2020年7月普通高等学校招生全国统一考试文科数学全国卷Ⅰ(山西省)权威
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学全国1卷
1.【ID:4005071】已知集合，，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：集合，，则，故选：D．2.【ID:4005072】若，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，．故选：C．3.【ID:4002606】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图，设正四棱锥的底面边长为，斜高，则，两边同时除以，得：，解得：，故选C．4.【ID:4005073】设为正方形的中心，在，，，，中任取点，则取到的点共线的概率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：，，，，中任取点，共有种，其中共线为，，和，，两种，故取到的点共线的概率为，故选：A．5.【ID:4002608】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度(单位：)的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由图易知曲线特征：非线性，上凸，故选D．6.【ID:4005074】已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由圆的方程可得圆心坐标，半径；设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长|AB|=2，当最大时弦长|AB|最小，当直线与所在的直线垂直时最大，这时，所以最小的弦长，故选：B．7.【ID:4002610】设函数在的图象大致如下图，则的最小正周期为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由图可估算，则．故选C．由图可知：，由单调性知：，解得，又由图知，则，当且仅当时满足题意，此时，故最小正周期．8.【ID:4005075】设，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：因为，则，则，则，故选：B．9.【ID:4005076】执行右面的程序框图，则输出的()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，，第一次执行循环体后，，不满足退出循环的条件，；第二次执行循环体后，，不满足退出循环的条件，；第三次执行循环体后，，不满足退出循环的条件，；第四次执行循环体后，，不满足退出循环的条件，；第五次执行循环体后，，不满足退出循环的条件，；第六次执行循环体后，，不满足退出循环的条件，；第七次执行循环体后，，不满足退出循环的条件，；第八次执行循环体后，，不满足退出循环的条件，；第九次执行循环体后，，不满足退出循环的条件，；第十次执行循环体后，，不满足退出循环的条件，；第十一次执行循环体后，，满足退出循环的条件，故输出值为，故选：C．10.【ID:4005077】设是等比数列，且，，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：是等比数列，且，则，即，，故选：D．11.【ID:4005078】设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由题意可得，，，，，，为直角三角形，，，，，，的面积为，故选：B．12.【ID:4002613】已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由条件易得：，由，则，则，所以球的表面积为．故选A．13.【ID:4002616】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】1【解析】解：作不等式组满足的平面区域如图：易得：，，，因为区域为封闭图形，分别将点的坐标代入，得最大值为．14.【ID:4005079】设向量，，若，则________．【答案】【解析】解：向量，，若，则，则，故答案为：．15.【ID:4005080】曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为________．【答案】【解析】解：的导数为，设切点为，可得，解得，即有切点，则切线的方程为，即，故答案为：．16.【ID:4005081】数列满足，前项和为，则________．【答案】【解析】解：由，当为奇数时，有，可得，，累加可得；当为偶数时，，可得，，，．可得．．，，即．故答案为：．17. 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为，，，四个等级，加工业务约定：对于级品、级品、级品，厂家每件分别收取加工费元，元，元；对于级品，厂家每件要赔偿原料损失费元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为元/件，乙分厂加工成本费为元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：（1）【ID:4005082】分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为级品的概率．【答案】；【解析】解：由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为级品的概率的估计值为；乙分厂加工出来的一件产品为级品的概率的估计值为．（2）【ID:4005083】分别求甲、乙两分厂加工出来的件产品的平均利润，以平均利润为依据厂家应选哪个分厂承接加工业务？【答案】甲分厂【解析】解：由数据知甲分厂加工出来的件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的件产品的平均利润为．由数据知乙分厂加工出来的件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的件产品的平均利润为．比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务．18. 的内角，，的对边分别为，，．已知．（1）【ID:4005084】若，，求的面积．【答案】【解析】解：由题设及余弦定理得，解得(含去)，，从而．的面积为．（2）【ID:4005085】若，求．【答案】【解析】解：在中，，所以，故．而，所以，故．19. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）【ID:4005086】证明：平面平面．【答案】见解析【解析】证明：由题设可知，．由于是正三角形，故可得，．又，故，．从而，，故平面，所以平面平面．（2）【ID:4005087】设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．【答案】【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线长为．由题设可得，．解得，．从而．由可得，故．所以三棱锥的体积为．20. 已知函数．（1）【ID:4008459】当时，讨论的单调性．【答案】在上单调递减，在上单调递增．【解析】解：由题意，的定义域为，且．当时，，令，解得．∴当时，，单调递减，当时，，单调递增．在上单调递减，在上单调递增．（2）【ID:4008481】若有两个零点，求的取值范围．【答案】【解析】①当时，恒成立，在上单调递增，不合题意；②当时，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增．的极小值也是最小值为．又当时，，当时，．要使有两个零点，只要即可，则，可得．综上，若有两个零点，则的取值范围是．21. 已知函数．（1）【ID:4002629】当时，讨论的单调性．【答案】当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．【解析】当时，，其导函数，又函数为单调递增函数，且，于是当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．（2）【ID:4002630】当时，，求的取值范围．【答案】【解析】方法：根据题意，当时，不等式显然成立；当时，有，记右侧函数为，则其导函数，设，则其导函数，当时，函数单调递减，而，于是．因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也为最大值．因此实数的取值范围是，即．方法：等价于．设函数，则．(i)若，即，则当时，．所以在上单调递增，而，故当时，，不合题意．(ii)若，即，则当时，；当时，．所以在，上单调递减，在上单调递增．又，所以当且仅当，即．所以当时，．(iii)若，即，则．由于，故由(ii)可得．故当，．综上，的取值范围是．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）【ID:4002631】当时，是什么曲线？【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．【解析】解：，的参数方程为，则的普通方程为：，是以坐标原点为圆心，半径为的圆．（2）【ID:4002632】当时，求与的公共点的直角坐标．【答案】【解析】解：当时，：，消去参数，得的直角坐标方程为：，的直角坐标方程为：，联立得，其中，，，解得，与的公共点的直角坐标为．23. 已知函数．（1）【ID:4002633】画出的图象．【答案】见解析【解析】解：如图，．（2）【ID:4002634】求不等式的解集．【答案】【解析】解：方法：由题意知，结合图象有，当时，不等式恒成立，故舍去；当，即时，不等式恒成立；当时，由，得，，解得，综上，．方法：函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．的图象与的图象的交点坐标为．由图象可知当且仅当时，的图象在的图象上方．故不等式的解集为．。
2020年普通高等学校招全国生统一考试文科数学(全国卷Ⅰ)(含答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2BCD ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x++在[-π，π]的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．B ．C ．D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷I卷(附带答案及详细解析)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科I卷数学试题卷本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前，先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡-并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（共12题；共51分）1.已知集合A={x|x2−3x−4<0},B={−4,1,3,5}，则A∩B=（）A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}2.若z=1+2i+i3，则|z|=（）A. 0B. 1C. √2D. 23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A. √5−14B. √5−12C. √5+14D. √5+124.