尾性；则可初
步认为对{}t X 应该建立（ B ）模型。

A. MA(2)
B.)2,1(IMA
C.)1,2(ARI
D.ARIMA(2,1,2)
8. 记∇为差分算子；则下列不正确的是（ C ）。

A. 12-∇-∇=∇t t t Y Y Y
B. 212
2--+-=∇t t t t Y Y Y Y
C. k t t t k
Y Y Y --=∇ D. t t t t Y X Y X ∇+∇=+∇）
( 二、填空题（每题3分；共24分）；
1. 若{}t Y 满足： 1312112---Θ-Θ--=∇∇t t t t t e e e e Y θθ； 则该模型为一个季节周期为
=s __12____的乘法季节s ARIMA )1,1_,0(_)1_,1_,0(⨯模型。

2.
时间序列
{}
t Y 的周期为s 的季节差分定义为：
=∇t s Y _____s t t Y Y --________________________。

3. 设ARMA (2, 1)：1211.025.0----+-=t t t t t e e Y Y Y
则所对应的AR 特征方程为___025.012=--x x _____________；其MA 特征方程为________01.01=-x _____________。

4. 已知AR （1）模型为：),0(~x 4.0x 2t t 1-t t εσεεWN ，+=；则)(t x E =_______0_____________, 偏自相关系数11φ=________8.0__________________；kk φ=________0__________________（k>1）；
5.设{}t Y 满足模型：t t t t e Y aY Y ++=--218.0；则当a 满足______2.02.0<<-a __________时；模型平稳。

6.对于时间序列t t t t e e Y Y ,9.01+=-为零均值方差为2e σ的白噪声序列；则
)(t Y Var =_______
81
.012
-e σ____________________。

7.对于一阶滑动平均模型MA(1): 16.0--=t t t e e Y ；则其一阶自相关函数为_______________36
.016
.0+-________________________________。

8.一个子集),(q p ARMA 模型是指_形如__),(q p ARMA 模型但其系数的某个子集为零的模型_。

三、计算题（每小题
5分；共10分）
已知某序列{}t Y 服从MA(2)模型：
218.06.040--+-+=t t t t e e e Y ；若6,4,2,20212-=-===--t t t e e e e σ
（a)预测未来2期的值；
（b)求出未来两期预测值的95%的预测区间。

解：（1）()1
21112118.06.040),,8.06.040((),,(1ˆ--+++-=⋅⋅⋅+-+=⋅⋅⋅=t t t t t t t t t e e Y Y Y e e e E Y Y Y Y E Y =6.35)4(8.026.040=-⨯+⨯-
()t
t t t t t t t e Y Y Y e e e E Y Y Y Y E Y 8.040),,8.06.040((),,(2ˆ2112212+=⋅⋅⋅+-+=⋅⋅⋅=+++ =6.4128.040=⨯+
（2）注意到()∑-==1
22][l j j e t
l e Var ψσ；1≥l 。

因为,6.0,110
-==ψψ
故有
()20]1[=t e Var ；()2.27)36.01(20]2[=+=t e Var 。

未来两期的预测值的%95的预测区间为:
()()[]()()[]
()l e Var z l Y l e Var z
l Y t t t t
025.0025
.0ˆ,ˆ+-；其中2,1,96
.1025.0==l z。

代入相应数据得未来两
期的预测值的%95的预测区间为：
未来第一期为： )2096.16.35,2096.16.35(+-；即 )3654.44 ,8346.26(； 未来第二期为： )2.2796.16.41,2.2796.16.41(+-；即)8221.15 ,3779.31(。

四、计算题（此题10分）
设时间序列}{t X 服从AR(1)模型：t t t e X X +=-1φ；其中}{t e 是白噪声序列；2)(,0)(e t t e Var e E σ==
)(,2121x x x x ≠为来自上述模型的样本观测值；试求模型参数2,e σφ的极大似然估计。

解：依题意2=n ；故无条件平方和函数为 212
2
21212212
222)1()()(x x x x x x x S t φφφφ-+=-+-=∑= 易见(见p113式(7.3.6)）其对数似然函数为 )(21
)1log(21)log()2log(),(2
22
2
φσφσπσφS e e e --+
--= 所以对数似然方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0),(0),(22
2
φ
σφσσφe e e
；即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+0212222
2122212221e e x x x x x x σφφσφ。

解之得()()⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+-=+=2
2212
222122
221212ˆ2ˆ
x x x x x x x x εσφ。

五、计算题（每小题6分；共12分）
判定下列模型的平稳性和可逆性。

(a) 114.08.0---+=t t t t e e Y Y (b)21215.06.14.18.0----++=+-t t t t t t e e e Y Y Y 解：（a)其AR 特征方程为： 08.01=-x ；其根25.1=x 的模大于1；故满足平稳性条件；该模型平稳。

其MA 特征方程为：04.01=-x ；其根5.2=x 的模大于1；故满足可逆性条件。

该模型可逆。

综上；该模型平稳可逆。

（b) 其AR 特征方程为： 04.18.012=+-x x ；其根为4.126.564.08.02
,1⨯-±=x ；故其根的模为4
.126
.5⨯小于1；从而不满足平稳性条件。

该模型是非平稳的。

MA 特征方程为：05.06.112=++x x ；其有一根5
.022
56.26.1⨯-+-=
x 的模小于1；故不满足可逆性条件。

所以该模型不可逆。

综上；该模型非平稳且不可逆。

六、计算题（每小题5分；共10分）
某AR 模型的AR 特征多项式如下：
)8.01)(7.07.11(122x x x -+- （1) 写出此模型的具体表达式。

（2) 此模型是平稳的吗?为什么？ 解：（1）该模型为一个季节ARIMA 模型；其模型的具体表达式是（其中B 为延迟算子） t t e Y B B B =-+-)8.01)(7.07.11(122
或者 t t t t t t t e Y Y Y Y Y Y =-+-+------1413122156.036.18.07.07.1。

（2）该模型是非平稳的；因为其AR 特征方程)8.01)(7.07.11(122x x x -+-=0有一根1=x 的模小于等于1；故不满足平稳性条件。

七、计算题（此题10分）
设有如下AR(2)过程： t t t t e Y Y Y +-=--211.07.0；t e 为零均值方差为 1 的白噪声序列。

(a) 写出该过程的Yule-Walker 方程；并由此解出21,ρρ；（6分） (b) 求t Y 的方差。

（4分）
解答：（a)其Yule-Walker 方程（见课本P55公式（4.3.30））为:
⎩
⎨⎧=-=-21111.07.01.07.0ρρρρ
解之得 55
19,11721==
ρρ。

(b ）由P55公式（4.3.31）得
275
162
55
191.011
77.0111.07.01)(2120=
⨯+⨯-=+-==ρρσγe t Y Var 。