(完整版)椭圆基础练习题

椭圆的定义与标准方程
一．选择题（共19小题）
1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（）
A．B．
C．D．
或
2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（）
A．4B．5C．6D．10
4．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段
5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（）
A．10 B．8C．6D．不确定
6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．
7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A．16 B．11 C．8D．3
8．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（）
A．5个B．10个C．20个D．25个
9．方程=10，化简的结果是（）
A．B．C．D．
10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，6]C．[3，5]D．[3，6]
11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（）
A．椭圆B．线段
C．椭圆或线段或不存在D．不存在
12．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）
A．
（x≠0）B．
（x≠0）
C．
（x≠0）D．
（x≠0）
13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）A．B．C．D．
14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（）
A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件
C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件
15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）
A．3＜m＜4 B．C．D．
16．“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的（）条件．
A．必要不充分B．充分不必要
C．充要D．既不充分又不必要
17．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定
18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（）A．6B．4C．2D．与x，y取值有关
19．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
二．填空题（共7小题）
20．方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是_________．
21．已知A（﹣1，0），B（1，0），点C（x，y）满足：，则|AC|+|BC|=_________．22．设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2=_________．
23．若k∈Z，则椭圆的离心率是_________．
24．P为椭圆=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是_________．
25．在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是_________．
26．已知⊙Q：（x﹣1）2+y2=16，动⊙M过定点P（﹣1，0）且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：_________．
参考答案与试题解析
一．选择题（共19小题）
1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（）
A．B．
C．D．
或
解答：解：设点P的坐标为（x，y），
∵|PF1|+|PF2|=10＞|F1F2|=6，
∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，
其中，
故点M的轨迹方程为，
故选A．
2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
解答：解：x2+y2+6x+5=0配方得：（x+3）2+y2=4；x2+y2﹣6x﹣91=0配方得：（x﹣3）2+y2=100；
设动圆的半径为r，动圆圆心为P（x，y），
因为动圆与圆A：x2+y2+6x+5=0及圆B：x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，
则PA=r﹣2，PB=10﹣r．
∴PA+PB=8＞AB=6
因此点的轨迹是焦点为A、B，中心在（0，0）的椭圆．
故选A．
3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（）
A．4B．5C．6D．10
解答：
解：∵，∴a=5，
由于点P到一个焦点的距离为5，由椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a﹣5=5．
故选B．
4．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段
解答：解：由题意可得：A（﹣1，0）、B（1，0）两点之间的距离为2，
又因为动点P到A、B两点距离之和为常数2，
所以|AB|=|AP|+|AP|，即动点P在线段AB上运动，
所以动点P的轨迹是线段．
故选D．
5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（）
A．10 B．8C．6D．不确定
解答：解：根据椭圆的定义，可知动点P到两焦点距离之和为2a=8，
故选B．
6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．
解解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），
∴|F1F2|=2，
∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，
∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，
即|PF1|+|PF2|=4，
∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，
∵2a=4，a=2
c=1
∴b2=3，
∴椭圆的方程是
故选C．
7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A．16 B．11 C．8D．3
解答：解：∵直线交椭圆于点A、B，
∴由椭圆的定义可知：|AF1|+|BF1|+|AB|=4a，
∴|AF1|+|BF1|=16﹣5=11，
故选B
8．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（）
A．5个B．10个C．20个D．25个
解答：解：焦点位于y轴上的椭圆则，a＜b，
当b=2时，a=1；
当b=3时，a=1，2；
当b=4时，a=1，2，3；
当b=5时，a=1，2，3，4；
共10个
故选B．
9．方程=10，化简的结果是（）
A．B．C．D．
解答：解：根据两点间的距离公式可得：
表示点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，表示点P（x，y）与点F2
（﹣2，0）的距离，
所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10，
因为|F1F2|=2＜10，
所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5，c=2，