设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）A. 15 B. 25 C. 12 D. 45 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 (x i ,y i )(i =1,2,⋯,20) 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ）A. y =a +bxB. y =a +bx 2C. y =a +b e xD. y =a +blnx6.已知圆 x 2+y 2−6x =0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47.设函数 f(x)=cos (ωx +π6) 在 [−π,π] 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.设 alog 34=2 ，则 4−a = （ ）A. 116 B. 19 C. 18 D. 16 9.执行下面的程序框图，则输出的n=（ ）A. 17B. 19C. 21D. 23 10.设 {a n } 是等比数列，且 a 1+a 2+a 3=1 ， a 2+a 3+a 4=2 ，则 a 6+a 7+a 8= （ ）A. 12B. 24C. 30D. 32 11.设 F 1,F 2 是双曲线 C:x 2−y 23=1 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且 |OP|=2 ，则 △PF 1F 2 的面积为（ ）A. 72B. 3C. 52D. 212.已知 A,B,C 为球O 的球面上的三个点，⊙ O 1 为 △ABC 的外接圆，若⊙ O 1 的面积为 4π ， AB =BC =AC =OO 1 ，则球O 的表面积为（ ） A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国卷一文科数学高考试题(word版+详细解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则A B =A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}答案：D解析：2{|340}{|14}A x x x x x =--<=-<<，则交集的定义可得，{13}，A B =，故选D 2．若312i i z =++，则||z =A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：因为312i i 12i (i)1i z =++=++-=+，所以22||=112z +=，故选C3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A．14 B．12C．14 D．12 答案：C解析：如图，P ABCD -是正四棱锥，过P 作PO ABCD ⊥平面，O 为垂足，则O 是正方形ABCD 的中心，取BC 的中点E ，则OE BC ⊥，因为PO ABCD ⊥平面，所以BC PO ⊥，又PO OE O =，所以BC POE ⊥平面，因为PE POE ⊂平面，所以PE BC ⊥，设BC a =，PO h =，由勾股定理得PE =1122PBCS BC PE =⋅=212h =，所以221142PE a aPE -=，解得PE =或PE =（舍去)，故选CE OPA B C D4．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A ．15B ．25C ．12D ．45答案：A解析：O ，A ，B ，C ，D 中任取3点的取法用集合表示有{,,}O A B ，{,,}O A C ，{,,}O A D ，{,,}O B C ，{,,}O B D ，{,,}O C D ，{,,}A B C ，{,,}A B D ，{,,}A C D ，{,,}B C D ，共有10种取法，其中3点共线的取法有{,,}O A C ，{,,}O B D ，共2种，故取到的3点共线的概率为21105=，故选AODCBA5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i ix y i=得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A．y a bx=+B．2y a bx=+C．e xy a b=+D．lny a b x=+答案：D解析：本题考查回归方程及一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象，观察散点图可知，散点图用光滑曲线连接起来比较接近对数函数的图象，故选D。
2020年普通高等学校招全国生统一考试文科数学(全国卷Ⅰ)(含答案)
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
A．165 cmB．175 cmC．185 cmD．190cm
5．函数f(x)= 在[-π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生
7．tan255°=
A．-2- B．-2+ C．2- D．2+
8．已知非零向量a，b满足 =2 ，且（a-b） b，则a与b的夹角为
A． B． C． D．
9．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入
A．A= B．A= C．A= D．A=
10．双曲线C： 的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
所以 在 存在唯一零点.
（2）由题设知 ，可得a≤0.
由（1）知， 在 只有一个零点，设为 ，且当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
又 ，所以，当 时， .
又当 时，ax≤0，故 .
因此，a的取值范围是 .
21．解：（1）因为 过点 ，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线 上，且 关于坐标原点O对称，所以M在直线 上，故可设 .
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷1,参考版解析)
请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O 为圆心，
OA 为半径作圆.
(I)证明：直线 AB 与 O 相切； (II)点 C,D 在⊙O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：AB∥CD.
1 （A） 3
1
1
5
（B） 2 （C） 3 （D） 6
【答案】A 【解析】 试题分析：将 4 中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛，有 6 种种法，其中红
1 色和紫色不在一个花坛的种数有 2 种，故概率为 3 ，选 A.. （4）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a 5 ， c 2 ， cos A 2 ，则 b=
283π，则它的表面积是
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π 【答案】A
（8）若 a>b>0，0<c<1，则 （A）logac<logbc （B）logca<logcb （C）ac<bc （D）ca>cb 【答案】B 【解析】
试题分析：对于选项
loga
A：
c
1gc lg a
,
logb
600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为
元。
【答案】 216000
二元一次不等式组①等价于
3x y 300,
150xx33yy
900, 600,
x 0,
y 0.
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域.
2020年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试卷 全国Ⅰ卷(含答案)
2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅰ卷文科数学一、选择题1.若1i z =+,则22z z -=( ) A.0B.1C.2D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x ⋂=-≤≤，则a =( ) A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )51-51-51+51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)(1,2,...,20)x y i =得到下面的散点图： 由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A.21y x =--B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+7.设函数π()cos()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=( ) 5 B.23 C.135 10.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14π,AB BC AC OO ===,则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l xy，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( ) A.210x y --=B.210x y +-=C.210x y -+=D.210x y ++=12.若242log 42log a b a b +=+，则( )A.2a b >B.2a b <C.2a b >D.2a b <13.已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-,则A B ⋂=( ) A.{4,1}-B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}14.若312i i z =++，则||z =( ) A.0B.1C.2D.215.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.51- B.51- C.51+ D.51+ 16.设O 为正方形ABCD 的中心,在,,,,O A B C D 中任取3点,则取到的3点共线的概率为( ) A.15B.25C.12D.4517.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y a bx =+B.2y a bx =+C.e x y a b =+D.ln y a b x =+18.已知圆2260x y x +-=，过点()1,2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A.1B.2C.3D.419.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π220.设3log 42a =，则4a -= ( ) A.116B.19C.18D.1621.执行下面的程序框图，则输出的n = ( )A.17B.19C.21D.2322.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=( ) A.12B.24C.30D.3223.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为( ) A.72B.3C.52D.224.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π二、填空题25.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________.26.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=___________.27.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.28.如图，在三棱锥–P ABC 的平面展开图中，1AC =，3AB AD ==，AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠=______________.29.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为__________.30.设向量(1,1),(1,24)m m =-=+-a b ，若a b ⊥，则m =____________.31.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.32.数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =_____________. 三、解答题33.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． (1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和.34.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO DO =.(1)证明：PA ⊥平面PBC ； (2)求二面角B PC E --的余弦值.35.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率.36.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点. 37.已知函数2()e x f x ax x =+-. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围. 38.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=.(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标. 39.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--. (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.40.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为,,,A B C D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表 等级ABCD频数 40 20 20 20乙分厂产品等级的频数分布表 等级 ABCD频数28 17 34 21(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?41.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知150B =︒. (1)若3,27a c b ==，求ABC 的面积； (2)若2sin 3sin A C +=，求C . 42.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90APC ∠=︒．(1)证明：平面PAB ⊥平面PAC ；(2)设2DO =3π，求三棱锥P ABC -的体积. 43.已知函数()(2)x f x e a x =-+. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.44.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a +=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点.45.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标． 46.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.参考答案1.答案：D 解析：2.答案：B 解析：3.答案：C解析：如图，设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，侧面三角形底边上的高为'h ，则依题意有：222212'()2'h ah a h h ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此有221'()22'a h ah -=，化简得2'4()2()1'0h h a a --=，解得5'1h a +=.4.答案：C解析：设点A 的坐标为()x y ，，由点A 到y 轴的距离为9可得9x =，由点A 到C 的焦点的距离为12，可得122px +=，解得6p =. 5.答案：D解析：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图像的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为ln y a b x =+. 6.答案：B解析：先求函数的导函数32()46'f x x x =-，则由导数的几何意义知在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)'2k f ==-，又因为(1)1f =-，由直线方程的点斜式得切线方程为：(1)2(1)y x --=--，化简得21y x =-+.7.答案：C解析：由图知4π4ππ()cos()0996f ω-=-+=，所以4ππππ()962k k ω-+=+∈Z ，化简得39()4kk ω+=-∈Z ，又因为2π2T T <<，即2π4π2π||||ωω<<，所以1||2ω<<，当且仅当1k =-时1||2ω<<，所以32ω=，最小正周期2π4π||3T ω==.故选C. 8.答案：C解析：5()x y +的通项公式为55(012345)r r r C x y r -=，，，，，，所以1r =时，21433555y C x y x y r x==，，时32333510xC x y x y =，所以33x y 的系数为15. 9.答案：A解析：原式化简得23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-，或2（舍），又(0,π)α∈，所以sin α=10.答案：A解析：设1,AB a O =的半径为r ，球O 的半径为R ，所以2π4πr =，所以2r =，而1r O A ==，所以222114a R OO O A ==+=，所以球O 的表面积为24π64πR =，故选A. 11.答案：D解析：22:(1)(1)4M x y -+-=，因为1||||2||||2||2PAMB PAMS PM AB S PA AM PA =====所以||||PM AB ·最小，即||PM 最小，此时PM 与直线l 垂直，1122PM y x =+：， 直线PM 与直线l 的交点(10)P -，，过直线外一点P 作M 的切线所得切点弦所在直线方程为：210x y ++=，所以选D. 12.答案：B 解析： 13.答案：D解析：由2340x x --<解得14x -<<, 所以{}|14A x x =-<<,又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B ⋂=, 故选：D.14.答案：C解析：因为31+2i i 1+2i i 1i z =+=-=+,所以22112z =+=． 故选：C ． 15.答案：C解析：如图,设,CD a PE b ==,则22224a PO PE OEb =-=-, 由题意212PO ab =,即22142a b ab -=,化简得24()210b b a a -⋅-=, 解得15b a +=(负值舍去). 故选：C.16.答案：A解析：如图,从,,,,O A B C D 5个点中任取3个有 {,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法,3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况, 由古典概型的概率计算公式知, 取到3点共线的概率为21105=. 故选：A.17.答案：D解析：由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选：D. 18.答案：B解析：圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3， 设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为229||982CP -=-=. 故选：B. 19.答案：C解析：由图可得：函数图象过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4ππcos 096ω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，又4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4πππ962ω-⋅+=-，解得：32ω=，所以函数()f x 的最小正周期为2π2π4π332T ω===， 故选：C. 20.答案：B解析：由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =， 所以有149a-=，故选：B. 21.答案：C解析：依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，所以输出的21n =． 故选：C. 22.答案：D解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D. 23.答案：B解析：由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -， 则1,2a c ==，因为121||1||2OP F F ==， 所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以222121212214||||||||2||||162||||PF PF P P F PF PF PF F PF =-=+-=-， 解得12||||6PF PF =，所以12121||||32F F P S PF PF ==△， 故选：B. 24.答案：A解析：设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得2π4π,2r r =∴=，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据圆截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=，∴球O 的表面积24π64πS R ==.故选：A.25.答案：1 解析： 26.3解析： 27.答案：2 解析： 28.答案：14-解析： 29.答案：1解析：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案为：1． 30.答案：5解析：由a b ⊥可得0a b ⋅=， 又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-， 所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=， 即5m =， 故答案为：5. 31.答案：2y x =解析：设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 32.答案：7解析：2(1)31n n n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 16123416S a a a a a =+++++13515241416()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=，17a ∴=.