所以b2=21．
所以椭圆的方程为：．
故选D．
10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）
A．[1，4]B．[2，6]C．[3，5]D．[3，6]
解答：解：动点P的轨迹是以A，B为左，右焦点，定长2a=8的椭圆
∵2c=2，∴c=1，
∴2a=8，∴a=4
∵P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值
∴|PA|≥a﹣c=4﹣1=3，|PA|≤a+c=4+1=5
∴|PA|的取值范围是：3≤|PA|≤5
故选C．
11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（）
A．椭圆B．线段
C．椭圆或线段或不存在D．不存在
解答：解：由题意可得：动点P满足条件|PF1|+|PF2|=6，
又因为|F1F2|=6，
所以点P的轨迹是线段F1F2．
故选B．
12．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）
A．
（x≠0）B．
（x≠0）
C．
（x≠0）D．
（x≠0）
解答：解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，
∵12＞8
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a=6，c=4
∴b2=20，
∴椭圆的方程是
故选B．
13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）A．B．C．D．
解答：
解：根据椭圆方程可知a=4，b=3，c==
∴e==
由椭圆的定义可知P到焦点的距离与P到一条准线的距离之比为离心率
故P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为=
故选D．
14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（）
A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件
C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件
解答：解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，
命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆
∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，
再加上这个和大于两个定点之间的距离，
可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，
而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，
∴甲是乙成立的必要不充分条件
故选B．
15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）
A．3＜m＜4 B．C．D．
解答：
解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，
所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，
解得：．
故选D．
16．“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的（）条件．
A．必要不充分B．充分不必要
C．充要D．既不充分又不必要
解答：
解：当mn＞0时．方程mx2+ny2=mn可化为=1，当n＜0，m＜0时方程不是椭圆的方程，故“mn＞0”
是“mx2+ny2=mn为椭圆”的不充分条件；
当mx2+ny2=mn为椭圆时，方程可化为=1，则m＞0，n＞0，故mn＞0成立，
综合可知“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的必要不充分条件．
故选A
17．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定
解答：
解：∵10=|3x+4y+2|，，即，
其几何意义为点M（x，y）到定点（1，2）的距离等于到定直线3x+4y+2=0的距离的，
由椭圆的定义，点M的轨迹为以（1，2）为焦点，以直线3x+4y+2=0为准线的椭圆，
故选A．
18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（）A．6B．4C．2D．与x，y取值有关
解答：
解：∵点C（x，y）满足，
∴两边平方，得4（x﹣1）2+4y2=（x﹣4）2，整理得：3x2+4y2=12．
∴点C（x，y）满足的方程可化为：．
所以点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，满足a2=4，b2=3，得c=．
因此该椭圆的焦点坐标为A（﹣1，0），B（1，0），
根据椭圆的定义，得|AC|+|BC|=2a=4．
故选B
19．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是
（）
A．B．C．D．
解答：
解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得，
根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a﹣c，故，即a≤3c
，故，即，又e＜1，
故该椭圆离心率的取值范围是．
故选B．
二．填空题（共7小题）
20．方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是k＞3．
解答：
解：方程+=1表示椭圆，
则，
解可得k＞3，
故答案]为k＞3．
21．已知A（﹣1，0），B（1，0），点C（x，y）满足：，则|AC|+|BC|=4．
解答：
解：由条件，可得，
即点C（x，y）到点B（1，0）的距离比上到x=4的距离，等于常数，按照椭圆的第二定义，点C（x，y）在以点B为焦点，以直线x=4为准线的椭圆上，故c=1，=，∴a=2，
|AC|+|BC|=2a=4，
故答案为：4．
22．设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2=10．
解答：
解：椭圆中a2=25，a=5，2a=10
∵P是椭圆上的点，F1、F2是椭圆的两个焦点，
∴根据椭圆的定义，PF1+PF2=2a=10故答案为：10
23．若k∈Z，则椭圆的离心率是．
解答：
解：依题意可知解得﹣1＜k＜且k≠1
∵k∈Z，
∴k=0
∴a=，c==，e==故答案为
24．P为椭圆=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是[7，13]．
解答：
解：依题意，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1的圆心，
所以（|PM|+|PN|）max=2×5+3=13，
（|PM|+|PN|）min=2×5﹣3=7，
则|PM|+|PN|的取值范围是[7，13]
故答案为：[7，13]．
25．在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是．
解：
解：由椭圆+=1易得
椭圆的左准线方程为：x=，右准线方程为：x=
∵P点到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，
则P点到左准线的距离是它到右准线距离的二倍，
即x+=2（﹣x）
解得：x=故答案为：
26．已知⊙Q：（x﹣1）2+y2=16，动⊙M过定点P（﹣1，0）且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：=1．
解答：解：P（﹣1，0）在⊙Q内，故⊙M与⊙Q内切，记：M（x，y），
⊙M的半径是为r，则：|MQ|=4﹣r，又⊙M过点P，
∴|MP|=r，
∴|MQ|=4﹣|MP|，即|MQ|+|MP|=4，
可见M点的轨迹是以P、Q为焦点（c=1）的椭圆，a=2．
∴b==
∴椭圆方程为：=1
故答案为：=1。