故答案为：7.33.答案：(1)2q =-；(2)1(31)(2)99nn n S +-=-.解析：(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1232a a a =+，即21112a a q a q =+. 所以220q q +-=，解得1q =(舍去)，2q =-. 故{}n a 的公比为2-. (2)记n S 为{}n na 的前n 项和.由(1)及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)(2)3nn n --=-⨯-.所以1(31)(2)99nn n S +-=-.34.答案：(1)见解析；.解析：(1)设DO a =，由题设可得,,PO AO AB a =，2PA PB PC a ===. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .(2)以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得312(0,1,0),(0,1,0),,0,2E A C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 所以312,,0,0,1,22EC EP ⎛⎫⎛=--=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则 0,0,EP EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,310.2y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 可取32⎛= ⎝m . 由(1)知2AP ⎛= ⎝⎭是平面PCB 的一个法向量，记n AP =, 则25cos ,||||⋅==⋅n m n m n m所以二面角B PC E --. 35.答案：(1)116；(2)34；(3)716. 解析：(1)甲连胜四场的概率为116. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116； 乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=. (3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为111,,1688. 因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=.36.答案：(1)2219x y +=；(2)见解析.解析：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++. 代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.37.答案：(1)见解析；(2)27e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：(1)当1a =时，2()e x f x x x =+-，)e (1'2x f x x =+-.故当(,0)x ∈-∞时，)'(0f x <；当(0,)x ∈+∞时，)'(0f x >.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2)31()12f x x ≥+等价于3211e 12x x ax x -⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭. 设函数321()1e (0)2x g x x ax x x -⎛⎫=-++≥ ⎪⎝⎭，则32213()121'e 22x g x x ax x x ax -⎛⎫=--++-+- ⎪⎝⎭21(23)42e 2x x x a x a -⎡⎤=--+++⎣⎦ 1(21)(2)e 2x x x a x -=----.(i)若210a +≤，即12a ≤-，则当(0,2)x ∈时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,2)单调递增，而(0)1g =，故当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意.(ii)若0212a <+<，即1122a -<<，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，)'(0g x <；当(21,2)x a ∈+时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,21),(2,)a ++∞单调递减，在(21,2)a +单调递增.由于(0)1g =，所以()1g x ≤当且仅当2(2)(74)e 1g a -=-≤，即27e 4a -≥.所以当27e 142a -≤<时，()1g x ≤.(iii)若212a +≥，即12a ≥，则31()1e 2x g x x x -⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.由于27e 10,42⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故由()ii 可得311e 12x x x -⎛⎫++ ⎪⎝≤⎭. 故当12a ≥时，()1g x ≤. 综上，a 的取值范围为27e [,)4-+∞.38.答案：(1)曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆；(2)11,44⎛⎫⎪⎝⎭.解析：(1)当1k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C1=, 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y =-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.39.答案：(1)见解析；(2)7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解析：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.40.答案：(1)由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为400.4100=； 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为280.28100=. (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 65402520520752015100⨯+⨯-⨯-⨯=.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务. 解析：41.答案：(1)由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒.解得2c =-(舍去)，2c =，从而a =.ABC 的面积为12sin1502⨯⨯︒=(2)在ABC 中，18030A B C C =︒--=︒-，所以 ()()sin sin 30sin 30A C C C C +=-+=︒+︒.故()sin 30C ︒+=. 而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒. 解析：42.答案：(1)由题设可知，PA PB PC ==.由于ABC 是正三角形，故可得PAC PAB ≅，PAC PBC ≅. 又90APC ∠=︒，故90,90APB BPC ∠=︒∠=︒.从而,PB PA PB PC ⊥⊥，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC . (2)设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题设可得222rl l r =-=.解得1,r l ==.从而3AB =.由(1)可得222PA PB AB +=，故6PA PB PC ===. 所以三棱锥P ABC -的体积为31111663232PA PB PC ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.解析：43.答案：(1)当1a =时，()e 2x f x x =--，则1'()e x f x =-. 当0x <时，)'(0f x <；当0x >时，)'(0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2))'(e x f x a =-.当0a ≤时，()'0f x >，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，故()f x 至多存在1个零点，不合题意.当0a >时，由()'0f x =可得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()'0f x <；当()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >，所以()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增，故当ln x a =时，()f x 取得量小值，最小值为()()ln 1ln f a a a =-+.()i 若10ea <≤，则(ln )0f a ≥，()f x 在(,)-∞+∞至多存在1个零点，不合题意.()ii 若1ea >，则(ln )0f a <.由于2(2)e 0f --=>，所以()f x 在(,ln )a -∞存在唯一零点.由(1)知，当2x >时，2e 20x -->，所以当4x >且()2ln 2x a >时，22()e e (2)x x f x a x =⋅-+ ()ln 2e2(2)2a x a x ⎛⎫>⋅+-+ ⎪⎝⎭2a =0>.故()f x 在(ln ,)a +∞存在唯一零点.从而()f x 在(,)-∞+∞有两个零点. 综上，a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.解析：44.答案：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++. 代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.解析：45.答案：(1)当1k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C1=, 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y =-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.解析：46.答案：(1)由题设知 13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解析：。
2020年全国卷(1)文科数学
2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅰ）文科数学适用：安徽、湖北、福建、山西、河北、江西、广东、河南等一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则A B =A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3} 2.若312z i i =++，则z =A ．0B ．1C ．2D ．2 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状科视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥的一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高于底面正方形的边长的比值为 A ．51- B ．51- C ．51+ D ．51+4.设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则这3点共线的概率为A ．15B ．25C ．12D ．455.某校一个课外学习小组为研究某作物的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，有实验数据(,)i i x y （1i =，2，，20）得到下面的散点图：发芽率20%40% 60% 80% 100%10 20 3040◆◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆◆ ◆ ◆ ◆ ◆◆ ◆ ◆ ◆ ◆6.已知圆2260x y x +-=，过点(1,2)的直线被圆所截得的弦的长度最小值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47.设函数()cos()6f x x πω=+在[,]ππ-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为 A ．109πB ．76πC ．43πD ．32π8.设3log 42a =，则4a -= A ．116 B ．19 C ．18 D ．169.执行右面的程序框图，则输出的n =A ．17B ．19C ．21D ．2310.设{}n a 是等比数列，1231a a a ++=，2342a a a ++=，则678a a a ++= A ．12 B ．24 C ．30 D ．3211.设1F ，2F 为双曲线C ：2213y x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且2OP =，则12PF F ∆的面积为A ．72B ．3C ．52D ．212.已知A ，B ，C 为球O 的球面上三点，1O 为ABC ∆的外接圆，若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件2201010x y x y y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩，则7z x y =+的最小值为 .14.设向量(1,1)a =-，(1,24)b m m =+-，若a b ⊥，则m = . 15.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . 16.数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项的和为540，则1=a . 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第1721题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）某厂接受了一项加工业务，加工起来的产品（单位：件）按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元，对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂承接加工业务.甲分厂加工成本费25元/件，乙分厂加工成本费20元/件.厂家为决定由哪家分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：（Ⅰ）分别估计甲、乙两个分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率； （Ⅱ）分别求甲、乙两个分厂加工出来的100件产品的平均利润，厂家应选哪个分厂承接加工业务？ 18.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知150B =.（Ⅰ）若a =，b =ABC ∆的面积；（Ⅱ）若sin2A C=，求C.19.（本小题满分12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC∆是底面的内角正三角形，P为DO上一点，90ABC∠=.（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面PAC；（Ⅱ）设DO=，求三棱锥P ABC-的体积.20.（本小题满分12分）已知()(2)xf x e a x=-+.（Ⅰ）当1a=时，讨论()f x的单调性；（Ⅱ）若()f x有两个零点，求a的取值范围.21.（本小题满分12分）已知A，B分别为椭圆E：2221xya+=（1a>）的左、右顶点，G为E的上顶点，8AG GB⋅=.P为直线6x=上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D.（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）证明：直线CD过定点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）（选修44-：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy中，曲线1C的参数方程为cossinkkx ty t⎧=⎨=⎩（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为PA BOCD4cos 16sin 30ρθθ-+=.（Ⅰ）当1k =时，1C 是什么曲线？（Ⅱ）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标. 23.（本小题满分10分）（选修45-：不等式选讲） 已知函数()3121f x x x =+--. （Ⅰ）画出()y f x =的图像； （Ⅱ）求不等式()(1)f x f x >+的解集.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案(全国新课标卷1)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国新课标1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知合集{}2340A x x x =--<，{}4,1,3,5B =-，则A B = A.{}4,1- B. {}1,5 C. {}3,5D. {}1,32.若312z i i =++，则z = A.0 B.1 C.2 D. 23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A.514- B. 512-C.514+ D. 512+4. 设O 为正方形ABCD 的中心，在O, A ,B, C, D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为 A.15 B. 25 C. 12 D. 455. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i y i =（x 1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A. y a bx =+B. 2y a bx =+C. x y a be =+D. ln y a b x =+6. 已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76π C.43π D.32π 8. 设3a log 42=，则-a 4 A.116 B. 19 C. 18 D. 169.执行右面的程序框图，则输出的n = A. 17 B. 19 C. 21D. 2310.设{}n a 是等比数列，且123+1a a a +=，2342a a a ++=，则678+a a a += A. 12 B. 24 C. 30 D. 3211. 设1F ，2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP | =2，则∆12PF F 的面积为A.72 B. 3 C. 52D. 2 12. 已知A ，B ，C 为球O的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆. 若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48π C ．36π D ．32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(全国卷1,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页，满分150分。
考生注意：1 •答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2•回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3 •考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .已知集合A= x|x2 , B= x|3 2x 0，则3A. AI B= X|X2B. AI B3C. AU B x|x -2D. AU B=R2.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为X1, X2，…,X n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是的中心成中心对称•在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是绝密★启用前A. X1 , X2,…，X n 的平均数B. X1,C. X1, X2,…，X n的最大值 D. X1,3 .下列各式的运算结果为纯虚数的是A. i(1+i) 2B. i2(1-i)C.X2,…，X n的标准差X2,…,X n的中位数(1+i) 2 D. i(1+i).正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形A . f (x)在(0,2 )单调递增 B. f(x)在(0,2 )单调递减中，直接AB 与平面MNQT 平行的是x 3y 3,7 .设x ，y 满足约束条件x y 1,则z =x +y 的最大值为 y 0,9.已知函数 f(x) lnx ln(2 x)，则A. 1B . nC. 1D. n4 8 24 5.已知F 是双曲线C ： x 2- 2M=1的右焦点， P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直， 点A 的坐标是(1,3).则厶APF3的面积为A1 f 1 c2 r 3A .B.C.-D.-32326 .如图，在下列四个正方体中, A B 为正方体的两个顶点, M N, Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体A . 0B . 1C. 2D. 38..函数ysi n2 x 1 cosxA- M的部分图像大致为C. y = f (x)的图像关于直线 x =1对称D. y =f(x)的图像关于点(1,0 )对称A. A >1000 和 n =n +1B . A >1000和 n =n +213. 已知向量 a = (- 1, 2), b = (m 1).若向量a +b 与a 垂直，则n= _______________ .21 14. 曲线y x —在点(1 , 2)处的切线方程为 ____________________________________ .X nn15 .已知 a (0,—)，tan a =2，则cos (一)= 。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)文白卷(一)数学试题(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）文白卷（一）数学试题一、单选题1．已知集合{}2,0,2,3,4,5A =-，{}2,3,5B =，则集合A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】直接根据交集的运算得出{}2,3,5A B =，即可得出答案.【详解】解：由题可知，{}2,0,2,3,4,5A =-，{}2,3,5B =， 则{}2,3,5AB =，所以集合A B 中元素的个数为3.故选：B . 【点睛】本题考查集合的交集的概念和运算，属于基础题.2．复平面内表示复数()()131z i i =--的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】由复数的乘法运算求出24i z =--，即可得复数对应的点，从而可知正确答案. 【详解】解：()()213113324z i i i i i i =--=--+=--，则对应点坐标为()2,4--在第三象限， 故选:C. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应点的求解.本题的关键是将复数进行整理成标准形式.3．已知{}n a 是等差数列，411a =，720a =.若299n a =，则n =（ ） A ．98 B ．99C ．100D ．101【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，利用411a =，720a =列方程组，解得1a 和d ，再根据299n a =可解得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则11311620a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得123a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)2(1)331n a a n d n n =+-=+-⨯=-， 由31299n -=，解得100n =. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式基本量的计算，属于基础题.4．若向量()1a m =-，，()1,2b =，且a b ⊥，则()()2a b a b -⋅+=（ ） A ．5 B ．13-C ．5-D ．13【答案】B【解析】先由a b ⊥得出0a b ⋅=继而求出m 的值，得出()21a =-，，然后由 ()()2222222a b a b aa b b a a b b -⋅+=+⋅-=+⋅-计算即可得解.【详解】因为a b ⊥，所以有0a b ⋅=，即20m -=，所以2m =，故()21a =-，，所以22(a =+=212b =+=所以()()2222222a b a b a a b ba ab b -⋅+=+⋅-=+⋅-22201055=⨯+-=-=.故选：A . 【点睛】本题考查平面向量的运算法则，考查向量的模的计算，考查平面向量的数量积，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.5．已知函数()cos f x ax ax =+的最小正周期是3，则实数a 的值为（ ） A ．3πB ．23π C ．23π-D ．23π±【答案】D【解析】根据两角和的正弦公式化为()2sin()6f x ax π=+，再根据周期公式可得答案.【详解】因为()3sin cos f x ax ax =+312(sin cos )22ax ax =⋅+⋅2sin()6ax π=+，所以最小正周期23||T a π==，解得23a π=±. 故选：D. 【点睛】本题考查了两角和的正弦公式，考查了三角函数的最小正周期公式，属于基础题. 6．某校高二年级共有2000名学生，其中男女比例为2：3，在某次数学测验中，按分层抽样抽取40人的成绩，若规定85分以上为优秀，且分数为优秀的学生中女生有2人，据此估计高二年级分数为优秀的女生人数为（ ） A ．60 B ．100C ．150D ．200【答案】B【解析】按分层抽样的比例性质计算即可. 【详解】因抽取40人的成绩中，分数为优秀的学生中女生有2人，即比例为20:1, 故高二年级分数为优秀的女生人数为200010020=人. 故选：B. 【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.7．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感，莱洛三角形的画法：先画等边ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心、AB 长为半径画弧，如图①，在莱洛ABC 中，以BC 为边，在BC 的上方作矩形BCDE ，使边DE 经过点A .若莱洛三角形的周长为2π，则图②中阴影部分的面积为（ ）A ．4633π- B ．2333π-C ．4333π-D ．2633π-【答案】C【解析】根据莱洛三角形的周长为2π，求出2BC AC AB ===，然后求出矩形BCDE 的面积、两个弓形的面积和等边三角形的面积，用矩形面积减去两个弓形的面积和等边三角形的面积可得答案. 【详解】因为莱洛三角形的周长为2π，所以23AB AC BC π===， 又因为ABC 为等边三角形，所以3A B C π===， 根据弧长公式可得233AB ππ=⨯，所以2AB =，则2BC AC AB ===， 所以3BE =，所以矩形BCDE 的面积为23，AB 所在扇形的面积为2122233ππ⨯⨯=，所以弓形AB 的面积为22322333ππ-⨯=-，同理弓形AC 的面积为233π-， 所以图②中阴影部分的面积为223232(3)234π---⨯=4333π-. 故选：C. 【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积公式，属于基础题.8．函数()2sin 31cos x xf x x=+的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意，可知()f x 的定义域为x ∈R ，利用定义法判断出()f x 为奇函数，排除B 、D 选项，且当0x ≥时，令()0f x =，求出零点20,,,33x ππ=，再代入特殊值求得2224f ππ⎛⎫=-<- ⎪⎝⎭，可排除C 选项，从而得出答案. 【详解】解：由题可知，()2sin 31cos x xf x x=+，则()f x 的定义域为x ∈R ，则()()()()()22sin 3sin 31cos 1cos x x x xf x f x x x----===-+-+，可得()f x 为奇函数，则图象关于原点对称，故可排除B 、D ， 当0x ≥时，令()0f x =，即2sin 30x x =，解得：20,,,33x ππ=即()f x 的图象与x 轴非负半轴的交点的横坐标从左到右依次为：20,,,33ππ由于2323πππ<<，而223sin 222241cos2f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭==-<- ⎪⎝⎭+， 而由选项C 的图象中，可知当233x ππ<<时，()20f x -<<，不符合题意， 故可排除C. 故选：A. 【点睛】本题考查根据函数解析式识别函数图象，通过利用定义法判断函数的奇偶性，以及根据零点和特殊值法进行排除，考查运算能力.9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．3220π+B ．3226π+C ．3252π+D ．3256π+【答案】C【解析】根据三视图判断几何体的组成部分，分别求出各部分的表面积，即可求出几何体的表面积. 【详解】解：由三视图可知，该几何体是由一个长方体和半个圆柱组成的，则 长方体的表面积为()2488848256⨯⨯+⨯+⨯=，半圆柱的表面积为21221234πππ⨯+⨯+⨯⨯=+，重合部分的面积为224⨯=，则几何体的表面积为25643442523ππ-++-=+， 故选:C. 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积.本题的易错点是忽略了重合的区域面积. 10．若()ln xf x x=，则()2f 、()3f 、()4f 的大小关系不正确的是（ ） A ．()()23f f > B ．()()34f f < C ．()()42f f = D ．()()34f f >【答案】D【解析】作差，根据对数的性质以及对数函数的单调性比较可得答案. 【详解】因为232ln 33ln 2(2)(3)ln 2ln 3ln 2ln 3f f --=-=⋅ln 9ln80ln 2ln 3-=>⋅，所以(2)(3)f f >，故A 正确； 因为343ln 44ln 3(3)(4)ln 3ln 4ln 3ln 4f f --=-=⋅ln 64ln810ln 3ln 4-=<⋅，所以(3)(4)f f <，故B 正确，D 不正确；因为4242(4)(2)0ln 4ln 22ln 2ln 2f f -=-=-=，所以(4)(2)f f =，故C 正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了对数的性质以及对数函数的单调性，属于基础题.11．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆()2211x y a a +=>和双曲线()2210x y m m-=>，则椭圆与双曲线的离心率积的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由椭圆和双曲线的方程和有相同的焦点，得出11a m -=+，设椭圆与双曲线交于点P ，设12,PF x PF t ==，由椭圆和双曲线的定义得出x t x t ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，在焦点三角形中利用余弦定理可求出1290F PF ∠=，根据椭圆和双曲线的离心率公式得出12e e ⋅==12e e ⋅的最小值. 【详解】解：由题可知，椭圆()2211x y a a +=>焦点在x 轴上，则21c a =-，对于双曲线()2210x y m m-=>焦点在x 轴上，则21c m =+，椭圆和双曲线有相同的焦点，则11a m -=+，即2a m =+， 设椭圆与双曲线交于点P ，设12,PF x PF t ==，由椭圆和双曲线的定义得：x t x t ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则()()2244x t a x t m⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：2222x t a mxt a m ⎧+=+⎨=-⎩，在12F PF △中，由余弦定理得：()2221222414224cos 022222a m a x t c m a F PF xt a m a m +--+--+∠====--，1290F PF ∴∠=，所以在12Rt F PF 中，2224x t c +=， 则2224a m c +=，即22a mc +=，21222122a mame e a m am am am am+∴⋅=⋅===≥=，当且仅当a m =时取等号，所以12e e ⋅的最小值为1， 即椭圆与双曲线的离心率积的最小值为1. 故选：A.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的离心率，考查椭圆和双曲线的方程、定义、简单几何性质以及焦点三角形的应用，还涉及余弦定理的应用和利用基本不等式求最值，考查化简运算能力，属于中档题.12．函数()3ln 2xf x e x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若()f x 在(),1k k +，k ∈Z 上存在唯一零点，则k 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意可转化为函数3()ln 2g x x x =-+在(),1k k +，*k N ∈上存在唯一零点，根据单调性和零点存在性定理可得答案. 【详解】因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以*k N ∈，所以函数()3ln 2x f x e x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在(),1k k +，*k N ∈上存在唯一零点， 所以3(ln )02xe x x -+=，即3ln 02x x -+=在在(),1k k +，*k N ∈上存在唯一实根， 所以函数3()ln 2g x x x =-+在(),1k k +，*k N ∈上存在唯一零点， 因为1()1g x x'=-<0在(),1k k +，*k N ∈上恒成立，所以()g x 在(,1)k k +，*k N ∈上为单调递减函数， 因为31(1)01022g =-+=>， 31(2)ln 22ln 222g =-+=-1ln 4ln ln 2ln 022ee -=-=>，33(3)ln 33ln 322g =-+=-3ln 9ln 02e -=<，所以函数3()ln 2g x x x =-+在()2,3上存在唯一零点， 所以2k =. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的零点，考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题.二、填空题13．已知a 、{}1,1,2b ∈-，则直线10ax by ++=不过第二象限的概率是________. 【答案】29. 【解析】利用列举法和古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】因为基本事件(,)a b 有：(1,1)--，(1,1)-，(1,2)-，(1.1)-，(1,1)，(1,2)，(2,1)-，(2,1)，(2,2)，共9个，其中使得直线10ax by ++=不过第二象限的基本事件有：(1,1),-(1,2)-，共2个， 所以 直线10ax by ++=不过第二象限的概率是29. 故答案为：29. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题.14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a S n +=，则n S =________. 【答案】11()2nn -+【解析】当1n =时，代入题干可得112a =，当2n ≥时，111n n a S n --+=-，所以111n n n n a a S S ---+-=，即11(1)2n n a a -=+，2n ≥，用待定系数法化简整理可得{1}n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列，解得11()2n n a =-，*n N ∈，运用分组求和法即可求出前n 项和n S 的值. 【详解】因为n n a S n +=，所以当1n =时，121a =，解得112a =， 当2n ≥时，111n n a S n --+=- 所以111n n n n a a S S ---+-=，即11(1)2n n a a -=+，2n ≥ 所以111(1)2n n a a --=-，即11112n n a a --=-，2n ≥ 所以{1}na -是以12-为首项，12为公比的等比数列，所以11111()()()222n n n a --=-⨯=-，即11()2nn a =-，2n ≥又112a =满足上式，所以11()2nn a =-，*n N ∈所以23123111111()1()1()2222nn n S a a a a =+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-=231111[()()()]2222n n -+++⋅⋅⋅+=11[1()]1221()1212n n n n --=-+- 故答案为：11()2nn -+【点睛】本题考查n S 与n a 的关系、待定系数法求数列的通项、分组求和法等知识，综合性较强.解题的关键在于根据n S 与n a 的关系，以及()11(1)2n nn a n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩进行化简求解，当出现1n n a pa q -=+（p ，q 为常数，且1p ≠）时，用待定系数法求通项，计算难度偏大，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.15．双曲线22221x y a b-=的离心率为2，过其左支上一点M 作平行于x 轴的直线交渐近线于P 、Q 两点，若4PM MQ ⋅=，则该双曲线的焦距为________. 【答案】8【解析】设()00,M x y ，写出渐近线方程，即可得00,a P y y b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，00,a Q y y b ⎛⎫⎪⎝⎭，结合4PM MQ ⋅=可得222024a x y b=-，由()00,M x y 在双曲线上可求出24a =，结合离心率可求出4c =，即可求出焦距. 【详解】解：设()00,M x y ，则2200221x y a b-=，双曲线渐近线方程为b y x a =±，所以当0y y =时，0a x y b =±，即00,a P y y b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，00,a Q y y b ⎛⎫⎪⎝⎭，因为//PQ x 轴， 所以00a MP y x b =--，00a MQ y x b =-，则2220024P x M a M b Q y =-⋅=，又2200221x y a b-=，即2222002a y x ab -=，所以24a =，即2a =，则离心率22c c e a ===， 所以4c =，所以焦距为28c =， 故答案为:8. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了双曲线的渐近线方程.本题的关键是求出a 的值. 16．如图，在正方体ABCD EFGH -中，M 、N 、P 、Q 分别是FG 、GH 、AD 、AB 的中点，则下列说法：①//HP 平面BMN ；②PQ EG ⊥；③//MQ NP ；④//FQ 平面BMN ， 其中正确的命题序号是________.【答案】①②③④【解析】①构造平行四边形可证明线线平行，通过线线平行可证线面平行； ②利用线面垂直，证明线线垂直； ③构造平行四边形可证明线线平行； ④构造平面，通过线线平行可证线面平行. 【详解】在正方体ABCD EFGH -中，M 、N 、P 、Q 分别是FG 、GH 、AD 、AB 的中点，①如图,设BC 中点为R ，连接PR ，HP ，MB ，MN ，BN ，GR ，则有MG BR ，//MG BR∴四边形MGRB 为平行四边形， 同理四边形PRHG 为平行四边形， ∴//BM GR ，//HP GR ， ∴//BM HP且PH ⊄平面BMN ，BM ⊂平面BMN ， ∴//HP 平面BMN ， 故命题①正确；②如图，连接PQ ，BD ，EG ，FH ，则有EG ⊥平面BDHF ，//PQ BD ， 且BD ⊂平面BDHF ， ∴EG BD ⊥， ∴PQ EG ⊥， 故命题②正确；③如图，连接PN ，PQ ，MQ ，MN ，FH ，BD ，则有//MN FH ，12MNFH ，//PQ BD ，12PQ BD ，//BD FH ，BD FH ，∴//PQ MN ，PQ MN =， ∴四边形PQMN 是平行四边形， ∴//MQ NP ， 故命题③正确；④如图，设EF 中点为S 连接AS ，SN ，DN ，BD ，BN ，MN ，BM ，QF由③得//MN BD ， ∵SFAQ ，//SF AQ ，∴四边形SAQF 为平行四边形， 同理四边形SADN 为平行四边形， ∴//SA FQ ，//SA DN ， ∴//DN FQ ，且DN ⊂平面BDNM ，FQ ⊄平面BDNM ， ∴//FQ 平面BDNM ， 即//FQ 平面BMN ， 故命题④正确. 故答案为：①②③④. 【点睛】本题考查线线平行、线面平行、线线垂直的判断，构造平行四边形利用平行四边形的性质证明线线平行，以及构造三角形利用中位线定理证明线线平行是常用的方法，考查直观想象能力、逻辑推理能力，是中档题.三、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos sin 6b A a B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若cos 5B =，5b =，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π，（2. 【解析】（1）根据正弦定理可得cos sin 6A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式变形可得tan A =3A π=；（2）根据正弦定理求出a ，根据诱导公式和两角和的正弦公式求出sin C ，再根据三角形的面积公式求出面积. 【详解】（1）因为cos sin 6b A a B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 6b A b A a a π⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭， 所以cos sin 6A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos cos sin sin sin 66A A A ππ+=，所以tan A =0A π<<，所以3A π=.（2）因为cos 5B =，所以sin B ===，由正弦定理得sin sin b A a B ⨯==3=， 所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12=+=所以ABC的面积为11sin 322ab C =⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理、诱导公式、三角形的面积公式、两角和的正弦公式，属于中档题. 18．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，PAD △是边长为2的等边三角形，3BAD π∠=，E ，F ，M 分别为AD ，BC ，PC的中点.（1）证明：//PA 平面MEF ； （2）求四棱锥P ABCD -的侧面积.【答案】（1）证明见解析；（2）3+6+15.【解析】（1）连接AC 交EF 于点G ，显然G 为AC 的中点，证明//MG PA ，//PA 平面MEF 即得证；（2）求出四棱锥P ABCD -的四个侧面的面积即得解. 【详解】（1）连接AC 交EF 于点G ，显然G 为AC 的中点，在PAC 中，M 为PC 中点， 所以//MG PA ，因为MG ⊂平面MEF ，PA ⊄平面MEF , 所以//PA 平面MEF ；（2）PAD △是边长为2的等边三角形，所以122sin 6032PADS=⨯⨯⨯=.连接,,PE BE 3PE =,在ABE △中，由余弦定理得222cos 3BE AE AB AE AB BAE =+-⨯⨯∠=又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PE AD ⊥,PE ⊂平面PAD ,所以PE ⊥平面ABCD ,又BE ⊂平面ABCD ， 所以PE BE ⊥，故6PB =由余弦定理得115cos ,sin 44PAB PAB ∠=∴∠=, 所以1151522242PABS=⨯⨯⨯=. 同理可得157,10,2PCDCE PC S===, 由222,PB BC PC PBC +=∴是直角三角形， 所以16262PBCS==, 所以四棱锥P ABCD -3+6+15【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查几何体侧面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．某公司为强化自己的市场竞争地位，决定扩大公司规模，拓展业务，建立连锁公司，连锁公司利润的20%归总公司，建立连锁公司的数量与单个公司月平均利润的关系如下表所示： 连锁公司数量x /个56789由相关系数r 可以反映两个变量相关性的强弱，[]0.75,1r ∈，认为变量相关性很强；[]0.3,0.75r ∈，认为变量相关性一般；[]0,0.3r ∈，认为变量相关性较弱.（1）计算相关系数r ，并判断变量x 、y 相关性强弱； （2）求y 关于x 的线性回归方程（3）若一个地区连锁公司的前期投入p （十万元）与数量()56789x x =、、、、的关系为212.254p x x =--，根据所求回归方程从公司利润角度帮公司对一个地区连锁公司数量做出决策.12.85≈，参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】（1）0.97r ≈，变量x 、y 相关性很强；（2）ˆ 1.2513.75y x =-+；（3）6个【解析】（1）根据给出的数据和公式，求出相关系数r ，并判断变量x 、y 相关性强弱； （2）根据给出的数据和公式，求出y 关于x 的线性回归方程；（3）将总公司利润表过出来，再根据何时取最大值，帮公司对一个地区连锁公司数量做出决策. 【详解】 （1）由题5678975x ++++==，86 4.5 3.5355y ++++==则()()1niii x x yy =--∑(57)(85)(67)(65)(77)(4.55)(87)(3.55)(97)(35)=--+--+--+--+--=12.5-()21ni i x x=-∑22222(57)(67)(77)(87)(97)10=-+-+-+-+-=()21nii yy=-∑22222(85)(65)(4.55)(3.55)(35)16.5=-+-+-+-+-=则()()niix x y y r--=∑12.512.85-==0.97≈-，则[]0.75,1r ∈，变量x 、y 相关性很强；（2）由题()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑12.51.2510-==-， 又ˆˆay bx =-5( 1.257)13.75=--⨯=， 故ˆ 1.2513.75yx =-+. （3）总公司利润( 1.2513.75)20%y x x p =-+⋅-=2)( 1.2513.75)212.20%(54x x x x -+--⋅-=21.25154x x -++，即21.25154y x x =-++，()56789x =、、、、 对称轴为01561.252x ==⨯，故当6x =时，总公司利润利润最大，故公司对一个地区连锁公司数量为6个. 【点睛】本题考查了相关系数的计算与应用，求线性回归方程，利润的理解与应用，二次函数的最值问题，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.20．已知圆()()22:40M x y a a +-=<与直线40x y ++=相离，Q 是直线40x y ++=上任意点，过Q 作圆M 的两条切线，切点为A ，B .（1）若AB =MQ ；（2）当点Q 到圆M 的距离最小值为2时，证明直线AB 过定点. 【答案】(1)4;(2)证明见解析.【解析】(1) 连接,AB QM 交于点C ，可求出BC =,63MBC QBC ππ∠=∠=，在直角三角形中，可求出cos BCQB QBC==∠股定理可知MQ 的长度.(2)由距离最小值可知圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式可求出圆心坐标，设(),4Q b b --，结合勾股定理可知222812QA b b =-+，从而可求出以Q 为圆心，QA 为半径的圆Q 的方程，联立圆M 与圆Q ，整理可得()2216568b y x y -+=+，令221601680y x y -+=⎧⎨+=⎩，即可求出定点的坐标.【详解】(1)解：连接,AB QM 交于点C ，由圆的性质可知AB QM ⊥，且12BC AB == 因为()()22:40M x y a a +-=<，所以其半径2r ，即2MB r ==，所以cos 2BC MBC BM ∠==，则,6263MBC QBC ππππ∠=∠=-=，所以cos cos 3BC QB QBC ===∠则4QM ===(2)解：过M 作直线40x y ++=的垂线，当垂足为Q 时，点Q 到圆M 的距离最小，则2QM r =+==8a =-或0(舍去)，所以()0,8M -，设(),4Q b b --，则()2222222422812QA QM MA b b b b =-=+--=-+， 则以Q 为圆心，QA 为半径的圆()()222:42812Q x b y b b b -+++=-+，则AB 是圆M 与圆Q 的公共弦，则联立得()()()222228442812x y x b y b b b ⎧++=⎪⎨-+++=-+⎪⎩ ， 两方程相减可得()2216568b y x y -+=+，令221601680y x y -+=⎧⎨+=⎩ ，解得62x y =⎧⎨=-⎩所以直线AB 过定点()6,2-.【点睛】本题考查了圆的切线问题，考查了两圆公共弦的求解，考查了点到直线的距离，考查了圆的标准方程.21．已知函数()3222f x x ax a x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若0a <，记()f x 的极小值为()g a ，证明：()()219a g a +<.【答案】（1）当0a =时，单调递增；当0a >时，递增区间为(,),(,)3aa -∞+∞，递减区间(,)3a a ；当0a <时，递增区间(,),(,)3a a -∞+∞，递减区间(,)3aa ； （2）证明见解析.【解析】（1）求得函数的导数()3()()3af x x a x '=--，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）由（1）可知，取得()3427a g a =，把()2(1)9a g a +<，转化为3243630a a a ---<，设()23,04363x h x x x x ---<=，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()3222f x x ax a x =-+，则()2234()(3)3()()3a f x x ax a x a x a x a x '=-+=--=--，①当0a =时，()230f x x '=≥，此时函数()f x 单调递增；②当0a >时，令()0f x '>，即()()03a x a x -->，解得3ax <或x a >， 令()0f x '<，即()()03ax a x --<，解得3<<ax a ， 所以函数()f x 在(,),(,)3aa -∞+∞单调递增，在(,)3a a 上单调递减；③当0a <时，令()0f x '>，即()()03a x a x -->，解得x a <或3ax >，令()0f x '<，即()()03a x a x --<，解得3a a x <<， 所以函数()f x 在(,),(,)3aa -∞+∞单调递增，在(,)3a a 上单调递减， 综上可得：当0a =时，函数()f x 单调递增；当0a >时，函数()f x 递增区间为(,),(,)3a a -∞+∞，递减区间(,)3a a ；当0a <时，函数()f x 递增区间(,),(,)3a a -∞+∞，递减区间(,)3a a . （2）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(,),(,)3a a -∞+∞单调递增，在(,)3a a 上单调递减，所以当3ax =时，函数()f x 取得极小值， 极小值为()33224()()2()333327a a a a a g a f a a ==-⨯+⨯=，要证：()2(1)9a g a +<，只需证：32(1794)2a a +<，只需证：323()41a a <+， 即3243630a a a ---<，设()23,04363x h x x x x ---<=，则()2666(1112)(2)x h x x x x --=-+'=，令()0h x '>，即(1)(21)0x x -+>，解得21x <-或1x >， 令()0h x '<，即(1)(21)0x x -+<，解得112x -<<， 所以函数()h x 在区间1(,0)2-上单调递减，在区间1(,)2-∞-上单调递增，所以当12x =-时，()h x 取得最大值，最大值为15()024h -=-<，即当0x <时，()0h x <，即3243630a a a ---<，所以()2(1)9a g a +<. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4sin 2cos 3ρθρθ-=.（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭的直线m 垂直于l ，求直线m 截曲线C 所得的弦长.【答案】（1）C ：2212y x +=，l ：2430x y -+=；（2）3【解析】（1）消去参数θ后可得C 的普通方程，根据极坐标公式可求得直线l 的直角坐标方程.（2）先求得直线m 的方程，再与C 联立，根据弦长公式求得弦长. 【详解】（1）由曲线C的参数方程为cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩可得2212y x +=.故曲线C 的普通方程为2212y x +=.因为直线l 的极坐标方程为4sin 2cos 3ρθρθ-=，则423y x -=， 所以l 的直角坐标方程为2430x y -+=. （2）由（1）12l k =，则2m k =-，又过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭，则1:12()2m y x -=--，即:22m y x =-+，又曲线C ：2212y x +=，设l 与C 交于1122(,),(,)P x y Q x y ，则222212y x y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23410x x -+=，得113x =，21x =，则21||||3PQ x x =-=. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与曲线相交弦长问题，还考查了学生的运算能力，属于中档题. 23．已知函数()14f x x x =-+-，()g x x m =+. （1）若2m =，解不等式()()f x g x <；（2）若不等式()()f x g x <的解集非空，求m 的取值范围. 【答案】（1）(1,7)，（2）1m >-.【解析】（1）对x 分3种情况讨论去绝对值，可解得结果；（2）不等式()()f x g x <的解集非空，化为|1||4|x x x m -+--<有解，然后分类讨论求出|1||4|x x x -+--的最小值，再根据不等式有解可得结果. 【详解】（1）若2m =时，()()f x g x <化为|1||4|2x x x -+-<+， 当1x ≤时，化为142x x x -+-<+，此时不等式无解； 当14x <<时，化为142x x x -+-<+，解得14x <<； 当4x ≥时，化为142x x x -+-<+，解得47x ≤<. 所以原不等式的解集为(1,7).（2）不等式()()f x g x <的解集非空，化为|1||4|x x x m -+--<有解， 当1x ≤时，|1||4|x x x -+--1453x x x x =-+--=-[2,)∈+∞， 当14x <<时，|1||4|x x x -+--14x x x =-+--3x =-(1,2)∈-； 当4x ≥时，|1||4|x x x -+--145x x x x =-+--=-[1,)∈-+∞， 所以|1||4|x x x -+--[1,)∈-+∞，因为|1||4|x x x m -+--<有解，所以1m >-. 【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式，属于基础题.。